В математике существует множество категориальных двойственностей между некоторыми категориями топологических пространств и категориями частично упорядоченных множеств . Сегодня эти дуальности обычно объединяются под названием двойственность Стоуна , поскольку они образуют естественное обобщение теоремы Стоуна о представлении булевых алгебр . Эти концепции названы в честь Маршалла Стоуна . Двойственности каменного типа также обеспечивают основу для бессмысленной топологии и используются в теоретической информатике для изучения формальной семантики .
В этой статье приводятся указания на особые случаи двойственности Стоуна и подробно объясняется очень общий их случай.
Вероятно, наиболее общая двойственность, которую классически называют «дуальностью Стоуна», - это двойственность между категорией Sob трезвых пространств с непрерывными функциями и категорией SFrm пространственных фреймов с соответствующими гомоморфизмами фреймов. Двойственная категория SFrm — это категория пространственных локалей , обозначаемая SLoc . Категориальная эквивалентность Sob и SLoc лежит в основе математической области бессмысленной топологии , посвященной изучению Loc — категории всех локалей, полной подкатегорией которой является SLoc . Задействованные конструкции характерны для такого рода двойственности и подробно описаны ниже.
Теперь можно легко получить ряд других двойственностей, ограничившись некоторыми специальными классами трезвых пространств:
К этим основным дуальностям можно добавить множество других дуальностей каменного типа.
Отправной точкой теории является тот факт, что каждое топологическое пространство характеризуется набором точек X и системой Ω( X ) открытых множеств элементов из X , т.е. подмножеством множества степеней X. Известно, что Ω( X ) обладает некоторыми особыми свойствами: это полная решетка , внутри которой верхние и конечные нижние точки задаются объединениями множеств и пересечениями конечных множеств соответственно. Более того, он содержит как X , так и пустое множество . Поскольку вложение Ω( X ) в решетку степенного набора X сохраняет конечные нижние точки и произвольные верхние числа, Ω( X ) наследует следующий закон дистрибутивности:
для каждого элемента (открытого множества) x и каждого подмножества S из Ω( X ). Следовательно, Ω( X ) — это не произвольная полная решетка, а полная алгебра Гейтинга (также называемая фреймом или локалем — различные имена в основном используются для различения нескольких категорий, которые имеют один и тот же класс объектов, но разные морфизмы: морфизмы фреймов, морфизмы локали и гомоморфизмы полных гейтинговых алгебр). Теперь возникает очевидный вопрос: в какой степени топологическое пространство характеризуется локализацией открытых множеств?
Как уже намекалось выше, можно пойти еще дальше. Категория Top топологических пространств имеет в качестве морфизмов непрерывные функции, где функция f непрерывна, если прообраз f − 1 ( O ) любого открытого множества в кодобласти f открыт в области определения f . Таким образом, любая непрерывная функция f из пространства X в пространство Y определяет обратное отображение f −1 из Ω( Y ) в Ω( X ). Более того, легко проверить, что f −1 (как и любое прообразное отображение) сохраняет конечные пересечения и произвольные объединения и, следовательно, является морфизмом фреймов . Если мы определим Ω( f ) = f −1 , то Ω станет контравариантным функтором из категории Top в категорию Frm фреймов и морфизмов фреймов. Используя инструменты теории категорий, задача нахождения характеризации топологических пространств в терминах их открытых решеток множеств эквивалентна нахождению функтора из Frm в Top , сопряженного с Ω.
Цель этого раздела — определить функтор pt из Frm в Top , который в определенном смысле «инвертирует» операцию Ω, присваивая каждой локали L набор точек pt( L ) (отсюда и обозначение pt) с подходящим топология. Но как мы можем восстановить набор точек только из локали, если он не задан в виде решетки множеств? Разумеется, вообще нельзя ожидать, что pt сможет воспроизвести все исходные элементы топологического пространства только из его решетки открытых множеств - например, все множества с недискретной топологией дают (с точностью до изоморфизма) одну и ту же локаль, такую что информации о конкретном наборе больше нет. Однако все еще существует разумный метод получения «точек» из локали, который действительно дает пример центральной конструкции теорем двойственности Стоуна.
Давайте сначала посмотрим на точки топологического пространства X. Обычно возникает соблазн рассматривать точку X как элемент x множества X , но на самом деле существует более полезное описание для нашего текущего исследования. Любая точка x порождает непрерывную функцию p x из одноэлементного топологического пространства 1 (все подмножества которого открыты) в пространство X путем определения p x (1) = x . И наоборот, любая функция от 1 до X четко определяет одну точку: элемент, на который она «указывает». Следовательно, множество точек топологического пространства эквивалентно характеризуется как множество функций от 1 до X .
При использовании функтора Ω для перехода от Top к Frm все теоретико-множественные элементы пространства теряются, но – используя фундаментальную идею теории категорий – можно также работать с функциональными пространствами . Действительно, любая «точка» p x : 1 → X в Top отображается в морфизм Ω( p x ): Ω( X ) → Ω(1). Решетка открытого множества одноэлементного топологического пространства Ω(1) представляет собой (изоморфна) двухэлементную локаль 2 = { 0, 1 } с 0 < 1. После этих наблюдений кажется разумным определить множество точек локали L — это набор морфизмов реперов из L в 2. Тем не менее, нет никакой гарантии, что каждая точка локали Ω( X ) находится во взаимно однозначном соответствии с точкой топологического пространства X (рассмотрим снова недискретная топология, для которой решетка открытого множества имеет только одну «точку»).
Прежде чем определять требуемую топологию на pt( X ), стоит уточнить понятие точки локали. Мотивированная выше точка зрения предполагает рассматривать точку локали L как морфизм фрейма p из L в 2. Но эти морфизмы эквивалентно характеризуются прообразами двух элементов из 2. Из свойств морфизмов фреймов можно вывести что p −1 (0) — нижнее множество (поскольку p монотонно ) , содержащее наибольший элемент a p = V p −1 (0) (поскольку p сохраняет произвольные верхние числа). Кроме того, главный идеал p −1 (0) является простым идеалом, поскольку p сохраняет конечные инфимы и, следовательно, главный идеал a p является взаимно простым элементом . Теперь множество, обратное к p −1 (0), заданное p −1 (1), является полностью простым фильтром, поскольку p −1 (0) является главным простым идеалом. Оказывается, все эти описания однозначно определяют исходный морфизм фрейма. Подводим итоги:
Все эти описания имеют свое место в теории, и между ними удобно переключаться по мере необходимости.
Теперь, когда для любой локали доступен набор точек, осталось снабдить этот набор подходящей топологией, чтобы определить объектную часть функтора pt. Это делается путем определения открытых множеств pt( L ) как
для каждого элемента a из L . Здесь мы рассматривали точки L как морфизмы, но можно, конечно, дать аналогичное определение и для всех остальных эквивалентных характеризаций. Можно показать, что полагая Ω(pt( L )) = {φ( a ) | a ∈ L } действительно дает топологическое пространство (pt( L ), Ω(pt( L ))). Это пространство принято сокращать как pt( L ).
Наконец, pt можно определить на морфизмах Frm довольно канонически, определив для морфизма репера g из L в M pt( g ): pt( M ) → pt( L ) как pt( g )( p ) = p o g . Другими словами, мы получаем морфизм из L в 2 (точку L ), применяя морфизм g для перехода из L в M перед применением морфизма p , который отображает из M в 2. Опять же, это можно формализовать, используя другие описания. точек локали – например, просто вычислите ( p o g ) −1 (0).
Как уже несколько раз отмечалось ранее, pt и Ω обычно не являются обратными. В общем случае X не гомеоморфен pt(Ω( X )) и L не порядково-изоморфен Ω(pt( L )). Однако при описании топологии pt( L ) выше было применено отображение φ из L в Ω(pt( L )). Это отображение действительно является морфизмом репера. И наоборот, мы можем определить непрерывную функцию ψ от X до pt(Ω( X )), установив ψ( x ) = Ω( p x ), где p x — это просто характеристическая функция для точки x от 1 до X , как описано выше. Другое удобное описание дается рассмотрением точек локали как элементов соответствия. В этом случае мы имеем ψ( x ) = X \ Cl{ x }, где Cl { x } обозначает топологическое замыкание множества { x }, а \ — это просто разность множеств.
На данный момент у нас уже есть более чем достаточно данных для получения желаемого результата: функторы Ω и pt определяют примыкание между категориями Top и Loc = Frm op , где pt правосопряжен с Ω, а естественные преобразования ψ и φ op обеспечивают требуемую единицу и единицу соответственно.
Вышеупомянутое присоединение не является эквивалентностью категорий Top и Loc (или, что то же самое, двойственностью Top и Frm ). Для этого необходимо, чтобы и ψ, и φ были изоморфизмами в своих соответствующих категориях.
Для пространства X ψ: X → pt(Ω( X )) является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда оно биективно . Используя характеристику с помощью элементов решетки открытого множества, встречающихся в простых числах, можно видеть, что это так тогда и только тогда, когда каждое открытое множество, встречающееся в простых числах, имеет форму X \ Cl{ x } для уникального x . В качестве альтернативы, каждое замкнутое множество с простым соединением является замыканием единственной точки, где «простое соединение» можно заменить на неприводимое (join-), поскольку мы находимся в дистрибутивной решетке. Помещения, обладающие этим свойством, называются трезвыми .
И наоборот, для локали L φ: L → Ω(pt( L )) всегда сюръективно. Кроме того, он является инъективным тогда и только тогда, когда любые два элемента a и b из L , для которых a не меньше или равно b , могут быть формально разделены точками локали:
Если это условие удовлетворяется для всех элементов локали, то локаль является пространственной или имеет достаточное количество точек. (См. также четко обозначенную категорию аналогичного состояния в более общих категориях.)
Наконец, можно убедиться, что для любого пространства X Ω( X ) пространственна и для каждой локали L pt( L ) является трезвой. Отсюда следует, что указанное выше присоединение Top и Loc ограничивается эквивалентностью полных подкатегорий Sob трезвых пространств и SLoc пространственных локалей. Этот основной результат дополняется наблюдением, что для функтора pt o Ω передача каждого пространства в точки его решетки открытого множества слева сопряжена с функтором включения из Sob в Top . Для пространства X pt(Ω( X )) называется его отрезвлением . Случай функтора Ω o pt симметричен, но специальное название для этой операции обычно не используется.
