Тор

Поверхность вращения в форме бублика

Кольцевой тор с набором окружностей на его поверхности

По мере удаления от оси вращения кольцевой тор превращается в роговой тор, затем в веретенообразный тор и, наконец, вырождается в дважды покрытую сферу .

Кольцевой тор с соотношением сторон 3, соотношением диаметров большего (пурпурного) круга и меньшего (красного) круга.

В геометрии тор ( мн. ч. : tori или toruses ) — поверхность вращения, образованная вращением окружности в трехмерном пространстве на один полный оборот вокруг оси, которая лежит в одной плоскости с окружностью. К основным типам торов относятся кольцевые торы, роговые торы и веретенообразные торы. Кольцевой тор иногда в разговорной речи называют пончиком или бубликом .

Если ось вращения не касается окружности, поверхность имеет форму кольца и называется тором вращения , также известным как кольцевой тор . Если ось вращения касается окружности, поверхность является роговым тором . Если ось вращения дважды проходит через окружность, поверхность является веретенным тором (или самопересекающимся тором или самопересекающимся тором ). Если ось вращения проходит через центр окружности, поверхность является вырожденным тором, дважды покрытой сферой . Если вращаемая кривая не является окружностью, поверхность называется тороидом , как в квадратном тороиде.

Объекты реального мира, которые приближаются к тору вращения, включают плавательные круги , надувные камеры и кольца-рингеты .

Тор не следует путать с сплошным тором , который образуется вращением диска , а не круга, вокруг оси. Сплошной тор — это тор плюс объем внутри тора. Реальные объекты, которые приближаются к сплошному тору, включают уплотнительные кольца , ненадувные спасательные круги , кольцевые пончики и бублики .

В топологии кольцевой тор гомеоморфен декартову произведению двух окружностей : , и последнее принимается за определение в этом контексте. Это компактное 2-многообразие рода 1. Кольцевой тор — один из способов вложения этого пространства в евклидово пространство , но другой способ сделать это — декартово произведение вложения в плоскость с самим собой. Это создает геометрический объект, называемый тором Клиффорда , поверхность в 4-пространстве . ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

В области топологии тором называется любое топологическое пространство, гомеоморфное тору. ^[1] Поверхность чашки кофе и пончика являются топологическими торами с родом один.

Пример тора можно построить, взяв прямоугольную полоску гибкого материала, например, резины, и соединив верхний край с нижним краем, а левый край с правым краем, без каких-либо полуповоротов (сравните с бутылкой Клейна ).

Этимология

Torus — латинское слово, означающее «круг, вздутие, возвышение, выступ».

Геометрия

Нижние половины и
вертикальные сечения

Полоидальное направление (красная стрелка) и тороидальное направление (синяя стрелка)

Тор можно параметризовать следующим образом: ^[2] $${\displaystyle {\begin{aligned}x(\theta ,\varphi )&=(R+r\cos \theta )\cos {\varphi }\\y(\theta ,\varphi )&=(R+r\cos \theta )\sin {\varphi }\\z(\theta ,\varphi )&=r\sin \theta \\\end{aligned}}}$$

используя угловые координаты, представляющие вращение вокруг трубки и вращение вокруг оси вращения тора соответственно, где большой радиус — это расстояние от центра трубки до центра тора, а малый радиус — это радиус трубки. ^[3] ${\displaystyle \theta ,\varphi \in [0,2\pi ),}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$

Это соотношение называется соотношением сторон тора. Типичное кондитерское изделие в виде пончика имеет соотношение сторон около 3 к 2. ${\displaystyle R/r}$

Неявное уравнение в декартовых координатах для тора, радиально симметричного относительно оси -, имеет вид ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle {\textstyle {\bigl (}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R{\bigr )}^{2}}+z^{2}=r^{2}.}$$

Алгебраическое исключение квадратного корня дает уравнение четвертой степени , $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2}\right)^{2}=4R^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right).}$$

Три класса стандартных торов соответствуют трем возможным соотношениям сторон между R и r :

• При R > r поверхность будет представлять собой знакомый кольцевой тор или якорное кольцо.
• R = r соответствует роговому тору, который по сути является тором без «отверстия».
• R < r описывает самопересекающийся веретенообразный тор; его внутренняя оболочка — лимон , а внешняя оболочка — яблоко .
• При R = 0 тор вырождается в сферу радиусом r .
• При r = 0 тор вырождается в окружность радиусом R.

Когда R ≥ r , внутренность этого тора диффеоморфна (и, следовательно, гомеоморфна) произведению евклидова открытого диска и окружности. Объем этого полнотора и площадь его поверхности легко вычисляются с помощью теоремы Паппуса о центроиде , что дает: ^[4] $${\displaystyle {\textstyle {\bigl (}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R{\bigr )}^{2}}+z^{2}<r^{2}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)=4\pi ^{2}Rr,\\[5mu]V&=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right)=2\pi ^{2}Rr^{2}.\end{aligned}}}$$

Эти формулы такие же, как для цилиндра длиной 2π R и радиусом r , полученного путем разрезания трубки по плоскости малого круга и ее развертывания путем выпрямления (ректификации) линии, проходящей вокруг центра трубки. Потери площади поверхности и объема на внутренней стороне трубки в точности компенсируют выигрыши на внешней стороне.

Выражая площадь поверхности и объем через расстояние p от самой внешней точки на поверхности тора до центра и расстояние q от самой внутренней точки до центра (так что R = ⁠п + д/2⁠ и г = ⁠п − д/2⁠ ), урожайность $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=4\pi ^{2}\left({\frac {p+q}{2}}\right)\left({\frac {p-q}{2}}\right)=\pi ^{2}(p+q)(p-q),\\[5mu]V&=2\pi ^{2}\left({\frac {p+q}{2}}\right)\left({\frac {p-q}{2}}\right)^{2}={\tfrac {1}{4}}\pi ^{2}(p+q)(p-q)^{2}.\end{aligned}}}$$

Поскольку тор является произведением двух окружностей, иногда используется модифицированная версия сферической системы координат . В традиционных сферических координатах есть три меры: R — расстояние от центра системы координат, и θ и φ — углы, измеряемые от центральной точки.

Так как тор имеет, по сути, две центральные точки, центральные точки углов перемещаются; φ измеряет тот же угол, что и в сферической системе, но это направление известно как «тороидальное». Центральная точка θ перемещается в центр r и называется «полоидальным» направлением. Эти термины впервые были использованы при обсуждении магнитного поля Земли, где «полоидальный» использовался для обозначения «направления к полюсам». ^[5]

В современном использовании термины «тороидальный» и «полоидальный» чаще используются для описания устройств термоядерного синтеза с магнитным удержанием .

Топология

Топологически тор — это замкнутая поверхность, определяемая как произведение двух окружностей : S ¹  ×  S ¹ . Ее можно рассматривать как лежащую в C 2 и являющуюся подмножеством 3-сферы S ³ радиуса √2. Этот топологический тор также часто называют тором Клиффорда . ^[6] Фактически, S ³ заполнена семейством вложенных торов таким образом (с двумя вырожденными окружностями), факт, который важен при изучении S ³ как расслоения над S ² ( расслоения Хопфа ).

Поверхность, описанная выше, учитывая относительную топологию из , гомеоморфна топологическому тору, пока он не пересекает свою собственную ось. Конкретный гомеоморфизм задается стереографическим проектированием топологического тора в из северного полюса S ³ . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Тор также можно описать как фактор декартовой плоскости при отождествлениях

${\displaystyle (x,y)\sim (x+1,y)\sim (x,y+1),\,}$

или, что то же самое, как частное единичного квадрата путем склеивания противоположных сторон, описываемое как фундаментальный многоугольник ABA ⁻¹ B ⁻¹ .

Выворачивание проколотого тора наизнанку

Фундаментальная группа тора является просто прямым произведением фундаментальной группы окружности на саму себя:

${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {T} ^{2})=\pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})\times \pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} .}$^[7]

Интуитивно говоря, это означает, что замкнутый путь , который огибает «отверстие» тора (скажем, круг, который очерчивает определенную широту), а затем огибает «тело» тора (скажем, круг, который очерчивает определенную долготу), может быть деформирован в путь, который огибает тело, а затем отверстие. Таким образом, строго «широтные» и строго «продольные» пути коммутируют. Эквивалентное утверждение можно представить как два шнурка, проходящие друг через друга, затем разматывающиеся, затем снова сматывающиеся.

Если проколоть тор и вывернуть его наизнанку, то получится другой тор, в котором линии широты и долготы поменялись местами. Это эквивалентно построению тора из цилиндра путем соединения круглых концов двумя способами: вокруг внешней стороны, как соединение двух концов садового шланга, или через внутреннюю сторону, как сворачивание носка (с отрезанным мыском). Кроме того, если цилиндр был сделан путем склеивания двух противоположных сторон прямоугольника, выбор других двух сторон вместо этого приведет к такому же изменению ориентации.

Первая группа гомологий тора изоморфна фундаментальной группе (это следует из теоремы Гуревича, поскольку фундаментальная группа абелева ).

Двухслойная обложка

2-тор дважды покрывает 2-сферу с четырьмя точками разветвления . Любая конформная структура на 2-торе может быть представлена ​​как двухслойное покрытие 2-сферы. Точки на торе, соответствующие точкам разветвления, являются точками Вейерштрасса . Фактически, конформный тип тора определяется перекрестным отношением четырех точек.

н-мерный тор

Стереографическая проекция тора Клиффорда в четырех измерениях, выполняющая простое вращение относительно плоскости xz .

Тор имеет обобщение на более высокие измерения,n-мерный тор , часто называемый n -торомилигиперторомдля краткости. (Это более типичное значение термина «n-тор», другое относится кnотверстиям или родуn.^[8]) Вспоминая, что тор является произведением пространства двух окружностей,n-мерный тор является произведениемnокружностей. То есть:

${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\underbrace {\mathbb {S} ^{1}\times \cdots \times \mathbb {S} ^{1}} _{n}.}$

Стандартный 1-тор — это просто окружность: . Тор, рассмотренный выше, — это стандартный 2-тор, . И подобно 2-тору, n -тор может быть описан как частное подынтегральных сдвигов в любой координате. То есть, n -тор равен модулю действия целочисленной решетки (при этом действие берется как сложение векторов). Эквивалентно, n -тор получается из n -мерного гиперкуба путем склеивания противоположных граней. ${\displaystyle \mathbb {T} ^{1}=\mathbb {S} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

В этом смысле n - тор является примером n- мерного компактного многообразия . Он также является примером компактной абелевой группы Ли . Это следует из того факта, что единичная окружность является компактной абелевой группой Ли (при отождествлении с единичными комплексными числами с умножением). Групповое умножение на торе тогда определяется покоординатным умножением.

Тороидальные группы играют важную роль в теории компактных групп Ли . Это отчасти связано с тем, что в любой компактной группе Ли G всегда можно найти максимальный тор ; то есть замкнутую подгруппу , которая является тором максимально возможной размерности. Такие максимальные торы T играют определяющую роль в теории связных групп G. Тороидальные группы являются примерами проторов , которые (подобно торам) являются компактными связными абелевыми группами, которые не обязаны быть многообразиями .

Автоморфизмы T легко строятся из автоморфизмов решетки , которые классифицируются обратимыми целочисленными матрицами размера n с целочисленной обратной; это просто целочисленные матрицы с определителем ±1. Заставляя их действовать обычным образом, мы получаем типичный торический автоморфизм на факторе. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Фундаментальная группа n -тора является свободной абелевой группой ранга n . k -я группа гомологий n -тора является свободной абелевой группой ранга n , выбираем k . Отсюда следует, что эйлерова характеристика n -тора равна 0 для всех n . Кольцо когомологий H ^• ( ,  Z ) можно отождествить с внешней алгеброй над Z -модулем , генераторы которой являются двойственными к n нетривиальным циклам. ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

Конфигурация пространства

Конфигурационное пространство двух не обязательно различных точек на окружности представляет собой орбифолдное отношение 2-тора, T ² / S ₂ , который является лентой Мёбиуса .

Тоннец — пример тора в теории музыки. Тоннец
является настоящим тором только в том случае, если предполагается энгармоническая эквивалентность , так что сегмент (F♯-A♯) правого края повторяющегося параллелограмма отождествляется с сегментом (G♭-B♭) левого края.

Так как n -тор является n -кратным произведением окружности, n -тор является конфигурационным пространством n упорядоченных, не обязательно различных точек на окружности. Символически, . Конфигурационным пространством неупорядоченных , не обязательно различных точек является соответственно орбифолд , который является фактором тора по симметрической группе по n буквам (перестановкой координат). ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=(\mathbb {S} ^{1})^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}/\mathbb {S} _{n}}$

Для n = 2 частное — это лента Мёбиуса , ребро, соответствующее точкам орбифолда, где две координаты совпадают. Для n = 3 это частное можно описать как полнотелый тор с поперечным сечением в виде равностороннего треугольника с поворотом ; эквивалентно, как треугольная призма , верхняя и нижняя грани которой соединены с поворотом на 1/3 (120°): 3-мерная внутренняя часть соответствует точкам на 3-торе, где все 3 координаты различны, 2-мерная грань соответствует точкам с 2 равными координатами и 3-й отличной, в то время как 1-мерное ребро соответствует точкам со всеми 3 координатами, которые идентичны.

Эти орбифолды нашли существенное применение в теории музыки в работах Дмитрия Тимочко и его коллег (Фелипе Посада, Михаэль Колинас и др.), где они использовались для моделирования музыкальных триад . ^{[9] [10]}

Плоский тор

В трех измерениях можно согнуть прямоугольник в тор, но это неизбежно повлияет на расстояния, измеренные вдоль поверхности, что видно по искажению клетчатого рисунка.

В стереографической проекции плоский 4-мерный тор можно спроецировать в 3-мерном пространстве и вращать вокруг фиксированной оси.

Простейшая мозаика плоского тора — {4,4} _1,0 , построенная на поверхности дуоцилиндра с 1 вершиной, 2 ортогональными ребрами и одной квадратной гранью. Здесь она показана стереографически спроецированной в 3-мерное пространство как тор.

Плоский тор — это тор с метрикой, унаследованной от его представления в виде фактора , / L , где L — дискретная подгруппа группы , изоморфная . Это придает фактору структуру риманова многообразия , а также структуру абелевой группы Ли. Возможно, простейшим примером этого является случай L = : , который также можно описать как декартову плоскость при отождествлениях ( x , y ) ~ ( x + 1, y ) ~ ( x , y + 1) . Этот конкретный плоский тор (и любая его равномерно масштабированная версия) известен как «квадратный» плоский тор. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$

Эта метрика квадратного плоского тора может быть также реализована посредством определенных вложений знакомого 2-тора в евклидово 4-пространство или более высокие измерения. Его поверхность имеет нулевую гауссову кривизну везде. Она плоская в том же смысле, в каком плоская поверхность цилиндра. В 3 измерениях можно согнуть плоский лист бумаги в цилиндр, не растягивая бумагу, но этот цилиндр нельзя согнуть в тор, не растягивая бумагу (если не отказаться от некоторых условий регулярности и дифференцируемости, см. ниже).

Простое 4-мерное евклидово вложение прямоугольного плоского тора (более общее, чем квадратный) выглядит следующим образом:

${\displaystyle (x,y,z,w)=(R\cos u,R\sin u,P\cos v,P\sin v)}$

где R и P — положительные константы, определяющие соотношение сторон. Он диффеоморфен регулярному тору, но не изометричен . Он не может быть аналитически вложен ( гладкий класса C ^k , 2 ≤ k ≤ ∞ ) в евклидово 3-пространство. Отображение его в 3 -пространство требует его растяжения, в этом случае он выглядит как регулярный тор. Например, в следующей карте:

${\displaystyle (x,y,z)=((R+P\sin v)\cos u,(R+P\sin v)\sin u,P\cos v).}$

Если R и P в приведенной выше параметризации плоского тора образуют единичный вектор ( R , P ) = (cos( ​​η ), sin( η )), то u , v и 0 < η < π /2 параметризуют единичную 3-сферу как координаты Хопфа . В частности, для некоторых весьма специфических выборов квадратного плоского тора в 3-сфере S ³ , где η = π /4 выше, тор разделит 3-сферу на два конгруэнтных подмножества полноторий с указанной выше плоской торовой поверхностью в качестве их общей границы . Одним из примеров является тор T, определяемый формулой

${\displaystyle T=\left\{(x,y,z,w)\in \mathbb {S} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}={\frac {1}{2}},\ z^{2}+w^{2}={\frac {1}{2}}\right\}.}$

Другие торы в S ^{3 ,} обладающие этим свойством разбиения, включают квадратные торы вида Q ⋅ T , где Q — поворот 4-мерного пространства , или, другими словами, Q является членом группы Ли SO(4). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Известно, что не существует C ² (дважды непрерывно дифференцируемого) вложения плоского тора в 3-пространство. (Идея доказательства состоит в том, чтобы взять большую сферу, содержащую внутри себя такой плоский тор, и сжимать радиус сферы до тех пор, пока она не коснется тора в первый раз. Такая точка контакта должна быть касанием. Но это означало бы, что часть тора, поскольку она имеет нулевую кривизну везде, должна лежать строго вне сферы, что является противоречием.) С другой стороны, согласно теореме Нэша-Койпера , которая была доказана в 1950-х годах, изометрическое C ¹ вложение существует. Это всего лишь доказательство существования и не дает явных уравнений для такого вложения.

${\displaystyle C^{1}}$изометрическое погружение плоского тора в , с гофрами ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

В апреле 2012 года было найдено явное C ¹ (непрерывно дифференцируемое) изометрическое вложение плоского тора в трехмерное евклидово пространство . ^{[11] [12] [13] [14]} Это плоский тор в том смысле, что как метрическое пространство он изометричен плоскому квадратному тору. По структуре он похож на фрактал , поскольку он построен путем многократного гофрирования обычного тора в меньших масштабах. Как и фракталы, он не имеет определенной гауссовой кривизны. Однако, в отличие от фракталов, он имеет определенные нормали поверхности , что дает так называемый «гладкий фрактал». Ключ к получению гладкости этого гофрированного тора заключается в том, чтобы амплитуды последовательных гофр уменьшались быстрее, чем их «длины волн». ^[15] (Эти бесконечно рекурсивные гофры используются только для встраивания в три измерения; они не являются неотъемлемой особенностью плоского тора.) Это первый случай, когда такое вложение было определено явными уравнениями или изображено с помощью компьютерной графики. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Конформная классификация плоских торов

При изучении римановых поверхностей говорят, что любые две гладкие компактные геометрические поверхности «конформно эквивалентны», когда между ними существует гладкий гомеоморфизм, сохраняющий как углы, так и ориентацию. Теорема об униформизации гарантирует, что каждая риманова поверхность конформно эквивалентна поверхности с постоянной гауссовой кривизной . В случае тора постоянная кривизна должна быть равна нулю. Затем определяют « пространство модулей » тора, содержащее одну точку для каждого класса конформной эквивалентности с соответствующей топологией. Оказывается, что это пространство модулей M можно отождествить с проколотой сферой, которая является гладкой, за исключением двух точек, которые имеют угол меньше 2π (радиан) вокруг них: одна имеет полный угол = π, а другая имеет полный угол = 2π/3.

M можно превратить в компактное пространство M* — топологически эквивалентное сфере — добавив одну дополнительную точку, которая представляет предельный случай, когда прямоугольный тор приближается к соотношению сторон 0 в пределе. Результатом является то, что это компактифицированное пространство модулей представляет собой сферу с тремя точками, каждая из которых имеет менее 2π полного угла вокруг себя. (Такая точка называется «касп» и может рассматриваться как вершина конуса, также называемая «точкой конуса».) Эта третья точка конуса будет иметь нулевой полный угол вокруг себя. Благодаря симметрии M* может быть построен путем склеивания двух конгруэнтных геодезических треугольников в гиперболической плоскости вдоль их (идентичных) границ, где каждый треугольник имеет углы π/2, π/3 и 0. (Три угла гиперболического треугольника T определяют T с точностью до конгруэнтности.) В результате теорема Гаусса-Бонне показывает, что площадь каждого треугольника можно вычислить как π - (π/2 + π/3 + 0) = π/6, поэтому следует, что компактифицированное пространство модулей M* имеет площадь, равную π/3.

Другие два каспа возникают в точках, соответствующих в M* a) квадратному тору (полный угол = π) и b) шестиугольному тору (полный угол = 2π/3). Это единственные классы конформной эквивалентности плоских торов, которые имеют какие-либо конформные автоморфизмы, отличные от тех, которые генерируются переносами и отрицанием.

Родгповерхность

В теории поверхностей существует более общее семейство объектов, поверхности " рода " g . Поверхность рода g — это связная сумма g двух -торов. (И поэтому сам тор — это поверхность рода 1.) Чтобы образовать связную сумму двух поверхностей, удалите из каждой внутреннюю часть диска и "склейте" поверхности вместе по граничным окружностям. (То есть, объедините две граничные окружности так, чтобы они стали просто одной окружностью.) Чтобы образовать связную сумму более чем двух поверхностей, последовательно берите связную сумму двух из них за раз, пока они все не будут связаны. В этом смысле поверхность рода g напоминает поверхность g пончиков, склеенных бок о бок, или 2-сферу с g прикрепленными ручками.

Например, поверхность рода ноль (без границы) — это двумерная сфера , а поверхность рода один (без границы) — это обычный тор. Поверхности более высокого рода иногда называют n -дырчатыми торами (или, реже, n -кратными торами). Иногда также используются термины двойной тор и тройной тор .

Теорема классификации поверхностей утверждает, что каждая компактная связная поверхность топологически эквивалентна либо сфере, либо связной сумме некоторого числа торов, дисков и действительных проективных плоскостей .

Тороидальные многогранники

Тороидальный многогранник с 6 × 4 = 24 четырехугольными гранями

Многогранники с топологическим типом тора называются тороидальными многогранниками и имеют эйлерову характеристику V − E + F = 0. Для любого числа отверстий формула обобщается до V − E + F = 2 − 2 N , где N — число отверстий.

Термин «тороидальный многогранник» также используется для многогранников более высокого рода и для погружений тороидальных многогранников.

Автоморфизмы

Группа гомеоморфизмов (или подгруппа диффеоморфизмов) тора изучается в геометрической топологии . Ее группа классов отображений (связные компоненты группы гомеоморфизмов) сюръективна на группу обратимых целочисленных матриц, которые могут быть реализованы как линейные отображения на универсальном накрывающем пространстве , сохраняющие стандартную решетку (это соответствует целочисленным коэффициентам) и, таким образом, спускающиеся к фактору. ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

На уровне гомотопии и гомологии группу классов отображений можно определить как действие на первые гомологии (или, что эквивалентно, на первые когомологии или на фундаментальную группу , поскольку все они естественно изоморфны; также первая группа когомологий порождает алгебру когомологий :

${\displaystyle \operatorname {MCG} _{\operatorname {Ho} }(\mathbb {T} ^{n})=\operatorname {Aut} (\pi _{1}(X))=\operatorname {Aut} (\mathbb {Z} ^{n})=\operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} ).}$

Поскольку тор является пространством Эйленберга–Маклейна K ( G , 1), его гомотопические эквивалентности с точностью до гомотопии можно отождествить с автоморфизмами фундаментальной группы; все гомотопические эквивалентности тора можно реализовать с помощью гомеоморфизмов – каждая гомотопическая эквивалентность гомотопна гомеоморфизму.

Таким образом, короткая точная последовательность группы классов отображений расщепляется (идентификация тора как частного дает расщепление посредством линейных отображений, как указано выше): ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle 1\to \operatorname {Homeo} _{0}(\mathbb {T} ^{n})\to \operatorname {Homeo} (\mathbb {T} ^{n})\to \operatorname {MCG} _{\operatorname {TOP} }(\mathbb {T} ^{n})\to 1.}$

Группа классов картографирования поверхностей более высокого рода гораздо сложнее и является областью активных исследований.

Раскрашивание тора

Число Хивуда для тора равно семи, то есть любой граф, который может быть вложен в тор, имеет хроматическое число не более семи. (Поскольку полный граф может быть вложен в тор, и , верхняя граница точная.) Эквивалентно, в торе, разделенном на области, всегда можно раскрасить области, используя не более семи цветов, так что никакие соседние области не будут иметь одинаковый цвет. (Сравните с теоремой о четырех красках для плоскости .) ${\displaystyle {\mathsf {K_{7}}}}$ ${\displaystyle \chi ({\mathsf {K_{7}}})=7}$

Эта конструкция показывает тор, разделенный на семь областей, каждая из которых касается каждой другой, то есть каждой из них должен быть присвоен уникальный цвет.

тор де Брейна

Модель STL тора де Брейна (16,32;3,3) ₂ с единицами в качестве панелей и нулями в качестве отверстий в сетке – при постоянной ориентации каждая матрица 3×3 появляется ровно один раз

В комбинаторной математике тор де Брейна — это массив символов из алфавита (часто просто 0 и 1), который содержит каждую матрицу m -на- n ровно один раз. Это тор, потому что ребра считаются обертывающими для целей нахождения матриц. Его название происходит от последовательности де Брейна , которую можно считать особым случаем, где n равно 1 (одно измерение).

Разрезание тора

Твердый тор вращения можно разрезать n (> 0) плоскостями максимум на

${\displaystyle {\begin{pmatrix}n+2\\n-1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}n\\n-1\end{pmatrix}}={\tfrac {1}{6}}(n^{3}+3n^{2}+8n)}$

части. ^[16] (Это предполагает, что части не могут быть переставлены, но должны оставаться на месте для всех разрезов.)

Первые 11 номеров частей для 0 ≤ n ≤ 10 (включая случай n = 0, не охваченный приведенными выше формулами), следующие:

1, 2, 6, 13, 24, 40, 62, 91, 128, 174, 230, ... (последовательность A003600 в OEIS ).

Смотрите также

• Математический портал

• 3-тор
• Алгебраический тор
• Ангенентный тор
• Кольцо (геометрия)
• тор Клиффорда
• Комплексный тор
• Циклид Дюпена
• Эллиптическая кривая
• Иррациональная обмотка тора
• Объединенный европейский торус
• Бутылка Клейна
• Неравенство тора Лёвнера
• Максимальный тор
• Периодическая решетка
• Действительная проективная плоскость
• Сфера
• Спиральная секция
• Поверхность (топология)
• Торическая линза
• Торическое сечение
• Торическое разнообразие
• Тороид
• Тороидальные и полоидальные
• Криптография на основе тора
• Узел тора
• Пупочный тор
• Круги Вилларсо

Примечания

• Nociones de Geometría Analítica y Álgebra Lineal , ISBN  978-970-10-6596-9 , автор: Козак Ана Мария, Помпея Пасторелли Соня, Верданега Педро Эмилио, редакция: McGraw-Hill, издание 2007 г., 744 страницы, язык: испанский
• Аллен Хэтчер. Алгебраическая топология. Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79540-0 . 
• Никулин В. В., Шафаревич И. Р. Геометрии и группы . Springer, 1987. ISBN 3-540-15281-4 , ISBN 978-3-540-15281-1 .  
• «Тор (понятие геометрической формы)» в Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

Ссылки

1. Галлье, Жан ; Сюй, Дианна (2013). Руководство по теореме классификации компактных поверхностей . Геометрия и вычисления. Т. 9. Springer, Гейдельберг. doi :10.1007/978-3-642-34364-3. ISBN 978-3-642-34363-6. МР  3026641.
2. "Уравнения для стандартного тора". Geom.uiuc.edu. 6 июля 1995 г. Архивировано из оригинала 29 апреля 2012 г. Получено 21 июля 2012 г.
3. "Torus". Spatial Corp. Архивировано из оригинала 13 декабря 2014 года . Получено 16 ноября 2014 года .
4. Вайсштейн, Эрик В. «Тор». MathWorld .
5. "poloidal". Oxford English Dictionary Online . Oxford University Press . Получено 10 августа 2007 г.
6. Де Грэф, Марк (7 марта 2024 г.). «Применение тора Клиффорда к текстурам материалов» (PDF) . Журнал прикладной кристаллографии : 638–648.
7. Паджетт, Адель (2014). «ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ГРУППЫ: МОТИВАЦИЯ, МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ И ПРИЛОЖЕНИЯ» Программа REA, Учикаго. https://math.uchicago.edu/~may/REU2014/REUPapers/Padgett.pdf
8. Weisstein, Eric W. "Torus". mathworld.wolfram.com . Получено 27 июля 2021 г. .
9. Тимочко, Дмитрий (7 июля 2006 г.). «Геометрия музыкальных аккордов» (PDF) . Science . 313 (5783): 72–74. Bibcode :2006Sci...313...72T. CiteSeerX 10.1.1.215.7449 . doi :10.1126/science.1126287. PMID  16825563. S2CID  2877171. Архивировано (PDF) из оригинала 25 июля 2011 г. 
10. Филлипс, Тони (октябрь 2006 г.). «Взгляните на математику в СМИ». Американское математическое общество . Архивировано из оригинала 5 октября 2008 г.
11. Filippelli, Gianluigi (27 апреля 2012 г.). «Doc Madhattan: Плоский тор в трехмерном пространстве». Труды Национальной академии наук . 109 (19): 7218–7223. doi : 10.1073/pnas.1118478109 . PMC 3358891. PMID 22523238.  Архивировано из оригинала 25 июня 2012 г. Получено 21 июля 2012 г. 
12. Энрико де Лазаро (18 апреля 2012 г.). «Математики создали первое в истории изображение плоского тора в 3D | Математика». Sci-News.com . Архивировано из оригинала 1 июня 2012 г. Получено 21 июля 2012 г.
13. "Математика: первое изображение плоского тора в 3D – Веб-сайт CNRS – CNRS". Архивировано из оригинала 5 июля 2012 г. Получено 21 июля 2012 г.
14. "Плоские торы наконец-то визуализированы!". Math.univ-lyon1.fr. 18 апреля 2012 г. Архивировано из оригинала 18 июня 2012 г. Получено 21 июля 2012 г.
15. Хоанг, Ле Нгуен (2016). «Извилистая геометрия плоского тора». Science4All . Получено 1 ноября 2022 г. .
16. Вайсштейн, Эрик В. «Разрезание тора». MathWorld .

Внешние ссылки

• Создание тора при разрубании узла
• "4D тор" Пролетные сечения четырехмерного тора
• «Карта реляционной перспективы» Визуализация многомерных данных с помощью плоского тора
• Полидои, многоугольники в форме пончика
• Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine: Séquin, Carlo H (27 января 2014 г.). «Топология скрученного тора – Numberphile» (видео) . Брэди Харан .
• Андерс Сандберг (4 февраля 2014 г.). "Torus Earth" . Получено 24 июля 2019 г. .