Коллектор Уайтхеда

Первые три тора конструкции многообразия Уайтхеда

В математике многообразие Уайтхеда представляет собой открытое 3-многообразие , которое является стягиваемым , но не гомеоморфным JHC Whitehead  (1935) открыл этот загадочный объект, когда пытался доказать гипотезу Пуанкаре , исправив ошибку в более ранней статье Whitehead (1934, теорема 3), где он ошибочно утверждал, что такого многообразия не существует. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

Стягиваемое многообразие — это многообразие, которое можно непрерывно сжать до точки внутри самого многообразия. Например, открытый шар является стягиваемым многообразием. Все многообразия, гомеоморфные шару, также стягиваемы. Можно спросить, все ли стягиваемые многообразия гомеоморфны шару. Для размерностей 1 и 2 ответ классический, и это «да». В размерности 2 это следует, например, из теоремы Римана об отображении . Размерность 3 представляет первый контрпример : многообразие Уайтхеда. ^[1]

Строительство

Возьмите копию трехмерной сферы . Теперь найдите внутри сферы компактный незаузленный полноторий . (Полноторий — это обычный трехмерный бублик , то есть заполненный тор , который топологически является окружностью , умноженной на диск . ) Замкнутое дополнение полнотора внутри — это еще один полноторий. ${\displaystyle S^{3},}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle S^{3}}$

Утолщенное звено Уайтхеда. В конструкции многообразия Уайтхеда синий (раскрученный) тор — это трубчатая окрестность меридиональной кривой , а оранжевый тор — Все должно содержаться внутри ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}.}$ ${\displaystyle T_{1}.}$

Теперь возьмем второй сплошной тор внутри так, чтобы и трубчатая окрестность меридиональной кривой представляла собой утолщенное звено Уайтхеда . ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$

Обратите внимание, что является нуль-гомотопным в дополнении к меридиану Это можно увидеть, рассматривая как и меридиональную кривую как ось z вместе с Тор имеет нулевое число витков вокруг оси z . Таким образом, необходимая нуль-гомотопность следует. Поскольку связь Уайтхеда симметрична, то есть является гомеоморфизмом 3-сферных переключателей компонентов, также верно, что меридиан также является нуль-гомотопным в дополнении к ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}.}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}.}$

Теперь вложим внутрь так же, как лежит внутри и так далее; до бесконечности. Определим W , континуум Уайтхеда , как или, точнее, пересечение всех для ${\displaystyle T_{3}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1},}$ ${\displaystyle W=T_{\infty },}$ ${\displaystyle T_{k}}$ ${\displaystyle k=1,2,3,\dots .}$

Многообразие Уайтхеда определяется как , которое является некомпактным многообразием без границы. Из нашего предыдущего наблюдения, теоремы Гуревича и теоремы Уайтхеда о гомотопической эквивалентности следует, что X является стягиваемым. Фактически, более тщательный анализ с использованием результата Мортона Брауна показывает, что Однако X не гомеоморфно Причина в том, что оно не является просто связным на бесконечности . ${\displaystyle X=S^{3}\setminus W,}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} \cong \mathbb {R} ^{4}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

Компактификация X в одной точке — это пространство (с W, сжатым в точку). Это не многообразие. Однако, гомеоморфно ${\displaystyle S^{3}/W}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{3}/W\right)\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

Дэвид Габай показал, что X является объединением двух копий, пересечение которых также гомеоморфно ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

Связанные пространства

Больше примеров открытых, стягиваемых 3-многообразий можно построить, действуя аналогичным образом и выбирая различные вложения в в итеративном процессе. Каждое вложение должно быть незаузленным сплошным тором в 3-сфере. Существенными свойствами являются то, что меридиан должен быть гомотопным нулю в дополнении к и, кроме того, долгота не должна быть гомотопной нулю в ${\displaystyle T_{i+1}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle T_{i+1},}$ ${\displaystyle T_{i+1}}$ ${\displaystyle T_{i}\setminus T_{i+1}.}$

Другой вариант — выбрать несколько подторов на каждом этапе вместо одного. Конусы над некоторыми из этих континуумов выглядят как дополнения ручек Кассона в 4-шаре.

Пространство собачьей кости не является многообразием, но его произведение с гомеоморфно ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

Смотрите также

• Список топологий
• Ручной коллектор

Ссылки

1. Gabai, David (2011). «Многообразие Уайтхеда — это объединение двух евклидовых пространств». Journal of Topology . 4 (3): 529–534. doi :10.1112/jtopol/jtr010.

Дальнейшее чтение

• Кирби, Робион (1989). Топология 4-многообразий . Lecture Notes in Mathematics, № 1374, Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-51148-1.
• Рольфсен, Дейл (2003), "Раздел 3.I.8.", Узлы и связи , AMS Chelsea Publishing, стр. 82, ISBN 978-0821834367
• Уайтхед, Дж. Х. К. (1934), «Некоторые теоремы о трехмерных многообразиях (I)», Quarterly Journal of Mathematics , 5 (1): 308–320, Bibcode : 1934QJMat...5..308W, doi : 10.1093/qmath/os-5.1.308
• Уайтхед, Дж. Х. К. (1935), «Некое открытое многообразие, группа которого равна единице», Quarterly Journal of Mathematics , 6 (1): 268–279, Bibcode : 1935QJMat...6..268W, doi : 10.1093/qmath/os-6.1.268