Функция с множеством значений

Функция со значениями множества , также называемая соответствием или отношением со значениями множества , представляет собой математическую функцию , которая отображает элементы из одного множества, области определения функции , в подмножества другого множества. ^[1]^[2] Функции со значениями множества используются в различных областях математики, включая оптимизацию , теорию управления и теорию игр .

В некоторых источниках функции со множеством значений также называются многозначными функциями ^[3] , но в данной статье и статье «Многозначная функция» авторы придерживаются мнения, что делают различие.

Отличие от многозначных функций

Хотя другие авторы могут различать их по-разному (или не различать вообще), Вриггерс и Панатиотопулос (2014) отличают многозначные функции от функций со значениями множества (которые они назвали отношениями со значениями множества ) тем фактом, что многозначные функции принимают несколько значений только в конечном (или счетном) числе точек, а в остальном ведут себя как функция . ^[2] Геометрически это означает, что график многозначной функции обязательно представляет собой линию нулевой площади, которая не образует петель, в то время как график отношения со значениями множества может содержать сплошные заполненные области или петли. ^[2]

Альтернативно, многозначная функция — это функция $f$ со множеством значений, которая имеет еще одно свойство непрерывности , а именно, что выбор элемента в наборе определяет соответствующий элемент в каждом наборе для $y,$ близкого к $x , и, таким образом,$ локально определяет обычную функцию. $f(x)$ $f(y)$

Пример

Argmax функции в общем случае многозначен. Например, . $\operatorname {argmax} _{x\in \mathbb {R} }\cos(x)=\{2\pi k\mid k\in \mathbb {Z} \}$

Анализ с множеством значений

Множественнозначный анализ — это изучение множеств в духе математического анализа и общей топологии .

Вместо того, чтобы рассматривать наборы только точек, многозначный анализ рассматривает наборы наборов. Если набор наборов наделен топологией или наследует соответствующую топологию из базового топологического пространства, то можно изучать сходимость наборов.

Большая часть анализа со значениями множеств возникла в результате изучения математической экономики и оптимального управления , частично как обобщение выпуклого анализа ; термин « вариационный анализ » используется такими авторами, как Р. Тиррелл Рокафеллар и Роджер Дж. Б. Уэтс , Джонатан Борвейн и Адриан Льюис , а также Борис Мордухович . В теории оптимизации сходимость аппроксимирующих субдифференциалов к субдифференциалу важна для понимания необходимых или достаточных условий для любой минимизирующей точки.

Существуют многозначные расширения следующих концепций из точечного анализа: непрерывность , дифференциация , интегрирование , ^[4] теорема о неявной функции , сжимающие отображения , теория меры , теоремы о неподвижной точке , ^[5] оптимизация и топологическая теория степени . В частности, уравнения обобщаются на включения , в то время как дифференциальные уравнения обобщаются на дифференциальные включения .

Можно выделить несколько концепций, обобщающих непрерывность , например, свойство замкнутого графика и геминепрерывность сверху и снизу ^[a] . Существуют также различные обобщения меры на мультифункции.

Приложения

Функции со значениями множества возникают в теории оптимального управления , особенно в дифференциальных включениях и связанных с ними предметах, таких как теория игр , где теорема Какутани о неподвижной точке для функций со значениями множества была применена для доказательства существования равновесий Нэша . Это среди многих других свойств, слабо связанных с аппроксимируемостью верхних геминепрерывных мультифункций через непрерывные функции, объясняет, почему верхняя геминепрерывность более предпочтительна, чем нижняя геминепрерывность.

Тем не менее, полунепрерывные снизу мультифункции обычно обладают непрерывными выборками, как указано в теореме выбора Майкла , которая дает другую характеристику паракомпактных пространств. ^[6]^[7] Другие теоремы выбора, такие как направленный непрерывный выбор Брессана-Коломбо, теорема измеримого выбора Куратовского и Рылля-Нардзевского , измеримый выбор Ауманна и выбор Фрышковского для разложимых отображений, важны в оптимальном управлении и теории дифференциальных включений .

Примечания

^ Некоторые авторы используют термин «полунепрерывный» вместо «геминепрерывный».

Ссылки

^ Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2013-03-14). Анализ бесконечных измерений: путеводитель для путешествующих автостопом. Springer Science & Business Media. стр. 523. ISBN 978-3-662-03961-8.
^ abc Риггерс, Питер; Панатиотопулос, Панайотис (4 мая 2014 г.). Новые разработки в контактных задачах. Спрингер. п. 29. ISBN 978-3-7091-2496-3.
^ Реповш, Душан (1998). Непрерывные выборки многозначных отображений. Павел Владимирович. Семенов. Дордрехт: Клювер Академик. ISBN 0-7923-5277-7. OCLC 39739641.
^ Ауманн, Роберт Дж. (1965). «Интегралы функций со значениями множества». Журнал математического анализа и приложений . 12 (1): 1–12. doi : 10.1016/0022-247X(65)90049-1 .
^ Какутани, Сидзуо (1941). «Обобщение теоремы Брауэра о неподвижной точке». Duke Mathematical Journal . 8 (3): 457–459. doi :10.1215/S0012-7094-41-00838-4.
↑ Эрнест Майкл (март 1956 г.). «Непрерывные выборки. I» (PDF) . Annals of Mathematics . Вторая серия. 63 (2): 361–382. doi :10.2307/1969615. hdl :10338.dmlcz/119700. JSTOR 1969615.
^ Душан Реповш ; П. В. Семенов (2008). «Эрнест Майкл и теория непрерывных выборов». Topology Appl . 155 (8): 755–763. arXiv : 0803.4473 . doi :10.1016/j.topol.2006.06.011. S2CID 14509315.

Дальнейшее чтение

К. Даймлинг, Многозначные дифференциальные уравнения , Вальтер де Грюйтер, 1992
CD Aliprantis и KC Border, Анализ бесконечных измерений. Путеводитель для путешествующих автостопом , Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006
J. Andres и L. Górniewicz, Топологические принципы неподвижной точки для краевых задач , Kluwer Academic Publishers, 2003
J.-P. Aubin и A. Cellina, Дифференциальные включения, многозначные отображения и теория выживаемости , Grundl. der Math. Wiss. 264, Springer - Verlag, Берлин, 1984
J.-P. Aubin и H. Frankowska , Анализ множеств , Birkhäuser, Базель, 1990
Д. Реповш и П.В. Семенов, Непрерывные выборки многозначных отображений, Kluwer Academic Publishers, Дордрехт, 1998
EU Tarafdar и MSR Chowdhury, Топологические методы для многозначного нелинейного анализа, World Scientific, Сингапур, 2008
Митрой, Ф.-К.; Никодем, К.; Вонсович, С. (2013). «Неравенства Эрмита-Адамара для выпуклых многозначных функций». Демонстрация математики . 46 (4): 655–662. дои : 10.1515/dema-2013-0483 .