Эллиптическая функция Вейерштрасса

Класс математических функций

В математике эллиптические функции Вейерштрасса — это эллиптические функции , которые принимают особенно простую форму. Они названы в честь Карла Вейерштрасса . Этот класс функций также называют ℘-функциями , и они обычно обозначаются символом ℘, уникальной замысловатой буквой p . Они играют важную роль в теории эллиптических функций, т. е. мероморфных функций , которые являются дважды периодическими . ℘-функция вместе с ее производной может использоваться для параметризации эллиптических кривых , и они генерируют поле эллиптических функций относительно заданной решетки периодов.

Символ для функции Вейерштрасса ${\displaystyle \wp }$

Модель Вейерштрасса -функции ${\displaystyle \wp }$

Мотивация

Кубик вида , где — комплексные числа с , не может быть рационально параметризован . ^{[1] Тем не менее} , все еще хочется найти способ его параметризации. ${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}}$ ${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$

Для квадратичного уравнения ( единичной окружности ) существует (нерациональная) параметризация с использованием функции синуса и ее производной — функции косинуса: Из-за периодичности синуса и косинуса в качестве области определения выбрана биекция, поэтому функция является биективной. ${\displaystyle K=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}}$ $${\displaystyle \psi :\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to K,\quad t\mapsto (\sin t,\cos t).}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$

Аналогичным образом можно получить параметризацию с помощью двоякопериодической -функции (см. в разделе «Связь с эллиптическими кривыми»). Эта параметризация имеет область определения , которая топологически эквивалентна тору . [ ^2] ${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

Есть еще одна аналогия с тригонометрическими функциями. Рассмотрим интегральную функцию Ее можно упростить, подставив и : Это означает . Таким образом, функция синуса является обратной функцией интегральной функции. ^[3] $${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dy}{\sqrt {1-y^{2}}}}.}$$ ${\displaystyle y=\sin t}$ ${\displaystyle s=\arcsin x}$ $${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{s}dt=s=\arcsin x.}$$ ${\displaystyle a^{-1}(x)=\sin x}$

Эллиптические функции являются обратными функциями эллиптических интегралов . В частности, пусть: Тогда расширение на комплексную плоскость равно -функции. ^[4] Эта обратимость используется в комплексном анализе для решения некоторых нелинейных дифференциальных уравнений, удовлетворяющих свойству Пенлеве , т.е. тех уравнений, которые допускают полюса в качестве своих единственных подвижных особенностей . ^[5] $${\displaystyle u(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}.}$$ ${\displaystyle u^{-1}}$ ${\displaystyle \wp }$

Определение

Визуализация -функции с инвариантами , в которой белый цвет соответствует полюсу, черный цвет - нулю. ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle g_{2}=1+i}$ ${\displaystyle g_{3}=2-3i}$

Пусть будут два комплексных числа , которые линейно независимы над и пусть будет решеткой периодов, порожденной этими числами. Тогда -функция определяется следующим образом: ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Lambda :=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2}):=\wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right).}$

Этот ряд сходится локально равномерно абсолютно в комплексном торе . ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \Lambda }$

Обычно в качестве генераторов решетки используют и в верхней полуплоскости . Деление на отображает решетку изоморфно на решетку с . Поскольку можно заменить на , без потери общности можно предположить , а затем определить . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$ ${\textstyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau }$ ${\textstyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$ ${\displaystyle -\tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \wp (z,\tau ):=\wp (z,1,\tau )}$

Характеристики

• ${\displaystyle \wp }$является мероморфной функцией с полюсом порядка 2 на каждом периоде в . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$
• ${\displaystyle \wp }$— четная функция. Это означает для всех , что можно увидеть следующим образом: ${\displaystyle \wp (z)=\wp (-z)}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \Lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (-z)&={\frac {1}{(-z)^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(-z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z+\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)=\wp (z).\end{aligned}}}$

Второе последнее равенство выполняется, поскольку . Поскольку сумма сходится абсолютно, эта перестановка не меняет предел. ${\displaystyle \{-\lambda :\lambda \in \Lambda \}=\Lambda }$

• Производная определяется по формуле: ^[6] ${\displaystyle \wp }$ $${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}.}$$
• ${\displaystyle \wp }$и дважды периодические с периодами и . ^[6] Это означает: Из этого следует, что и для всех . ${\displaystyle \wp '}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (z+\omega _{1})&=\wp (z)=\wp (z+\omega _{2}),\ {\textrm {and}}\\[3mu]\wp '(z+\omega _{1})&=\wp '(z)=\wp '(z+\omega _{2}).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \wp (z+\lambda )=\wp (z)}$ ${\displaystyle \wp '(z+\lambda )=\wp '(z)}$ ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$

расширение Лорана

Пусть . Тогда для -функция имеет следующее разложение Лорана , где для — так называемые ряды Эйзенштейна . ^[6] ${\displaystyle r:=\min\{{|\lambda }|:0\neq \lambda \in \Lambda \}}$ ${\displaystyle 0<|z|<r}$ ${\displaystyle \wp }$ $${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)G_{2n+2}z^{2n}}$$ $${\displaystyle G_{n}=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-n}}$$ ${\displaystyle n\geq 3}$

Дифференциальное уравнение

Положим и . Тогда -функция удовлетворяет дифференциальному уравнению ^[6] Это соотношение можно проверить, образовав линейную комбинацию степеней и для устранения полюса при . Это дает целую эллиптическую функцию, которая должна быть постоянной по теореме Лиувилля . ^[6] ${\displaystyle g_{2}=60G_{4}}$ ${\displaystyle g_{3}=140G_{6}}$ ${\displaystyle \wp }$ $${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}.}$$ ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle \wp '}$ ${\displaystyle z=0}$

Инварианты

Действительная часть инварианта g ₃ как функция квадрата нома q на единичном круге.

Мнимая часть инварианта g ₃ как функция квадрата нома q на единичном круге.

Коэффициенты приведенного выше дифференциального уравнения g ₂ и g ₃ известны как инварианты . Поскольку они зависят от решетки, их можно рассматривать как функции от и . ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

Разложение в ряд предполагает, что g ₂ и g ₃ являются однородными функциями степени −4 и −6. То есть ^[7] для . $${\displaystyle g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$$ $${\displaystyle g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$$ ${\displaystyle \lambda \neq 0}$

Если и выбраны таким образом, что , то g ₂ и g ₃ можно интерпретировать как функции на верхней полуплоскости . ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\right)>0}$ ${\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$

Пусть . Имеем: ^[8] Это означает, что g ₂ и g ₃ масштабируются только при выполнении этого. Функции множества и как являются так называемыми модулярными формами. ${\displaystyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$ $${\displaystyle g_{2}(1,\tau )=\omega _{1}^{4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2}),}$$ $${\displaystyle g_{3}(1,\tau )=\omega _{1}^{6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2}).}$$ $${\displaystyle g_{2}(\tau ):=g_{2}(1,\tau )}$$ $${\displaystyle g_{3}(\tau ):=g_{3}(1,\tau ).}$$ ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle g_{2},g_{3}}$

Ряды Фурье для и имеют следующий вид: ^[9] где — функция-делитель , а — ном . ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle g_{3}}$ $${\displaystyle g_{2}(\tau )={\frac {4}{3}}\pi ^{4}\left[1+240\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{3}(k)q^{2k}\right]}$$ $${\displaystyle g_{3}(\tau )={\frac {8}{27}}\pi ^{6}\left[1-504\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{5}(k)q^{2k}\right]}$$ $${\displaystyle \sigma _{m}(k):=\sum _{d\mid {k}}d^{m}}$$ ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

Модульный дискриминант

Действительная часть дискриминанта как функция квадрата нома q на единичном круге.

Модульный дискриминант Δ определяется как дискриминант характеристического многочлена дифференциального уравнения следующим образом: Дискриминант является модулярной формой веса 12. То есть под действием модулярной группы он преобразуется как где при ad  −  bc = 1. ^[10] $${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$$ $${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.}$$ $${\displaystyle \Delta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\left(c\tau +d\right)^{12}\Delta (\tau )}$$ ${\displaystyle a,b,d,c\in \mathbb {Z} }$

Обратите внимание, что где — эта-функция Дедекинда . ^[11] ${\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}\eta ^{24}}$ ${\displaystyle \eta }$

Коэффициенты Фурье см . в статье Тау-функция Рамануджана . ${\displaystyle \Delta }$

Константые1,е2ие3

${\displaystyle e_{1}}$, и обычно используются для обозначения значений -функции в полупериодах. Они попарно различны и зависят только от решетки , а не от ее генераторов. ^[12] ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle \wp }$ $${\displaystyle e_{1}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle e_{2}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle e_{3}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)}$$ ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle e_{1}}$, и являются корнями кубического многочлена и связаны уравнением: Поскольку эти корни различны, дискриминант не обращается в нуль на верхней полуплоскости. ^[13] Теперь мы можем переписать дифференциальное уравнение: Это означает, что полупериоды являются нулями . ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle 4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$ $${\displaystyle e_{1}+e_{2}+e_{3}=0.}$$ ${\displaystyle \Delta }$ $${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4(\wp (z)-e_{1})(\wp (z)-e_{2})(\wp (z)-e_{3}).}$$ ${\displaystyle \wp '}$

Инварианты и могут быть выражены через эти константы следующим образом: ^[14] , и связаны с модульной лямбда-функцией : ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle g_{3}}$ $${\displaystyle g_{2}=-4(e_{1}e_{2}+e_{1}e_{3}+e_{2}e_{3})}$$ $${\displaystyle g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}}$$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ $${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}},\quad \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}.}$$

Связь с эллиптическими функциями Якоби

Для численных расчетов часто бывает удобно вычислять эллиптическую функцию Вейерштрасса через эллиптические функции Якоби .

Основные соотношения таковы: ^[15] где и — три корня, описанные выше, и где модуль k функций Якоби равен , а их аргумент w равен $${\displaystyle \wp (z)=e_{3}+{\frac {e_{1}-e_{3}}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{2}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {dn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{1}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {cn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}}$$ ${\displaystyle e_{1},e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ $${\displaystyle k={\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}}$$ $${\displaystyle w=z{\sqrt {e_{1}-e_{3}}}.}$$

Связь с тета-функциями Якоби

Функцию можно представить с помощью тета-функций Якоби : где — ном, а — отношение периодов . ^[16] Это также обеспечивает очень быстрый алгоритм для вычисления . ${\displaystyle \wp (z,\tau )=\wp (z,1,\omega _{2}/\omega _{1})}$ $${\displaystyle \wp (z,\tau )=\left(\pi \theta _{2}(0,q)\theta _{3}(0,q){\frac {\theta _{4}(\pi z,q)}{\theta _{1}(\pi z,q)}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{3}}\left(\theta _{2}^{4}(0,q)+\theta _{3}^{4}(0,q)\right)}$$ ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (\tau \in \mathbb {H} )}$ ${\displaystyle \wp (z,\tau )}$

Отношение к эллиптическим кривым

Рассмотрим вложение кубической кривой в комплексную проективную плоскость

${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}\cup \{\infty \}\subset \mathbb {C} ^{2}\cup \{\infty \}=\mathbb {P} _{2}(\mathbb {C} ).}$

Для этой кубики не существует рациональной параметризации, если . ^[1] В этом случае ее также называют эллиптической кривой. Тем не менее, существует параметризация в однородных координатах , которая использует -функцию и ее производную : ^[17] ${\displaystyle \Delta \neq 0}$ ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle \wp '}$

${\displaystyle \varphi (\wp ,\wp '):\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} },\quad z\mapsto {\begin{cases}\left[\wp (z):\wp '(z):1\right]&z\notin \Lambda \\\left[0:1:0\right]\quad &z\in \Lambda \end{cases}}}$

Теперь отображение является биективным и параметризует эллиптическую кривую . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$является абелевой группой и топологическим пространством , снабженным топологией факторизации .

Можно показать, что каждая кубика Вейерштрасса задана таким образом. То есть, для каждой пары с существует решетка , такая, что ${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$

${\displaystyle g_{2}=g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$и . ^[18] ${\displaystyle g_{3}=g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$

Утверждение о том, что эллиптические кривые над могут быть параметризованы над , известно как теорема о модулярности . Это важная теорема в теории чисел . Она была частью доказательства Эндрю Уайлса (1995) Великой теоремы Ферма . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Теоремы сложения

Пусть , так что . Тогда имеем: ^[19] ${\displaystyle z,w\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z,w,z+w,z-w\notin \Lambda }$ $${\displaystyle \wp (z+w)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(z)-\wp '(w)}{\wp (z)-\wp (w)}}\right]^{2}-\wp (z)-\wp (w).}$$

А также формула удвоения: ^[19] $${\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right]^{2}-2\wp (z).}$$

Эти формулы также имеют геометрическую интерпретацию, если рассматривать эллиптическую кривую вместе с отображением, как в предыдущем разделе. ${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {\varphi }:\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

Групповая структура переносится на кривую и может быть геометрически интерпретирована там: ${\displaystyle (\mathbb {C} /\Lambda ,+)}$ ${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

Сумма трех попарно различных точек равна нулю тогда и только тогда, когда они лежат на одной прямой в . ^[20] ${\displaystyle a,b,c\in {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}}$

Это эквивалентно: где , и . ^[21] $${\displaystyle \det \left({\begin{array}{rrr}1&\wp (u+v)&-\wp '(u+v)\\1&\wp (v)&\wp '(v)\\1&\wp (u)&\wp '(u)\\\end{array}}\right)=0,}$$ ${\displaystyle \wp (u)=a}$ ${\displaystyle \wp (v)=b}$ ${\displaystyle u,v\notin \Lambda }$

Типографика

Эллиптическая функция Вейерштрасса обычно записывается с помощью довольно специальной строчной буквы ℘, которая была собственной нотацией Вейерштрасса, введенной в его лекциях 1862–1863 годов. ^{[сноска 1]} Ее не следует путать с обычными математическими буквами P, 𝒫 и 𝓅.

В вычислительной технике буква ℘ доступна как \wpв TeX . В Unicode кодовая точка — U+2118 ℘ SCRIPT CAPITAL P ( ℘, ℘ ), с более правильным псевдонимом эллиптическая функция Вейерштрасса . ^{[сноска 2]} В HTML ее можно экранировать как .℘

Смотрите также

• Функции Вейерштрасса
• Эллиптические функции Якоби
• Лемнискатные эллиптические функции

Сноски

1. Этот символ также использовался в версии лекций Вейерштрасса, опубликованной Шварцем в 1880-х годах. Первое издание «Курса современного анализа» Э. Т. Уиттекера в 1902 году также использовало его. ^[22]
2. Консорциум Unicode признал наличие двух проблем с названием буквы: на самом деле буква строчная, и это не буква класса «script», как U+1D4C5 𝓅 MATHEMATICAL SCRIPT SMALL P , а буква для эллиптической функции Вейерштрасса. Unicode добавил псевдоним в качестве исправления. ^{[23] [24]}

Ссылки

1. Хулек, Клаус. (2012), Elementare Algebraische Geometry: Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen (на немецком языке) (2., überarb. u. erw. Aufl. Aufl. 2012 ed.), Висбаден: Vieweg+Teubner Verlag, стр. 8, ISBN 978-3-8348-2348-9
2. Рольф Бусам (2006), Funktionentheorie 1 (на немецком языке) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Берлин: Springer, стр. 259, ISBN 978-3-540-32058-6
3. Джереми Грей (2015), Реальное и сложное: история анализа в 19 веке (на немецком языке), Cham, стр. 71, ISBN 978-3-319-23715-2{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
4. Рольф Бусам (2006), Funktionentheorie 1 (на немецком языке) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Берлин: Springer, стр. 294, ISBN 978-3-540-32058-6
5. Ablowitz, Mark J.; Fokas, Athanassios S. (2003). Complex Variables: Introduction and Applications . Cambridge University Press. стр. 185. doi : 10.1017/cbo9780511791246. ISBN 978-0-521-53429-1.
6. Apostol, Tom M. (1976), Модулярные функции и ряды Дирихле в теории чисел (на немецком языке), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 11, ISBN 0-387-90185-X
7. Апостол, Том М. (1976). Модулярные функции и ряды Дирихле в теории чисел. Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 14. ISBN 0-387-90185-X. OCLC  2121639.
8. Апостол, Том М. (1976), Модулярные функции и ряды Дирихле в теории чисел (на немецком языке), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 14, ISBN 0-387-90185-X
9. Апостол, Том М. (1990). Модулярные функции и ряды Дирихле в теории чисел (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 20. ISBN 0-387-97127-0. OCLC  20262861.
10. Апостол, Том М. (1976). Модулярные функции и ряды Дирихле в теории чисел. Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 50. ISBN 0-387-90185-X. OCLC  2121639.
11. Чандрасекхаран, К. (Комараволу), 1920- (1985). Эллиптические функции. Берлин: Springer-Verlag. п. 122. ИСБН 0-387-15295-4. OCLC  12053023.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
12. Бусам, Рольф (2006), Funktionentheorie 1 (на немецком языке) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Берлин: Springer, стр. 270, ISBN 978-3-540-32058-6
13. Апостол, Том М. (1976), Модулярные функции и ряды Дирихле в теории чисел (на немецком языке), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 13, ISBN 0-387-90185-X
14. К. Чандрасекхаран (1985), Эллиптические функции (на немецком языке), Берлин: Springer-Verlag, стр. 33, ISBN 0-387-15295-4
15. Korn GA, Korn TM (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: McGraw–Hill. стр. 721. LCCN  59014456.
16. Рейнхардт, WP; Уокер, PL (2010), «Эллиптические и модулярные функции Вейерштрасса», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
17. Хулек, Клаус. (2012), Elementare Algebraische Geometry: Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen (на немецком языке) (2., überarb. u. erw. Aufl. Aufl. 2012 ed.), Висбаден: Vieweg+Teubner Verlag, стр. 12, ISBN 978-3-8348-2348-9
18. Хулек, Клаус. (2012), Elementare Algebraische Geometry: Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen (на немецком языке) (2., überarb. u. erw. Aufl. 2012 ed.), Висбаден: Vieweg+Teubner Verlag, стр. 111, ISBN 978-3-8348-2348-9
19. Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (на немецком языке) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Берлин: Springer, стр. 286, ISBN 978-3-540-32058-6
20. Рольф Бусам (2006), Funktionentheorie 1 (на немецком языке) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Берлин: Springer, стр. 287, ISBN 978-3-540-32058-6
21. Рольф Бусам (2006), Funktionentheorie 1 (на немецком языке) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Берлин: Springer, стр. 288, ISBN 978-3-540-32058-6
22. teika kazura (2017-08-17), Буква ℘ Название и происхождение?, MathOverflow , получено 2018-08-30
23. «Известные аномалии в именах символов Unicode». Техническое примечание Unicode № 27. версия 4. Unicode, Inc. 2017-04-10 . Получено 2017-07-20 .
24. "NameAliases-10.0.0.txt". Unicode, Inc. 2017-05-06 . Получено 2017-07-20 .

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 18". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия Applied Mathematics. Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 627. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
• Н.И. Ахиезер , Элементы теории эллиптических функций , (1970) Москва, переведено на английский язык как AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Род-Айленд ISBN 0-8218-4532-2 
• Том М. Апостол , Модулярные функции и ряды Дирихле в теории чисел, второе издание (1990), Springer, Нью-Йорк ISBN 0-387-97127-0 (см. главу 1.) 
• К. Чандрасекхаран, Эллиптические функции (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4 
• Конрад Кнопп , Funktionentheorie II (1947), Dover Publications; переиздано в английском переводе как Theory of Functions (1996), Dover Publications ISBN 0-486-69219-1 
• Серж Ланг , Эллиптические функции (1973), Эддисон-Уэсли, ISBN 0-201-04162-6 
• ET Whittaker и GN Watson , Курс современного анализа , Cambridge University Press , 1952, главы 20 и 21

Внешние ссылки

• «Эллиптические функции Вейерштрасса», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Эллиптические функции Вейерштрасса на Mathworld.
• Глава 23, Эллиптические и модулярные функции Вейерштрасса в DLMF ( Цифровая библиотека математических функций ) авторов WP Reinhardt и PL Walker.
• Функция Вейерштрасса P и ее производная, реализованные на языке C Дэвидом Дюма