Пространство Эйленберга – Маклейна

Топологическое пространство только с одной нетривиальной гомотопической группой

В математике , особенно в алгебраической топологии , пространство Эйленберга-Маклейна ^{[примечание 1]} представляет собой топологическое пространство с единственной нетривиальной гомотопической группой .

Пусть G — группа, а n — положительное целое число . Связное топологическое пространство X называется пространством Эйленберга–Маклейна типа , если оно имеет n -ю гомотопическую группу, изоморфную G , и все остальные гомотопические группы тривиальны . Предполагая, что G абелева в случае , пространства Эйленберга–Маклейна типа всегда существуют и все являются слабыми гомотопически эквивалентными. Таким образом, можно считать , что это относится к классу слабой гомотопической эквивалентности пространств. К любому представителю принято относиться как к «образцу ». Более того, принято считать, что это пространство является CW-комплексом (что всегда возможно с помощью CW-аппроксимации). ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle K(G,n)}$

Название происходит от Сэмюэля Эйленберга и Сондерса Мак Лейна , которые представили такие пространства в конце 1940-х годов.

По сути, пространство Эйленберга – Маклейна представляет собой особый вид топологического пространства , которое в теории гомотопий можно рассматривать как строительный блок для CW-комплексов посредством расслоений в системе Постникова . Эти пространства важны во многих контекстах алгебраической топологии , включая вычисления гомотопических групп сфер, определение операций когомологий и наличие сильной связи с сингулярными когомологиями .

Обобщенное пространство Эйленберга–Маклейна — это пространство, имеющее гомотопический тип произведения пространств Эйленберга–Маклэйна . ${\displaystyle \prod _{m}K(G_{m},m)}$

Примеры

• Единичный круг — это . ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}$
• Бесконечномерное комплексное проективное пространство является моделью . ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$
• Бесконечномерное реальное проективное пространство — это . ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} /2,1)}$
• Сумма клина k единичных окружностей равна a , где – свободная группа на k образующих. ${\displaystyle \textstyle \bigvee _{i=1}^{k}S^{1}}$ ${\displaystyle K(F_{k},1)}$ ${\displaystyle F_{k}}$
• Дополнение к любому связному узлу или графу в трехмерной сфере имеет тип ; это называется « асферичностью узлов» и является теоремой Христа Папакириакопулоса 1957 года . ^[1] ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle K(G,1)}$
• Любое компактное связное многообразие неположительной кривизны M является a , где – фундаментальная группа M . Это следствие теоремы Картана–Адамара . ${\displaystyle K(\Gamma ,1)}$ ${\displaystyle \Gamma =\pi _{1}(M)}$
• Бесконечное линзовое пространство , заданное фактором свободного действия для, равно a . Это можно показать, используя теорию покрывающего пространства и тот факт, что бесконечномерная сфера сжимаема . ^[2] Обратите внимание, что это включает в себя как файл . ${\displaystyle L(\infty ,q)}$ ${\displaystyle S^{\infty }}$ ${\displaystyle (z\mapsto e^{2\pi im/q}z)}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} /q}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} /q,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} /2,1)}$
• Конфигурационное пространство точек на плоскости равно a , где – группа чистых кос на нитях. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K(P_{n},1)}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle n}$
• Соответственно, n- м неупорядоченным конфигурационным пространством является a , где обозначает n -нитевую группу кос . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle K(B_{n},1)}$ ${\displaystyle B_{n}}$
• Бесконечное симметричное произведение n -сферы — это . В более общем смысле это для всех пространств Мура . ${\displaystyle SP(S^{n})}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,n)}$ ${\displaystyle SP(M(G,n))}$ ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle M(G,n)}$

Из них можно построить еще несколько элементарных примеров, используя тот факт, что произведение равно . Например, n -мерный Тор — это . ${\displaystyle K(G,n)\times K(H,n)}$ ${\displaystyle K(G\times H,n)}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ^{n},1)}$

Замечание о построении пространств Эйленберга–Маклейна.

Для произвольной группы конструкция идентична конструкции классифицирующего пространства группы . Заметим, что если G имеет элемент кручения, то каждый CW-комплекс типа K(G,1) должен быть бесконечномерным. ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K(G,1)}$ ${\displaystyle G}$

Существует несколько методов построения высших пространств Эйленберга-Маклана. Один из них - построить пространство Мура для абелевой группы : возьмите набор из n - сфер , по одной для каждого генератора группы A , и реализуйте отношения между этими генераторами, присоединив (n + 1) -клетки с помощью соответствующих отображений в указанной суммы клина. Заметим, что нижние гомотопические группы уже по построению тривиальны. Теперь итеративно уничтожьте все высшие гомотопические группы, последовательно присоединяя ячейки размерности больше , и определите как прямой предел при включении этой итерации. ${\displaystyle M(A,n)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \pi _{n}(\bigvee S^{n})}$ ${\displaystyle \pi _{i<n}(M(A,n))}$ ${\displaystyle \pi _{i>n}(M(A,n))}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle K(A,n)}$

Другой полезный метод — использовать геометрическую реализацию симплициальных абелевых групп . ^[4] Это дает явное представление симплициальных абелевых групп, которые представляют пространства Эйленберга-Маклана.

Другая симплициальная конструкция в терминах классификации пространств и универсальных расслоений приведена в книге Дж. Питера Мэя . ^[5]

Поскольку взятие пространства петель уменьшает гомотопические группы на один слот, мы имеем каноническую гомотопическую эквивалентность , следовательно, существует последовательность расслоений ${\displaystyle K(G,n)\simeq \Omega K(G,n+1)}$

${\displaystyle K(G,n)\to *\to K(G,n+1)}$.

Обратите внимание, что это не корасслоение — пространство не является гомотопическим кослоем . ${\displaystyle K(G,n+1)}$ ${\displaystyle K(G,n)\to *}$

Эту последовательность расслоений можно использовать для изучения когомологий с помощью спектральной последовательности Лере . Это использовал Жан-Пьер Серр при изучении гомотопических групп сфер с использованием системы Постникова и спектральных последовательностей. ${\displaystyle K(G,n+1)}$ ${\displaystyle K(G,n)}$

Свойства пространств Эйленберга–Маклейна

Биекция между гомотопическими классами отображений и когомологиями

Важным свойством s является то, что для любой абелевой группы G и любого базового CW-комплекса X множество базовых гомотопических классов базовых отображений из X в находится в естественной биекции с n -й сингулярной группой когомологий пространства X. . Таким образом, говорят, что представляют собой пространства для сингулярных когомологий с коэффициентами из G . С ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle [X,K(G,n)]}$ ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle H^{n}(X,G)}$ ${\displaystyle K(G,n)'s}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}H^{n}(K(G,n),G)&=&\operatorname {Hom} (H_{n}(K(G,n);\mathbb {Z} ),G)\\&=&\operatorname {Hom} (\pi _{n}(K(G,n)),G)\\&=&\operatorname {Hom} (G,G),\end{array}}}$

существует выделенный элемент, соответствующий тождеству. Вышеупомянутая биекция задается откатом этого элемента . Это похоже на лемму Йонеды из теории категорий . ${\displaystyle u\in H^{n}(K(G,n),G)}$ ${\displaystyle f\mapsto f^{*}u}$

Конструктивное доказательство этой теоремы можно найти здесь, ^[6] другое, использующее связь между омега-спектрами и теориями обобщенных редуцированных когомологий, можно найти здесь ^[7] , а основная идея также изложена позже.

Петлевые пространства/Омега-спектры

Пространство петель пространства Эйленберга – Маклейна снова является пространством Эйленберга – Маклейна: . Далее существует сопряженное отношение между пространством петель и приведенной надстройкой: , которое дает структуру абелевой группы, где операцией является объединение петель. Это делает упомянутую выше биекцию групповым изоморфизмом. ${\displaystyle \Omega K(G,n)\cong K(G,n-1)}$ ${\displaystyle [\Sigma X,Y]=[X,\Omega Y]}$ ${\displaystyle [X,K(G,n)]\cong [X,\Omega ^{2}K(G,n+2)]}$ ${\displaystyle [X,K(G,n)]\to H^{n}(X,G)}$

Также из этого свойства следует, что пространства Эйленберга – Маклейна с различными n образуют омега-спектр , называемый «спектром Эйленберга – Маклейна». Этот спектр определяется через приведенную теорию когомологий на основе CW-комплексов, и для любой приведенной теории когомологий на CW-комплексах с for существует естественный изоморфизм , где обозначает приведенные сингулярные когомологии. Следовательно, эти две теории когомологий совпадают. ${\displaystyle X\mapsto h^{n}(X):=[X,K(G,n)]}$ ${\displaystyle h^{*}}$ ${\displaystyle h^{n}(S^{0})=0}$ ${\displaystyle n\neq 0}$ ${\displaystyle h^{n}(X)\cong {\tilde {H}}^{n}(X,h^{0}(S^{0})}$ ${\displaystyle {\tilde {H^{*}}}}$

В более общем контексте представимость Брауна говорит, что каждая приведенная теория когомологий, основанная на CW-комплексах, исходит из омега-спектра .

Связь с гомологией

Для фиксированной абелевой группы существуют отображения стабильных гомотопических групп ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))\cong \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge \Sigma K(G,n))\to \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge K(G,n+1))}$

вызванный картой . Взяв прямой предел по этим отображениям, можно проверить, что это определяет приведенную теорию гомологии. ${\displaystyle \Sigma K(G,n)\to K(G,n+1)}$

${\displaystyle h_{q}(X)=\varinjlim _{n}\pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))}$

на комплексах ХО. Так как равен нулю при , то согласуется с приведенными сингулярными гомологиями с коэффициентами из G на CW-комплексах. ${\displaystyle h_{q}(S^{0})=\varinjlim \pi _{q+n}^{s}(K(G,n))}$ ${\displaystyle q\neq 0}$ ${\displaystyle h_{*}}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}_{*}(\cdot ,G)}$

Функциональность

Из теоремы об универсальных коэффициентах для когомологий следует , что пространство Эйленберга Маклейна является квазифунктором группы; то есть для каждого натурального числа, если есть гомоморфизм абелевых групп, то существует непустое множество ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a\colon G\to G'}$

${\displaystyle K(a,n)=\{[f]:f\colon K(G,n)\to K(G',n),H_{n}(f)=a\},}$

удовлетворяющее где обозначает гомотопический класс непрерывного отображения и ${\displaystyle K(a\circ b,n)\supset K(a,n)\circ K(b,n){\text{ and }}1\in K(1,n),}$ ${\displaystyle [f]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S\circ T:=\{s\circ t:s\in S,t\in T\}.}$

Отношения с башней Постникова/Уайтхеда

Каждый связный CW-комплекс обладает башней Постникова — обратной системой пространств: ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \cdots \to X_{3}\xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\simeq K(\pi _{1}(X),1)}$

такой, что для каждого : ${\displaystyle n}$

1. существуют коммутирующие отображения , которые индуцируют изоморфизм на для , ${\displaystyle X\to X_{n}}$ ${\displaystyle \pi _{i}}$ ${\displaystyle i\leq n}$
2. ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}$для , ${\displaystyle i>n}$
3. карты представляют собой расслоения со слоем . ${\displaystyle X_{n}\xrightarrow {p_{n}} X_{n-1}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$

Двойственно существует башня Уайтхеда , представляющая собой последовательность CW-комплексов:

${\displaystyle \cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X}$

такой, что для каждого : ${\displaystyle n}$

1. отображения индуцируют изоморфизм на для , ${\displaystyle X_{n}\to X}$ ${\displaystyle \pi _{i}}$ ${\displaystyle i>n}$
2. ${\displaystyle X_{n}}$является n-связным ,
3. карты представляют собой расслоения с волокнами ${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n-1)}$

С помощью спектральных последовательностей Серра можно производить вычисления высших гомотопических групп сфер. Например , использование башни Уайтхеда можно найти здесь, ^[8] в более общем плане — здесь. ^[9] ${\displaystyle \pi _{4}(S^{3})}$ ${\displaystyle \pi _{5}(S^{3})}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \pi _{n+i}(S^{n})\ i\leq 3}$

Когомологические операции

Для фиксированных натуральных чисел m,n и абелевых групп G,H существует взаимно однозначное соответствие между множеством всех операций когомологии и определяется как , где – фундаментальный класс . ${\displaystyle \Theta :H^{m}(\cdot ,G)\to H^{n}(\cdot ,H)}$ ${\displaystyle H^{n}(K(G,m),H)}$ ${\displaystyle \Theta \mapsto \Theta (\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha \in H^{m}(K(G,m),G)}$

В результате операции когомологий не могут уменьшать степень групп когомологий, а операции когомологии, сохраняющие степень, соответствуют гомоморфизму коэффициентов . Это следует из теоремы об универсальных коэффициентах для когомологий и (m-1) -связности . ${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,H)}$ ${\displaystyle K(G,m)}$

Некоторыми интересными примерами операций с когомологиями являются квадраты Стинрода и степени , когда они являются конечными циклическими группами . При их изучении быстро становится очевидной важность когомологий с коэффициентами ; ^[10] Некоторые обширные таблицы этих групп можно найти здесь. ^[11] ${\displaystyle G=H}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} /p,n)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$

Групповые (ко)гомологии

Групповые (ко)гомологии группы G с коэффициентами из группы A можно определить как сингулярные (ко)гомологии пространства Эйленберга-Маклейна с коэффициентами из A. ${\displaystyle K(G,1)}$

Дальнейшие применения

Описанная выше конструкция пространства петель используется в теории струн для получения, например, группы струн , группы пятибран и т. д. в виде башни Уайтхеда , возникающей из короткой точной последовательности

${\displaystyle 0\rightarrow K(\mathbb {Z} ,2)\rightarrow \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow 0}$

со струнной группой и спиновой группой . Актуальность заключается в том, что существуют гомотопические эквивалентности ${\displaystyle {\text{String}}(n)}$ ${\displaystyle {\text{Spin}}(n)}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$

${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)\simeq U(1)\simeq B\mathbb {Z} }$

для классифицирующего пространства и факта . Обратите внимание: поскольку комплексная спиновая группа является расширением группы ${\displaystyle B\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)\simeq BU(1)}$

${\displaystyle 0\to K(\mathbb {Z} ,1)\to {\text{Spin}}^{\mathbb {C} }(n)\to {\text{Spin}}(n)\to 0}$,

Группу струн можно рассматривать как «высшее» комплексное расширение спиновой группы в смысле высшей теории групп , поскольку пространство является примером высшей группы. Можно думать о топологической реализации группоида, объектом которого является одна точка, а морфизмами которого является группа . Благодаря этим гомотопическим свойствам конструкция обобщается: любое заданное пространство можно использовать для запуска короткой точной последовательности, уничтожающей гомотопическую группу в топологической группе . ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle \mathbf {B} U(1)}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,n)}$ ${\displaystyle \pi _{n+1}}$

Смотрите также

• Классифицирующее пространство , для случая ${\displaystyle n=1}$
• Теорема Брауна о представимости относительно пространств представления
• Пространство Мура , аналог гомологии.

Примечания

1. Сондерс Маклейн первоначально написал свое имя «Маклейн» (без пробела) и стал соавтором статей, устанавливающих понятие пространств Эйленберга-Маклейна под этим именем. (См., например, MR 13312). Поэтому в этом контексте принято писать имя без пробела.

1. Папакириакопулос, компакт-диск (15 января 1957 г.). «О лемме Дена и асферичности узлов». Труды Национальной академии наук . 43 (1): 169–172. Бибкод : 1957PNAS...43..169P. дои : 10.1073/pnas.43.1.169 . ПМК 528404 . ПМИД  16589993. 
2. "Общая топология - Единичная сфера в $\mathbb{R}^\infty$ сжимаема?". Математический обмен стеками . Проверено 1 сентября 2020 г.
3. Лукас Уильямс «Конфигурационные пространства для работающих студентов», arXiv , 5 ноября 2019 г. Проверено 14 июня 2021 г.
4. "gt.geometric топология - Явные конструкции K(G,2)?". MathOverflow . Проверено 28 октября 2020 г.
5. Мэй, Дж. Питер . Краткий курс алгебраической топологии (PDF) . Глава 16, раздел 5: Издательство Чикагского университета .{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
6. Си Инь "О пространствах Эйленберга-Маклейна", дата обращения 14 июня 2021 г.
7. Аллен Хэтчер «Алгебраическая топология», Cambridge University Press , 2001. Проверено 14 июня 2021 г.
8. Си Инь "О пространствах Эйленберга-Маклейна", дата обращения 14 июня 2021 г.
9. Спектральные последовательности Аллена Хэтчера, дата обращения 25 апреля 2021 г.
10. Кэри Малкивич "Алгебра Стинрода", дата обращения 14 июня 2021 г.
11. Интегральные когомологии конечных башен Постникова

Рекомендации

Основополагающие статьи

• Эйленберг, Сэмюэл ; Маклейн, Сондерс (1945), «Отношения между гомологиями и гомотопическими группами пространств», Annals of Mathematics , (вторая серия), 46 (3): 480–509, doi : 10.2307/1969165, JSTOR  1969165, MR  0013312
• Эйленберг, Сэмюэл ; Маклейн, Сондерс (1950). «Отношения между гомологиями и гомотопическими группами пространств. II». Анналы математики . (Вторая серия). 51 (3): 514–533. дои : 10.2307/1969365. JSTOR  1969365. MR  0035435.
• Эйленберг, Сэмюэл ; Маклейн, Сондерс (1954). «О группах. III. Операции и препятствия». Анналы математики . 60 (3): 513–557. дои : 10.2307/1969849. JSTOR  1969849. MR  0065163.

Картанский семинар и приложения

Семинар Картана содержит множество фундаментальных результатов о пространствах Эйленберга-Маклана, включая их гомологии и когомологии, а также приложения для вычисления гомотопических групп сфер.

• http://www.numdam.org/volume/SHC_1954-1955__7/

Вычисление колец целочисленных когомологий

• Производные функторы разделенных степенных функторов
• Интегральные когомологии конечных башен Постникова
• (Ко)гомологии пространств Эйленберга–Маклейна K(G,n)

Другие энциклопедические ссылки

• Энциклопедия математики
• Пространство Эйленберга-Мак Лейна в n Lab