S-волна

Тип упругой объемной волны

В сейсмологии и других областях, связанных с упругими волнами, S-волны , вторичные волны или поперечные волны (иногда называемые упругими S-волнами ) представляют собой тип упругих волн и являются одним из двух основных типов упругих объемных волн , названных так потому, что они движутся через тело объекта, в отличие от поверхностных волн . ^[1]

S-волны являются поперечными волнами , что означает, что направление движения частиц S-волны перпендикулярно направлению распространения волны, а основная восстанавливающая сила исходит от напряжения сдвига . ^[2] Следовательно, S-волны не могут распространяться в жидкостях ^[3] с нулевой (или очень низкой) вязкостью ; однако они могут распространяться в жидкостях с высокой вязкостью. ^{[4] [5]}

Название «вторичная волна» происходит от того факта, что это второй тип волн, обнаруживаемый сейсмографом землетрясений , после первичной волны сжатия или волны P , поскольку волны S распространяются медленнее в твердых телах. В отличие от P-волн, S-волны не могут проходить через расплавленное внешнее ядро ​​Земли, и это создает теневую зону для S-волн, противоположную их источнику. Они все еще могут распространяться через твердое внутреннее ядро : когда Р-волна ударяется о границу расплавленного и твердого ядер под косым углом, S-волны формируются и распространяются в твердой среде. Когда эти S-волны снова ударятся о границу под косым углом, они, в свою очередь, создадут P-волны, которые распространяются через жидкую среду. Это свойство позволяет сейсмологам определять некоторые физические свойства внутреннего ядра Земли. ^[6]

История

В 1830 году математик Симеон Дени Пуассон представил Французской академии наук эссе («мемуары») с теорией распространения упругих волн в твердых телах. В своих мемуарах он утверждает, что землетрясение вызовет две разные волны: одну с определенной скоростью , а другую со скоростью 0,000 . На достаточном расстоянии от источника, когда их можно считать плоскими волнами в интересующей области, первый вид состоит из расширений и сжатий в направлении, перпендикулярном волновому фронту (т. е. параллельно направлению движения волны); второй же состоит из растягивающих движений, происходящих в направлениях, параллельных фронту (перпендикулярно направлению движения). ^[7] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {3}}}}$

Теория

Изотропная среда

Скорость сейсмических волн в Земле в зависимости от глубины. Незначительная скорость поперечной волны во внешнем ядре обусловлена ​​тем, что оно жидкое, тогда как в твердом внутреннем ядре скорость поперечной волны не равна нулю.

Для целей этого объяснения твердая среда считается изотропной , если ее деформация (деформация) в ответ на напряжение одинакова во всех направлениях. Пусть – вектор смещения частицы такой среды из положения «покоя» за счет упругих колебаний, понимаемый как функция положения покоя и времени . Деформацию среды в этой точке можно описать тензором деформации — матрицей 3×3, элементами которой являются ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}}$

$${\displaystyle e_{ij}={\tfrac {1}{2}}\left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}$$

где обозначает частную производную по координате положения . Тензор деформаций связан с тензором напряжений 3×3 уравнением ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$

$${\displaystyle \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}\sum _{k}e_{kk}+2\mu e_{ij}}$$

Здесь – дельта Кронекера (1, если , 0 в противном случае), и – параметры Ламе ( модуль сдвига материала ). Следует, что ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle i=j}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}\sum _{k}\partial _{k}u_{k}+\mu \left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}$$

Из закона инерции Ньютона также получаем

$${\displaystyle \rho \partial _{t}^{2}u_{i}=\sum _{j}\partial _{j}\tau _{ij}}$$

плотностьуравнение сейсмических волн в однородных средах. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \partial _{t}}$

$${\displaystyle \rho \partial _{t}^{2}u_{i}=\lambda \partial _{i}\sum _{k}\partial _{k}u_{k}+\mu \sum _{j}{\bigl (}\partial _{i}\partial _{j}u_{j}+\partial _{j}\partial _{j}u_{i}{\bigr )}}$$

Используя обозначение оператора набла векторного исчисления , , с некоторыми приближениями это уравнение можно записать как ${\displaystyle \nabla =(\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3})}$

$${\displaystyle \rho \partial _{t}^{2}{\boldsymbol {u}}=\left(\lambda +2\mu \right)\nabla \left(\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}\right)-\mu \nabla \times \left(\nabla \times {\boldsymbol {u}}\right)}$$

Взяв ротор этого уравнения и применив векторные тождества, получим

$${\displaystyle \partial _{t}^{2}(\nabla \times {\boldsymbol {u}})={\frac {\mu }{\rho }}\nabla ^{2}\left(\nabla \times {\boldsymbol {u}}\right)}$$

Эта формула представляет собой волновое уравнение , примененное к векторной величине , которая представляет собой сдвиговую деформацию материала. Ее решения, S-волны, представляют собой линейные комбинации синусоидальных плоских волн различных длин волн и направлений распространения, но все с одинаковой скоростью . ${\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {u}}}$ ${\textstyle \beta ={\sqrt {\mu /\rho }}}$

Взяв дивергенцию сейсмического волнового уравнения в однородных средах вместо ротора, мы получаем волновое уравнение, описывающее распространение величины , которая представляет собой деформацию сжатия материала. Решения этого уравнения, P-волны, движутся со скоростью , которая более чем в два раза превышает скорость S-волн. ${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {u}}}$ ${\textstyle \alpha ={\sqrt {(\lambda +2\mu )/\rho }}}$ ${\displaystyle \beta }$

Стационарные волны ВГ определяются уравнением Гельмгольца ^[8 ]

$${\displaystyle \left(\nabla ^{2}+k^{2}\right){\boldsymbol {u}}=0}$$

k

Смотрите также

• Раннее предупреждение о землетрясении (Япония)
• Бараньи волны
• Продольная волна
• Любовная волна
• зубец P
• Волна Рэлея
• Сейсмическая волна
• Расщепление поперечной волны

Рекомендации

1. "Сейсмология | UPSeis | Мичиганский технологический институт" . Мичиганский технологический университет . Проверено 7 октября 2023 г.
2. S-волна Геологической службы США
3. «Почему S-волны не могут проходить через жидкости?». Земная обсерватория Сингапура . Проверено 6 декабря 2019 г.
4. Гринвуд, Маргарет Стаутберг; Бамбергер, Джудит Энн (август 2002 г.). «Измерение вязкости и скорости поперечной волны жидкости или суспензии для оперативного управления процессом». Ультразвук . 39 (9): 623–630. дои : 10.1016/s0041-624x(02)00372-4. ISSN  0041-624X. ПМИД  12206629.
5. «Поддерживают ли вязкие жидкости распространение сдвиговых волн?». Исследовательские ворота . Проверено 6 декабря 2019 г.
6. Университет Иллинойса в Чикаго (17 июля 1997 г.). «Лекция 16 Сейсмографы и недра Земли». Архивировано из оригинала 7 мая 2002 года . Проверено 8 июня 2010 г.
7. Пуассон, SD (1831). «Mémoire sur la propagation du mouvement dans les milieux élastiques» [Мемуары о распространении движения в упругих средах]. Мемуары Академии наук Института Франции (на французском языке). 10 : 549–605.Со стр.595: " On verra aisément que cet ébranlement donnera donnera naissance à deux ondes sphériques qui se propageront Uniformément, l'une avec une vitesse a , l'autre avec une vitesse b ou a / √ 3 " ... (Один будет легко увидеть, что это землетрясение породит две сферические волны, которые будут распространяться равномерно, одна со скоростью а , другая со скоростью Ь или а  /√3... ) Из стр.602: ..." à une большое расстояние от первобытного здания, и lorsque les mobiles sont devenues sensiblement planes dans chaque partie très-petite par report à leurs Surfaces entières, il ne subsiste plus que des vitesses propres des Molecules, нормальные или параллельные этим поверхностям; les vitesses обычно это место в первых месяцах особенного, или другие сопровождения дилатации, которые соответствуют пропорциям, и параллельные жизни, соответствующие вспомогательным волнам второй особенной, или они не сопровождаются дилатацией или конденсацией объема, но больше всего дилатации и линейные конденсации. «(...на большом расстоянии от первоначального землетрясения, и когда движущиеся волны становятся примерно плоскими в каждой крошечной части по отношению ко всей их поверхности, остаются [в упругом твердом теле Земли] только собственные молекулы скорости, нормальные или параллельные этим поверхностям; нормальные скорости возникают у волн первого типа, где они сопровождаются пропорциональными им расширениями, и параллельные скорости, принадлежащие волнам второго типа, где они не сопровождаются любое расширение или сжатие объема, но только путем линейного растяжения и сжатия.)
8. Графф, Карл Ф. (26 апреля 2012 г.). Волновое движение в упругих телах. Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-13957-9.

дальнейшее чтение

• Ширер, Питер (1999). Введение в сейсмологию (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-66023-8.
• Аки, Кейти ; Ричардс, Пол Г. (2002). Количественная сейсмология (2-е изд.). Университетские научные книги. ISBN 0-935702-96-2.
• Фаулер, CMR (1990). Твердая земля . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-38590-3. S-волна.