Спектр (топология)

В алгебраической топологии , разделе математики , спектр — это объект , представляющий обобщенную теорию когомологий . Каждая такая теория когомологий представима, как следует из теоремы Брауна о представимости . Это означает, что для данной теории когомологий

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}:{\text{CW}}^{op}\to {\text{Ab}}}$,

существуют пространства, такие что оценка теории когомологий в степени на пространстве эквивалентна вычислению гомотопических классов отображений в это пространство , то есть ${\displaystyle E^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E^{k}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{k}(X)\cong \left[X,E^{k}\right]}$.

Обратите внимание, что существует несколько различных категорий спектров, что приводит к многочисленным техническим трудностям, ^[1], но все они определяют одну и ту же гомотопическую категорию , известную как стабильная гомотопическая категория . Это один из ключевых моментов для введения спектров, поскольку они образуют естественный дом для стабильной гомотопической теории.

Определение спектра

Существует множество вариаций определения: в общем случае спектр — это любая последовательность точечных топологических пространств или точечных симплициальных множеств вместе со структурными отображениями , где — smash-произведение . smash - произведение точечного пространства с окружностью гомеоморфно редуцированной подвеске , обозначаемой . ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle S^{1}\wedge X_{n}\to X_{n+1}}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma X}$

Следующее утверждение принадлежит Фрэнку Адамсу (1974): спектр (или CW-спектр) представляет собой последовательность CW - комплексов вместе с включениями суспензии как подкомплекса . ${\displaystyle E:=\{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \Sigma E_{n}\to E_{n+1}}$ ${\displaystyle \Sigma E_{n}}$ ${\displaystyle E_{n+1}}$

Другие определения см. в разделах симметричный спектр и симплициальный спектр.

Гомотопические группы спектра

Одним из важнейших инвариантов спектров являются гомотопические группы спектра. Эти группы отражают определение стабильных гомотопических групп пространств, поскольку структура отображений надстройки является неотъемлемой частью их определения. Для данного спектра определим гомотопическую группу как копредел ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi _{n}(E)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{n}(E)&=\lim _{\to k}\pi _{n+k}(E_{k})\\&=\lim _{\to }\left(\cdots \to \pi _{n+k}(E_{k})\to \pi _{n+k+1}(E_{k+1})\to \cdots \right)\end{aligned}}}$

где отображения индуцируются из композиции отображения (то есть заданного функториальностью ) и структурного отображения . Спектр называется связным, если он равен нулю для отрицательных k . ${\displaystyle \Sigma :\pi _{n+k}(E_{n})\to \pi _{n+k+1}(\Sigma E_{n})}$ ${\displaystyle [S^{n+k},E_{n}]\to [S^{n+k+1},\Sigma E_{n}]}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma E_{n}\to E_{n+1}}$ ${\displaystyle \pi _{k}}$

Примеры

Спектр Эйленберга-Маклена

Рассмотрим сингулярные когомологии с коэффициентами в абелевой группе . Для комплекса CW группу можно отождествить с множеством гомотопических классов отображений из в , пространством Эйленберга–Маклейна с гомотопией, сосредоточенной в степени . Запишем это как ${\displaystyle H^{n}(X;A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{n}(X;A)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K(A,n)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle [X,K(A,n)]=H^{n}(X;A)}$

Тогда соответствующий спектр имеет -ое пространство ; он называется спектром Эйленберга–Маклейна . Обратите внимание, что эта конструкция может быть использована для вложения любого кольца в категорию спектров. Это вложение образует основу спектральной геометрии, модели для производной алгебраической геометрии . Одним из важных свойств этого вложения являются изоморфизмы ${\displaystyle HA}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K(A,n)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{i}(H(R/I)\wedge _{R}H(R/J))&\cong H_{i}\left(R/I\otimes ^{\mathbf {L} }R/J\right)\\&\cong \operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/I,R/J)\end{aligned}}}$

показывая, что категория спектров отслеживает производную информацию коммутативных колец, где произведение smash действует как производное тензорное произведение . Более того, спектры Эйленберга–Маклена можно использовать для определения теорий, таких как топологические гомологии Хохшильда для коммутативных колец, более тонкая теория, чем классические гомологии Хохшильда.

Топологическая комплексная К-теория

В качестве второго важного примера рассмотрим топологическую K-теорию . По крайней мере для компактного X определяется как группа Гротендика моноида комплексных векторных расслоений на X. Кроме того, — группа, соответствующая векторным расслоениям на надстройке над X. Топологическая K-теория является обобщенной теорией когомологий, поэтому она дает спектр. Нулевое пространство — это , а первое пространство — это . Здесь — бесконечная унитарная группа , а — ее классифицирующее пространство . По периодичности Ботта мы получаем и для всех n , поэтому все пространства в спектре топологической K-теории задаются либо , либо . Существует соответствующая конструкция, использующая вещественные векторные расслоения вместо комплексных векторных расслоений, что дает 8-периодический спектр. ${\displaystyle K^{0}(X)}$ ${\displaystyle K^{1}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \times BU}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle BU}$ ${\displaystyle K^{2n}(X)\cong K^{0}(X)}$ ${\displaystyle K^{2n+1}(X)\cong K^{1}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \times BU}$ ${\displaystyle U}$

Спектр сферы

Одним из наиболее существенных примеров спектра является спектр сферы . Это спектр, гомотопические группы которого задаются стабильными гомотопическими группами сфер, поэтому ${\displaystyle \mathbb {S} }$

${\displaystyle \pi _{n}(\mathbb {S} )=\pi _{n}^{\mathbb {S} }}$

Мы можем записать этот спектр явно как где . Обратите внимание, что продукт smash дает структуру продукта на этом спектре ${\displaystyle \mathbb {S} _{i}=S^{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} _{0}=\{0,1\}}$

${\displaystyle S^{n}\wedge S^{m}\simeq S^{n+m}}$

индуцирует кольцевую структуру на . Более того, если рассматривать категорию симметричных спектров , то это образует исходный объект, аналогичный в категории коммутативных колец. ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Спектры Тома

Другой канонический пример спектров — спектры Тома , представляющие различные теории кобордизма. Сюда входят действительный кобордизм , комплексный кобордизм , каркасный кобордизм, спиновый кобордизм , струнный кобордизм и т. д . Фактически, для любой топологической группы существует спектр Тома . ${\displaystyle MO}$ ${\displaystyle MU}$ ${\displaystyle MSpin}$ ${\displaystyle MString}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle MG}$

Спектр суспензии

Спектр может быть построен из пространства. Спектр подвески пространства , обозначенный как спектр (структурные отображения являются тождеством). Например, спектр подвески 0-сферы является спектром сферы, обсуждавшимся выше. Гомотопические группы этого спектра являются тогда стабильными гомотопическими группами , так что ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma ^{\infty }X}$ ${\displaystyle X_{n}=S^{n}\wedge X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \pi _{n}(\Sigma ^{\infty }X)=\pi _{n}^{\mathbb {S} }(X)}$

Построение спектра подвески подразумевает, что каждое пространство можно рассматривать как теорию когомологий. Фактически, оно определяет функтор

${\displaystyle \Sigma ^{\infty }:h{\text{CW}}\to h{\text{Spectra}}}$

из гомотопической категории комплексов CW в гомотопическую категорию спектров. Морфизмы задаются как

${\displaystyle [\Sigma ^{\infty }X,\Sigma ^{\infty }Y]={\underset {\to n}{\operatorname {colim} {}}}[\Sigma ^{n}X,\Sigma ^{n}Y]}$

который по теореме Фрейденталя о подвеске в конечном итоге стабилизируется. Под этим мы подразумеваем

${\displaystyle \left[\Sigma ^{N}X,\Sigma ^{N}Y\right]\simeq \left[\Sigma ^{N+1}X,\Sigma ^{N+1}Y\right]\simeq \cdots }$и ${\displaystyle \left[\Sigma ^{\infty }X,\Sigma ^{\infty }Y\right]\simeq \left[\Sigma ^{N}X,\Sigma ^{N}Y\right]}$

для некоторого конечного целого числа . Для комплекса CW существует обратная конструкция , которая берет спектр и формирует пространство ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega ^{\infty }}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \Omega ^{\infty }E={\underset {\to n}{\operatorname {colim} {}}}\Omega ^{n}E_{n}}$

называемое бесконечным пространством петель спектра. Для комплекса CW ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X={\underset {\to }{\operatorname {colim} {}}}\Omega ^{n}\Sigma ^{n}X}$

и эта конструкция имеет включение для каждого , следовательно, дает карту ${\displaystyle X\to \Omega ^{n}\Sigma ^{n}X}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle X\to \Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X}$

что является инъективным. К сожалению, эти две структуры, с добавлением smash-произведения, приводят к значительной сложности в теории спектров, поскольку не может существовать единой категории спектров, которая удовлетворяет списку из пяти аксиом, связывающих эти структуры. ^[1] Вышеуказанное присоединение справедливо только в гомотопических категориях пространств и спектров, но не всегда с определенной категорией спектров (не гомотопической категорией).

Ω-спектр

Ω -спектр — это спектр, такой что сопряженное отображение структуры (т.е. отображение ) является слабой эквивалентностью. Спектр K-теории кольца является примером Ω-спектра. ${\displaystyle X_{n}\to \Omega X_{n+1}}$

Кольцевой спектр

Кольцевой спектр — это спектр X, такой, что диаграммы, описывающие аксиомы кольца в терминах smash-произведений, коммутируют «с точностью до гомотопии» ( соответствует тождеству). Например, спектр топологической K -теории является кольцевым спектром. Модульный спектр может быть определен аналогично. ${\displaystyle S^{0}\to X}$

Еще больше примеров см. в списке теорий когомологий .

Функции, отображения и гомотопии спектров

Существуют три естественные категории, объектами которых являются спектры, а морфизмами — функции, или отображения, или гомотопические классы, определенные ниже.

Функция между двумя спектрами E и F представляет собой последовательность отображений из E _n в F _n , которые коммутируют с отображениями Σ E _n  →  E _{n +1} и Σ F _n  →  F _{n +1} .

При наличии спектра подспектр представляет собой последовательность подкомплексов, которая также является спектром. Поскольку каждая i -ячейка в подвешивается к ( i  + 1)-ячейке в , конфинальный подспектр представляет собой подспектр, для которого каждая ячейка родительского спектра в конечном итоге содержится в подспектре после конечного числа подвешиваний. Затем спектры можно превратить в категорию, определив карту спектров как функцию от конфинального подспектра до , где две такие функции представляют одну и ту же карту, если они совпадают на некотором конфинальном подспектре. Интуитивно такая карта спектров не обязательно должна быть везде определена, она просто в конечном итоге становится определенной, и две карты, которые совпадают на конфинальном подспектре, называются эквивалентными. Это дает категорию спектров (и карт), которая является основным инструментом. Существует естественное вложение категории точечных комплексов CW в эту категорию: она принимает спектр подвески , в котором n -й комплекс является . ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle E_{j}}$ ${\displaystyle E_{j+1}}$ ${\displaystyle f:E\to F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Sigma ^{n}Y}$

Разбитое произведение спектра и точечного комплекса — это спектр, заданный (ассоциативность разбитого произведения немедленно показывает, что это действительно спектр). Гомотопия отображений между спектрами соответствует отображению , где — несвязное объединение с взятой за базовую точку. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (E\wedge X)_{n}=E_{n}\wedge X}$ ${\displaystyle (E\wedge I^{+})\to F}$ ${\displaystyle I^{+}}$ ${\displaystyle [0,1]\sqcup \{*\}}$ ${\displaystyle *}$

Стабильная гомотопическая категория или гомотопическая категория (CW) спектров определяется как категория, объектами которой являются спектры, а морфизмами — гомотопические классы отображений между спектрами. Многие другие определения спектра, некоторые из которых кажутся совершенно разными, приводят к эквивалентным стабильным гомотопическим категориям.

Наконец, мы можем определить приостановку спектра как . Эта приостановка трансляции обратима, так как мы можем также отменить приостановку, установив . ${\displaystyle (\Sigma E)_{n}=E_{n+1}}$ ${\displaystyle (\Sigma ^{-1}E)_{n}=E_{n-1}}$

Триангулированная гомотопическая категория спектров

Стабильная гомотопическая категория является аддитивной: карты могут быть добавлены с использованием варианта сложения треков, используемого для определения гомотопических групп. Таким образом, гомотопические классы из одного спектра в другой образуют абелеву группу. Кроме того, стабильная гомотопическая категория триангулирована ( Vogt (1970)), сдвиг задается подвеской, а выделенные треугольники — последовательностями конусов отображения спектров

${\displaystyle X\rightarrow Y\rightarrow Y\cup CX\rightarrow (Y\cup CX)\cup CY\cong \Sigma X}$.

Разбитые продукты спектров

smash -произведение спектров расширяет smash-произведение комплексов CW. Оно превращает стабильную гомотопическую категорию в моноидальную категорию ; другими словами, оно ведет себя как (производное) тензорное произведение абелевых групп. Основная проблема со smash-произведением заключается в том, что очевидные способы его определения делают его ассоциативным и коммутативным только до гомотопии. Некоторые более поздние определения спектров, такие как симметричные спектры , устраняют эту проблему и дают симметричную моноидальную структуру на уровне отображений, прежде чем перейти к гомотопическим классам.

Продукт smash совместим с триангулированной структурой категории. В частности, продукт smash выделенного треугольника со спектром является выделенным треугольником.

Обобщенные гомологии и когомологии спектров

Мы можем определить (стабильные) гомотопические группы спектра как группы, заданные формулой

${\displaystyle \displaystyle \pi _{n}E=[\Sigma ^{n}\mathbb {S} ,E]}$,

где — спектр сферы, а — множество гомотопических классов отображений из в . Мы определяем обобщенную теорию гомологии спектра E как ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle E_{n}X=\pi _{n}(E\wedge X)=[\Sigma ^{n}\mathbb {S} ,E\wedge X]}$

и определить ее обобщенную теорию когомологий как

${\displaystyle \displaystyle E^{n}X=[\Sigma ^{-n}X,E].}$

Здесь может быть спектр или (используя его спектр подвески) пространство. ${\displaystyle X}$

Технические сложности со спектрами

Одна из канонических сложностей при работе со спектрами и определении категории спектров возникает из-за того, что каждая из этих категорий не может удовлетворить пяти, казалось бы, очевидным аксиомам, касающимся бесконечного пространства циклов спектра. ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q:{\text{Top}}_{*}\to {\text{Top}}_{*}}$

отправка

${\displaystyle QX=\mathop {\text{colim}} _{\to n}\Omega ^{n}\Sigma ^{n}X}$

пара сопряженных функторов , и smash-произведение как в категории пространств, так и в категории спектров. Если мы обозначим категорию базовых, компактно порожденных, слабых хаусдорфовых пространств и обозначим категорию спектров, то следующие пять аксиом никогда не могут быть удовлетворены конкретной моделью спектров: ^[1] ${\displaystyle \Sigma ^{\infty }:{\text{Top}}_{*}\leftrightarrows {\text{Spectra}}_{*}:\Omega ^{\infty }}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle {\text{Top}}_{*}}$ ${\displaystyle {\text{Spectra}}_{*}}$

1. ${\displaystyle {\text{Spectra}}_{*}}$является симметричной моноидальной категорией относительно smash-произведения ${\displaystyle \wedge }$
2. Функтор является левым сопряженным к ${\displaystyle \Sigma ^{\infty }}$ ${\displaystyle \Omega ^{\infty }}$
3. Единицей для продукта разбивания является сферический спектр. ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \Sigma ^{\infty }S^{0}=\mathbb {S} }$
4. Либо существует естественное преобразование, либо естественное преобразование , которое коммутирует с единичным объектом в обеих категориях, а также коммутативные и ассоциативные изоморфизмы в обеих категориях. ${\displaystyle \phi :\left(\Omega ^{\infty }E\right)\wedge \left(\Omega ^{\infty }E'\right)\to \Omega ^{\infty }\left(E\wedge E'\right)}$ ${\displaystyle \gamma :\left(\Sigma ^{\infty }E\right)\wedge \left(\Sigma ^{\infty }E'\right)\to \Sigma ^{\infty }\left(E\wedge E'\right)}$
5. Существует естественная слабая эквивалентность , для которой существует коммутирующая диаграмма: ${\displaystyle \theta :\Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X\to QX}$ ${\displaystyle X\in \operatorname {Ob} ({\text{Top}}_{*})}$

   ${\displaystyle {\begin{matrix}X&\xrightarrow {\eta } &\Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X\\{\mathord {=}}\downarrow &&\downarrow \theta \\X&\xrightarrow {i} &QX\end{matrix}}}$

   где находится единичная карта в присоединении. ${\displaystyle \eta }$

Из-за этого изучение спектров дробится на основе используемой модели. Для обзора ознакомьтесь со статьей, цитируемой выше.

История

Версия концепции спектра была введена в докторской диссертации 1958 года Элона Лагеса Лимы . Его научный руководитель Эдвин Спаниер написал более подробно на эту тему в 1959 году. Спектры были приняты Майклом Атья и Джорджем У. Уайтхедом в их работе по обобщенным теориям гомологии в начале 1960-х годов. Докторская диссертация 1964 года Дж. Майкла Бордмана дала работоспособное определение категории спектров и отображений (не только гомотопических классов) между ними, столь же полезное в стабильной гомотопической теории, как категория комплексов CW в нестабильном случае. (Это по сути категория, описанная выше, и она все еще используется для многих целей: для других отчетов см. Адамса (1974) или Райнера Фогта (1970).) Однако с 1990 года были достигнуты дальнейшие важные теоретические успехи, значительно улучшившие формальные свойства спектров. Следовательно, во многих недавних работах используются измененные определения спектра : см. Майкла Манделла и др. (2001) для единой трактовки этих новых подходов.

Смотрите также

• Кольцевой спектр
• Симметричный спектр
• G-спектр
• Картографирование спектра
• Подвеска (топология)
• Спектральная последовательность Адамса

Ссылки

1. Льюис, Л. Ганс (1991-08-30). «Существует ли удобная категория спектров?». Журнал чистой и прикладной алгебры . 73 (3): 233–246. doi : 10.1016/0022-4049(91)90030-6 . ISSN  0022-4049.

Вводный

• Адамс, Дж. Франк (1974). Стабильная гомотопия и обобщенная гомология. Издательство Чикагского университета . ISBN 9780226005249.
• Элмендорф, Энтони Д.; Кржиж, Игорь; Манделл, Майкл А.; Мэй, Дж. Питер (1995), «Современные основы стабильной гомотопической теории» (PDF) , в Джеймс., Иоан М. (ред.), Справочник по алгебраической топологии , Амстердам: Северная Голландия, стр. 213–253, CiteSeerX  10.1.1.55.8006 , doi :10.1016/B978-044481779-2/50007-9, ISBN 978-0-444-81779-2, г-н  1361891

Современные статьи, развивающие теорию

• Манделл, Майкл А.; Мэй, Дж. Питер ; Шведе, Стефан; Шипли, Брук (2001), «Модельные категории спектров диаграмм», Труды Лондонского математического общества , Серия 3, 82 (2): 441–512, CiteSeerX  10.1.1.22.3815 , doi :10.1112/S0024611501012692, MR  1806878, S2CID  551246

Исторически значимые статьи

• Атья, Майкл Ф. (1961). «Бордизм и кобордизм». Труды Кембриджского философского общества . 57 (2): 200–8. doi :10.1017/s0305004100035064. S2CID  122937421.

• Лима, Элон Лагес (1959), «Двойственность Спаниера–Уайтхеда в новых гомотопических категориях», Summa Brasil. Math. , 4 : 91–148, MR  0116332
• Лима, Элон Лагес (1960), «Стабильные инварианты Постникова и их двойственные», Summa Brasil. Math. , 4 : 193–251
• Фогт, Райнер (1970), Стабильная гомотопическая категория Бордмана, Серия конспектов лекций, № 21, Математический институт, Орхусский университет, Орхус, MR  0275431
• Уайтхед, Джордж У. (1962), «Обобщенные теории гомологии», Труды Американского математического общества , 102 (2): 227–283, doi : 10.1090/S0002-9947-1962-0137117-6

Внешние ссылки

• Спектральные последовательности - Аллен Хэтчер - содержит превосходное введение в спектры и приложения для построения спектральной последовательности Адамса.
• Проект книги без названия о симметричных спектрах
• «Действительно ли спектры и теории когомологий — это одно и то же?».