Мера Синая – Рюэля – Боуэна

Инвариантная мера, демонстрирующая менее ограниченную форму эргодичности

В математической дисциплине эргодической теории мера Синая–Рюэля–Боуэна (SRB) является инвариантной мерой , которая ведет себя подобно эргодической мере, но не является ею. Чтобы быть эргодической, среднее по времени должно быть равно среднему по пространству для почти всех начальных состояний , причем является фазовым пространством . ^[1] Для меры SRB достаточно, чтобы условие эргодичности было справедливо для начальных состояний в наборе положительной меры Лебега . ^[2] ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle B(\mu )}$

Первоначальные идеи, относящиеся к мерам SRB, были введены Яковом Синаем , Дэвидом Рюэллем и Руфусом Боуэном в менее общей области диффеоморфизмов Аносова и аттракторов аксиомы А. ^{[3] [4] [5} ]

Определение

Пусть будет отображением . Тогда мера, определенная на , является мерой SRB , если существуют положительные меры Лебега, и с той же мерой Лебега, такие, что: ^{[2] [6]} ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle V\subset U}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n}\varphi (T^{i}x)=\int _{U}\varphi \,d\mu }$

для каждой непрерывной функции . ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle \varphi :U\rightarrow \mathbb {R} }$

Меру SRB можно рассматривать как удовлетворяющую выводам эргодической теоремы Биркгофа на меньшем множестве, содержащемся в . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$

Наличие мер SRB

Следующая теорема устанавливает достаточные условия для существования мер SRB. Она рассматривает случай аттракторов Аксиомы А, который проще, но был расширен на более общие сценарии. ^[7]

Теорема 1: ^[7] Пусть будет диффеоморфизмом с аттрактором Аксиомы А. Предположим, что этот аттрактор неприводим , то есть он не является объединением двух других множеств, которые также инвариантны относительно . Тогда существует единственная борелевская мера , с , ^[a] характеризуемая следующими эквивалентными утверждениями: ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subset X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (X)=1}$

1. ${\displaystyle \mu }$является мерой SRB;
2. ${\displaystyle \mu }$имеет абсолютно непрерывные меры, обусловленные неустойчивым многообразием и его подмногообразиями;
3. ${\displaystyle h(T)=\int \log {{\bigl |}\det(DT)|_{E^{u}}{\bigr |}}\,d\mu }$, где — энтропия Колмогорова–Синая , — неустойчивое многообразие, — дифференциальный оператор . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle E^{u}}$ ${\displaystyle D}$

Также в этих условиях существует динамическая система, сохраняющая меру . ${\displaystyle \left(T,X,{\mathcal {B}}(X),\mu \right)}$

Также было доказано, что вышеизложенное эквивалентно утверждению, что равно пределу нулевого шума стационарного распределения цепи Маркова с состояниями . ^[8] То есть, предположим, что с каждой точкой связана вероятность перехода с уровнем шума , который измеряет величину неопределенности следующего состояния, таким образом, что: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T^{i}(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle P_{\varepsilon }(\cdot \mid x)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0}P_{\varepsilon }(\cdot \mid x)=\delta _{Tx}(\cdot ),}$

где — мера Дирака . Предел нулевого шума — это стационарное распределение этой цепи Маркова, когда уровень шума приближается к нулю. Важность этого в том, что математически это утверждает, что мера SRB является «хорошим» приближением к практическим случаям, где существуют небольшие количества шума, ^[8] хотя ничего нельзя сказать о количестве шума, которое является допустимым. ${\displaystyle \delta }$

Смотрите также

• Квазиинвариантная мера
• Теорема Крылова–Боголюбова
• мера Гиббса

Примечания

1. Если он не интегрируется в единицу, то таких мер будет бесконечное множество, каждая из которых будет равна другой, за исключением мультипликативной константы.

Ссылки

1. Уолтерс, Питер (2000). Введение в эргодическую теорию . Springer.
2. Bonatti, C.; Viana, M. (2000). «Меры SRB для частично гиперболических систем, центральное направление которых в основном сжимается». Israel Journal of Mathematics . 115 (1): 157–193. doi : 10.1007/BF02810585 . S2CID  10139213.
3. Боуэн, Роберт Эдвард (1975). "Эргодическая теория диффеоморфизмов аксиомы А". Равновесные состояния и эргодическая теория диффеоморфизмов Аносова . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 470. Springer. pp. 63–76. doi : 10.1007/978-3-540-77695-6_4 .
4. Рюэль, Дэвид (1976). «Мера, связанная с аттракторами аксиомы А». American Journal of Mathematics . 98 (3): 619–654. doi :10.2307/2373810. JSTOR  2373810.
5. Синай, Яков Г. (1972). «Меры Гиббса в эргодической теории». Математические обзоры . 27 (4): 21–69. doi :10.1070/RM1972v027n04ABEH001383.
6. Мецгер, Р.Дж. (2000). «Меры Синая – Рюэля – Боуэна для сжатия карт и потоков Лоренца». Анналы Института Анри Пуанкаре С. 17 (2): 247–276. Бибкод : 2000AIHPC..17..247M. дои : 10.1016/S0294-1449(00)00111-6 .
7. Young, LS (2002). «Что такое меры SRB и какие динамические системы их имеют?». Журнал статистической физики . 108 (5–6): 733–754. doi :10.1023/A:1019762724717. S2CID  14403405.
8. Cowieson, W.; Young, LS (2005). «Меры SRB как пределы нулевого шума». Эргодическая теория и динамические системы . 25 (4): 1115–1138. doi :10.1017/S0143385704000604. S2CID  15640353.