Классификация пространства

Фактор слабо сжимаемого пространства по свободному действию

В математике , особенно в теории гомотопий , классифицирующее пространство BG топологической группы G представляет собой фактор слабо сжимаемого пространства EG (т. е. топологического пространства, все гомотопические группы которого тривиальны ) по собственному свободному действию G. Он обладает тем свойством, что любое главное расслоение G над паракомпактным многообразием изоморфно образу главного расслоения . ^[1] Как будет объяснено позже, это означает, что классифицирующие пространства представляют собой многозначный функтор в гомотопической категории топологических пространств. Термин «классифицирующее пространство» также может использоваться для пространств, которые представляют собой многозначный функтор в категории топологических пространств , таких как пространство Серпинского . Это понятие обобщается понятием классификации топосов . Однако в оставшейся части статьи обсуждается более часто используемое понятие классификации пространства с точностью до гомотопии. ${\displaystyle EG\to BG}$

Для дискретной группы G BG — это, грубо говоря, линейно-связное топологическое пространство X такое, что фундаментальная группа X изоморфна G , а высшие гомотопические группы X тривиальны , то есть BG — пространство Эйленберга–Маклейна . , или K ( G , 1).

Мотивация

Примером классифицирующего пространства для бесконечной циклической группы G является круг X . Когда G — дискретная группа , другой способ указать условие на X состоит в том , что универсальное покрытие Y группы X стягиваемо . В этом случае карта проекции

${\displaystyle \pi \colon Y\longrightarrow X\ }$

становится расслоением со структурной группой G , фактически главным расслоением для G. Интерес к концепции классифицирующего пространства действительно возникает из-за того, что в этом случае Y обладает универсальным свойством по отношению к главным G -расслоениям в гомотопической категории . На самом деле это более фундаментально, чем условие исчезновения высших гомотопических групп: основная идея состоит в том, чтобы, учитывая G , найти такое сжимаемое пространство Y , на котором G действует свободно . ( Идея слабой эквивалентности гомотопической теории связывает эти две версии.) В случае примера с кругом речь идет о том, что мы замечаем, что бесконечная циклическая группа C действует свободно на вещественной прямой R , которая стягиваема. Принимая X как факторпространственный круг, мы можем рассматривать проекцию π от R = Y на X как спираль в геометрических терминах, подвергающуюся проекции из трех измерений на плоскость. Утверждается, что π обладает универсальным свойством среди основных C -расслоений; что любое главное C -расслоение определенным образом «происходит из» π.

Формализм

Более формальное утверждение учитывает, что G может быть топологической группой (а не просто дискретной группой ), и что групповые действия G считаются непрерывными; в отсутствие непрерывных действий с концепцией классифицирующего пространства можно разобраться в гомотопических терминах с помощью конструкции пространства Эйленберга – Маклейна . В теории гомотопий дается определение топологического пространства BG — классифицирующего пространства для главных G -расслоений — вместе с пространством EG , которое является тотальным пространством универсального расслоения над BG . То есть фактически обеспечивается непрерывное отображение

${\displaystyle \pi \colon EG\longrightarrow BG.}$

Предположим, что гомотопическая категория комплексов CW с этого момента является основной категорией. Классифицирующее свойство , требуемое от BG , на самом деле относится к π. Мы должны быть в состоянии сказать, что для любого главного G -расслоения

${\displaystyle \gamma \colon Y\longrightarrow Z\ }$

над пространством Z существует классифицирующее отображение φ из Z в BG , такое, что является обратным образом π вдоль φ. Говоря менее абстрактно, конструкция «скручивания» должна быть сведена через φ к скручиванию, уже выраженному конструкцией π. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Чтобы эта концепция была полезной, очевидно, должна быть какая-то причина полагать, что такие пространства BG существуют. В ранних работах по классификации пространств были введены конструкции (например, конструкция стержня ), которые давали конкретные описания BG как симплициального комплекса для произвольной дискретной группы. Такие конструкции делают очевидной связь с групповыми когомологиями .

В частности, пусть EG — слабый симплициальный комплекс , n- симплексы которого представляют собой упорядоченные ( n +1)-наборы элементов из G. Такой n- симплекс присоединяется к (n−1) симплексам так же, как стандартный симплекс присоединяется к своим граням, что означает, что эта вершина удалена. Комплекс ЭГ сократим. Группа G действует на EG умножением слева: ${\displaystyle [g_{0},\ldots ,g_{n}]}$ ${\displaystyle [g_{0},\ldots ,{\hat {g}}_{i},\ldots ,g_{n}]}$ ${\displaystyle {\hat {g}}_{i}}$

${\displaystyle g\cdot [g_{0},\ldots ,g_{n}]=[gg_{0},\ldots ,gg_{n}],}$

и только тождество e переводит любой симплекс в себя. Таким образом, действие G на EG является действием накрывающего пространства, а фактор-отображение является универсальным накрытием пространства орбит , а BG — a . ^[2] ${\displaystyle EG\to EG/G}$ ${\displaystyle BG=EG/G}$ ${\displaystyle K(G,1)}$

В абстрактных терминах (которые изначально не использовались примерно в 1950 году, когда эта идея была впервые представлена) речь идет о том, представим ли определенный функтор : контравариантный функтор из гомотопической категории в категорию множеств , определяемый формулой

h ( Z ) = множество классов изоморфизма главных G -расслоений на Z.

Известные для этого абстрактные условия ( теорема Брауна о представимости ) гарантируют, что результат, как теорема существования , будет утвердительным и не слишком трудным.

Примеры

1. Круг — классифицирующее пространство бесконечной циклической группы. Полное пространство — это ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle E\mathbb {Z} =\mathbb {R} .}$
2. n - тор является классифицирующим пространством для свободной абелевой группы ранга n . Общая площадь составляет ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle E\mathbb {Z} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}.}$
3. Клин из n кругов является классифицирующим пространством свободной группы ранга n .
4. Замкнутая (т. е. компактная и не имеющая края) связная поверхность S рода не менее 1 является классифицирующим пространством для своей фундаментальной группы . ${\displaystyle \pi _{1}(S).}$
5. Замкнутое (т. е. компактное и не имеющее края) связное гиперболическое многообразие M является классифицирующим пространством для своей фундаментальной группы . ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$
6. Конечный локально связный кубический комплекс CAT(0) является классифицирующим пространством своей фундаментальной группы .
7. Бесконечномерное проективное пространство (прямой предел конечномерных проективных пространств) является классифицирующим пространством для циклической группы. Полное пространство (прямой предел сфер ) Альтернативно можно использовать гильбертово пространство с удаленным началом координат; оно стягиваемо ). ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle E\mathbb {Z} _{2}=S^{\infty }}$ ${\displaystyle S^{n}.}$
8. Пространство является классифицирующим пространством циклической группы . Здесь понимается некоторое подмножество бесконечномерного гильбертова пространства с удаленным началом координат; считается, что циклическая группа действует на него умножением на корни из единицы. ${\displaystyle B\mathbb {Z} _{n}=S^{\infty }/\mathbb {Z} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}.}$ ${\displaystyle S^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$
9. Неупорядоченное конфигурационное пространство — это классифицирующее пространство группы кос Артина ^[3] , а упорядоченное конфигурационное пространство — это классифицирующее пространство для чистой группы кос Артина. ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ ${\displaystyle P_{n}.}$
10. (Неупорядоченное) конфигурационное пространство является классифицирующим пространством для симметрической группы ^[4] ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{\infty })}$ ${\displaystyle S_{n}.}$
11. Бесконечномерное комплексное проективное пространство — это классифицирующее пространство BS ¹ для круга S ^1, рассматриваемое как компактная топологическая группа. ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$
12. Грассманиан n -плоскостей в является классифицирующим пространством ортогональной группы O ( n ) . Полное пространство — это многообразие Штифеля n - мерных ортонормированных реперов в ${\displaystyle Gr(n,\mathbb {R} ^{\infty })}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle EO(n)=V(n,\mathbb {R} ^{\infty })}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }.}$

Приложения

Это все еще оставляет вопрос о проведении эффективных вычислений с помощью BG ; например, теория характеристических классов по существу совпадает с вычислением групп когомологий BG , по крайней мере , в ограничительных терминах теории гомотопий, для интересных групп G , таких как группы Ли (теорема Х. Картана). ^{[ нужны разъяснения ]} Как показала теорема о периодичности Ботта , гомотопические группы BG также представляют фундаментальный интерес.

Примером классифицирующего пространства является то, что G циклическое второго порядка; тогда BG — реальное проективное пространство бесконечной размерности, что соответствует наблюдению, что EG можно рассматривать как сжимаемое пространство, возникающее в результате удаления начала координат в бесконечномерном гильбертовом пространстве , где G действует через v , идя к − v , и допускает гомотопию эквивалентность в выборе БГ . Этот пример показывает, что классификация пространств может быть сложной задачей.

Что касается дифференциальной геометрии ( теория Черна-Вейля ) и теории грассманианов , гораздо более практический подход к теории возможен для таких случаев, как унитарные группы , которые представляют наибольший интерес. Построение комплекса Тома MG показало, что пространства BG также вовлечены в теорию кобордизмов , так что они заняли центральное место в геометрических соображениях, вытекающих из алгебраической топологии . Поскольку групповые когомологии могут (во многих случаях) определяться с помощью классифицирующих пространств, их также можно рассматривать как основу во многих гомологических алгебрах .

Обобщения включают обобщения для классификации слоений и классифицирующие топоны для логических теорий исчисления предикатов в интуиционистской логике , которые заменяют «пространство моделей».

Смотрите также

• Классифицирующее пространство для O(n) , B O( n )
• Классифицирующее пространство для U(n) , B U( n )
• Классифицирующее пространство для SO(n)
• Классифицирующее пространство для SU(n)
• Классифицирующий стек
• Теорема Бореля
• Эквивариантные когомологии

Примечания

1. Сташефф, Джеймс Д. (1971), «H-пространства и классифицирующие пространства: основы и последние разработки», Алгебраическая топология (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970) , Американское математическое общество , стр. 247–272. Теорема 2, doi : 10.1090/pspum/022/0321079, ISBN. 978-0-8218-9308-1, МР  0321079
2. Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета . п. 89. ИСБН 0-521-79160-Х. ОСЛК  45420394.
3. Арнольд, Владимир И. (1969). «Кольцо когомологий группы цветных кос». Владимир И. Арнольд — Собрание сочинений . Спрингер. стр. 183–6. дои : 10.1007/978-3-642-31031-7_18. ISBN 978-3-642-31030-0.
4. «Классификация пространства в nLab» . ncatlab.org . Проверено 22 августа 2017 г.

Рекомендации

• Мэй, JP (1999). Краткий курс алгебраической топологии. Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-51183-2.
• Классификационное пространство в n Lab
• «Классифицирующее пространство», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]