Модель двухмоментного решения

В теории принятия решений , экономике и финансах двухмоментная модель принятия решений — это модель, описывающая или предписывающая процесс принятия решений в контексте, в котором лицо, принимающее решения, сталкивается со случайными величинами , реализации которых не могут быть известны заранее, и в котором выбор делается на основе знания двух моментов этих случайных величин. Два момента почти всегда являются средним значением, то есть ожидаемым значением , которое является первым моментом около нуля, и дисперсией , которая является вторым моментом около среднего значения (или стандартным отклонением , которое является квадратным корнем дисперсии).

Наиболее известная двухмоментная модель принятия решений — это модель современной портфельной теории , которая дает начало разделу принятия решений модели ценообразования капитальных активов ; она использует анализ среднего значения и дисперсии и фокусируется на среднем значении и дисперсии окончательной стоимости портфеля.

Двухмоментные модели и максимизация ожидаемой полезности

Предположим, что все соответствующие случайные величины находятся в одном и том же семействе масштаба местоположения , что означает, что распределение каждой случайной величины совпадает с распределением некоторого линейного преобразования любой другой случайной величины. Тогда для любой функции полезности фон Неймана–Моргенштерна использование структуры принятия решений на основе средней дисперсии согласуется с ожидаемой максимизацией полезности , ^{[1] [2],} как показано в примере 1:

Пример 1: ^{[3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]} Пусть есть один рискованный актив со случайной доходностью и один безрисковый актив с известной доходностью , и пусть начальное богатство инвестора будет . Если сумма , переменная выбора, должна быть инвестирована в рискованный актив, а сумма должна быть инвестирована в безопасный актив, то, в зависимости от , случайное конечное богатство инвестора будет . Тогда для любого выбора , распределяется как преобразование масштаба местоположения  . Если мы определим случайную величину как равную по распределению , то она равна по распределению , где μ представляет собой ожидаемое значение, а σ представляет собой стандартное отклонение случайной величины (квадратный корень из ее второго момента). Таким образом, мы можем записать ожидаемую полезность в терминах двух моментов  : ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r_{f}}$ ${\displaystyle w_{0}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle w_{0}-q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle w=(w_{0}-q)r_{f}+qr}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\tfrac {w-\mu _{w}}{\sigma _{w}}},}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \mu _{w}+\sigma _{w}x}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \operatorname {E} u(w)=\int _{-\infty }^{\infty }\!u(\mu _{w}+\sigma _{w}x)f(x)\,dx\equiv v(\mu _{w},\sigma _{w}),}$

где — функция полезности фон Неймана–Моргенштерна , — функция плотности распределения , а — производная функция выбора среднего стандартного отклонения, которая по форме зависит от функции плотности распределения f . Предполагается, что функция полезности фон Неймана–Моргенштерна возрастает, что означает, что большее богатство предпочтительнее меньшего, и предполагается, что она вогнутая, что равнозначно предположению, что индивид не склонен к риску . ${\displaystyle u(\cdot )}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v(\cdot ,\cdot )}$

Можно показать, что частная производная v по отношению к μ _w положительна, а частная производная v по отношению к σ _w отрицательна; таким образом, большее ожидаемое богатство всегда нравится, а больший риск (измеряемый стандартным отклонением богатства) всегда не нравится. Кривая безразличия среднего стандартного отклонения определяется как геометрическое место точек ( σ _w ,  μ _w ) с σ _{w ,} нанесенной горизонтально, так что E u ( w ) имеет одинаковое значение во всех точках на геометрическом месте. Тогда производные v подразумевают, что каждая кривая безразличия имеет восходящий наклон: то есть вдоль любой кривой безразличия dμ _w  /  d σ _w  > 0. Более того, можно показать ^[3] , что все такие кривые безразличия являются выпуклыми: вдоль любой кривой безразличия d ² μ _w  /  d (σ _w ) ²  > 0.

Пример 2: Анализ портфеля в примере 1 можно обобщить. Если имеется n рискованных активов вместо одного, и если их доходность распределена совместно эллиптически , то все портфели можно полностью охарактеризовать с помощью их среднего значения и дисперсии, то есть любые два портфеля с идентичным средним значением и дисперсией доходности портфеля имеют идентичные распределения доходности портфеля, и все возможные портфели имеют распределения доходности, которые связаны друг с другом масштабом местоположения. ^{[11] [12]} Таким образом, оптимизация портфеля может быть реализована с использованием двухмоментной модели принятия решений.

Пример 3: Предположим, что фирма, принимающая цены и не склонная к риску, должна взять на себя обязательство произвести количество продукции q до того, как будет оценена рыночная реализация p цены продукта. ^[13] Ее проблема принятия решения заключается в выборе q таким образом, чтобы максимизировать ожидаемую полезность прибыли:

Максимизировать E u ( pq – c ( q ) – g ),

где E — оператор ожидаемого значения , u — функция полезности фирмы, c — ее функция переменных издержек , а g — ее фиксированные издержки . Все возможные распределения случайного дохода фирмы pq , основанные на всех возможных вариантах выбора q , связаны с масштабом местоположения; поэтому проблема принятия решения может быть сформулирована в терминах ожидаемого значения и дисперсии дохода.

Принятие решений, не основанных на ожидаемой полезности

Если лицо, принимающее решение, не является максимизатором ожидаемой полезности , принятие решения все равно может быть сформулировано в терминах среднего значения и дисперсии случайной величины, если все альтернативные распределения для непредсказуемого результата являются преобразованиями масштаба местоположения друг друга. ^[14]

Смотрите также

• Теория принятия решений
• Выбор межвременного портфеля
• Микроэкономика

Ссылки

1. Mayshar, J. (1978). «Заметка о критике Фельдштейном анализа среднего отклонения». Review of Economic Studies . 45 (1): 197–199. doi :10.2307/2297094. JSTOR  2297094.
2. Синн, Х.-В. (1983). Экономические решения в условиях неопределенности (Второе английское издание). Амстердам: Северная Голландия. ISBN 0444863877.
3. Мейер, Джек (1987). «Двухмоментные модели принятия решений и максимизация ожидаемой полезности». American Economic Review . 77 (3): 421–430. JSTOR  1804104.
4. Тобин, Дж. (1958). «Предпочтение ликвидности как поведение по отношению к риску». Обзор экономических исследований . 25 (1): 65–86. doi :10.2307/2296205. JSTOR  2296205.
5. Мюллер, МГ, ред. (1966). Чтения по макроэкономике . Холт, Райнхарт и Уинстон. стр. 65–86.
6. Торн, Ричард С., ред. (1966). Денежная теория и политика . Random House. С. 172–191.
7. Уильямс, HR; Хаффнагл, JD, ред. (1969). Макроэкономическая теория . Appleton-Century-Crofts. стр. 299–324. ISBN 9780390946461.
8. Тобин, Дж. (1971). "Глава 15: Предпочтение ликвидности как поведение по отношению к риску". Очерки по экономике: Макроэкономика . Том 1. MIT Press. ISBN 0262200627.
9. Тобин, Дж.; Хестер, Д. ред. (1967) Неприятие риска и выбор портфеля , Монография Коулза № 19, John Wiley & Sons ^{[ нужная страница ]}
10. Дэвид Лейдлер, редактор (1999) Основы денежной экономики, том 1 , Edward Elgar Publishing Ltd. ^{[ нужна страница ]}
11. Чемберлен, Г. (1983). «Характеристика распределений, подразумевающих функции полезности средней дисперсии». Журнал экономической теории . 29 (1): 185–201. doi :10.1016/0022-0531(83)90129-1.
12. Оуэн, Дж.; Рабинович, Р. (1983). «О классе эллиптических распределений и их приложениях к теории выбора портфеля». Журнал финансов . 38 (3): 745–752. doi :10.1111/j.1540-6261.1983.tb02499.x. JSTOR  2328079.
13. Сандмо, Агнар (1971). «О теории конкурентной фирмы в условиях ценовой неопределенности». American Economic Review . 61 (1): 65–73. JSTOR  1910541.
14. Бар-Шира, З. и Финкельштейн, И., "Двухмоментные модели принятия решений и предпочтения, репрезентативные с точки зрения полезности", Журнал экономического поведения и организации 38, 1999, 237-244. См. также Митчелл, Дуглас В. и Геллес, Грегори М., "Двухмоментные модели принятия решений и предпочтения, репрезентативные с точки зрения полезности: комментарий к Бар-Шира и Финкельштейн, т. 49, 2002, 423-427.