Уильям Пол Терстон (30 октября 1946 — 21 августа 2012) — американский математик . Он был пионером в области низкоразмерной топологии и был награжден Медалью Филдса в 1982 году за вклад в изучение трехмерных многообразий .
Терстон был профессором математики в Принстонском университете , Калифорнийском университете в Дэвисе и Корнелльском университете . Он также был директором Научно-исследовательского института математических наук .
Уильям Терстон родился в Вашингтоне, округ Колумбия , в семье Маргарет Терстон ( урожденной Мартт ), швеи, и Пола Терстона, авиационного инженера. [1] Уильям Терстон в детстве страдал от врожденного косоглазия , вызывавшего проблемы с восприятием глубины. [1] Его мать работала с ним, когда он был малышом, реконструируя трехмерные изображения из двухмерных. [1]
Он получил степень бакалавра в Новом колледже в 1967 году в рамках его первого курса. [1] [2] В своей дипломной работе он разработал интуиционистскую основу топологии. [3] После этого он получил докторскую степень по математике в Калифорнийском университете в Беркли под руководством Морриса Хирша , защитив диссертацию «Слоения трехмерных многообразий, которые являются круговыми расслоениями» в 1972 году. [1] [4]
После получения докторской степени Терстон провел год в Институте перспективных исследований [ 1] [5], затем еще год в Массачусетском технологическом институте в качестве доцента. [1]
В 1974 году Терстон был назначен профессором Принстонского университета . [1] [6] Он вернулся в Беркли в 1991 году в качестве профессора (1991-1996), а также был директором Научно-исследовательского института математических наук (MSRI) с 1992 по 1997 год. [1] [7] Он работал на факультете в Калифорнийском университете в Дэвисе с 1996 по 2003 год, когда он перешёл в Корнелльский университет . [1]
Терстон был одним из первых, кто применил компьютеры в исследованиях в области чистой математики. [1] Он вдохновил Джеффри Уикса на разработку вычислительной программы SnapPea . [1]
Во время руководства Терстоном ИИГС институт представил несколько инновационных образовательных программ, которые с тех пор стали стандартными для исследовательских институтов. [1]
Его доктор философии. В число студентов входят Дэнни Калегари , Ричард Кэнэри , Дэвид Габай , Уильям Голдман , Бенсон Фарб , Ричард Кеньон , Стивен Керкхофф , Яир Мински , Игорь Ривин , Одед Шрамм , Ричард Шварц , Уильям Флойд и Джеффри Уикс. [8]
Его ранние работы, в начале 1970-х годов, были в основном посвящены теории слоений . Его наиболее значимые результаты включают в себя:
Фактически, Терстон решил так много нерешенных проблем в теории слоений за такой короткий период времени, что это привело к исходу из этой области, где консультанты советовали студентам не заниматься теорией слоений [9] , потому что Терстон «очищал предмет (см. «О доказательстве и прогрессе в математике», особенно раздел 6 [10] ).
Его более поздние работы, начавшиеся примерно в середине 1970-х годов, показали, что гиперболическая геометрия играет гораздо более важную роль в общей теории трехмерных многообразий , чем предполагалось ранее. До Терстона было лишь несколько известных примеров гиперболических 3-многообразий конечного объема, таких как пространство Зейферта – Вебера . Независимые и четкие подходы Роберта Райли и Троэлса Йоргенсена в середине-конце 1970-х годов показали, что такие примеры были менее нетипичными, чем считалось ранее; в частности, их работа показала, что дополнение узла восьмерки было гиперболическим . Это был первый пример гиперболического узла .
Вдохновленный их работой, Терстон применил другой, более явный способ продемонстрировать гиперболическую структуру узла -восьмерки . Он показал, что дополнение узла восьмерки можно разложить как объединение двух правильных идеальных гиперболических тетраэдров, гиперболические структуры которых правильно совпали и дали гиперболическую структуру дополнения узла восьмерки. Используя методы нормальных поверхностей Хакена , он классифицировал несжимаемые поверхности в дополнение к узлам. Вместе с анализом деформаций гиперболических структур он пришел к выводу, что все операции Дена на узле восьмерки, за исключением 10, привели к образованию неприводимых , нехакеновских , незейфертовских трехмерных многообразий. Это были первые подобные примеры; Ранее считалось, что, за исключением некоторых расслоений Зейферта, все неприводимые трехмерные многообразия были Хакеном. Эти примеры на самом деле были гиперболическими и легли в основу его следующей теоремы.
Терстон доказал, что на самом деле большинство заполнений Дена в гиперболическом 3-многообразии с каспами приводят к образованию гиперболических 3-многообразий. Это его знаменитая теорема о гиперболической хирургии Дена .
Для полноты картины Терстон доказал теорему гиперболизации многообразий Хакена . Особенно важным следствием является то, что многие узлы и связи на самом деле являются гиперболическими. Вместе с его теоремой о гиперболической хирургии Дена это показало, что замкнутые гиперболические трехмерные многообразия существуют в большом количестве.
Теорема о гиперболизации многообразий Хакена была названа теоремой Терстона о монстре из-за длины и сложности доказательства. Полные доказательства были написаны лишь почти 20 лет спустя. Доказательство включает в себя ряд глубоких и оригинальных идей, которые связали многие, казалось бы, несопоставимые поля с трехмерными многообразиями .
Затем Терстону пришлось сформулировать свою гипотезу геометризации . Это дало предположительное представление о 3-многообразиях, которое указывало на то, что все 3-многообразия допускают определенный вид геометрической декомпозиции, включающей восемь геометрий, которые теперь называются геометриями модели Терстона. Гиперболическая геометрия — наиболее распространенная геометрия в этой картине, а также самая сложная. Гипотезу доказал Григорий Перельман в 2002–2003 годах. [11] [12]
Терстон и Деннис Салливан обобщили гипотезу плотности Липмана Берса с однократно вырожденных клейновых поверхностных групп на все конечно порожденные клейновы группы в конце 1970-х - начале 1980-х годов. [13] [14] Гипотеза утверждает, что каждая конечно порожденная клейнинова группа является алгебраическим пределом геометрически конечных клейниевых групп, и была независимо доказана Ошикой и Намази-Соуто в 2011 и 2012 годах соответственно. [13] [14]
В своей работе по гиперболической хирургии Дена Терстон понял, что орбифолдные структуры возникают естественным путем. Такие структуры изучались до Терстона, но его работа, особенно следующая теорема, принесла им известность. В 1981 году он объявил о теореме об орбифолде , расширении его теоремы о геометризации на случай 3-орбифолдов. Примерно в 2000 году две группы математиков наконец завершили свои усилия по написанию полного доказательства, основанного главным образом на лекциях Терстона, прочитанных в начале 1980-х годов в Принстоне. Его первоначальное доказательство частично опиралось на работу Ричарда С. Гамильтона о потоке Риччи .
В 1976 году Терстон и Джеймс Харрис Саймонс разделили премию Освальда Веблена в области геометрии . [1]
Терстон получил медаль Филдса в 1982 году за «революционизацию [в] изучении топологии в 2-х и 3-х измерениях, демонстрацию взаимодействия между анализом, топологией и геометрией» и «вклад в идею о том, что очень большой класс замкнутых трехмерных многообразий имеют гиперболическую структуру». [15] [16]
В 2005 году Тёрстон выиграл первую книжную премию Американского математического общества за трёхмерную геометрию и топологию . Премия «признается за выдающуюся исследовательскую книгу, которая вносит плодотворный вклад в исследовательскую литературу». [17] В 2012 году он был награжден премией Лероя П. Стила от Американского математического общества за выдающийся вклад в исследования. В цитате его работа описывалась как «совершившая революцию в теории трёх многообразий». [18]
У Терстона и его первой жены Рэйчел Финдли было трое детей: Дилан, Натаниэль и Эмили. [6] Дилан был участником MOSP (1988–90) [19] и является математиком в Университете Индианы в Блумингтоне . [20] У Терстона было двое детей от его второй жены, Джулиан Мюриэл Терстон: Ханна Джейд и Лиам. [6]
Терстон умер 21 августа 2012 года в Рочестере, штат Нью-Йорк , от меланомы слизистой оболочки носовых пазух , которая была диагностирована в 2011 году. [6] [21] [7]
СМИ, связанные с Уильямом Терстоном, на Викискладе?