stringtranslate.com

3-сфера

Стереографическая проекция параллелей гиперсферы (красные), меридианов (синие) и гипермеридианов (зеленые). Поскольку эта проекция является конформной , кривые пересекают друг друга ортогонально (в желтых точках), как в 4D. Все кривые являются окружностями: кривые, пересекающие ⟨0,0,0,1⟩, имеют бесконечный радиус (= прямая линия). На этом рисунке все трехмерное пространство отображает поверхность гиперсферы , тогда как на следующем рисунке трехмерное пространство содержало тень объемной гиперсферы.
Прямая проекция 3-сферы в 3D-пространство и покрытие поверхностной сеткой, показывающее структуру в виде стопки 3D-сфер ( 2-сферы )

В математике гиперсфера , 3-сфера или глом — это 4-мерный аналог сферы , и является 3-мерной n -сферой . В 4-мерном евклидовом пространстве это множество точек, равноудалённых от фиксированной центральной точки. Внутренняя часть 3-сферы — это 4 -шар , или гонгил .

Она называется 3-сферой, потому что топологически сама поверхность является 3-мерной, хотя она и изогнута в 4-е измерение. Например, путешествуя по 3-сфере, вы можете идти на север и юг, на восток и на запад или вдоль 3-го набора основных направлений. Это означает, что 3-сфера является примером 3-многообразия .

Определение

В координатах 3-сфера с центром ( C 0 , C 1 , C 2 , C 3 ) и радиусом r — это множество всех точек ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) в реальном 4-мерном пространстве ( R 4 ) таких, что

3-сфера с центром в начале координат и радиусом 1 называется единичной 3-сферой и обычно обозначается S 3 :

Часто удобно рассматривать R 4 как пространство с 2 комплексными измерениями ( C 2 ) или кватернионами ( H ). Единичная 3-сфера тогда задается как

или

Это описание как кватернионов нормы один идентифицирует 3-сферу с версорами в кольце деления кватерниона . Так же, как единичная окружность важна для плоских полярных координат , так и 3-сфера важна в полярном представлении 4-пространства, вовлеченного в умножение кватернионов. См. полярное разложение кватерниона для подробностей этого развития 3-сферы. Это представление 3-сферы является основой для изучения эллиптического пространства , разработанного Жоржем Леметром . [1]

Характеристики

Элементарные свойства

Объем трехмерной поверхности трехмерной сферы радиуса r равен

в то время как 4-мерный гиперобъем (содержимое 4-мерной области или шара, ограниченного 3-сферой)

Каждое непустое пересечение 3-сферы с трехмерной гиперплоскостью является 2-сферой (если только гиперплоскость не касается 3-сферы, в этом случае пересечение является единственной точкой). Когда 3-сфера движется через заданную трехмерную гиперплоскость, пересечение начинается как точка, затем становится растущей 2-сферой, которая достигает своего максимального размера, когда гиперплоскость пересекает прямо «экватор» 3-сферы. Затем 2-сфера снова сжимается до единственной точки, когда 3-сфера покидает гиперплоскость.

В заданной трехмерной гиперплоскости 3-сфера может вращаться вокруг «экваториальной плоскости» (аналогично вращению 2-сферы вокруг центральной оси), и в этом случае она будет представлять собой 2-сферу, размер которой постоянен.

Топологические свойства

3-сфера — это компактное , связное , 3-мерное многообразие без границы. Оно также односвязно . В широком смысле это означает, что любую петлю или круговой путь на 3-сфере можно непрерывно сжать до точки, не покидая 3-сферу. Гипотеза Пуанкаре , доказанная в 2003 году Григорием Перельманом , утверждает, что 3-сфера — единственное трехмерное многообразие (с точностью до гомеоморфизма ) с этими свойствами.

3-сфера гомеоморфна одноточечной компактификации R 3. В общем случае любое топологическое пространство , гомеоморфное 3-сфере, называется топологической 3-сферой .

Группы гомологий 3-сферы следующие: H 0 ( S 3 , Z ) и H 3 ( S 3 , Z ) обе бесконечные циклические , в то время как H i ( S 3 , Z ) = {} для всех других индексов i . Любое топологическое пространство с этими группами гомологий известно как гомологическая 3-сфера . Первоначально Пуанкаре предположил, что все гомологические 3-сферы гомеоморфны S 3 , но затем он сам построил негомеоморфную, теперь известную как гомологическая сфера Пуанкаре . Сейчас известно, что существует бесконечно много гомологических сфер. Например, заполнение Дена с наклоном 1/н на любом узле в 3-сфере дает гомологическую сферу; обычно они не гомеоморфны 3-сфере.

Что касается гомотопических групп , то π 1 ( S 3 ) = π 2 ( S 3 ) = {} и π 3 ( S 3 ) является бесконечной циклической группой. Все высшие гомотопические группы ( k ≥ 4 ) являются конечными абелевыми , но в остальном не следуют никакой различимой закономерности. Для более подробного обсуждения см. гомотопические группы сфер .

Геометрические свойства

3-сфера естественно является гладким многообразием , фактически, замкнутым вложенным подмногообразием R 4 . Евклидова метрика на R 4 индуцирует метрику на 3-сфере, придавая ей структуру риманова многообразия . Как и все сферы, 3-сфера имеет постоянную положительную секционную кривизну, равную 1/г 2 где r — радиус.

Большая часть интересной геометрии 3-сферы вытекает из того факта, что 3-сфера имеет естественную структуру группы Ли, заданную умножением кватернионов (см. раздел ниже о структуре группы). Единственными другими сферами с такой структурой являются 0-сфера и 1-сфера (см. группу окружности ).

В отличие от 2-сферы, 3-сфера допускает неисчезающие векторные поля ( сечения ее касательного расслоения ). Можно даже найти три линейно независимых и неисчезающих векторных поля. Их можно взять за любые левоинвариантные векторные поля, образующие базис для алгебры Ли 3-сферы. Это означает, что 3-сфера параллелизуема . Отсюда следует, что касательное расслоение 3-сферы тривиально . Для общего обсуждения числа линейно независимых векторных полей на n- сфере см. статью векторные поля на сферах .

Существует интересное действие группы окружности T на S 3 , дающее 3-сфере структуру главного расслоения окружности, известного как расслоение Хопфа . Если рассматривать S 3 как подмножество C 2 , действие задается как

.

Пространство орбит этого действия гомеоморфно двумерной сфере S 2. Поскольку S 3 не гомеоморфно S 2 × S 1 , расслоение Хопфа нетривиально.

Топологическое построение

Существует несколько известных конструкций трехсферы. Здесь мы описываем склеивание пары трехшариков и затем одноточечную компактификацию.

Склеивание

3-сфера может быть построена топологически путем «склеивания» границ пары 3- шаров . Граница 3-шара является 2-сферой, и эти две 2-сферы должны быть идентифицированы. То есть, представьте себе пару 3-шаров одинакового размера, затем наложите их так, чтобы их 2-сферические границы совпали, и пусть совпадающие пары точек на паре 2-сфер будут тождественно эквивалентны друг другу. По аналогии со случаем 2-сферы (см. ниже), поверхность склеивания называется экваториальной сферой.

Обратите внимание, что внутренности 3-шаров не склеены друг с другом. Один из способов думать о четвертом измерении — это как о непрерывной действительной функции 3-мерных координат 3-шара, возможно, рассматриваемой как «температура». Мы принимаем «температуру» за ноль вдоль склеивающей 2-сферы и позволяем одному из 3-шаров быть «горячим», а другому 3-шару быть «холодным». «Горячий» 3-шар можно рассматривать как «верхнее полушарие», а «холодный» 3-шар можно рассматривать как «нижнее полушарие». Температура самая высокая/самая низкая в центрах двух 3-шаров.

Эта конструкция аналогична конструкции 2-сферы, выполненной путем склеивания границ пары дисков. Диск — это 2-шар, а граница диска — круг (1-сфера). Пусть пара дисков будет одинакового диаметра. Наложите их друг на друга и приклейте соответствующие точки на их границах. Снова можно думать о третьем измерении как о температуре. Аналогично мы можем раздуть 2-сферу, переместив пару дисков так, чтобы они стали северным и южным полушариями.

Компактификация одной точки

После удаления одной точки из 2-сферы, то, что остается, гомеоморфно евклидовой плоскости. Таким же образом, удаление одной точки из 3-сферы дает трехмерное пространство. Чрезвычайно полезный способ увидеть это — стереографическая проекция . Сначала мы опишем версию с меньшим числом измерений.

Остановим южный полюс единичной 2-сферы на плоскости xy в трехмерном пространстве. Мы отображаем точку P сферы (за вычетом северного полюса N ) на плоскость, отправляя P на пересечение прямой NP с плоскостью. Стереографическая проекция 3-сферы (снова удаляя северный полюс) отображается на трехмерное пространство таким же образом. (Обратите внимание, что, поскольку стереографическая проекция является конформной , круглые сферы отправляются на круглые сферы или на плоскости.)

Несколько иной способ думать об одноточечной компактификации — через экспоненциальное отображение . Возвращаясь к нашей картине единичной двумерной сферы, расположенной на евклидовой плоскости: рассмотрим геодезическую на плоскости, основанную на начале координат, и отобразим ее в геодезическую на двумерной сфере той же длины, основанную на южном полюсе. При этом отображении все точки окружности радиуса π отправляются в северный полюс. Поскольку открытый единичный диск гомеоморфен евклидовой плоскости, это снова одноточечная компактификация.

Экспоненциальное отображение для 3-сферы строится аналогичным образом; его также можно обсудить, используя тот факт, что 3-сфера является группой Ли единичных кватернионов.

Системы координат на 3-сфере

Четыре евклидовы координаты для S 3 избыточны, поскольку они подчиняются условию x 0 2 + x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 = 1 . Как 3-мерное многообразие, можно параметризовать S 3 тремя координатами, так же как можно параметризовать 2-сферу, используя две координаты (такие как широта и долгота ). Из-за нетривиальной топологии S 3 невозможно найти единый набор координат, который покрывает все пространство. Так же, как и на 2-сфере, необходимо использовать по крайней мере две координатные карты . Ниже приведены некоторые различные варианты выбора координат.

Гиперсферические координаты

Удобно иметь некий вид гиперсферических координат на S 3 по аналогии с обычными сферическими координатами на S 2 . Один из таких выборов — отнюдь не единственный — заключается в использовании ( ψ , θ , φ ) , где

где ψ и θ находятся в диапазоне от 0 до π , а φ находится в диапазоне от 0 до 2 π . Обратите внимание, что для любого фиксированного значения ψ , θ и φ параметризуют 2-сферу радиуса , за исключением вырожденных случаев, когда ψ равно 0 или π , в этом случае они описывают точку.

Круглая метрика на 3-сфере в этих координатах задается выражением [2]

и объемная форма по

Эти координаты имеют элегантное описание в терминах кватернионов . Любой единичный кватернион q может быть записан как версор :

где τединичный мнимый кватернион ; то есть кватернион, удовлетворяющий τ 2 = −1 . Это кватернионный аналог формулы Эйлера . Теперь единичные мнимые кватернионы все лежат на единичной 2-сфере в Im H, поэтому любой такой τ можно записать:

При такой форме τ единичный кватернион q задается выражением

где x 0,1,2,3 такие же, как и выше.

Когда q используется для описания пространственных вращений (ср. кватернионы и пространственные вращения ), он описывает вращение вокруг τ на угол 2 ψ .

Координаты Хопфа

Расслоение Хопфа можно визуализировать, используя стереографическую проекцию S 3 на R 3 и затем сжимая R 3 в шар. Это изображение показывает точки на S 2 и соответствующие им волокна с одинаковым цветом.

Для единичного радиуса другой выбор гиперсферических координат, ( η , ξ1 , ξ2 ) , использует вложение S3 в C2 . В комплексных координатах ( z1 , z2 )C2 мы записываем

Это также можно выразить в R 4 как

Здесь η пробегает диапазон от 0 до π/2 , а ξ 1 и ξ 2 могут принимать любые значения между 0 и 2 π . Эти координаты полезны при описании 3-сферы как расслоения Хопфа

Диаграмма, изображающая полоидальное ( ξ 1 ) направление, представленное красной стрелкой, и тороидальное ( ξ 2 ) направление, представленное синей стрелкой, хотя термины «полоидальный» и «тороидальный» в этом случае плоского тора условны .

Для любого фиксированного значения η между 0 и π/2 , координаты ( ξ 1 , ξ 2 ) параметризуют 2-мерный тор . Кольца констант ξ 1 и ξ 2 выше образуют простые ортогональные сетки на торах. См. изображение справа. В вырожденных случаях, когда η равно 0 или π/2 , эти координаты описывают окружность .

Круглая метрика на 3-сфере в этих координатах задается выражением

и объемная форма по

Чтобы получить взаимосвязанные окружности расслоения Хопфа , сделайте простую замену в уравнениях выше [3]

В этом случае η и ξ 1 определяют, какой круг, а ξ 2 определяет положение вдоль каждого круга. Один круговой обход (от 0 до 2 π ) ξ 1 или ξ 2 равен круговому обходу тора в 2 соответствующих направлениях.

Стереографические координаты

Другой удобный набор координат может быть получен с помощью стереографической проекции S 3 из полюса на соответствующую экваториальную гиперплоскость R 3 . Например, если мы проецируем из точки (−1, 0, 0, 0), мы можем записать точку p в S 3 как

где u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) — вектор в R 3 и u2 = u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 . Во втором равенстве выше мы отождествили p с единичным кватернионом, а u = u 1 i + u 2 j + u 3 k — с чистым кватернионом. (Обратите внимание, что числитель и знаменатель здесь коммутируют, хотя кватернионное умножение, как правило, некоммутативно). Обратное отображение этого преобразования преобразует p = ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) в S 3 в

Мы могли бы с тем же успехом проецировать из точки (1, 0, 0, 0) , в этом случае точка p задается как

где v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) — другой вектор в R 3 . Обратное отображение переводит p в

Обратите внимание, что координаты u определены везде, кроме (−1, 0, 0, 0) , а координаты v везде, кроме (1, 0, 0, 0) . Это определяет атлас на S 3 , состоящий из двух координатных карт или «патчей», которые вместе покрывают всю S 3 . Обратите внимание, что функция перехода между этими двумя картами при их перекрытии задается как

и наоборот.

Структура группы

При рассмотрении в качестве набора единичных кватернионов S 3 наследует важную структуру, а именно структуру кватернионного умножения. Поскольку набор единичных кватернионов замкнут относительно умножения, S 3 принимает структуру группы . Более того, поскольку кватернионное умножение является гладким , S 3 можно рассматривать как действительную группу Ли . Это неабелева компактная группа Ли размерности 3. При рассмотрении в качестве группы Ли S 3 часто обозначается Sp(1) или U(1, H ) .

Оказывается, что единственными сферами , которые допускают структуру группы Ли, являются S 1 , рассматриваемая как множество единичных комплексных чисел , и S 3 , множество единичных кватернионов (вырожденный случай S 0 , который состоит из действительных чисел 1 и −1, также является группой Ли, хотя и 0-мерной). Можно было бы подумать, что S 7 , множество единичных октонионов , будет образовывать группу Ли, но это неверно, поскольку умножение октонионов неассоциативно . Октонионная структура действительно придает S 7 одно важное свойство: параллелизуемость . Оказывается, единственными сферами, которые можно параллелизировать, являются S 1 , S 3 и S 7 .

Используя матричное представление кватернионов H , получаем матричное представление S 3. Один удобный выбор дается матрицами Паули :

Это отображение задает инъективный гомоморфизм алгебры из H в множество комплексных матриц 2 × 2. Оно обладает тем свойством, что абсолютное значение кватерниона q равно квадратному корню из определителя матричного образа q .

Набор единичных кватернионов тогда задается матрицами вышеуказанной формы с единичным определителем. Эта матричная подгруппа — это в точности специальная унитарная группа SU(2) . Таким образом, S 3 как группа Ли изоморфна SU (2) .

Используя наши координаты Хопфа ( η , ξ 1 , ξ 2 ), мы можем записать любой элемент SU(2) в виде

Другой способ сформулировать этот результат — выразить матричное представление элемента SU(2) как экспоненту линейной комбинации матриц Паули. Видно, что произвольный элемент U ∈ SU(2) можно записать как

[4]

Условие, что определитель U равен +1, подразумевает, что коэффициенты α 1 ограничены и лежат на 3-сфере.

В литературе

В книге Эдвина Эбботта « Флатландия» , опубликованной в 1884 году, и в книге Диониса Бургера «Страна сфер» , продолжении « Флатландии » 1965 года , 3-сфера называется надсферой , а 4-сфера — гиперсферой .

В своей статье в American Journal of Physics [ 5] Марк А. Петерсон описывает три различных способа визуализации трех сфер и указывает на язык в «Божественной комедии» , который предполагает, что Данте рассматривал Вселенную таким же образом; Карло Ровелли поддерживает ту же идею. [6]

В книге «Искусство встречается с математикой в ​​четвертом измерении » [7] Стивен Л. Липскомб развивает концепцию измерений гиперсферы в ее связи с искусством, архитектурой и математикой.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Леметр, Жорж (1948). «Кватернионы и эллиптическое пространство». Акта . 12 . Папская академия наук : 57–78.
  2. ^ Ландау, Лев Д. ; Лифшиц, Евгений М. (1988). Классическая теория поля. Курс теоретической физики . Т. 2 (7-е изд.). М.: Наука . С. 385. ISBN 978-5-02-014420-0.
  3. ^ Банчофф, Томас. «Плоский тор в трехсфере».
  4. ^ Швихтенберг, Якоб (2015). Физика из симметрии . Cham: Springer. ISBN 978-3-319-19201-7. OCLC  910917227.
  5. ^ Петерсон, Марк А. (1979). «Данте и 3-сфера». American Journal of Physics . 47 (12): 1031–1035. Bibcode : 1979AmJPh..47.1031P. doi : 10.1119/1.11968. Архивировано из оригинала 23 февраля 2013 г.
  6. ^ Ровелли, Карло (9 сентября 2021 г.). Общая теория относительности: Основы. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-00-901369-7. Получено 13 сентября 2021 г. .
  7. ^ Липскомб, Стивен (2014). Искусство встречает математику в четвертом измерении (2-е изд.). Берлин: Springer. ISBN 978-3-319-06254-9. OCLC  893872366.

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки