t-тест Уэлча

Статистический тест на то, имеют ли две популяции равные средние значения

В статистике t -тест Уэлча или t - тест неравных дисперсий — это двухвыборочный локационный тест , который используется для проверки (нулевой) гипотезы о том, что две популяции имеют равные средние значения. Он назван в честь своего создателя Бернарда Льюиса Уэлча и является адаптацией t -теста Стьюдента ^[1] и более надежен, когда две выборки имеют неравные дисперсии и, возможно, неравные размеры выборки. ^{[2] [3]} Эти тесты часто называют t -тестами «непарных» или «независимых выборок» , поскольку они обычно применяются, когда статистические единицы, лежащие в основе двух сравниваемых выборок, не перекрываются. Учитывая, что t -тест Уэлча был менее популярен, чем t -тест Стьюдента ^{[2] , и может быть менее знаком читателям, более информативным названием является «} t -тест неравных дисперсий Уэлча » — или « t -тест неравных дисперсий» для краткости. ^[3]

Предположения

T -тест Стьюдента предполагает, что сравниваемые средние выборки для двух совокупностей распределены нормально, и что совокупности имеют равные дисперсии. T -тест Уэлча разработан для неравных дисперсий совокупности, но предположение о нормальности сохраняется. ^[1] T -тест Уэлча является приближенным решением проблемы Беренса–Фишера .

Расчеты

T -критерий Уэлча определяет статистику t по следующей формуле:

${\displaystyle t={\frac {\Delta {\overline {X}}}{s_{\Delta {\bar {X}}}}}={\frac {{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}}{\sqrt {{s_{{\bar {X}}_{1}}^{2}}+{s_{{\bar {X}}_{2}}^{2}}}}}\,}$

${\displaystyle s_{{\bar {X}}_{i}}={s_{i} \over {\sqrt {N_{i}}}}\,}$

где и — выборочное среднее и его стандартная ошибка , с обозначением скорректированного выборочного стандартного отклонения , и размера выборки . В отличие от t -критерия Стьюдента , знаменатель не основан на оценке объединенной дисперсии . ${\displaystyle {\overline {X}}_{i}}$ ${\displaystyle s_{{\bar {X}}_{i}}}$ ${\displaystyle i^{\text{th}}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle N_{i}}$

Степени свободы   , связанные с этой оценкой дисперсии, аппроксимируются с помощью уравнения Уэлча-Саттертуэйта : ^[4] ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \nu \quad \approx \quad {\frac {\left(\;{\frac {s_{1}^{2}}{N_{1}}}\;+\;{\frac {s_{2}^{2}}{N_{2}}}\;\right)^{2}}{\quad {\frac {s_{1}^{4}}{N_{1}^{2}\nu _{1}}}\;+\;{\frac {s_{2}^{4}}{N_{2}^{2}\nu _{2}}}\quad }}.}$

Это выражение можно упростить, если : ${\displaystyle N_{1}=N_{2}}$

${\displaystyle \nu \approx {\frac {s_{\Delta {\bar {X}}}^{4}}{\nu _{1}^{-1}s_{{\bar {X}}_{1}}^{4}+\nu _{2}^{-1}s_{{\bar {X}}_{2}}^{4}}}.}$

Здесь — степени свободы, связанные с i -й оценкой дисперсии. ${\displaystyle \nu _{i}=N_{i}-1}$

Статистика приблизительно соответствует распределению t , поскольку у нас есть приближение распределения хи-квадрат . Это приближение лучше, когда оба и больше 5. ^{[5] [6]} ${\displaystyle N_{1}}$ ${\displaystyle N_{2}}$

Статистический тест

После вычисления t и эти статистики можно использовать с t -распределением для проверки одной из двух возможных нулевых гипотез : ${\displaystyle \nu }$

• что два средних значения совокупности равны, в этом случае применяется двусторонний тест ; или
• что одно из средних значений генеральной совокупности больше или равно другому, для чего применяется односторонний тест .

Приблизительные степени свободы являются действительными числами и используются как таковые в программном обеспечении, ориентированном на статистику, тогда как в электронных таблицах они округляются до ближайшего целого числа. ${\displaystyle \left(\nu \in \mathbb {R} ^{+}\right)}$

Преимущества и ограничения

T -тест Уэлча более надежен, чем t -тест Стьюдента , и поддерживает коэффициенты ошибок типа I близкими к номинальным для неравных дисперсий и для неравных размеров выборки при нормальном распределении. Более того, мощность t - теста Уэлча близка к мощности t -теста Стьюдента, даже когда дисперсии совокупности равны, а размеры выборки сбалансированы. ^[2] T -тест Уэлча можно обобщить на более чем 2 выборки, ^[7] что более надежно, чем однофакторный дисперсионный анализ (ANOVA).

Не рекомендуется предварительно тестировать на равенство дисперсий, а затем выбирать между t -тестом Стьюдента или t -тестом Уэлча . ^{[8] Вместо этого} t -тест Уэлча можно применять напрямую и без каких-либо существенных недостатков по сравнению с t -тестом Стьюдента, как отмечено выше. t -тест Уэлча остается надежным для асимметричных распределений и больших размеров выборки. ^{[9] Надежность снижается для асимметричных распределений и меньших выборок, где можно было бы применить} t -тест Уэлча . ^[10]

Реализации программного обеспечения

Смотрите также

• Математический портал

• t -критерий Стьюдента
• Z -тест
• Факториальный эксперимент
• Однофакторный дисперсионный анализ
• Двухвыборочная статистика T-квадрат Хотеллинга , многомерное расширение t -критерия Уэлча

Ссылки

1. Welch, BL (1947). «Обобщение проблемы «Стьюдента» при наличии нескольких различных дисперсий популяции». Biometrika . 34 (1–2): 28–35. doi :10.1093/biomet/34.1-2.28. MR  0019277. PMID  20287819.
2. Ruxton, GD (2006). «Тест неравной дисперсии t является недоиспользуемой альтернативой t-тесту Стьюдента и U-тесту Манна–Уитни». Поведенческая экология . 17 (4): 688–690. doi : 10.1093/beheco/ark016 .
3. Деррик, Б.; Тохер, Д.; Уайт, П. (2016). «Почему тест Уэлча устойчив к ошибкам первого типа» (PDF) . Количественные методы в психологии . 12 (1): 30–38. doi : 10.20982/tqmp.12.1.p030 .
4. 7.3.1. Имеют ли два процесса одинаковое среднее значение?, Справочник по инженерной статистике, NIST . (Интернет-источник доступен 30 июля 2021 г.)
5. Оллвуд, Майкл (2008). «Формула Саттертуэйта для степеней свободы в двухвыборочном t-тесте» (PDF) . стр. 6.
6. Йейтс; Мур; Старнс (2008). Практика статистики (3-е изд.). Нью-Йорк: WH Freeman and Company. стр. 792. ISBN 9780716773092.
7. Уэлч, Б. Л. (1951). «О сравнении нескольких средних значений: альтернативный подход». Biometrika . 38 (3/4): 330–336. doi :10.2307/2332579. JSTOR  2332579.
8. Циммерман, Д. В. (2004). «Заметка о предварительных тестах равенства дисперсий». British Journal of Mathematical and Statistical Psychology . 57 (Pt 1): 173–181. doi :10.1348/000711004849222. PMID  15171807.
9. Fagerland, MW (2012). «t-тесты, непараметрические тесты и крупные исследования — парадокс статистической практики?». BMC Medical Research Methodology . 12 : 78. doi : 10.1186/1471-2288-12-78 . PMC 3445820. PMID  22697476 . 
10. Fagerland, MW; Sandvik, L. (2009). «Производительность пяти двухвыборочных локационных тестов для асимметричных распределений с неравными дисперсиями». Contemporary Clinical Trials . 30 (5): 490–496. doi :10.1016/j.cct.2009.06.007. PMID  19577012.
11. «Статистические функции. Часть пятая — Справка LibreOffice».
12. "Двухвыборочный t-тест - MATLAB ttest2 - MathWorks United Kingdom".
13. "TTEST - Excel - Microsoft Office". office.microsoft.com . Архивировано из оригинала 2010-06-13.
14. "Функция T.TEST".
15. Обзор 2-Sample t - Minitab: — официальная документация для Minitab версии 18. Доступ 19.09.2020.
16. "Справка онлайн - Быстрая помощь - FAQ-314 Поддерживает ли Origin t-критерий Уэлча?". www.originlab.com . Получено 09.11.2023 .
17. "Scipy.stats.ttest_ind — Руководство SciPy v1.7.1".
18. "R: t-критерий Стьюдента".
19. "JavaScript npm: @stdlib/stats-ttest2".
20. "Статистика.Тест.СтудентТ".
21. "Индекс /Поддержка/Помощь".
22. «Добро пожаловать в раздел «Документы» — последняя версия документации HypothesisTests.jl».
23. "Справка Stata 17 для ttest".
24. "T.TEST - Помощь редакторам документов".
25. Джереми Майлз: Неравные дисперсии t-тест или U-тест Манна-Уитни?, Доступ 2014-04-11
26. Тест с одной выборкой — Официальная документация для SPSS Statistics версии 24. Доступно 22.01.2019.
27. «Ссылка на функцию: Welch_test».