SQ-универсальная группа

Тип счетной группы в теории групп

В математике , в области теории групп , счетная группа называется SQ-универсальной , если каждая счетная группа может быть вложена в одну из ее факторгрупп . SQ-универсальность можно рассматривать как меру размера или сложности группы.

История

Многие классические результаты комбинаторной теории групп, восходящие к 1949 году, теперь интерпретируются как утверждение, что конкретная группа или класс групп являются SQ-универсальными. Однако первое явное использование этого термина, по-видимому, относится к выступлению Питера Ноймана на Лондонском алгебраическом коллоквиуме под названием "SQ-универсальные группы" 23 мая 1968 года.

Примеры SQ-универсальных групп

В 1949 году Грэм Хигман , Бернхард Нойман и Ханна Нойман доказали, что каждая счетная группа может быть вложена в группу с двумя образующими. ^[1] Используя современный язык SQ-универсальности, этот результат говорит, что F ₂ , свободная группа (неабелева ) с двумя образующими , является SQ-универсальной. Это первый известный пример SQ-универсальной группы. Сейчас известно гораздо больше примеров:

• Добавление двух генераторов и одного произвольного отношения к нетривиальной группе без кручения всегда приводит к SQ-универсальной группе. ^[2]
• Любая неэлементарная группа, которая является гиперболической относительно набора собственных подгрупп, является SQ-универсальной. ^[3]
• Множество расширений HNN , бесплатные продукты и бесплатные продукты с объединением . ^{[4] [5] [6]}
• Группа Коксетера с четырьмя генераторами и представлением : ^[7]

${\displaystyle P=\left\langle a,b,c,d\,|\,a^{2}=b^{2}=c^{2}=d^{2}=(ab)^{3}=(bc)^{3}=(ac)^{3}=(ad)^{3}=(cd)^{3}=(bd)^{3}=1\right\rangle }$

• Пример Чарльза Ф. Миллера III конечно представленной SQ-универсальной группы, все нетривиальные факторы которой имеют неразрешимую проблему слов . ^[8]

Кроме того, теперь известны гораздо более сильные версии теоремы Хигмана-Неймана-Неймана. Ульд Хоусин доказал:

Для каждой счетной группы G существует 2-порождающая SQ-универсальная группа H такая, что G может быть вложена в каждый нетривиальный фактор группы H. [ ^9]

Некоторые элементарные свойства SQ-универсальных групп

Свободная группа со счетным числом образующих h ₁ , h ₂ , ..., h _n , ... , скажем, должна быть вложима в фактор SQ-универсальной группы G . Если выбраны так, что для всех n , то они должны свободно порождать свободную подгруппу G . Следовательно: ${\displaystyle h_{1}^{*},h_{2}^{*},\dots ,h_{n}^{*}\dots \in G}$ ${\displaystyle h_{n}^{*}\mapsto h_{n}}$

Каждая SQ-универсальная группа имеет в качестве подгруппы свободную группу со счетным числом образующих.

Поскольку каждая счетная группа может быть вложена в счетную простую группу , часто достаточно рассмотреть вложения простых групп. Это наблюдение позволяет нам легко доказать некоторые элементарные результаты о SQ-универсальных группах, например:

Если G является SQ-универсальной группой, а N является нормальной подгруппой G (т.е. ) , то либо N является SQ-универсальной, либо фактор-группа G / N является SQ-универсальной. ${\displaystyle N\triangleleft G}$

Чтобы доказать это, предположим, что N не является SQ-универсальной, тогда существует счетная группа K , которая не может быть вложена в фактор-группу N. Пусть H — любая счетная группа, тогда прямое произведение H × K также счетно и, следовательно, может быть вложено в счетную простую группу S. Теперь, по предположению, G является SQ-универсальной, поэтому S может быть вложена в фактор-группу, G / M , скажем, группы G. Вторая теорема об изоморфизме гласит:

${\displaystyle MN/M\cong N/(M\cap N)}$

Теперь и S является простой подгруппой G / M, поэтому либо: ${\displaystyle MN/M\triangleleft G/M}$

${\displaystyle MN/M\cap S\cong 1}$

или:

${\displaystyle S\subseteq MN/M\cong N/(M\cap N)}$.

Последнее не может быть верным, поскольку это подразумевает K ⊆ H × K ⊆ S ⊆ N /( M ∩ N ) вопреки нашему выбору K . Отсюда следует, что S может быть вложена в ( G / M )/( MN / M ), которая по третьей теореме об изоморфизме изоморфна G / MN , которая в свою очередь изоморфна ( G / N )/( MN / N ). Таким образом, S была вложена в фактор-группу G / N , и поскольку H ⊆ S было произвольной счетной группой, отсюда следует, что G / N является SQ-универсальной.

Так как каждая подгруппа H конечного индекса в группе G содержит нормальную подгруппу N также конечного индекса в G , ^[10] отсюда легко следует, что:

Если группа G является SQ-универсальной, то таковой является любая конечная подгруппа индекса H группы G. Обратное утверждение также верно. ^[11]

Варианты и обобщения SQ-универсальности

В литературе встречается несколько вариантов универсальности SQ. Читатель должен быть предупрежден, что терминология в этой области еще не полностью стабильна, и ему следует читать этот раздел с учетом этой оговорки.

Пусть — класс групп. (В этом разделе группы определяются с точностью до изоморфизма ) Группа G называется SQ-универсальной в классе , если и каждая счетная группа из изоморфна подгруппе факторгруппы G . Можно доказать следующий результат: ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Пусть n , m ∈ Z , где m нечетно, и m > 1, и пусть B ( m , n ) — свободная m-порождающая группа Бернсайда , тогда каждая нециклическая подгруппа группы B ( m , n ) является SQ-универсальной в классе групп экспоненты n . ${\displaystyle n>10^{78}}$

Пусть — класс групп. Группа G называется SQ-универсальной для класса , если каждая группа из изоморфна подгруппе факторгруппы G. Обратите внимание, что нет требования, чтобы ни одна из групп не была счетной. ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {P}}}$

Стандартное определение SQ-универсальности эквивалентно SQ-универсальности как в классе счетных групп, так и для него .

Для данной счетной группы G назовем SQ-универсальную группу H G -стабильной , если каждая нетривиальная фактор-группа H содержит копию G. Пусть — класс конечно представленных SQ-универсальных групп, которые являются G -стабильными для некоторого G, тогда версия теоремы HNN Хоусина может быть переформулирована как: ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Свободная группа на двух генераторах является SQ-универсальной для . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Однако существует несчетное число конечно порождённых групп, а счётная группа может иметь только счётное число конечно порождённых подгрупп. Из этого легко видеть, что:

Ни одна группа не может быть SQ- универсальной . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Бесконечный класс групп является обертываемым, если для любых групп существует простая группа S и группа, такие что F и G могут быть вложены в S , а S может быть вложена в H. Это легко доказать: ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle F,G\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle H\in {\mathcal {P}}}$

Если — обертываемый класс групп, то G является SQ-универсальным для , и тогда либо N является SQ-универсальным для , либо G / N является SQ-универсальным для . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle N\triangleleft G}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Если — обертываемый класс групп и H имеет конечный индекс в G, то G является SQ-универсальным для класса тогда и только тогда, когда H является SQ-универсальным для . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Мотивация для определения класса wrappable исходит из таких результатов, как теорема Буна-Хигмана, которая утверждает, что счетная группа G имеет разрешимую проблему со словами тогда и только тогда, когда она может быть вложена в простую группу S , которая может быть вложена в конечно представленную группу F. Хоусин показал, что группа F может быть построена так, чтобы она также имела разрешимую проблему со словами. Это вместе с тем фактом, что взятие прямого произведения двух групп сохраняет разрешимость проблемы со словами, показывает, что:

Класс всех конечно представленных групп с разрешимой проблемой тождества является оборачиваемым.

Другими примерами оборачиваемых классов групп являются:

• Класс конечных групп .
• Класс групп без кручения.
• Класс счетных групп без кручения.
• Класс всех групп заданной бесконечной мощности .

Тот факт, что класс является обертываемым, не означает, что любые группы являются SQ-универсальными для . Например, очевидно, что требуется некое ограничение мощности для членов . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Если заменить фразу «изоморфен подгруппе фактора» на «изоморфен подгруппе» в определении «SQ-универсальный», то получим более сильное понятие S-универсальности (соответственно S-универсальности для/в ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ). Теорему вложения Хигмана можно использовать для доказательства того, что существует конечно представленная группа, которая содержит копию каждой конечно представленной группы. Если — класс всех конечно представленных групп с разрешимой проблемой тождества слов, то известно, что не существует единого алгоритма для решения проблемы тождества слов для групп из . Из этого следует, хотя доказательство и не такое прямолинейное, как можно было бы ожидать, что никакая группа из не может содержать копию каждой группы из . Но ясно, что любая SQ-универсальная группа является тем более SQ-универсальной для . Если мы допустим — класс конечно представленных групп, а F ₂ — свободную группу с двумя образующими, то мы можем подытожить это следующим образом: ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

• F ₂ является SQ-универсальным в и . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$
• Существует группа, которая является S-универсальной в . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• Ни одна группа не является S-универсальной в . ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$

Открытыми остаются следующие вопросы (второй подразумевает первый):

• Существует ли счетная группа, которая не является SQ-универсальной, но является SQ-универсальной для ? ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$
• Существует ли счетная группа, которая не является SQ-универсальной, но является SQ-универсальной в ? ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$

Хотя доказать, что F2 является SQ-универсальным, довольно сложно _, тот факт, что он является SQ-универсальным для класса конечных групп, легко следует из следующих двух фактов:

• Каждая симметрическая группа на конечном множестве может быть создана двумя элементами
• Каждая конечная группа может быть вложена в симметрическую группу — естественной такой группой является группа Кэли , которая является симметрической группой, действующей на этой группе как на конечном множестве.

SQ-универсальность в других категориях

Если — категория и — класс объектов из , то определение SQ-универсальности для , очевидно, имеет смысл. Если — конкретная категория , то определение SQ-универсальности в также имеет смысл. Как и в теоретико-групповом случае, мы используем термин SQ-универсальность для объекта, который является SQ-универсальным как для , так и в классе счетных объектов из . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Многие теоремы о вложении можно переформулировать в терминах SQ-универсальности. Теорема Ширшова о том, что алгебра Ли конечной или счетной размерности может быть вложена в алгебру Ли с 2-порождениями, эквивалентна утверждению, что свободная алгебра Ли с 2-порождениями является SQ-универсальной (в категории алгебр Ли). Это можно доказать, доказав версию теоремы Хигмана, Неймана, Неймана для алгебр Ли. ^[12] Однако версии теоремы HNN можно доказать для категорий, где нет четкого представления о свободном объекте. Например, можно доказать, что каждая отделимая топологическая группа изоморфна топологической подгруппе группы, имеющей два топологических порождающих (то есть имеющей плотную подгруппу с 2-порождениями). ^[13]

Аналогичное понятие справедливо для свободных решеток . Свободная решетка в трех образующих счетно бесконечна. Она имеет в качестве подрешетки свободную решетку в четырех образующих, и, по индукции, в качестве подрешетки свободную решетку в счетном числе образующих. ^[14]

Ссылки

1. G. Higman, BH Neumann и H. Neumann, «Теоремы вложения для групп», J. London Math. Soc. 24 (1949), 247-254
2. Антон А. Клячко, «SQ-универсальность однореляторного относительного представления», препринт Arxiv math.GR/0603468, 2006
3. Г. Аржанцева, А. Минасян, Д. Осин, «SQ-универсальность и остаточные свойства относительно гиперболических групп», Журнал алгебры 315 (2007), № 1, стр. 165-177
4. Бенджамин Файн, Марвин Треткофф, «Об универсальности SQ групп HNN», Труды Американского математического общества, т. 73, № 3 (март 1979 г.), стр. 283-290
5. PM Neumann: SQ-универсальность некоторых конечно представленных групп. J. Austral. Math. Soc. 16, 1-6 (1973)
6. К.И. Лоссов, «SQ-универсальность свободных произведений с объединенными конечными подгруппами», Сибирский математический журнал, том 27, номер 6 / ноябрь 1986 г.
7. Мухаммад А. Албар, «О группе Коксетера с четырьмя генераторами», Internat. J. Math & Math. Sci. Vol 24, No 12 (2000), 821-823
8. CF Miller. Проблемы принятия решений для групп — обзор и размышления. В книге «Алгоритмы и классификация в комбинаторной теории групп», страницы 1–60. Springer, 1991.
9. AO Houcine, «Удовлетворение экзистенциальных теорий в конечно представленных группах и некоторые теоремы вложения», Annals of Pure and Applied Logic, том 142, выпуски 1-3, октябрь 2006 г., страницы 351-365
10. Лоусон, Марк В. (1998) Обратные полугруппы: теория частичных симметрий , World Scientific. ISBN  981-02-3316-7 , стр. 52
11. PM Neumann: SQ-универсальность некоторых конечно представленных групп. J. Austral. Math. Soc. 16, 1-6 (1973)
12. AI Lichtman и M. Shirvani, «HNN-расширения алгебр Ли», Proc. American Math. Soc. Vol 125, Number 12, December 1997, 3501-3508
13. Сидней А. Моррис и Владимир Пестов, «Топологическое обобщение теоремы Хигмана-Неймана-Неймана», Исследовательский отчет RP-97-222 (май 1997 г.), Школа математических и вычислительных наук, Университет Виктории в Веллингтоне. См. также J. Group Theory 1 , № 2, 181-187 (1998 г.).
14. Л.А. Скорняков, Элементы теории решеток (1977) Adam Hilger Ltd. (см. стр. 77-78)

• Лоусон, М. В. (1998). Инверсные полугруппы: теория частичных симметрий . World Scientific. ISBN 978-981-02-3316-7.