Тривиальность (математика)

В математике прилагательное тривиальный часто используется для обозначения утверждения или случая, которые можно легко получить из контекста, или объекта, который обладает простой структурой (например, группы , топологические пространства ). ^[1]^[2] Существительное тривиальность обычно относится к простому техническому аспекту некоторого доказательства или определения. Происхождение термина в математическом языке происходит от средневековой программы тривиума , которая отличается от более сложной программы квадривиума . ^[1]^[3] Противоположность тривиальному — нетривиальный , который обычно используется для указания на то, что пример или решение не являются простыми, или что утверждение или теорему нелегко доказать. ^[2]

Суждение о том, является ли рассматриваемая ситуация тривиальной или нет, зависит от того, кто ее рассматривает, поскольку ситуация, очевидно, верна для того, кто имеет достаточные знания или опыт в ней, в то время как для того, кто никогда этого не видел, она может быть даже труднопонятной, так что вообще нетривиальной. И может быть спор о том, насколько быстро и легко должна быть распознана проблема, чтобы ее можно было считать тривиальной. Таким образом, тривиальность не является общепризнанным свойством в математике и логике.

Тривиальные и нетривиальные решения

В математике термин «тривиальный» часто используется для обозначения объектов (например, групп, топологических пространств) с очень простой структурой. К ним относятся, среди прочего:

Пустой набор : набор, не содержащий ни одного элемента или содержащий нулевые элементы.
Тривиальная группа : математическая группа, содержащая только единичный элемент.
Тривиальное кольцо : кольцо, определенное на одноэлементном множестве

« Тривиальный » также может быть использован для описания решений уравнения , которые имеют очень простую структуру, но для полноты картины не могут быть опущены. Такие решения называются тривиальными решениями . Например, рассмотрим дифференциальное уравнение

$y'=y$

где — функция , производная которой равна . Тривиальное решение — нулевая функция $у=у(х)$ $y'$

$у(х)=0$

в то время как нетривиальное решение — это экспоненциальная функция

$y(x)=e^{x}.$

Дифференциальное уравнение с граничными условиями важно в математике и физике, поскольку его можно использовать для описания частицы в ящике в квантовой механике или стоячей волны на струне. Оно всегда включает решение , которое считается очевидным и поэтому называется «тривиальным» решением. В некоторых случаях могут быть и другие решения ( синусоиды ), которые называются «нетривиальными» решениями. ^[4] $f''(x)=-\лямбда f(x)$ $f(0)=f(L)=0$ $f(x)=0$

Аналогично, математики часто описывают последнюю теорему Ферма как утверждение, что не существует нетривиальных целочисленных решений уравнения , где n больше 2. Очевидно, что существуют некоторые решения уравнения. Например, является решением для любого n , но такие решения очевидны и достижимы с небольшими усилиями, и, следовательно, «тривиальны». $а^{n}+b^{n}=c^{n}$ $а=б=с=0$

В математических рассуждениях

Тривиальный может также относиться к любому простому случаю доказательства, который для полноты нельзя игнорировать. Например, доказательства методом математической индукции состоят из двух частей: «базовый случай», который показывает, что теорема верна для определенного начального значения (например, n = 0 или n = 1), и индуктивный шаг, который показывает, что если теорема верна для определенного значения n , то она также верна для значения n + 1. Базовый случай часто тривиален и идентифицируется как таковой, хотя существуют ситуации, когда базовый случай сложен, но индуктивный шаг тривиален. Аналогично, может потребоваться доказать, что некоторое свойство обладают все члены определенного множества. Основная часть доказательства будет рассматривать случай непустого множества и подробно исследовать члены; в случае, когда множество пусто, свойство тривиально обладают все члены пустого множества, поскольку их нет (см. vacuous truth для получения дополнительной информации).

Суждение о том, является ли рассматриваемая ситуация тривиальной или нет, зависит от того, кто ее рассматривает, поскольку ситуация, очевидно, верна для того, кто имеет достаточные знания или опыт в ней, в то время как для того, кто никогда этого не видел, она может быть даже труднопонятной, так что вообще нетривиальной. И может быть спор о том, насколько быстро и легко должна быть распознана проблема, чтобы ее можно было считать тривиальной. Следующие примеры показывают субъективность и неоднозначность суждения о тривиальности.

Тривиальность также зависит от контекста. Доказательство в функциональном анализе , вероятно, при наличии числа, тривиально предполагает существование большего числа. Однако при доказательстве основных результатов о натуральных числах в элементарной теории чисел доказательство вполне может опираться на замечание о том, что любое натуральное число имеет последующее — утверждение, которое само должно быть доказано или принято как аксиома, поэтому не является тривиальным (подробнее см. аксиомы Пеано ).

Тривиальные доказательства

В некоторых текстах тривиальное доказательство относится к утверждению, включающему материальную импликацию P → Q, где следствие Q всегда истинно. ^[5] Здесь доказательство следует немедленно в силу определения материальной импликации, в котором импликация истинна независимо от истинностного значения антецедента P , если следствие зафиксировано как истинное. ^[5]

Связанное понятие – это пустая истина , где антецедент P в материальной импликации P → Q является ложным. ^[5] В этом случае импликация всегда истинна, независимо от истинностного значения консеквента Q – опять же в силу определения материальной импликации. ^[5]

Юмор

В математическом сообществе распространена шутка, что «тривиальный» — это синоним «доказанного», то есть любую теорему можно считать «тривиальной», если известно, что она доказана как истинная. ^[1]
Два математика обсуждают теорему: первый математик говорит, что теорема «тривиальна». В ответ на просьбу другого объяснить, он затем продолжает двадцатиминутное изложение. В конце объяснения второй математик соглашается, что теорема тривиальна. Но можем ли мы сказать, что эта теорема тривиальна, даже если для ее доказательства требуется много времени и усилий?
Когда математик говорит, что теорема тривиальна, но он не может доказать ее самостоятельно в тот момент, когда он произносит ее как тривиальную, является ли теорема тривиальной?
Часто, в качестве шутки, проблема называется «интуитивно очевидной». Например, кто-то опытный в исчислении посчитает следующее утверждение тривиальным: Однако для того, кто не знаком с интегральным исчислением, это не очевидно, поэтому это не тривиально. $\int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}}.$

Примеры

В теории чисел часто бывает важно найти множители целого числа N. Любое число N имеет четыре очевидных множителя: ±1 и ± N. Они называются «тривиальными множителями». Любой другой множитель, если он существует, будет называться «нетривиальным». ^[6]
Однородное матричное уравнение , где — фиксированная матрица, — неизвестный вектор, а — нулевой вектор, имеет очевидное решение . Это называется «тривиальным решением». Любые другие решения, с , называются «нетривиальными». ^[7] $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$ $A$ $\mathbf {x}$ $\mathbf {0}$ $\mathbf {x} =\mathbf {0}$ $\mathbf {x} \neq \mathbf {0}$
В теории групп есть очень простая группа, состоящая всего из одного элемента; ее часто называют «тривиальной группой». Все остальные группы, которые сложнее, называются «нетривиальными».
В теории графов тривиальный граф — это граф, имеющий только одну вершину и не имеющий ребер.
В теории баз данных есть понятие, называемое функциональной зависимостью , записанное . Зависимость истинна, если Y является подмножеством X , поэтому этот тип зависимости называется «тривиальным». Все остальные зависимости, которые менее очевидны, называются «нетривиальными». $X\to Y$ $X\to Y$
Можно показать, что дзета-функция Римана имеет нули при отрицательных четных числах −2, −4, … Хотя доказательство сравнительно простое, этот результат все равно нельзя было бы назвать тривиальным; однако в данном случае это так, поскольку другие ее нули, как правило, неизвестны и имеют важные приложения и включают открытые вопросы (такие как гипотеза Римана ). Соответственно, отрицательные четные числа называются тривиальными нулями функции, в то время как любые другие нули считаются нетривиальными.

Смотрите также

Ссылки

^ abc Weisstein, Eric W. "Trivial". mathworld.wolfram.com . Получено 14.12.2019 .
^ ab "Mathwords: Trivial". www.mathwords.com . Получено 14.12.2019 .
^ Айто, Джон (1990). Словарь происхождения слов . Издательство Техасского университета. С. 542. ISBN 1-55970-214-1. OCLC 33022699.
^ Захманоглу, EC; Тоу, Дейл В. (1986). Введение в уравнения с частными производными и их приложения. Courier Corporation. стр. 309. ISBN 9780486652511.
^ abcd Chartrand, Gary ; Polimeni, Albert D.; Zhang, Ping (2008). Математические доказательства: переход к продвинутой математике (2-е изд.). Бостон: Pearson/Addison Wesley. стр. 68. ISBN 978-0-3-2139053-0.
^ Ян, Сонг И. (2002). Теория чисел для вычислений (2-е, иллюстрированное издание). Берлин: Springer. С. 250. ISBN 3-540-43072-5.
^ Джеффри, Алан (2004). Математика для инженеров и ученых (шестое изд.). CRC Press. стр. 502. ISBN 1-58488-488-6.

Внешние ссылки

Найдите значение слова «тривиальный» в Викисловаре, бесплатном словаре.

Тривиальная запись на MathWorld