Версин

1 минус косинус угла

Версинус или версусный синус — тригонометрическая функция, встречающаяся в некоторых из самых ранних ( Санскрит Арьябхатия , ^[1] Раздел I) тригонометрических таблиц . Версинус угла равен 1 минус его косинус .

Существует несколько связанных функций, наиболее примечательными из которых являются coverine и haversine . Последняя, ​​половина версина, имеет особое значение в формуле гаверсинуса навигации.

Единичная окружность с тригонометрическими функциями . ^[2]

Обзор

Версинус ^{[3] [4] [5] [6] [7]} или версус синус ^{[8] [9] [10] [11]} [ ^12] — тригонометрическая функция , уже появляющаяся в некоторых из самых ранних тригонометрических таблиц. В формулах она обозначается сокращениями versin , sinver , ^{[13] [14]} vers , ver ^[15] или siv . ^{[16] [17]} На латыни она известна как sinus versus (перевернутый синус), versinus , versus или sagitta (стрелка). ^[18]

Выраженный через общие тригонометрические функции синус, косинус и тангенс, версинус равен $${\displaystyle \operatorname {versin} \theta =1-\cos \theta =2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}=\sin \theta \,\tan {\frac {\theta }{2}}}$$

Существует несколько связанных функций, соответствующих версину:

• Обратный косинус , ^{[19] [nb 1]} или веркосинус , сокращенно vercosin , vercos или vcs .
• Покрытый синус или coversine ^[20] (на латыни cosinus versus или coversinus ), сокращенно coversin , ^[21] covers , ^{[22] [23] [24]} cosiv или cvs ^[25]
• Покрытый косинус [ ^26] или коверкосинус , сокращенно коверкосин , коверкос или cvc

В полной аналогии с вышеупомянутыми четырьмя функциями существует еще один набор из четырех функций «полузначения»:

• Гаверсный синус ^[27] или гаверсинус (лат. semiversus ), ^{[28] [29]} сокращенно haversin , semiversin , semiversinus , havers , hav , ^{[30] [31]} hvs , ^{[nb 2]} sem или hv , ^[32] наиболее известная из формулы гаверсинуса, которая исторически использовалась в навигации.
• Хаверскосин ^[33] или хаверкосин , сокращенно хаверкосин , хаверкос , hac или hvc
• Хаковерсин , хаковерсин , ^[21] или кохаверсин , сокращенно хаковерсин , полуковерсин , хаковер , хаков ^[34] или hcv
• Хаковеркосин , ^[35] хаковеркозин или кохаверкозин , сокращенно хаковеркозин , хаковеркос или hcc

История и применение

Версин и каверсин

Синус, косинус и версинус угла θ в терминах единичной окружности радиусом 1 с центром в точке O. Этот рисунок также иллюстрирует причину, по которой версинус иногда называли sagitta , что на латыни означает стрела . ^{[18] [36]} Если дугу ADB двойного угла Δ  = 2 θ рассматривать как « лук », а хорду AB — как его «тетиву», то версинус CD, очевидно, является «древком стрелы».

Графики исторических тригонометрических функций в сравнении с sin и cos — в файле SVG наведите курсор или щелкните график, чтобы выделить его.

Обычную функцию синуса ( см. примечание об этимологии ) иногда исторически называли sinus rectus («прямой синус»), чтобы противопоставить ее обращенному синусу ( sinus versus ). ^[37] Значение этих терминов становится очевидным, если взглянуть на функции в исходном контексте для их определения, единичной окружности :

Для вертикальной хорды AB единичной окружности синус угла θ (представляющий половину противолежащего угла Δ ) является расстоянием AC (половина хорды). С другой стороны, обратный синус θ является расстоянием CD от центра хорды до центра дуги. Таким образом, сумма cos( θ ) (равная длине линии OC ) и versin( θ ) (равная длине линии CD ) является радиусом OD (длиной 1). Проиллюстрированный таким образом, синус является вертикальным ( rectus , буквально «прямой»), в то время как versine является горизонтальным ( versus , буквально «повернутый против, не на своем месте»); оба являются расстояниями от C до окружности.

Этот рисунок также иллюстрирует причину, по которой версин иногда называли sagitta , что на латыни означает «стрела » . ^{[18] [36]} Если дугу ADB двойного угла Δ  = 2 θ рассматривать как « лук », а хорду AB — как его «тетиву», то версин CD , очевидно, является «древком стрелы».

В соответствии с интерпретацией синуса как «вертикального», а обратного синуса как «горизонтального», сагитта также является устаревшим синонимом абсциссы ( горизонтальной оси графика). ^[36]

В 1821 году Коши использовал термины синус против ( siv ) для версинуса и косинус против ( cosiv ) для коверсинуса. ^{[16] [17] [nb 1]}

Тригонометрические функции можно построить геометрически в терминах единичной окружности с центром в точке O.

Исторически обратный синус считался одной из важнейших тригонометрических функций. ^{[12] [37] [38]}

Когда θ стремится к нулю, versin( θ ) представляет собой разницу между двумя почти равными величинами, поэтому пользователю тригонометрической таблицы только для косинуса потребуется очень высокая точность для получения версина, чтобы избежать катастрофического сокращения , что делает отдельные таблицы для последнего удобными. ^[12] Даже при использовании калькулятора или компьютера ошибки округления делают целесообразным использование формулы sin ² для малых  θ .

Еще одним историческим преимуществом версина является то, что он всегда неотрицателен, поэтому его логарифм определен везде, за исключением одного угла ( θ = 0, 2 π , …), где он равен нулю — таким образом, можно использовать логарифмические таблицы для умножения в формулах, включающих версины.

Фактически, самая ранняя сохранившаяся таблица значений синуса (полухорды ) (в отличие от хорд, табулированных Птолемеем и другими греческими авторами), рассчитанная по индийскому трактату «Сурья-сиддханта» , датируемому 3 веком до н. э., представляла собой таблицу значений синуса и обратного синуса (с шагом 3,75° от 0 до 90°). ^[37]

Версинус появляется как промежуточный шаг в применении формулы половинного угла sin ² ( ⁠θ/2⁠ ) ​​= ⁠1/2⁠ versin( θ ), выведенный Птолемеем , который использовался для построения таких таблиц.

Гаверсин

Гаверсинус, в частности, был важен в навигации , поскольку он появляется в формуле гаверсинуса , которая используется для достаточно точного вычисления расстояний на астрономическом сфероиде (см. вопросы с радиусом Земли по сравнению со сферой ) с учетом угловых положений (например, долготы и широты ). Можно также использовать sin ² ( ⁠θ/2⁠ ) ​​напрямую, но наличие таблицы гаверсинуса устраняет необходимость вычисления квадратов и квадратных корней. ^[12]

Раннее использование Хосе де Мендоса-и-Риос того, что позже будет названо хаверсинес, задокументировано в 1801 году. ^{[14] [39]}

Первый известный английский эквивалент таблицы гаверсинусов был опубликован Джеймсом Эндрю в 1805 году под названием «Квадраты натуральных полухордов». ^{[40] [41] [18]}

В 1835 году термин гаверсинус (записываемый в естественном виде как hav. или логарифмически по основанию 10 как лог. гаверсинус или лог. havers. ) был придуман ^[42] Джеймсом Инманом ^{[14] [43] [44]} в третьем издании его работы «Навигация и морская астрономия: для использования британскими моряками» для упрощения расчета расстояний между двумя точками на поверхности Земли с использованием сферической тригонометрии для приложений в навигации. ^{[3] [42]} Инман также использовал термины нат. версус и нат. верс. для версусов. ^[3]

Другие высоко оцененные таблицы гаверсинов были составлены Ричардом Фарли в 1856 году ^{[40] [45]} и Джоном Колфилдом Ханнингтоном в 1876 году. ^{[40] [46]}

Гаверсинус продолжает использоваться в навигации и в последние десятилетия находит новые применения, как в методе Брюса Д. Старка для определения лунных расстояний с использованием гауссовых логарифмов с 1995 года ^{[47] [48]} или в более компактном методе снижения видимости с 2014 года. ^[32]

Современное использование

В то время как использование версина, коверсина и гаверсинуса, а также их обратных функций можно проследить на протяжении столетий, названия остальных пяти софункций, по-видимому, имеют гораздо более молодое происхождение.

Один период (0 < θ < 2 π ) версинусоида или, чаще, гаверсинуса (или гаверкосина) также обычно используется в обработке сигналов и теории управления как форма импульса или оконной функции (включая окна Ханна , Ханна–Пуассона и Тьюки ), поскольку он плавно ( непрерывно по значению и наклону ) «включается» от нуля до единицы (для гаверсинуса) и обратно до нуля. ^{[nb 2]} В этих приложениях он называется функцией Ханна или фильтром с приподнятым косинусом . Аналогично гаверкосинус используется в распределениях с приподнятым косинусом в теории вероятностей и статистике .

В форме sin ² ( θ ) гаверсинус двойного угла Δ описывает связь между разворотами и углами в рациональной тригонометрии , предложенной переформулировкой метрических плоских и объемных геометрий Норманом Джоном Уайлдбергером с 2005 года. ^[49]

Математические тождества

Определения

Круговые вращения

Функции представляют собой круговые вращения друг друга.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {versin} (\theta )&=\mathrm {coversin} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {vercosin} \left(\theta +\pi \right)=\mathrm {covercosin} \left(\theta +{\frac {3\pi }{2}}\right)\\\mathrm {haversin} (\theta )&=\mathrm {hacoversin} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {havercosin} \left(\theta +\pi \right)=\mathrm {hacovercosin} \left(\theta +{\frac {3\pi }{2}}\right)\end{aligned}}}$

Производные и интегралы

Обратные функции

Обратные функции, такие как аркверсин ^[34] (arcversin, arcvers, ^{[8] [34]} avers, ^{[51] [52]} aver), аркверкосин (arcvercosin, arcvercos, avercos, avcs), аркковерсин ^[34] (arccoversin, arccovers, ^{[8] [34]} acovers, ^{[51] [52]} acvs), аркковеркосин (arccovercosin, arccovercos, acovercos, acvc), архаверсин (archaversin, archav, ^[34] haversin ⁻¹ , ^[53] invhav, ^{[34] [54] [55] [56]} ahav, ^{[34] [51] [52]} ahvs, ahv, hav ^{−1 [57] [58]} ), архаверкосин (archavercosin, также существуют архаверкос, ahvc), архаковерзин (archacoversin, ahcv) или архаковеркозин (archacovercosin, archacovercos, ahcc):

Другие свойства

Эти функции можно расширить на комплексную плоскость . ^{[50] [20] [27]}

Серия Маклорена : ^[27]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {versin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{(2k)!}}\\\operatorname {haversin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{2(2k)!}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )}{\theta }}=0}$^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}-{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )}{\operatorname {exsec} (\theta )-\operatorname {excsc} (\theta )}}&={\frac {2\operatorname {versin} (\theta )\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}\\[3pt][\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {exsec} (\theta )]\,[\operatorname {coversin} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )]&=\sin(\theta )\cos(\theta )\end{aligned}}}$^[8]

Приближения

Сравнение функции версина с тремя приближениями к функциям версина для углов от 0 до 2π

Сравнение функции версина с тремя приближениями к функциям версина для углов от 0 до π /2

Когда версинус v мал по сравнению с радиусом r , его можно аппроксимировать из длины полухорды L (расстояние AC, показанное выше) по формуле ^[59] $${\displaystyle v\approx {\frac {L^{2}}{2r}}.}$$

В качестве альтернативы, если версус мал, а версус, радиус и длина полухорды известны, их можно использовать для оценки длины дуги s ( AD на рисунке выше) по формуле Эта формула была известна китайскому математику Шэнь Ко , а более точная формула, также включающая стрелку, была разработана два столетия спустя Го Шоуцзином . ^[60] $${\displaystyle s\approx L+{\frac {v^{2}}{r}}}$$

Более точное приближение, используемое в инженерии ^[61], это $${\displaystyle v\approx {\frac {s^{\frac {3}{2}}L^{\frac {1}{2}}}{8r}}}$$

Произвольные кривые и хорды

Термин версинус также иногда используется для описания отклонений от прямолинейности в произвольной плоской кривой, частным случаем которой является приведенная выше окружность. При наличии хорды между двумя точками кривой перпендикулярное расстояние v от хорды до кривой (обычно в середине хорды) называется измерением версинуса . Для прямой линии версинус любой хорды равен нулю, поэтому это измерение характеризует прямолинейность кривой. В пределе , когда длина хорды L стремится к нулю, отношение ⁠8 в/Л ²⁠ переходит к мгновенной кривизне . Такое использование особенно распространено в железнодорожном транспорте , где оно описывает измерения прямолинейности рельсовых путей ^[62] и является основой метода Халлада для обследования рельсов .

Термин «сагитта» (часто сокращенно « sag ») используется аналогичным образом в оптике для описания поверхностей линз и зеркал .

Смотрите также

• Тригонометрические тождества
• Экссекант и экскосекант
• Версиера ( Ведьма Аньези )
• Экспонента минус 1
• Натуральный логарифм плюс 1

Примечания

1. Некоторые английские источники путают обращенный косинус с покрытым синусом. Исторически (например, в Cauchy, 1821) синус против (versine) определялся как siv( θ ) = 1−cos( θ ), косинус против (то, что сейчас также известно как coversine) как cosiv( θ ) = 1−sin( θ ), а веркосинус как vcs θ  = 1+cos( θ ). Однако в своем английском переводе работы Коши 2009 года Брэдли и Сэндифер связывают косинус против (и cosiv) с обращенным косинусом (то, что сейчас также известно как vercosine), а не с покрытым синусом . Аналогично, в своей работе 1968/2000 годов Корн и Корн связывают функцию cover( θ ) с обращенным косинусом вместо обращенного синуса .
2. Сокращение hvs , иногда используемое для функции гаверсинуса при обработке и фильтрации сигналов, также иногда используется для несвязанной ступенчатой ​​функции Хевисайда .

Ссылки

1. Арьябхатийа Арьябхаты
2. Хаслетт, Чарльз (сентябрь 1855 г.). Хэкли, Чарльз У. (ред.). Практическая справочная книга механика, машиниста, инженера: Содержит таблицы и формулы для использования в поверхностных и твердых измерениях; прочность и вес материалов; механика; машины; гидравлика, гидродинамика; морские двигатели, химия; и разные рецепты. Адаптировано для использования всеми классами практической механики. Вместе с полевой книгой инженера: Содержит формулы для различных бегущих и изменяющихся линий, определения местоположения боковых путей и стрелок и т. д., и т. д. Таблицы радиусов и их логарифмов, натуральных и логарифмических обратных синусов и внешних секущих, натуральных синусов и тангенсов для каждого градуса и минуты квадранта и логарифмы от натуральных чисел от 1 до 10 000. Нью-Йорк, США: Джеймс Г. Грегори, преемник WA Townsend & Co. (Stringer & Townsend) . Получено 13 августа 2017 г. [ …] Тем не менее, можно сэкономить много вычислительного труда, используя таблицы внешних секущих и обратных синусов, которые с большим успехом применялись в последнее время инженерами на железной дороге Огайо и Миссисипи и которые вместе с формулами и правилами, необходимыми для их применения при построении кривых, составленными г-ном Хаслеттом, одним из инженеров этой дороги, теперь впервые предоставляются публике. […] Представляя эту работу публике, автор заявляет, что она представляет собой адаптацию нового принципа в тригонометрическом анализе формул, обычно используемых в полевых расчетах. Опыт показал, что обратные синусы и внешние секущие так же часто входят в расчеты на кривых, как синусы и тангенсы; и благодаря их использованию, как показано в примерах, приведенных в этой работе, считается, что многие из правил общего пользования значительно упрощены, и многие вычисления, касающиеся кривых и бегущих линий, стали менее сложными, а результаты получены с большей точностью и гораздо меньшими трудностями, чем любыми методами, изложенными в работах такого рода. Все приведенные примеры были предложены реальной практикой и объяснят себя сами. […] Как книга для практического использования в полевых работах, можно с уверенностью полагать, что она более прямая в применении правил и легкости вычислений, чем любая работа, используемая в настоящее время. В дополнение к таблицам, обычно встречающимся в книгах такого рода, автор подготовил, с большим трудом, Таблицу натуральных и логарифмических обратных синусов и внешних секущих, вычисленных в градусах, для каждой минуты; также Таблицу радиусов и их логарифмов, от 1° до 60°. […]Издание 1856 года
3. Инман, Джеймс (1835) [1821]. Навигация и морская астрономия: для использования британскими моряками (3-е изд.). Лондон, Великобритания: W. Woodward, C. & J. Rivington . Получено 2015-11-09 .(Четвертое издание: [1].)
4. Zucker, Ruth (1983) [июнь 1964]. "Глава 4.3.147: Элементарные трансцендентные функции - Круговые функции". В Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann (ред.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables . Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 78. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
5. Tapson, Frank (2004). "Background Notes on Measures: Angles". 1.4. Cleave Books. Архивировано из оригинала 2007-02-09 . Получено 2015-11-12 .
6. Oldham, Keith B.; Myland, Jan C.; Spanier, Jerome (2009) [1987]. "32.13. Функции Cosine cos(x) и Sine sin(x) - Cognate functions". Атлас функций: с Equator, Atlas Function Calculator (2-е изд.). Springer Science+Business Media, LLC . стр. 322. doi :10.1007/978-0-387-48807-3. ISBN 978-0-387-48806-6. LCCN  2008937525.
7. Beebe, Nelson HF (2017-08-22). "Глава 11.1. Свойства синуса и косинуса". Справочник по вычислению математических функций - Программирование с использованием библиотеки переносимого программного обеспечения MathCW (1-е изд.). Солт-Лейк-Сити, Юта, США: Springer International Publishing AG . стр. 301. doi :10.1007/978-3-319-64110-2. ISBN 978-3-319-64109-6. LCCN  2017947446. S2CID  30244721.
8. Холл, Артур Грэм; Фринк, Фред Гудрич (январь 1909 г.). «Обзорные упражнения [100] Вторичные тригонометрические функции». Написано в Энн-Арбор, Мичиган, США. Тригонометрия. Том. Часть I: Плоская тригонометрия. Нью-Йорк, США: Henry Holt and Company / Norwood Press / JS Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Норвуд, Массачусетс, США. стр. 125–127 . Получено 12 августа 2017 г.
9. Бойер, Карл Бенджамин (1969) [1959]. "5: Комментарий к статье Э. Дж. Дейкстерхейса (Истоки классической механики от Аристотеля до Ньютона)". В Клэгетт, Маршалл (ред.). Критические проблемы в истории науки (3-е изд.). Мэдисон, Милуоки и Лондон: University of Wisconsin Press, Ltd. стр. 185–190. ISBN 0-299-01874-1. LCCN  59-5304. 9780299018740 . Получено 16.11.2015 .
10. Swanson, Todd; Andersen, Janet; Keeley, Robert (1999). "5 (Тригонометрические функции)" (PDF) . Precalculus: A Study of Functions and Their Applications . Harcourt Brace & Company . стр. 344. Архивировано (PDF) из оригинала 2003-06-17 . Получено 2015-11-12 .
11. Корн, Грандино Артур; Корн, Тереза ​​М. (2000) [1961]. "Приложение B: B9. Плоская и сферическая тригонометрия: формулы, выраженные в терминах функции гаверсина". Математический справочник для ученых и инженеров: Определения, теоремы и формуляры для справки и обзора (3-е изд.). Минеола, Нью-Йорк, США: Dover Publications, Inc. стр. 892–893. ISBN 978-0-486-41147-7.(См. список исправлений.)
12. Calvert, James B. (2007-09-14) [2004-01-10]. "Тригонометрия". Архивировано из оригинала 2007-10-02 . Получено 2015-11-08 .
13. Эдлер фон Браунмюль, Антон (1903). Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie - Von der Erfindung der Logarithmen bis auf die Gegenwart [ Лекции по истории тригонометрии - от изобретения логарифмов до наших дней ] (на немецком языке). Том. 2. Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер . п. 231 . Проверено 9 декабря 2015 г.
14. Каджори, Флориан (1952) [март 1929]. История математических обозначений. Т. 2 (2 (3-е исправленное издание выпуска 1929 года) изд.). Чикаго, США: Open court publishing company . стр. 172. ISBN 978-1-60206-714-1. 1602067147 . Получено 11.11.2015 . Гаверсинус впервые появляется в таблицах логарифмических версусов Хосе де Мендосы и Риоса (Мадрид, 1801, также 1805, 1809), а затем в трактате по навигации Джеймса Инмана (1821). См. JD White в Nautical Magazine (февраль и июль 1926).(Примечание. ISBN и ссылка на переиздание 2-го издания Cosimo, Inc., Нью-Йорк, США, 2013 г.)
15. Shaneyfelt, Ted V. "Заметки о кругах, треугольниках и костях: Что такое гаверкосинус?". Хило, Гавайи: Гавайский университет . Архивировано из оригинала 2015-09-19 . Получено 2015-11-08 .
16. Коши, Огюстен-Луи (1821). «Алгебрический анализ». Cours d'Analyse de l'Ecole Royale Polytechnique (на французском языке). Том. 1. L'Imprimerie Royale, Debure frères, Libraires du Roi et de la Bibliothèque du Roi .access-date=2015-11-07--> (переиздано Cambridge University Press , 2009; ISBN 978-1-108-00208-0 ) 
17. Брэдли, Роберт Э.; Сэндифер, Чарльз Эдвард (14.01.2010) [2009]. Бухвальд, Дж. З. (ред.). Курс анализа Коши: аннотированный перевод. Источники и исследования по истории математики и физических наук. Коши, Огюстен-Луи . Springer Science+Business Media, LLC . стр. 10, 285. doi :10.1007/978-1-4419-0549-9. ISBN 978-1-4419-0548-2. LCCN  2009932254. 1441905499, 978-1-4419-0549-9 . Получено 2015-11-09 .(См. список исправлений.)
18. van Brummelen, Glen Robert (2013). Небесная математика: забытое искусство сферической тригонометрии. Princeton University Press . ISBN 9780691148922. 0691148929 . Получено 10.11.2015 .
19. Weisstein, Eric Wolfgang . "Vercosine". MathWorld . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 2014-03-24 . Получено 2015-11-06 .
20. Weisstein, Eric Wolfgang . "Coversine". MathWorld . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 2005-11-27 . Получено 2015-11-06 .
21. Weisstein, Eric Wolfgang . "Hacoversine". MathWorld . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 2014-03-29 . Получено 2015-11-06 .
22. Ладлоу, Генри Хант; Басс, Эдгар Уэйлс (1891). Элементы тригонометрии с логарифмическими и другими таблицами (3-е изд.). Бостон, США: John Wiley & Sons . стр. 33. Получено 08.12.2015 .
23. Вентворт, Джордж Альберт (1903) [1887]. Плоская тригонометрия (2-е изд.). Бостон, США: Ginn and Company . стр. 5.
24. Кеньон, Альфред Монро; Ингольд, Луис (1913). Тригонометрия. Нью-Йорк, США: The Macmillan Company . С. 8–9 . Получено 08.12.2015 .
25. Андерегг, Фредерик; Роу, Эдвард Дрейк (1896). Тригонометрия: для школ и колледжей. Бостон, США: Ginn and Company . стр. 10. Получено 08.12.2015 .
26. Weisstein, Eric Wolfgang . "Covercosine". MathWorld . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 2014-03-28 . Получено 2015-11-06 .
27. Weisstein, Eric Wolfgang . "Haversine". MathWorld . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 2005-03-10 . Получено 2015-11-06 .
28. Фулст, Отто (1972). «17, 18». В Лютьене, Йоханнес; Штейн, Уолтер; Цвиблер, Герхард (ред.). Nautische Tafeln (на немецком языке) (24-е изд.). Бремен, Германия: Артур Гейст Верлаг.
29. Зауэр, Франк (2015) [2004]. «Semiversus-Verfahren: Logarithmische Berechnung der Höhe» (на немецком языке). Хотхайм-ам-Таунус, Германия: Astrosail. Архивировано из оригинала 17 сентября 2013 г. Проверено 12 ноября 2015 г.
30. Райдер, Пол Рис; Дэвис, Альфред (1923). Плоская тригонометрия. Нью-Йорк, США: D. Van Nostrand Company . стр. 42. Получено 08.12.2015 .
31. "Haversine". Wolfram Language & System: Documentation Center . 7.0. 2008. Архивировано из оригинала 2014-09-01 . Получено 2015-11-06 .
32. Rudzinski, Greg (июль 2015 г.). «Ультракомпактное уменьшение прицела». Ocean Navigator (227). Ix, Hanno. Портленд, ME, США: Navigator Publishing LLC: 42–43. ISSN  0886-0149 . Получено 07.11.2015 .
33. Weisstein, Eric Wolfgang . "Havercosine". MathWorld . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 29.03.2014 . Получено 06.11.2015 .
34. ван Влеймен, Оскар (28 декабря 2005 г.) [2003]. «Гониология». Eenheden, постоянные разговоры . Архивировано из оригинала 28 октября 2009 г. Проверено 28 ноября 2015 г.
35. Weisstein, Eric Wolfgang . "Hacovercosine". MathWorld . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 29.03.2014 . Получено 06.11.2015 .
36. "sagitta" . Оксфордский словарь английского языка (Электронная правка). Oxford University Press . (Требуется подписка или членство в участвующем учреждении.)
37. Бойер, Карл Бенджамин ; Мерцбах, Ута С. (1991-03-06) [1968]. История математики (2-е изд.). Нью-Йорк, США: John Wiley & Sons . ISBN 978-0471543978. 0471543977 . Получено 10.08.2019 .
38. Миллер, Джефф (2007-09-10). "Самые ранние известные применения некоторых слов математики (V)". Нью-Порт-Ричи, Флорида, США. Архивировано из оригинала 2015-09-05 . Получено 2015-11-10 .
39. де Мендоса-и-Риос, Джозеф (1795). Запоминание новых методов расчета долготы по лунным расстояниям: и применение вашей теории для решения других проблем с навигацией (на испанском языке). Мадрид, Испания: Имрента Реал.
40. Арчибальд, Рэймонд Клэр (1945). "Современные математические таблицы: 197[C, D].— Натуральные и логарифмические гаверсинусы..." Математические таблицы и другие вспомогательные средства для вычислений . 1 (11): 421–422. doi : 10.1090/S0025-5718-45-99080-6 .
41. Эндрю, Джеймс (1805). Астрономические и морские таблицы с указаниями для определения широты и долготы мест . Т. XIII. Лондон. С. 29–148.(Таблица гаверсинусов из 7 знаков от 0° до 120° с интервалом 10".)
42. "haversine". Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Oxford University Press . 1989.
43. Уайт, Дж. Д. (февраль 1926 г.). "(неизвестное название)". Nautical Magazine .(Примечание. Согласно Каджори, 1929, в этом журнале обсуждается происхождение гаверсинов.)
44. Уайт, Дж. Д. (июль 1926 г.). "(неизвестное название)". Nautical Magazine .(Примечание. Согласно Каджори, 1929, в этом журнале обсуждается происхождение гаверсинов.)
45. Фарли, Ричард (1856). Натуральные обращенные синусы от 0 до 125° и логарифмические обращенные синусы от 0 до 135° . Лондон.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)( Таблица гаверсинусов от 0° до 125°/135°.)
46. Ханнингтон, Джон Колфилд (1876). Гаверсины, натуральные и логарифмические, используемые при вычислении лунных расстояний для Морского альманаха . Лондон.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)(Таблица гаверсинусов из 7 знаков от 0° до 180°, логарифмические гаверсинусы с интервалом 15", нат. гаверсинусы с интервалом 10".)
47. Старк, Брюс Д. (1997) [1995]. Таблицы Старка для определения расстояния до Луны и поиска всемирного времени с помощью секстанта, включая удобный способ оттачивания навыков навигации по небесным объектам на суше (2-е изд.). Starpath Publications. ISBN 978-0914025214. 091402521X . Получено 2015-12-02 .(Примечание. Содержит таблицу гауссовых логарифмов lg (1+10 ^−x ).)
48. Каливода, Ян (2003-07-30). "Брюс Старк - Таблицы для определения расстояния от Луны и поиска GMT с помощью наблюдения секстанта (1995, 1997)" (Обзор). Прага, Чешская Республика. Архивировано из оригинала 2004-01-12 . Получено 2015-12-02 .[2][3]
49. Wildberger, Norman John (2005). Божественные пропорции: от рациональной тригонометрии до универсальной геометрии (1-е изд.). Австралия: Wild Egg Pty Ltd. ISBN 0-9757492-0-X. Получено 01.12.2015 .
50. Weisstein, Eric Wolfgang . "Versine". MathWorld . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 2010-03-31 . Получено 2015-11-05 .
51. Симпсон, Дэвид Г. (2001-11-08). "AUXTRIG" ( исходный код Fortran 90 ). Гринбелт, Мэриленд, США: NASA Goddard Space Flight Center . Архивировано из оригинала 2008-06-16 . Получено 2015-10-26 .
52. van den Doel, Kees (2010-01-25). "jass.utils Class Fmath". JASS - Java Audio Synthesis System . 1.25. Архивировано из оригинала 2007-09-02 . Получено 2015-10-26 .
53. mf344 (2014-07-04). "Lost but lovely: The haversine". Plus magazine . maths.org. Архивировано из оригинала 2014-07-18 . Получено 2015-11-05 .{{cite news}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
54. Skvarc, Jure (1999-03-01). "identify.py: Клиент asteroid_server, который идентифицирует измерения в формате MPC". Fitsblink ( исходный код Python ). Архивировано из оригинала 20-11-2008 . Получено 28-11-2015 .
55. Skvarc, Jure (2014-10-27). "astrotrig.py: Функции, связанные с астрономической тригонометрией" ( исходный код Python ). Любляна, Словения: Телескоп Vega, Университет Любляны . Архивировано из оригинала 2015-11-28 . Получено 2015-11-28 .
56. Ballew, Pat (2007-02-08) [2003]. "Versine". Math Words, страница 4. Versine. Архивировано из оригинала 2007-02-08 . Получено 2015-11-28 .
57. Weisstein, Eric Wolfgang . "Обратный гаверсинус". MathWorld . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 2008-06-08 . Получено 2015-10-05 .
58. "InverseHaversine". Wolfram Language & System: Documentation Center . 7.0. 2008. Получено 2015-11-05 .
59. Вудворд, Эрнест (декабрь 1978 г.). Геометрия - плоские, объемные и аналитические задачи. Руководства по решению задач. Ассоциация исследований и образования (REA). стр. 359. ISBN 978-0-87891-510-1.
60. Нидхэм, Ноэль Джозеф Теренс Монтгомери (1959). Наука и цивилизация в Китае: математика и науки о небесах и земле. Том 3. Cambridge University Press . стр. 39. ISBN 9780521058018.
61. Бордман, Гарри (1930). Таблица для использования в вычислении дуг, хорд и версинов . Chicago Bridge and Iron Company . стр. 32.
62. Наир, П. Н. Бхаскаран (1972). «Системы измерения пути — концепции и методы». Rail International . 3 (3). Международная ассоциация железнодорожных конгрессов, Международный союз железных дорог : 159–166. ISSN  0020-8442. OCLC  751627806.

Дальнейшее чтение

• Хокинг, Стивен Уильям , ред. (2002). На плечах гигантов: Великие труды физики и астрономии . Филадельфия, США: Running Press . ISBN 0-7624-1698-X. LCCN  2002100441 . Получено 31 июля 2017 г. .

Внешние ссылки

• Пегг, младший, ред . «Стрела, апотема и хорда». Проект демонстраций Вольфрама .
• Тригонометрические функции на GeoGebra.org