матрица Сильвестра

В математике матрица Сильвестра — это матрица, связанная с двумя одномерными многочленами с коэффициентами в поле или коммутативном кольце . Элементами матрицы Сильвестра двух многочленов являются коэффициенты многочленов. Определителем матрицы Сильвестра двух многочленов является их результант , который равен нулю, когда два многочлена имеют общий корень (в случае коэффициентов в поле) или непостоянный общий делитель (в случае коэффициентов в целочисленной области ).

Матрицы Сильвестра названы в честь Джеймса Джозефа Сильвестра .

Определение

Формально, пусть p и q — два ненулевых многочлена, соответственно степени m и n . Таким образом:

${\displaystyle p(z)=p_{0}+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots +p_{m}z^{m},\;q(z)=q_{0}+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots +q_{n}z^{n}.}$

Матрица Сильвестра, связанная с p и q, тогда представляет собой матрицу, построенную следующим образом: ${\displaystyle (n+m)\times (n+m)}$

• если n > 0, то первая строка:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.}$

• вторая строка — это первая строка, сдвинутая на один столбец вправо; первый элемент строки равен нулю.
• следующие n  − 2 строки получаются таким же образом, сдвигая коэффициенты каждый раз на один столбец вправо и устанавливая другие элементы в строке равными 0.
• если m > 0, то ( n  + 1)-я строка равна:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}q_{n}&q_{n-1}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.}$

• следующие строки получаются так же, как и раньше.

Таким образом, если m  = 4 и n  = 3, то матрица имеет вид:

${\displaystyle S_{p,q}={\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\end{pmatrix}}.}$

Если одна из степеней равна нулю (то есть соответствующий многочлен является ненулевым постоянным многочленом), то имеются нулевые строки, состоящие из коэффициентов другого многочлена, и матрица Сильвестра является диагональной матрицей размерности степени непостоянного многочлена, со всеми диагональными коэффициентами, равными постоянному многочлену. Если m = n = 0, то матрица Сильвестра является пустой матрицей с нулевыми строками и нулевыми столбцами.

Вариант

Определенная выше матрица Сильвестра появляется в статье Сильвестра 1840 года. В статье 1853 года Сильвестр ввел следующую матрицу, которая является, с точностью до перестановки строк, матрицей Сильвестра p и q , которые обе рассматриваются как имеющие степень max( m , n ). ^[1] Таким образом, это -матрица, содержащая пары строк. Предполагая, что она получена следующим образом: ${\displaystyle 2\max(n,m)\times 2\max(n,m)}$ ${\displaystyle \max(n,m)}$ ${\displaystyle m>n,}$

• первая пара:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{n}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&q_{n}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.}$

• вторая пара — это первая пара, сдвинутая на один столбец вправо; первые элементы в двух строках равны нулю.
• остальные пары строк получаются таким же образом, как указано выше. ${\displaystyle max(n,m)-2}$

Таким образом, если m  = 4 и n  = 3, то матрица имеет вид:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\0&0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\\\end{pmatrix}}.}$

Определитель матрицы 1853 года с точностью до знака равен произведению определителя матрицы Сильвестра (который называется результирующим числом p и q ) на (все еще предполагая ). ${\displaystyle p_{m}^{m-n}}$ ${\displaystyle m\geq n}$

Приложения

Эти матрицы используются в коммутативной алгебре , например, для проверки, имеют ли два многочлена (непостоянный) общий множитель. В таком случае определитель связанной матрицы Сильвестра (называемый результантом двух многочленов) равен нулю. Обратное также верно.

Решения систем линейных уравнений

${\displaystyle {S_{p,q}}^{\mathrm {T} }\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$

где — вектор размера и имеет размер , включают векторы коэффициентов тех и только тех пар полиномов (степеней и , соответственно), которые удовлетворяют ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle m-1}$

${\displaystyle x(z)\cdot p(z)+y(z)\cdot q(z)=0,}$

где используется полиномиальное умножение и сложение. Это означает, что ядро ​​транспонированной матрицы Сильвестра дает все решения уравнения Безу , где и . ${\displaystyle \deg x<\deg q}$ ${\displaystyle \deg y<\deg p}$

Следовательно, ранг матрицы Сильвестра определяет степень наибольшего общего делителя p и q :

${\displaystyle \deg(\gcd(p,q))=m+n-\operatorname {rank} S_{p,q}.}$

Более того, коэффициенты этого наибольшего общего делителя могут быть выражены как определители подматриц матрицы Сильвестра (см. Подрезультат ).

Смотрите также

• Матрица переноса
• Матрица Безу

Ссылки

1. Акритас, АГ; Малащенок, ГИ; Вигклас, ПС (2014). «Последовательности Штурма и модифицированные субрезультантные полиномиальные остаточные последовательности». Serdica Journal of Computing . 8 (1): 29–46. hdl :10525/2428.

• Вайсштейн, Эрик В. «Матрица Сильвестра». Математический мир .