Сферическая тригонометрия

Сферическая тригонометрия — раздел сферической геометрии , изучающий метрические соотношения между сторонами и углами сферических треугольников , традиционно выражаемые с помощью тригонометрических функций . На сфере геодезические представляют собой большие круги . Сферическая тригонометрия имеет большое значение для расчетов в астрономии , геодезии и навигации .

Истоки сферической тригонометрии в греческой математике и основные достижения исламской математики подробно обсуждаются в « Истории тригонометрии и математики в средневековом исламе ». Эта тема получила свое развитие в раннее Новое время благодаря важным разработкам Джона Нэпьера , Деламбра и других и достигла практически завершенной формы к концу девятнадцатого века с публикацией учебника Тодхантера « Сферическая тригонометрия» для использования в колледжах и школах . ^[1] С тех пор значительным развитием стало применение векторных методов, методов кватернионов и использование численных методов.

Предварительные сведения

Сферические многоугольники

Сферический многоугольник — это многоугольник на поверхности сферы. Его стороны представляют собой дуги больших кругов — сферическая геометрия, эквивалентная отрезкам прямой в плоской геометрии .

Такие многоугольники могут иметь любое количество сторон, превышающее 1. Двусторонние сферические многоугольники — луны , также называемые дигонами или двуугольниками — ограничены двумя дугами большого круга: знакомым примером является изогнутая обращенная наружу поверхность сегмента. апельсина. Три дуги определяют сферический треугольник, основной предмет этой статьи. Аналогичным образом определяются многоугольники с большим числом сторон (4-сторонние сферические четырехугольники, 5-сторонние сферические пятиугольники и т. д.). Аналогично своим плоским аналогам, сферические многоугольники с числом сторон более трех всегда можно рассматривать как композицию сферических треугольников.

Одним из сферических многоугольников с интересными свойствами является pentagramma mirificum , пятисторонний сферический многоугольник со звездой и прямым углом в каждой вершине.

С этого момента в статье обсуждение будет ограничиваться сферическими треугольниками, называемыми просто треугольниками .

Обозначения

И вершины , и углы при вершинах треугольника обозначаются одинаковыми заглавными буквами $A$ , $B$ и $C.$
Стороны обозначаются строчными буквами: $a$ , $b$ и $c$ .
Угол A (соответственно $B$ и $C ) можно рассматривать либо как угол$ $между$ двумя плоскостями, пересекающими сферу в вершине $A$ , либо, что то же самое, как угол между касательными дуг большого круга, где они встречаются в вершине A. вершина.
Углы выражаются в радианах . Углы правильных сферических треугольников (по соглашению) меньше $π$ , так что $\pi <A+B+C<3\pi$ (Тодхантер, ^[1] ст.22,32).

В частности, сумма углов сферического треугольника строго больше суммы углов треугольника, определенного на евклидовой плоскости, которая всегда равна ровно $π$ радиан.

Стороны также выражаются в радианах. Сторона (рассматриваемая как дуга большого круга) измеряется углом, который она образует в центре. На единичной сфере эта радианная мера численно равна длине дуги. По соглашению стороны правильных сферических треугольников меньше $π$ , так что $0<a+b+c<2\pi$ (Тодхантер, ^[1] ст.22,32).
Радиус сферы принят за единицу. Для конкретных практических задач на сфере радиуса $R$ измеренные длины сторон необходимо разделить на $R$ , прежде чем использовать приведенные ниже тождества. Аналогично, после расчета на единичной сфере стороны $a$ , $b$ и $c$ должны быть умножены на $R.$

Полярные треугольники

Полярный треугольник, связанный с треугольником $△ ABC$ , определяется следующим образом. Рассмотрим большой круг, содержащий сторону $BC$ . Этот большой круг определяется пересечением диаметральной плоскости с поверхностью. Нарисуйте нормаль к этой плоскости в центре: она пересекает поверхность в двух точках, и точка, которая находится на той же стороне плоскости, что и $A$ , (условно) называется полюсом $A$ и обозначается $A'$ . Точки $B'$ и $C'$ определяются аналогично.

Треугольник $△ A'B'C'$ — это полярный треугольник, соответствующий треугольнику $△ ABC$ . Очень важная теорема (Тодхантер, ^[1] ст.27) доказывает, что углы и стороны полярного треугольника определяются выражением

{\begin{alignedat}{3}A'&=\pi -a,&\qquad B'&=\pi -b,&\qquad C'&=\pi -c,\\a'& =\pi -A,&b'&=\pi -B,&c'&=\pi -C.\end{alignedat}}

Следовательно, если для △ ABC

Правила косинуса и правила синуса

Косинусные правила

Правило косинуса является фундаментальным тождеством сферической тригонометрии: все остальные тождества, включая правило синуса, могут быть получены из правила косинуса:

{\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,\\[2pt]\cos b&=\cos c\cos a+\sin c\sin a \cos B,\\[2pt]\cos c&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C.\end{aligned}}

Эти тождества обобщают правило косинусов плоской тригонометрии , которому они асимптотически эквивалентны в пределе малых внутренних углов. (О единичной сфере, если она установлена и т. д.; см. Сферический закон косинусов .) $a,b,c\rightarrow 0$ $\sin a\approx a$ $(\cos a-\cos b)^{2}\approx 0$

Синусоидальные правила

Сферический закон синусов задается формулой

{\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.

тригонометрии

Вывод правила косинуса

Формулы сферического косинуса первоначально были доказаны с помощью элементарной геометрии и правила плоского косинуса (Тодхантер, ^[1], ст.37). Он также дает вывод, используя простую геометрию координат и правило плоского косинуса (ст. 60). Описанный здесь подход использует более простые векторные методы. (Эти методы также обсуждаются в разделе «Сферический закон косинусов ».)

Рассмотрим три единичных вектора $OA \to, OB \to, OC \to,$ проведенных из начала координат в вершины треугольника (на единичной сфере). Дуга $BC$ образует угол величины $a$ в центре и, следовательно, $OB \to \cdot OC \to = cos a$ . Введем декартов базис с $OA \to$ вдоль оси $z$ и $OB \to$ в плоскости $xz$ , составляющим угол $c$ с осью $z$ . Вектор $OC \to$ проецируется на $ON$ в плоскости $xy$ , а угол между $ON$ и осью $x$ равен $A.$ Следовательно, три вектора имеют компоненты:

{\begin{aligned}{\vec {OA}}:&\quad (0,\,0,\,1)\\{\vec {OB}}:&\quad (\sin c,\,0,\,\cos c)\\{\vec {OC}}:&\quad (\sin b\cos A,\,\sin b\sin A,\,\cos b).\end{aligned}}

Скалярное произведение $OB \to \cdot OC \to$ через компоненты равно

{\vec {OB}}\cdot {\vec {OC}}=\sin c\sin b\cos A+\cos c\cos b.

\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A.

\cos A={\frac {\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}}.

Остальные правила косинусов получаются путем циклических перестановок.

Вывод правила синуса

Этот вывод дан в Todhunter, ^[1] (статья 40). Из тождества и явного выражения для $cos$ $A$ , данного непосредственно выше $\sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A$

{\begin{aligned}\sin ^{2}A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {(1-\cos ^{2}b)(1-\cos ^{2}c)-(\cos a-\cos b\cos c)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\[5pt]{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}

a

b

c

Альтернативные выводы

Существует множество способов вывода фундаментальных правил косинуса и синуса, а также других правил, разработанных в следующих разделах. Например, Тодхантер ^[1] дает два доказательства правила косинуса (статьи 37 и 60) и два доказательства правила синуса (статьи 40 и 42). На странице сферического закона косинусов приведены четыре различных доказательства правила косинусов. Учебники по геодезии ^[2] и сферической астрономии ^[3] дают разные доказательства, а онлайн-ресурсы MathWorld предоставляют еще больше. ^[4] Есть еще более экзотические выводы, такие как вывод Банерджи ^[5] , который выводит формулы, используя линейную алгебру матриц проекций, а также цитирует методы дифференциальной геометрии и групповой теории вращений.

Вывод правила косинуса, представленный выше, имеет преимущества простоты и прямоты, а вывод правила синуса подчеркивает тот факт, что не требуется никакого отдельного доказательства, кроме правила косинуса. Однако приведенную выше геометрию можно использовать для независимого доказательства правила синуса. Скалярное тройное произведение OA $\to \cdot (OB \to \times OC \to)$ оценивается как $sin b sin c sin A$ в показанном базисе. Аналогично, в базисе, ориентированном осью z $вдоль$ OB $\to,$ тройное произведение $OB \to \cdot (OC \to \times OA \to)$ оценивается как $sin c sin a sin B.$ Следовательно, инвариантность тройного произведения относительно циклических перестановок дает $sin b sin A = sin a sin B$ , что является первым из правил синуса. См. изогнутые варианты закона синусов , чтобы увидеть подробности этого вывода.

Личности

Дополнительные правила косинуса

Применение правил косинусов к полярному треугольнику дает (Тодхантер, ^[1], ст. 47), т.е. замена $A$ на $π - a$ , $a$ на $π - A$ и т. д.,

{\begin{aligned}\cos A&=-\cos B\,\cos C+\sin B\,\sin C\,\cos a,\\\cos B&=-\cos C\,\cos A+\sin C\,\sin A\,\cos b,\\\cos C&=-\cos A\,\cos B+\sin A\,\sin B\,\cos c.\end{aligned}}

Котангенсные четырехчастные формулы

Шесть частей треугольника можно записать в циклическом порядке как ( $aCbAcB$ ). Формулы котангенса, или четырехчастных, связывают две стороны и два угла, образующие четыре последовательные части вокруг треугольника, например ( $aCbA$ ) или $BaCb$ ). В таком наборе есть внутренняя и внешняя части: например в наборе ( $BaCb$ ) внутренний угол — $C$ , внутренняя сторона — $a$ , внешний угол — $B$ , внешняя сторона — $b$ . Правило котангенса может быть записано как (Тодхантер, ^[1] ст.44)

\cos \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\cos \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}=\cot \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{outer}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\sin \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}-\cot \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{outer}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\sin \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )},

{\begin{alignedat}{5}{\text{(CT1)}}&&\qquad \cos b\,\cos C&=\cot a\,\sin b-\cot A\,\sin C\qquad &&(aCbA)\\[0ex]{\text{(CT2)}}&&\cos b\,\cos A&=\cot c\,\sin b-\cot C\,\sin A&&(CbAc)\\[0ex]{\text{(CT3)}}&&\cos c\,\cos A&=\cot b\,\sin c-\cot B\,\sin A&&(bAcB)\\[0ex]{\text{(CT4)}}&&\cos c\,\cos B&=\cot a\,\sin c-\cot A\,\sin B&&(AcBa)\\[0ex]{\text{(CT5)}}&&\cos a\,\cos B&=\cot c\,\sin a-\cot C\,\sin B&&(cBaC)\\[0ex]{\text{(CT6)}}&&\cos a\,\cos C&=\cot b\,\sin a-\cot B\,\sin C&&(BaCb)\end{alignedat}}

cos c

{\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A\\&=\cos b\ (\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C)+\sin b\sin C\sin a\cot A\\\cos a\sin ^{2}b&=\cos b\sin a\sin b\cos C+\sin b\sin C\sin a\cot A.\end{aligned}}

sin a sin b

Формулы половинного угла и полустороны

С и $2s=(a+b+c)$ $2S=(A+B+C),$

{\begin{alignedat}{5}\sin {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin b\sin c}}}&\qquad \qquad \sin {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-A)}{\sin B\sin C}}}\\[2ex]\cos {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin s\sin(s-a)}{\sin b\sin c}}}&\cos {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {\cos(S-B)\cos(S-C)}{\sin B\sin C}}}\\[2ex]\tan {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin s\sin(s-a)}}}&\tan {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-A)}{\cos(S-B)\cos(S-C)}}}\end{alignedat}}

Еще двенадцать тождеств следуют циклической перестановке.

Доказательство (Тодхантер, ^[1] ст.49) первой формулы начинается с тождества с использованием правила косинусов для выражения $A$ через стороны и замены суммы двух косинусов произведением. (См. тождества суммы и произведения .) Вторая формула начинается с тождества, третья представляет собой частное, а остаток следует путем применения результатов к полярному треугольнику. $2\sin ^{2}\!{\tfrac {A}{2}}=1-\cos A,$ $2\cos ^{2}\!{\tfrac {A}{2}}=1+\cos A,$

Аналогии Деламбра

Аналогии Деламбра (также называемые аналогиями Гаусса) были опубликованы независимо Деламбром, Гауссом и Молвейде в 1807–1809 годах. ^[6]

{\begin{aligned}{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}c}}&\qquad \qquad &{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}c}}\\[2ex]{\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}c}}&\qquad &{\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}c}}\end{aligned}}

Доказано путем разложения числителей и использования формул половинного угла. (Тодхантер, ^[1] ст.54 и Деламбре ^[7] )

Аналогии Нейпира

{\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}(A+B)={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}\cot {\tfrac {1}{2}}C&\qquad &\tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}\tan {\tfrac {1}{2}}c\\[2ex]\tan {\tfrac {1}{2}}(A-B)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}\cot {\tfrac {1}{2}}C&\qquad &\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}\tan {\tfrac {1}{2}}c\end{aligned}}

Еще восемь тождеств следуют циклической перестановке.

Эти тождества следуют делением формул Деламбра. (Тодхантер, ^[1] ст.52)

Взяв частное из них, получим закон тангенса , впервые сформулированный персидским математиком Насир ад-Дином ат-Туси (1201–1274):

{\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}

Правила Непера для прямоугольных сферических треугольников.

Когда один из углов сферического треугольника, скажем, $C$ , равен $π$ /2, различные приведенные выше тождества значительно упрощаются. Существует десять тождеств , связывающих три элемента, выбранных из множества $a$ , $b$ , $c$ , $A$ и $B.$

Нейпир ^[8] предоставил элегантную мнемоническую помощь для десяти независимых уравнений: мнемоника называется кругом Нейпира или пятиугольником Нейпира (когда круг на рисунке выше справа заменяется пятиугольником).

Сначала напишите шесть частей треугольника (три угла при вершине, три угла дуги для сторон) в том порядке, в котором они встречаются вокруг любого контура треугольника: для треугольника, показанного выше слева, движение по часовой стрелке, начиная с $a$ , дает $aCbAcB$ . Затем замените части, не примыкающие к $C$ (то есть $A$ , $c$ и $B$ ), их дополнениями, а затем удалите угол $C$ из списка. Остальные части можно затем нарисовать в виде пяти упорядоченных равных частей пентаграммы или круга, как показано на рисунке выше (справа). При любом выборе трех смежных частей одна ( средняя часть) будет примыкать к двум частям и находиться напротив двух других частей. Десять правил Нейпира сформулированы следующим образом:

синус средней части = произведение тангенсов соседних частей
синус средней части = произведение косинусов противоположных частей

Чтобы запомнить, какая тригонометрическая функция с какой частью связана, нужно посмотреть на первую гласную вида части: средние части берут синус, соседние части - тангенс, а противоположные части - косинус. Например, начиная с сектора, содержащего $a,$ мы имеем:

{\begin{aligned}\sin a&=\tan({\tfrac {\pi }{2}}-B)\,\tan b\\[2pt]&=\cos({\tfrac {\pi }{2}}-c)\,\cos({\tfrac {\pi }{2}}-A)\\[2pt]&=\cot B\,\tan b\\[4pt]&=\sin c\,\sin A.\end{aligned}}

^[1]

{\begin{alignedat}{4}&{\text{(R1)}}&\qquad \cos c&=\cos a\,\cos b,&\qquad \qquad &{\text{(R6)}}&\qquad \tan b&=\cos A\,\tan c,\\&{\text{(R2)}}&\sin a&=\sin A\,\sin c,&&{\text{(R7)}}&\tan a&=\cos B\,\tan c,\\&{\text{(R3)}}&\sin b&=\sin B\,\sin c,&&{\text{(R8)}}&\cos A&=\sin B\,\cos a,\\&{\text{(R4)}}&\tan a&=\tan A\,\sin b,&&{\text{(R9)}}&\cos B&=\sin A\,\cos b,\\&{\text{(R5)}}&\tan b&=\tan B\,\sin a,&&{\text{(R10)}}&\cos c&=\cot A\,\cot B.\end{alignedat}}

Правила Непера для четырехугольных треугольников.

Квадрантный сферический треугольник определяется как сферический треугольник, в котором одна из сторон образует угол в $π$ /2 радиана в центре сферы: на единичной сфере длина стороны равна $π$ /2. В случае, когда сторона $c$ имеет длину $π$ /2 на единичной сфере, уравнения, определяющие остальные стороны и углы, можно получить, применив правила для прямоугольного сферического треугольника из предыдущего раздела к полярному треугольнику $△ A'B'C '$ со сторонами $a', b', c'$ такими, что $A' = π - a$ , $a' = π - A$ и т. д. Результаты:

{\begin{alignedat}{4}&{\text{(Q1)}}&\qquad \cos C&=-\cos A\,\cos B,&\qquad \qquad &{\text{(Q6)}}&\qquad \tan B&=-\cos a\,\tan C,\\&{\text{(Q2)}}&\sin A&=\sin a\,\sin C,&&{\text{(Q7)}}&\tan A&=-\cos b\,\tan C,\\&{\text{(Q3)}}&\sin B&=\sin b\,\sin C,&&{\text{(Q8)}}&\cos a&=\sin b\,\cos A,\\&{\text{(Q4)}}&\tan A&=\tan a\,\sin B,&&{\text{(Q9)}}&\cos b&=\sin a\,\cos B,\\&{\text{(Q5)}}&\tan B&=\tan b\,\sin A,&&{\text{(Q10)}}&\cos C&=-\cot a\,\cot b.\end{alignedat}}

Правила из пяти частей

Подстановка второго правила косинусов в первое и упрощение дает:

{\begin{aligned}\cos a&=(\cos a\,\cos c+\sin a\,\sin c\,\cos B)\cos c+\sin b\,\sin c\,\cos A\\[4pt]\cos a\,\sin ^{2}c&=\sin a\,\cos c\,\sin c\,\cos B+\sin b\,\sin c\,\cos A\end{aligned}}

sin c

\cos a\sin c=\sin a\,\cos c\,\cos B+\sin b\,\cos A

Подобные замены в других формулах косинуса и дополнительных косинусов дают большое разнообразие правил из 5 частей. Они используются редко.

Уравнение Каньоли

Умножение первого правила косинусов на $cos A$ дает

\cos a\cos A=\cos b\,\cos c\,\cos A+\sin b\,\sin c-\sin b\,\sin c\,\sin ^{2}A.

cos a

\cos a\cos A=-\cos B\,\cos C\,\cos a+\sin B\,\sin C-\sin B\,\sin C\,\sin ^{2}a.

\sin b\,\sin c\,\sin ^{2}A=\sin B\,\sin C\,\sin ^{2}a

\sin b\,\sin c+\cos b\,\cos c\,\cos A=\sin B\,\sin C-\cos B\,\cos C\,\cos a

^[9]

Решение треугольников

Косые треугольники

Решение треугольников — основная цель сферической тригонометрии: по трем, четырем или пяти элементам треугольника определить остальные. Случай пяти заданных элементов тривиален и требует лишь однократного применения правила синуса. Для четырех заданных элементов существует один нетривиальный случай, который обсуждается ниже. Для трех данных элементов имеется шесть случаев: три стороны, две стороны и заключённый или противолежащий угол, два угла и заключённая или противолежащая сторона, или три угла. (Последний случай не имеет аналога в плоской тригонометрии.) Ни один метод не решает все случаи. На рисунке ниже показаны семь нетривиальных случаев: в каждом случае заданные стороны отмечены перекладиной, а заданные углы - дугой. (Данные элементы также указаны под треугольником). В сводных обозначениях здесь, таких как ASA, A относится к данному углу, а S относится к данной стороне, а последовательность букв A и S в обозначениях относится к соответствующей последовательности в треугольнике.

Случай 1: даны три стороны (SSS). Для определения углов $A$ , $B$ и $C$ можно использовать правило косинуса , но, чтобы избежать двусмысленности, предпочтительны формулы половинного угла.
Случай 2: заданы две стороны и прилежащий угол (SAS). Правило косинуса дает $a$ , и тогда мы возвращаемся к случаю 1.
Случай 3: даны две стороны и противоположный угол (SSA). Правило синуса дает $C$ , и тогда мы имеем случай 7. Существует либо одно, либо два решения.
Случай 4: даны два угла и включенная сторона (ASA). Четырехчастные формулы котангенса для множеств ( $cBaC$ ) и ( $BaCb$ ) дают $c$ и $b$ , тогда $A$ следует из правила синуса.
Случай 5: даны два угла и противолежащая сторона (ААС). Правило синуса дает $b$ , и тогда мы имеем случай 7 (повернутый). Есть одно или два решения.
Случай 6: даны три угла (ААА). Для определения сторон $a$ , $b$ и $c$ можно использовать правило дополнительного косинуса, но, чтобы избежать двусмысленности, предпочтительнее использовать формулы полусторон.
Случай 7: даны два угла и две противоположные стороны (SSAA). Используйте аналогии Нейпира для $a$ и $A$ ; или используйте вариант 3 (SSA) или вариант 5 (AAS).

Перечисленные здесь методы решения не являются единственно возможными вариантами: возможны многие другие. В общем, лучше выбирать методы, которые избегают использования обратного синуса из-за возможной неоднозначности между углом и его дополнением. Использование формул половинного угла часто целесообразно, поскольку половинные углы будут меньше $π$ /2 и, следовательно, не будут двусмысленными. В Тодхантере есть полное обсуждение. В статье Решение треугольников # Решение сферических треугольников представлены варианты этих методов с немного другими обозначениями.

В Тодхантере есть полное обсуждение решения косоугольных треугольников. ^[1]^{: Гл. VI} См. также обсуждение в Ross. ^[10]

Решение прямоугольными треугольниками

Другой подход — разделить треугольник на два прямоугольных треугольника. Например, возьмем пример случая 3, где заданы $b$ , $c$ и $B.$ Постройте большой круг из $точки A$ , перпендикулярной стороне $BC$ в точке $D.$ Используйте правила Нейпира, чтобы решить треугольник $△ ABD$ : используйте $c$ и $B$ , чтобы найти стороны $AD$ и $BD$ и угол $∠ BAD$ . Затем используйте правила Нейпира, чтобы решить треугольник $△ ACD$ : то есть используйте $AD$ и $b$ , чтобы найти сторону $DC$ и углы $C$ и $∠ DAC$ . Угол $А$ и сторона $а$ следуют сложением.

Численные соображения

Не все полученные правила являются численно устойчивыми в крайних примерах, например, когда угол приближается к нулю или $π$ . Проблемы и решения, возможно, придется тщательно изучить, особенно при написании кода для решения произвольного треугольника.

Площадь и сферический избыток

Рассмотрим $N$ -сторонний сферический многоугольник и обозначим через $An n$ $-й$ внутренний угол. Площадь такого многоугольника определяется по формуле (Тодхантер, ^[1], ст.99).

{{\text{Area of polygon}} \atop {\text{(on the unit sphere)}}}\equiv E_{N}=\left(\sum _{n=1}^{N}A_{n}\right)-(N-2)\pi .

Для случая сферического треугольника с углами $A$ , $B$ и $C$ это сводится к теореме Жирара.

{{\text{Area of triangle}} \atop {\text{(on the unit sphere)}}}\equiv E=E_{3}=A+B+C-\pi ,

E

π

сферическим избыткомАльбера Жирара^[11]Томасом Харриотом

R

R 2

Обратный результат можно записать как

A+B+C=\pi +{\frac {4\pi \times {\text{Area of triangle}}}{\text{Area of the sphere}}}.

Поскольку площадь треугольника не может быть отрицательной, сферический избыток всегда положителен. Оно не обязательно мало, поскольку сумма углов может достигать 5 $π$ (3 $π$ для собственных углов). Например, октант сферы — это сферический треугольник с тремя прямыми углами, так что избыток равен $π$ /2. В практических приложениях он часто невелик: например, треугольники геодезической съемки обычно имеют сферический избыток, намного меньший 1 фут дуги. (Рапп ^[12] Кларк, ^[13] Теорема Лежандра о сферических треугольниках ). На Земле превышение равностороннего треугольника со сторонами 21,3 км (и площадью 393 км ² ) составляет примерно 1 угловую секунду.

Существует множество формул для избытка. Например, Тодхантер, ^[1] (ст. 101–103) приводит десять примеров, включая пример Л'Юилье :

\tan {\tfrac {1}{4}}E={\sqrt {\tan {\tfrac {1}{2}}s\,\tan {\tfrac {1}{2}}(s-a)\,\tan {\tfrac {1}{2}}(s-b)\,\tan {\tfrac {1}{2}}(s-c)}}

s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)

Поскольку некоторые треугольники плохо характеризуются своими ребрами (например, если ), часто лучше использовать формулу для избытка через два ребра и прилежащий к ним угол ${\textstyle a=b\approx {\frac {1}{2}}c}$

\tan {\tfrac {1}{2}}E={\frac {\tan {\frac {1}{2}}a\tan {\frac {1}{2}}b\sin C}{1+\tan {\frac {1}{2}}a\tan {\frac {1}{2}}b\cos C}}.

Когда треугольник $△ ABC$ — прямоугольный треугольник с прямым углом в $C$ , тогда $cos C = 0$ и $sin C = 1$ , поэтому это сводится к

\tan {\tfrac {1}{2}}E=\tan {\tfrac {1}{2}}a\tan {\tfrac {1}{2}}b.

Дефицит угла определяется аналогично для гиперболической геометрии .

От широты и долготы

Сферический избыток сферического четырехугольника, ограниченного экватором, двумя меридианами долготы и дугой большого круга между двумя точками с долготой и широтой , равен $\lambda _{1}$ $\lambda _{2},$ $(\lambda _{1},\varphi _{1})$ $(\lambda _{2},\varphi _{2})$

\tan {\tfrac {1}{2}}E_{4}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\varphi _{2}+\varphi _{1})}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}\tan {\tfrac {1}{2}}(\lambda _{2}-\lambda _{1}).

Этот результат получен на основе одной из аналогий Непера. В пределе, когда все малы, это сводится к знакомой трапециевидной области . $\varphi _{1},\varphi _{2},\lambda _{2}-\lambda _{1}$ ${\textstyle E_{4}\approx {\frac {1}{2}}(\varphi _{2}+\varphi _{1})(\lambda _{2}-\lambda _{1})}$

Площадь многоугольника можно вычислить по отдельным четырехугольникам указанного выше типа, по (аналогично) отдельному треугольнику, ограниченному сегментом многоугольника и двумя меридианами, ^[14] с помощью линейного интеграла с теоремой Грина , ^[15] или с помощью равновеликая проекция , как это обычно делается в ГИС. Другие алгоритмы по-прежнему можно использовать с длинами сторон, рассчитанными по формуле расстояния по большому кругу .

Смотрите также

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Сферическая тригонометрия». Математический мир .более подробный список личностей с некоторыми выводами
Вайсштейн, Эрик В. «Сферический треугольник». Математический мир .более подробный список личностей с некоторыми выводами
TriSph Бесплатное программное обеспечение для решения сферических треугольников, настраиваемое для различных практических приложений и настроенное для гномонических вычислений.
«Возвращаясь к сферической тригонометрии с помощью ортогональных проекторов» Судипто Банерджи. В статье выводятся сферический закон косинусов и закон синусов с использованием элементарной линейной алгебры и матриц проекций.
«Наглядное доказательство теоремы Жирара». Демонстрационный проект Wolfram .от Окей Арик
«Книга инструкций по отклонениям и простым плоскостям», рукопись на арабском языке, датируемая 1740 годом и рассказывающая о сферической тригонометрии, с диаграммами.
Некоторые алгоритмы для многоугольников на сфере Роберт Дж. Чемберлен, Уильям Х. Дюкетт, Лаборатория реактивного движения. В статье развиваются и объясняются многие полезные формулы, возможно, с упором на навигацию и картографию.
Онлайн расчет сферических треугольников