В математике группа вращений вокруг неподвижной точки в четырехмерном евклидовом пространстве обозначается SO(4 ) . Название происходит от того, что это специальная ортогональная группа четвертого порядка.
В этой статье ротация означает вращательное перемещение . В целях уникальности предполагается, что углы поворота находятся в сегменте [0, π], за исключением случаев, когда указано или явно подразумевается из контекста иное.
«Неподвижная плоскость» — это плоскость, для которой каждый вектор в плоскости не изменяется после вращения. «Инвариантная плоскость» — это плоскость, для которой каждый вектор в плоскости, хотя и может подвергаться вращению, остается в плоскости после вращения.
Четырехмерные вращения бывают двух типов: простые вращения и двойные вращения.
Простое вращение R вокруг центра вращения O оставляет неподвижной всю плоскость от A до O (плоскость-ось). Каждая плоскость B , полностью ортогональная [a] к A , пересекает A в некоторой точке P. Для каждой такой точки P является центром двумерного вращения, вызванного R в B . Все эти двумерные вращения имеют одинаковый угол поворота α .
Полулинии из О в оси-плоскости А не смещены; полупрямые из O , ортогональные A , смещаются через α ; все остальные полупрямые смещаются на угол, меньший α .
Для каждого вращения R 4-пространства (фиксации начала координат) существует по крайней мере одна пара ортогональных 2 -плоскостей A и B , каждая из которых инвариантна и прямая сумма которых A ⊕ B целиком принадлежит 4-пространству. Следовательно, R , действуя в любой из этих плоскостей, производит обычное вращение этой плоскости. Почти для всех R (весь шестимерный набор вращений, за исключением трехмерного подмножества) углы поворота α в плоскости A и β в плоскости B – оба считаются ненулевыми – различны. Неравные углы поворота α и β, удовлетворяющие −π < α , β < π , почти [b] однозначно определяются R . Если предположить, что 4-пространство ориентировано, то ориентации 2-плоскостей A и B можно выбрать в соответствии с этой ориентацией двумя способами. Если углы поворота неравны ( α ≠ β ), R иногда называют «двойным вращением».
В случае двойного вращения A и B являются единственной парой инвариантных плоскостей, причем полупрямые из начала координат в A , B смещаются через α и β соответственно, а полупрямые из начала координат не в A или B. смещаются на углы строго между α и β .
Если углы поворота двойного поворота равны, то существует бесконечно много инвариантных плоскостей вместо двух, и все полупрямые из O смещаются на один и тот же угол. Такие вращения называются изоклиническими или равноугольными вращениями или смещениями Клиффорда . Будьте осторожны: не все плоскости, проходящие через O , инвариантны относительно изоклинического вращения; Инвариантными являются только плоскости, охватываемые полупрямой и соответствующей смещенной полупрямой. [3]
Предполагая, что для четырехмерного пространства выбрана фиксированная ориентация, изоклинические четырехмерные вращения можно разделить на две категории. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим изоклиническое вращение R и возьмем согласованный по ориентации упорядоченный набор OU , OX , OY , OZ взаимно перпендикулярных полупрямых в точке O (обозначаемый как OUXYZ ), такой, что OU и OX охватывают инвариантную плоскость, и, следовательно, OY и OZ также охватывают инвариантную плоскость. Теперь предположим, что задан только угол поворота α . Тогда в плоскостях OUX и OYZ вообще существует четыре изоклинических вращения с углом поворота α , в зависимости от направлений вращения в OUX и OYZ .
Мы договорились, что направления вращения от OU до OX и от OY до OZ считаются положительными. Тогда у нас есть четыре вращения R 1 = (+ α , + α ) , R 2 = (− α , − α ) , R 3 = ( + α , − α ) и R 4 = (- α , + α ) . R 1 и R 2 являются инверсиями друг друга ; то же самое относится и к R 3 и R 4 . Пока α лежит между 0 и π , эти четыре вращения будут различны.
Изоклинические вращения с подобными знаками обозначаются как левоизоклинические ; те, которые имеют противоположные знаки, относятся к правоизоклиническим . Левое и правое изоклиническое вращение представлено соответственно левым и правым умножением на единичные кватернионы; см. параграф «Отношение к кватернионам» ниже.
Четыре вращения попарно различны, за исключением случаев, когда α = 0 или α = π . Угол α = 0 соответствует тождественному повороту; α = π соответствует центральной инверсии , заданной отрицательным значением единичной матрицы. Эти два элемента SO(4) — единственные, которые одновременно являются левой и правой изоклиной.
Левая и правая изоклиния, определенные, как указано выше, по-видимому, зависят от того, какое конкретное изоклиническое вращение было выбрано. Однако когда выбрано другое изоклиническое вращение R' со своими осями OU' , OX' , OY' , OZ ' , то всегда можно выбрать порядок U' , X' , Y' , Z' такой, что OUXYZ может быть преобразуется в OU'X'Y'Z' вращением, а не вращением-отражением (то есть так, что упорядоченный базис OU' , OX' , OY' , OZ' также согласуется с тем же фиксированным выбором ориентации как OU , OX , OY , OZ ). Поэтому, выбрав ориентацию (т. е. систему осей OUXYZ , которую повсеместно называют правосторонней), можно определить левый или правый характер конкретного изоклинического вращения.
SO(4) — некоммутативная компактная 6- мерная группа Ли .
Каждая плоскость, проходящая через центр вращения O , является осью-плоскостью коммутативной подгруппы , изоморфной SO(2). Все эти подгруппы взаимно сопряжены в SO(4).
Каждая пара полностью ортогональных плоскостей через O является парой инвариантных плоскостей коммутативной подгруппы SO(4), изоморфной SO(2) × SO(2) .
Эти группы являются максимальными торами SO(4), которые все взаимно сопряжены в SO(4). См. также тор Клиффорда .
Все левоизоклинические вращения образуют некоммутативную подгруппу S 3 L группы SO(4), которая изоморфна мультипликативной группе S 3 единичных кватернионов . Все правоизоклинические вращения также образуют подгруппу S 3 R группы SO(4), изоморфную S 3 . Обе S 3 L и S 3 R являются максимальными подгруппами группы SO(4).
Каждое левоизоклиническое вращение коммутирует с каждым правоизоклиническим вращением. Отсюда следует, что существует прямое произведение S 3 L × S 3 R с нормальными подгруппами S 3 L и S 3 R ; обе соответствующие фактор-группы изоморфны другому фактору прямого произведения, т.е. изоморфны S 3 . (Это не SO(4) или ее подгруппа, поскольку S 3 L и S 3 R не пересекаются: тождество I и центральная инверсия − I принадлежат как S 3 L , так и S 3 R .)
Каждое четырехмерное вращение A в двух отношениях является произведением левого и правого изоклинических вращений A L и A R . A L и A R вместе определяются с точностью до центральной инверсии, т. е. когда оба A L и A R умножаются на центральную инверсию, их продукт снова равен A.
Отсюда следует, что S 3 L × S 3 R — универсальная накрывающая группа SO(4) — ее единственное двойное накрытие — и что S 3 L и S 3 R являются нормальными подгруппами SO(4). Тождественное вращение I и центральная инверсия − I образуют группу C 2 порядка 2, которая является центром SO(4), а также S 3 L и S 3 R . Центром группы является нормальная подгруппа этой группы. Фактор-группа C 2 в SO(4) изоморфна SO(3) × SO(3). Каждая фактор-группа S 3 L по C 2 и S 3 R по C 2 изоморфна SO(3). Аналогично, каждая фактор-группа SO(4) по S 3 L и SO(4) по S 3 R изоморфна SO(3).
Топология SO(4) такая же, как у группы Ли SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2) , а именно пространство , где — вещественное проективное пространство размерности 3 и 3 -сфера . Однако примечательно, что SO(4) как группа Ли не является прямым произведением групп Ли и поэтому не изоморфна SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2 ) .
Нечетномерные группы вращений не содержат центральной инверсии и являются простыми группами .
Группы четномерного вращения содержат центральную инверсию − I и имеют группу C 2 = { I , − I } в качестве своего центра . Для четного n ≥ 6 группа SO(n) почти проста, поскольку фактор-группа SO(n)/C 2 группы SO(n) по ее центру является простой группой.
SO(4) отличается: в SO(4) нет сопряжения , которое преобразует лево- и правоизоклинические вращения друг в друга. Отражения путем сопряжения преобразуют левоизоклиническое вращение в правоизоклиническое и наоборот. Это означает, что под группой O(4) всех изометрий с неподвижной точкой O различные подгруппы S 3 L и S 3 R сопряжены друг с другом и поэтому не могут быть нормальными подгруппами группы O(4). Группа 5D-вращения SO(5) и все более высокие группы вращений содержат подгруппы, изоморфные O(4). Как и SO(4), все четномерные группы вращений содержат изоклинические вращения. Но в отличие от SO(4), в SO(6) и всех более высоких группах четномерных вращений любые два изоклинических поворота на один и тот же угол сопряжены. Множество всех изоклинических вращений не является даже подгруппой SO(2 N ), не говоря уже о нормальной подгруппе.
SO (4) обычно отождествляется с группой сохраняющих ориентацию изометрических линейных отображений четырехмерного векторного пространства со скалярным произведением действительных чисел на себя.
По отношению к ортонормированному базису в таком пространстве SO(4) представляется как группа вещественных ортогональных матриц 4-го порядка с определителем +1. [4]
Четырехмерное вращение, заданное его матрицей, разлагается на левоизоклиническое и правоизоклиническое вращение [5] следующим образом:
Позволять
— его матрица относительно произвольного ортонормированного базиса.
Вычислите отсюда так называемую ассоциативную матрицу
M имеет ранг один и имеет единичную евклидову норму как 16D вектор тогда и только тогда, когда A действительно является 4D матрицей вращения. В этом случае существуют действительные числа a , b , c , d и p , q , r , s такие, что
и
Существует ровно два набора a , b , c , d и p , q , r , s такие, что a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1 и p 2 + q 2 + r 2 + s 2 = 1. . Они являются противоположностями друг друга.
Матрица вращения тогда равна
Эта формула принадлежит Ван Эльфринкхофу (1897).
Первый фактор в этом разложении представляет собой левоизоклиническое вращение, второй фактор - правоизоклиническое вращение. Коэффициенты определяются с точностью до отрицательной единичной матрицы 4-го порядка , т.е. до центральной инверсии.
Точка в 4-мерном пространстве с декартовыми координатами ( u , x , y , z ) может быть представлена кватернионом P = u + xi + yj + zk .
Левоизоклиническое вращение представлено умножением слева на единичный кватернион Q L = a + bi + cj + dk . На матрично-векторном языке это
Аналогично, правоизоклиническое вращение представляется умножением вправо на единичный кватернион Q R = p + qi + rj + sk , который находится в матрично-векторной форме.
В предыдущем разделе (#Изоклиническое разложение) показано, как общее четырехмерное вращение разбивается на лево- и право-изоклинические факторы.
На языке кватернионов формула Ван Эльфринкхофа гласит:
или, в символической форме,
По словам немецкого математика Феликса Кляйна, эта формула была известна Кэли уже в 1854 году .
Умножение кватернионов ассоциативно . Поэтому,
который показывает, что левоизоклиническое и правоизоклиническое вращения коммутируют.
Четыре собственных значения четырехмерной матрицы вращения обычно представляют собой две сопряженные пары комплексных чисел единичной величины. Если собственное значение действительно, оно должно быть ±1, поскольку вращение оставляет величину вектора неизменной. Сопряженное с этим собственным значением также равно единице, что дает пару собственных векторов, которые определяют фиксированную плоскость, и поэтому вращение является простым. В обозначениях кватернионов правильное (т. е. неинвертирующее) вращение в SO(4) является правильным простым вращением тогда и только тогда, когда вещественные части единичных кватернионов Q L и Q R равны по величине и имеют одинаковый знак. [c] Если они оба равны нулю, все собственные значения вращения равны единице, а вращение является нулевым вращением. Если действительные части Q L и Q R не равны, то все собственные значения являются комплексными, и вращение представляет собой двойное вращение.
Наше обычное трехмерное пространство удобно рассматривать как подпространство с системой координат 0XYZ четырехмерного пространства с системой координат UXYZ. Ее группа вращения SO(3) отождествляется с подгруппой SO(4), состоящей из матриц
В формуле Ван Эльфринкхофа в предыдущем подразделе это ограничение на три измерения приводит к p = a , q = - b , r = - c , s = - d или в представлении кватернионов: Q R = Q L ′ = Q L −1 . Матрица трехмерного вращения затем становится формулой Эйлера-Родригеса для трехмерного вращения.
которое представляет собой трехмерное вращение его параметрами Эйлера-Родригеса : a , b , c , d .
Соответствующая формула кватернионов P′ = QPQ −1 , где Q = Q L , или в развернутом виде:
известна как формула Гамильтона – Кэли .
Вращение в трехмерном пространстве становится математически более управляемым благодаря использованию сферических координат . Любое вращение в 3D можно охарактеризовать фиксированной осью вращения и инвариантной плоскостью, перпендикулярной этой оси. Без ограничения общности мы можем принять плоскость xy в качестве инвариантной плоскости, а ось z в качестве фиксированной оси. Поскольку вращение не влияет на радиальные расстояния, мы можем охарактеризовать вращение по его влиянию на единичную сферу (2-сферу) с помощью сферических координат , отнесенных к неподвижной оси и инвариантной плоскости:
Поскольку x 2 + y 2 + z 2 = 1 , точки лежат на 2-сфере. Точка в { θ 0 , φ 0 } , повёрнутая на угол φ вокруг оси z , определяется просто { θ 0 , φ 0 + φ } . Хотя гиперсферические координаты также полезны при четырехмерном вращении, еще более полезная система координат для четырехмерного вращения обеспечивается координатами Хопфа { ξ 1 , η , ξ 2 } , [6] которые представляют собой набор из трех угловых координат, определяющих положение на 3-сфера. Например:
Поскольку u 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1 , точки лежат на 3-сфере.
В четырехмерном пространстве каждое вращение вокруг начала координат имеет две инвариантные плоскости, которые полностью ортогональны друг другу, пересекаются в начале координат и поворачиваются на два независимых угла ξ 1 и ξ 2 . Без ограничения общности в качестве этих инвариантных плоскостей можно выбрать соответственно uz- и xy -плоскости. Поворот в 4D точки { ξ 10 , η 0 , ξ 20 } на углы ξ 1 и ξ 2 тогда просто выражается в координатах Хопфа как { ξ 10 + ξ 1 , η 0 , ξ 20 + ξ 2 } .
Каждое вращение в трехмерном пространстве имеет фиксированную ось, не изменяющуюся при вращении. Вращение полностью задается путем указания оси вращения и угла поворота вокруг этой оси. Без ограничения общности эту ось можно выбрать в качестве оси z декартовой системы координат, что позволяет упростить визуализацию вращения.
В трехмерном пространстве сферические координаты { θ , φ } можно рассматривать как параметрическое выражение двухсферы. При фиксированном θ они описывают круги на 2-сфере, перпендикулярные оси z , и эти круги можно рассматривать как траектории точки на сфере. Точка { θ 0 , φ 0 } на сфере при вращении вокруг оси z будет следовать по траектории { θ 0 , φ 0 + φ } при изменении угла φ . Траекторию можно рассматривать как параметрическое во времени вращение, где угол поворота линеен во времени: φ = ωt , где ω является «угловой скоростью».
Аналогично трехмерному случаю, каждое вращение в четырехмерном пространстве имеет как минимум две инвариантные оси-плоскости, которые остаются инвариантными при вращении и полностью ортогональны (т.е. пересекаются в точке). Вращение полностью задается путем указания плоскостей осей и углов поворота вокруг них. Без ограничения общности эти плоскости осей могут быть выбраны в качестве плоскостей uz и xy декартовой системы координат, что позволяет упростить визуализацию вращения.
В 4D-пространстве углы Хопфа { ξ 1 , η , ξ 2 } параметризуют 3-сферу. При фиксированном η они описывают тор, параметризованный ξ 1 и ξ 2 , причем η =π/4являющийся частным случаем тора Клиффорда в плоскостях xy и uz . Эти торы не являются обычными торами, встречающимися в трехмерном пространстве. Хотя они по-прежнему являются 2D-поверхностями, они встроены в 3-сферу. 3-сферу можно стереографически спроецировать на все евклидово 3D-пространство, и эти торы затем рассматриваться как обычные торы вращения. Можно видеть, что точка, заданная { ξ 10 , η 0 , ξ 20 } , испытывающая вращение с инвариантом uz - и xy -плоскостей, останется на торе, заданном η 0 . [7] Траекторию точки можно записать как функцию времени как { ξ 10 + ω 1 t , η 0 , ξ 20 + ω 2 t } и стереографически спроецировать на связанный с ней тор, как показано на рисунках ниже. [8] На этих рисунках за начальную точку принята {0,π/4, 0} , т. е. на торе Клиффорда. На рис. 1 две простые траектории вращения показаны черным цветом, а левая и правая изоклинические траектории показаны красным и синим соответственно. На рис. 2 показано общее вращение, при котором ω 1 = 1 и ω 2 = 5 , а на рис. 3 показано общее вращение, при котором ω 1 = 5 и ω 2 = 1 .
Четырехмерное вращение можно получить из формулы вращения Родригеса и формулы Кэли. Пусть A — кососимметричная матрица размера 4 × 4 . Кососимметричная матрица A однозначно разлагается как
на две кососимметричные матрицы A 1 и A 2 , удовлетворяющие свойствам A 1 A 2 = 0 , A 1 3 = − A 1 и A 2 3 = − A 2 , где ∓ θ 1 i и ∓ θ 2 i — собственные значения А. _ _ Затем 4D-матрицы вращения могут быть получены из кососимметричных матриц A 1 и A 2 с помощью формулы вращения Родригеса и формулы Кэли. [9]
Пусть A — ненулевая кососимметричная матрица размера 4 × 4 с набором собственных значений
Тогда A можно разложить как
где A 1 и A 2 — кососимметричные матрицы, удовлетворяющие свойствам
При этом кососимметричные матрицы A 1 и A 2 однозначно получаются как
и
Затем,
— матрица вращения в E 4 , которая генерируется формулой вращения Родригеса, с набором собственных значений
Также,
является матрицей вращения в E 4 , которая генерируется формулой вращения Кэли, так что набор собственных значений R равен:
Генерирующая матрица вращения может быть классифицирована по значениям θ 1 и θ 2 следующим образом:
{{cite journal}}
: Требуется цитировать журнал |journal=
( помощь )