Версор

Кватернион нормы 1 (единичный кватернион)

В математике версор — это кватернион нормы один ( единичный кватернион ). Каждый версор имеет вид

${\displaystyle q=\exp(a\mathbf {r} )=\cos a+\mathbf {r} \sin a,\quad \mathbf {r} ^{2}=-1,\quad a\in [0,\pi ],}$

где условие r ² = −1 означает, что r является кватернионом единичной длины (или что первый компонент r равен нулю, а последние три компонента r являются единичным вектором в 3 измерениях). Соответствующее 3-мерное вращение имеет угол 2 a вокруг оси r в представлении ось–угол . В случае a = π/2 ( прямой угол ), то , и результирующий единичный вектор называется правым версором . ${\displaystyle q=\mathbf {r} }$

Совокупность версоров с кватернионным умножением образует группу , а множество версоров представляет собой 3-сферу в 4-мерной кватернионной алгебре.

Презентация на тему 3-х и 2-х сфер

дуга АВ + дуга BC = дуга AC

Гамильтон обозначил версор кватерниона q символом U q . Затем он смог отобразить общий кватернион в форме полярных координат

q = T q U q ,

где T q — норма q . Норма версора всегда равна единице; следовательно, они занимают единичную 3-сферу в ℍ . Примерами версоров являются восемь элементов группы кватернионов . Особое значение имеют правые версоры , которые имеют угол π/2 . Эти версоры имеют нулевую скалярную часть, и поэтому являются векторами длины один (единичные векторы). Правые версоры образуют сферу квадратных корней из −1 в кватернионной алгебре. Генераторы i , j , и k являются примерами правых версоров, а также их аддитивных обратных . Другие версоры включают двадцать четыре кватерниона Гурвица , которые имеют норму 1 и образуют вершины 24-клеточного полихора.

Гамильтон определил кватернион как частное двух векторов. Версор можно определить как частное двух единичных векторов. Для любой фиксированной плоскости Π частное двух единичных векторов, лежащих в Π, зависит только от угла (направленного) между ними, того же a , что и в представлении единичного вектора-угла версора, объясненном выше. Вот почему может быть естественным понимать соответствующие версоры как направленные дуги , которые соединяют пары единичных векторов и лежат на большом круге, образованном пересечением Π с единичной сферой , где плоскость Π проходит через начало координат. Дуги одного направления и длины (или, одного и того же, противолежащего угла в радианах ) равносильны и соответствуют одному и тому же версору. ^[1]

Такая дуга, хотя и лежит в трехмерном пространстве , не представляет собой путь точки, вращающейся так, как описано с помощью сэндвич-произведения с версором. На самом деле, она представляет собой левое умножение действия версора на кватернионы, которое сохраняет плоскость Π и соответствующую большую окружность 3-векторов. Трехмерное вращение, определяемое версором, имеет угол, в два раза превышающий противолежащий угол дуги, и сохраняет ту же плоскость. Это вращение вокруг соответствующего вектора r , который перпендикулярен Π .

О трех единичных векторах Гамильтон пишет ^[2]

${\displaystyle q=\beta :\alpha =OB:OA\quad }$и

${\displaystyle q'=\gamma :\beta =OC:OB\quad }$подразумевать

${\displaystyle q'q=\gamma :\alpha =OC:OA~.}$

Умножение кватернионов нормы один соответствует (некоммутативному) "сложению" дуг больших окружностей на единичной сфере. Любая пара больших окружностей либо является одной и той же окружностью, либо имеет две точки пересечения . Следовательно, всегда можно переместить точку B и соответствующий вектор в одну из этих точек так, что начало второй дуги будет совпадать с концом первой дуги.

Уравнение

${\displaystyle \exp(c\ \mathbf {r} )\ \exp(a\ \mathbf {s} )=\exp(b\ \mathbf {t} )\ }$

неявно задает представление единичного вектора-угла для произведения двух версоров. Его решение является примером общей формулы Кэмпбелла–Бейкера–Хаусдорфа в теории групп Ли . Поскольку 3-сфера, представленная версорами в , является 3-параметрической группой Ли, практика с композициями версоров является шагом в теорию Ли . Очевидно, версоры являются образом экспоненциального отображения , примененного к шару радиуса π в кватернионном подпространстве векторов. ${\displaystyle \ \mathbb {H} \ }$

Версоры составляются как вышеупомянутые векторные дуги, и Гамильтон называл эту групповую операцию «суммой дуг», но как кватернионы они просто перемножаются.

Геометрия эллиптического пространства была описана как пространство версоров. ^[3]

Представление SO(3)

Ортогональная группа в трех измерениях, группа вращений SO(3) , часто интерпретируется с версорами через внутренний автоморфизм , где u — версор. Действительно, если ${\displaystyle \ q\mapsto u^{-1}q\ u\ }$

${\displaystyle \ u=\exp(a\ \mathbf {r} )}$и вектор s перпендикулярен r ,

затем

${\displaystyle u^{-1}\mathbf {s} \ u=\mathbf {s} \ \cos(2a)+\mathbf {s} \ \mathbf {r} \ \sin(2a)\ }$

по расчету. ^[4] Плоскость изоморфна и внутренний автоморфизм, по коммутативности, сводится к тождественному отображению там. Поскольку кватернионы можно интерпретировать как алгебру двух комплексных измерений, действие вращения также можно рассматривать через специальную унитарную группу SU(2) . ${\displaystyle \ \{\ x+y\ \mathbf {r} \ :\ (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ \}\subset \mathbb {H} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {C} \ }$

Для фиксированного r версоры вида , где образуют подгруппу , изоморфную группе окружности . Орбиты действия левого умножения этой подгруппы являются волокнами расслоения над 2-сферой, известного как расслоение Хопфа в случае r = i  ; другие векторы дают изоморфные, но не идентичные расслоения. Лайонс (2003) дает элементарное введение в кватернионы, чтобы прояснить расслоение Хопфа как отображение на единичных кватернионах. Он пишет: «волокна отображения Хопфа являются окружностями в S ³  ». ^[5] ${\displaystyle \ \exp(a\ \mathbf {r} )\ }$ ${\displaystyle \ a\in \left(-\pi ,\pi \ \right]\ ,}$

Версоры использовались для представления вращений сферы Блоха с помощью умножения кватернионов. ^[6]

Эллиптическое пространство

Возможность версоров иллюстрирует эллиптическую геометрию , в частности эллиптическое пространство , трехмерную область вращений. Версоры являются точками этого эллиптического пространства, хотя они относятся к вращениям в 4-мерном евклидовом пространстве . При наличии двух фиксированных версоров u и v отображение является эллиптическим движением . Если один из фиксированных версоров равен 1, то движение является переносом Клиффорда эллиптического пространства, названным в честь Уильяма Кингдона Клиффорда, который был сторонником пространства. Эллиптическая прямая, проходящая через версор u, является Параллелизм в пространстве выражается параллелями Клиффорда . Один из методов просмотра эллиптического пространства использует преобразование Кэли для отображения версоров в ${\displaystyle \ q\mapsto u\ q\ v\ }$ ${\displaystyle \ \{\ u\ \exp(a\ \mathbf {r} )\ :\ 0\leq a<\pi \ \}~.}$ ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}~.}$

Подгруппы

Множество всех версоров, с их умножением как кватернионов, образует непрерывную группу G. Для фиксированной пары правых версоров, является однопараметрической подгруппой , которая изоморфна группе окружности . ${\displaystyle \ \{-\mathbf {r} ,+\mathbf {r} \ \}\ }$ ${\displaystyle \ G_{1}=\{\ \exp(a\ \mathbf {r} )\ :\ a\in \mathbb {R} \ \}\ }$

Далее рассмотрим конечные подгруппы, выходящие за рамки группы кватернионов Q ₈ : ^{[7] [8]}

Как отметил Гурвиц , все 16 кватернионов имеют норму один, поэтому они находятся в G. Объединенные с Q ₈ , эти единичные кватернионы Гурвица образуют группу G ₂ порядка 24, называемую бинарной тетраэдрической группой . Элементы группы, взятые как точки на S ³ , образуют 24-ячейку . ${\displaystyle \ {\tfrac {\ 1\ }{2}}\left(\pm \mathbf {1} \pm \mathbf {i} \pm \mathbf {j} \pm \mathbf {k} \right)\ }$

В результате процесса усечения 24-ячейки получается 48-ячейка на G , и эти версоры умножаются как бинарная октаэдрическая группа .

Другая подгруппа образована 120  икосианами , которые размножаются по типу бинарной икосаэдрической группы .

Гиперболический версор

Гиперболический версор является обобщением кватернионных версоров на неопределенные ортогональные группы , такие как группа Лоренца . Он определяется как величина вида

${\displaystyle \exp(a\mathbf {r} )=\cosh a+\mathbf {r} \sinh a~~}$где ${\displaystyle ~~\mathbf {r} ^{2}=+1~.}$

Такие элементы возникают в расщепленных алгебрах , например, расщепленные комплексные числа или расщепленные кватернионы . Именно алгебра тессаринов, открытая Джеймсом Коклом в 1848 году, впервые предоставила гиперболические версоры. Фактически, Кокл написал приведенное выше уравнение (с j вместо r ), когда обнаружил, что тессарины включают новый тип мнимого элемента.

Этот версор был использован Хомершемом Коксом (1882/1883) в отношении умножения кватернионов. ^{[9] [10]} Основным представителем гиперболических версоров был Александр Макфарлейн , поскольку он работал над формированием теории кватернионов для обслуживания физической науки. ^[11] Он увидел модельную мощь гиперболических версоров, работающих на плоскости расщепленных комплексных чисел, и в 1891 году он ввел гиперболические кватернионы, чтобы расширить концепцию на 4-мерное пространство. Проблемы в этой алгебре привели к использованию бикватернионов после 1900 года. В широко распространенном обзоре Макфарлейн писал:

... корень квадратного уравнения может быть версорным по своей природе или скалярным по своей природе. Если это версорный по своей природе, то часть, затронутая радикалом, включает ось, перпендикулярную плоскости отсчета, и это так, независимо от того, включает ли радикал квадратный корень из минус единицы или нет. В первом случае версор является круговым, во втором — гиперболическим. ^{[12] [ необходима полная цитата ]}

Сегодня концепция однопараметрической группы включает в себя концепции версора и гиперболического версора, поскольку терминология Софуса Ли заменила терминологию Гамильтона и Макфарлейна. В частности, для каждого r, такого что rr = +1 или rr = −1 , отображение переводит действительную прямую в группу гиперболических или обычных версоров. В обычном случае, когда r и − r являются антиподами на сфере, однопараметрические группы имеют одинаковые точки, но противоположно направлены. В физике этот аспект вращательной симметрии называется дублетом . ${\displaystyle a\mapsto \exp(a\,\mathbf {r} )}$

Робб (1911) определил параметр быстроты , который определяет изменение в системе отсчета . Этот параметр быстроты соответствует действительной переменной в однопараметрической группе гиперболических версоров. С дальнейшим развитием специальной теории относительности действие гиперболического версора стало называться усилением Лоренца . ^[13]

Теория лжи

Софусу Ли было меньше года, когда Гамильтон впервые описал кватернионы, но имя Ли стало ассоциироваться со всеми группами, генерируемыми возведением в степень. Множество версоров с их умножением было обозначено Sl(1,q) Гилмором (1974). ^[14] Sl(1,q) — это специальная линейная группа одного измерения над кватернионами, «специальная» указывает, что все элементы имеют норму один. Группа изоморфна SU(2,c), специальной унитарной группе , часто используемое обозначение, поскольку кватернионы и версоры иногда считаются архаичными для теории групп. Специальная ортогональная группа SO(3,r) вращений в трех измерениях тесно связана: это гомоморфный образ SU(2,c) в соотношении 2:1.

Подпространство называется алгеброй Ли группы версоров. Коммутаторное произведение — это просто удвоенное векторное произведение двух векторов, которое образует операцию умножения в алгебре Ли. Тесная связь с SU(1,c) и SO(3,r) очевидна в изоморфизме их алгебр Ли. ^[14] ${\displaystyle \ \{\ xi+yj+zk\ :\ x,y,z\in \mathbb {R} \ \}\subset \mathbb {H} \ }$ ${\displaystyle [u,v]=uv-vu\ ,}$

Группы Ли, содержащие гиперболические версоры, включают группу на единичной гиперболе и специальную унитарную группу SU(1,1) .

Этимология

Слово происходит от латинского versari = «поворачивать» с суффиксом -or , образующим существительное от глагола (например, versor = «поворачивающий»). Оно было введено Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1840-х годах в контексте его теории кватернионов .

Версорс в геометрической алгебре

Термин «версор» обобщен в геометрической алгебре для обозначения члена алгебры, который может быть выражен как произведение обратимых векторов, . ^{[15] [16]} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R=v_{1}v_{2}\cdots v_{k}}$

Так же, как кватернионный версор может быть использован для представления поворота кватерниона , отображения , так и версор в геометрической алгебре может быть использован для представления результата отражений относительно члена алгебры, отображения . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q\mapsto u^{-1}qu}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\mapsto (-1)^{k}RAR^{-1}}$

Вращение можно считать результатом двух отражений, поэтому оказывается, что кватернионный версор можно определить как 2-версор в геометрической алгебре трех действительных измерений . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle R=v_{1}v_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$

В отличие от определения Гамильтона, мультивекторные версоры не обязаны иметь единичную норму, достаточно быть обратимыми. Однако нормализация все еще может быть полезна, поэтому удобно обозначать версоры как единичные версоры в геометрической алгебре, если , где тильда обозначает обращение версора. ${\displaystyle R{\tilde {R}}=\pm 1}$

Смотрите также

• цис (математика) ( цис( x ) = cos( x ) + i sin( x ) )
• Кватернионы и пространственное вращение
• Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве
• Поворот (геометрия)

Ссылки

1. Мукунда, Н .; Саймон, Р.; Сударшан , Г. (1989). «Теория винтов: новое геометрическое представление для группы SU(1,1)». Журнал математической физики . 30 (5): 1000–1006. Bibcode : 1989JMP....30.1000S. doi : 10.1063/1.528365. МР 0992568
2. Гамильтон (1899), т. 1, стр. 146.
3. Коксетер, Х. С. М. (1950). «Обзор кватернионов и эллиптического пространства Жоржа Лемэтра ». Математические обзоры . MR 0031739 (требуется подписка)
4. "Кватернионы: представление вращения". Ассоциативная композиционная алгебра – через wikibooks.org.
5. Lyons, David W. (апрель 2003 г.). «Элементарное введение в расслоение Хопфа» (PDF) . Mathematics Magazine (рецензия на книгу). 76 (2): 87–98, цитата на стр. 95. arXiv : 2212.01642 . CiteSeerX 10.1.1.583.3499 . doi : 10.2307/3219300. ISSN  0025-570X. JSTOR  3219300. 
6. Уортон, КБ; Кох, Д. (2015). «Единичные кватернионы и сфера Блоха». Journal of Physics A. 48 ( 23). arXiv : 1411.4999 . Bibcode :2015JPhA...48w5302W. doi :10.1088/1751-8113/48/23/235302. МР 3355237
7. Стрингем, И. (1881). «Определение конечных групп кватернионов». American Journal of Mathematics . 4 (1–4): 345–357. doi :10.2307/2369172. JSTOR  2369172.
8. Conway, JH ; Smith, Derek A. (2003). "§ 3.5 Конечные группы кватернионов". О кватернионах и октаноионах: их геометрия, арифметика и симметрия . AK Peters . стр. 33. ISBN 1-56881-134-9.
9. Кокс, Х. (1883) [1882]. «О применении кватернионов и Ausdehnungslehre Грассмана к различным видам однородного пространства». Труды Кембриджского философского общества . 13 : 69–143.
10. Кокс, Х. (1883) [1882]. «О применении кватернионов и Ausdehnungslehre Грассмана к различным видам однородного пространства». Труды Кембриджского философского общества . 4 : 194–196.
11. Макфарлейн, А. (1894). Статьи по анализу пространства. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Б. Вестерман – через archive.org .– Обратите особое внимание на статьи № 2, 3 и 5.
12. Макфарлейн, А. (1899). " [название не указано] ". Наука . 9 : 326.
13. Робб, А. (1911). Оптическая геометрия движения .
14. Gilmore, Robert (1974). "Глава 5: Некоторые простые примеры". Группы Ли, алгебры Ли и некоторые их приложения . Wiley . стр. 120–135. ISBN 0-471-30179-5.— В этом тексте вещественные, комплексные и кватернионные алгебры деления обозначаются как r , c и q соответственно, а не как сейчас принято обозначать ℝ , ℂ и ℍ .
15. Хестенес и Собчик (1984), с. 103.
16. Дорст, Фонтейн и Манн (2007), с. 204.

Источники

• Дорст, Лео; Фонтейн, Дэниел; Манн, Стивен (2007). Геометрическая алгебра для компьютерных наук: объектно-ориентированный подход к геометрии. Elsevier. ISBN 978-0-12-369465-2. OCLC  132691969 – через geometricalgebra.net.
• Гамильтон, У. Р. (1844–1850). «О кватернионах или новой системе мнимых чисел в алгебре». Philosophical Magazine – через коллекцию Дэвида Р. Уилкинса, Тринити-колледж, Дублин .
• Гамильтон, WR (1899). Джоли, Чарльз Джаспер (ред.). Элементы кватернионов (2-е изд.). Longmans Green & Company. стр. 135–147.
• Харди, А.С. (1887). «Представление версоров сферическими дугами». Элементы кватернионов . С. 71–72.

Харди, А.С. (1887). «Приложения к сферической тригонометрии». Элементы кватернионов . С. 112–118.

• Hathaway, AS (1896). "Глава 2: Повороты, вращения, дуговые шаги" (PDF) . Учебник по кватернионам – через Project Gutenberg .
• Хестенес, Дэвид ; Собчик, Гаррет (1984). От алгебры Клиффорда к геометрическому исчислению, унифицированный язык для математики и физики . Springer Netherlands. ISBN 978-90-277-1673-6.
• Моленбрук, Питер (1891). « Darstellung der Versoren mittelst Bogen auf der Einheitskugel [Представление версоров посредством дуг на единичной сфере  ]». Theorie der Quaternionen [ Теория кватернионов ] (на немецком языке). Лейден, Нидерланды: Брилл. п. 48.
• Сильва, Сибелле Селестино; де Андраде Мартинс, Роберто (2002). «Полярные и аксиальные векторы против кватернионов». Американский журнал физики . 70 (9): 958. Bibcode : 2002AmJPh..70..958S. doi : 10.1119/1.1475326.

Раздел IV: Версоры и унитарные векторы в системе кватернионов.

Раздел V: Версорные и унитарные векторы в векторной алгебре.

Внешние ссылки

• Версор в Энциклопедии математики .
• Учебник кватерниона Луиса Ибаньеса Архивировано 04.02.2012 на Wayback Machine из Национальной медицинской библиотеки