Конфигурационное пространство (математика)

Конфигурационным пространством всех неупорядоченных пар точек окружности является лента Мёбиуса .

В математике конфигурационное пространство — это конструкция, тесно связанная с пространствами состояний или фазовыми пространствами в физике. В физике они используются для описания состояния всей системы как отдельной точки в многомерном пространстве. В математике они используются для описания присвоения набора точек позициям в топологическом пространстве . Более конкретно, конфигурационные пространства в математике являются частными примерами конфигурационных пространств в физике в частном случае нескольких не сталкивающихся частиц.

Определение

Для топологического пространства и положительного целого числа пусть будет декартовым произведением копий , снабженных топологией произведения . n - ^е (упорядоченное) конфигурационное пространство представляет собой набор из n - кортежей попарно различных точек в : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X):=X^{n}\smallsetminus \{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in X^{n}\mid x_{i}=x_{j}\ {\text{for some }}i\neq j\}.}$^[1]

Это пространство вообще наделено топологией подпространства от включения в . Его также иногда обозначают , или . ^[2] ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}$ ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle F(X,n)}$ ${\displaystyle F^{n}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{n}(X)}$

Существует естественное действие симметрической группы на точки, заданные формулой ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}\times \operatorname {Conf} _{n}(X)&\longrightarrow \operatorname {Conf} _{n}(X)\\(\sigma ,x)&\longmapsto \sigma (x)=(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\ldots ,x_{\sigma (n)}).\end{aligned}}}$

Это действие приводит к появлению n- ^го неупорядоченного конфигурационного пространства X ,

${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(X):=\operatorname {Conf} _{n}(X)/S_{n},}$

которое является пространством орбиты этого действия. Интуиция подсказывает, что это действие «забывает названия точек». Неупорядоченное конфигурационное пространство иногда обозначается , ^[2] или . Совокупность неупорядоченных конфигурационных пространств представляет собой пространство Рана и имеет естественную топологию. ${\displaystyle {\mathcal {UC}}^{n}(X)}$ ${\displaystyle B_{n}(X)}$ ${\displaystyle C_{n}(X)}$ ${\displaystyle n}$

Альтернативные составы

Для топологического пространства и конечного множества конфигурационное пространство X с частицами, помеченными S , равно ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \operatorname {Conf} _{S}(X):=\{f\mid f\colon S\hookrightarrow X{\text{ is injective}}\}.}$

Для определите . Тогда n- ^е конфигурационное пространство X есть , и обозначается просто . ^[3] ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} :=\{1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{\mathbf {n} }(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}$

Примеры

• Пространство упорядоченной конфигурации двух точек в гомеоморфно произведению евклидова 3-пространства на окружность, т.е. ^[2] ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{2}(\mathbf {R} ^{2})\cong \mathbf {R} ^{3}\times S^{1}}$
• В более общем смысле конфигурационное пространство двух точек гомотопически эквивалентно сфере . ^[4] ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$
• Конфигурационное пространство точек в является классифицирующим пространством группы кос ( см. ниже). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$ ${\displaystyle n}$

Соединение с группами кос

Группа n -нитевых кос в связном топологическом пространстве X — это

${\displaystyle B_{n}(X):=\pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(X)),}$

фундаментальная группа n - ^го неупорядоченного конфигурационного пространства X . Группа чистых кос из n -нитей на X — это ^[2]

${\displaystyle P_{n}(X):=\pi _{1}(\operatorname {Conf} _{n}(X)).}$

Первыми изученными группами кос были группы кос Артина . Хотя приведенное выше определение не является тем, которое дал Эмиль Артин , Адольф Гурвиц неявно определил группы кос Артина как фундаментальные группы конфигурационных пространств комплексной плоскости значительно раньше определения Артина (в 1891 году). ^[5] ${\displaystyle B_{n}\cong \pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2}))}$

Из этого определения и того факта, что и являются пространствами Эйленберга–Маклэйна типа , следует, что неупорядоченное конфигурационное пространство плоскости является классифицирующим пространством для группы кос Артина и является классифицирующим пространством для чистой группы кос Артина, когда оба рассматриваются как дискретные группы . ^[6] ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})}$ ${\displaystyle K(\pi ,1)}$ ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})}$

Конфигурационные пространства многообразий

Если исходное пространство является многообразием , его упорядоченные конфигурационные пространства являются открытыми подпространствами степеней и, таким образом, сами являются многообразиями. Конфигурационное пространство различных неупорядоченных точек также является многообразием, в то время как конфигурационное пространство не обязательно различных ^{[ необходимо пояснение ]} неупорядоченных точек вместо этого является орбифолдом . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Конфигурационное пространство — это тип классифицирующего пространства или (тонкого) пространства модулей . В частности, существует универсальное расслоение , которое является подрасслоением тривиального расслоения и которое обладает тем свойством, что слой над каждой точкой представляет собой подмножество из n элементов, классифицированное  p . ${\displaystyle \pi \colon E_{n}\to C_{n}}$ ${\displaystyle C_{n}\times X\to C_{n}}$ ${\displaystyle p\in C_{n}}$ ${\displaystyle X}$

Гомотопическая инвариантность

Гомотопический тип конфигурационных пространств не является гомотопически инвариантным . Например, пространства не являются гомотопически эквивалентными для любых двух различных значений : пусто для , не связно для , является пространством Эйленберга-Маклейна типа и односвязно для . ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathrm {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{0})}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ ${\displaystyle K(\pi ,1)}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle m\geq 3}$

Раньше оставался открытым вопрос, существуют ли примеры компактных многообразий, которые были гомотопически эквивалентны, но имели негомотопически эквивалентные конфигурационные пространства: такой пример был найден только в 2005 году Риккардо Лонгони и Паоло Сальваторе. Их примером являются два трехмерных линзовых пространства и конфигурационные пространства как минимум двух точек в них. То, что эти конфигурационные пространства не являются гомотопически эквивалентными, было обнаружено произведениями Мэсси в их соответствующих универсальных накрытиях. ^[7] Гомотопическая инвариантность конфигурационных пространств односвязных замкнутых многообразий в целом остается открытой и, как было доказано, справедлива над базовым полем . ^{[8] [9]} Также была доказана действительная гомотопическая инвариантность односвязных компактных многообразий с односвязной границей размерности не менее 4. ^[10] ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Конфигурационные пространства графов

Некоторые результаты специфичны для конфигурационных пространств графов . Эта проблема может быть связана с робототехникой и планированием движения: можно представить себе размещение нескольких роботов на рельсах и попытку перемещения их в разные позиции без столкновений. Дорожки соответствуют (краям) графа, роботы соответствуют частицам, а успешная навигация соответствует пути в конфигурационном пространстве этого графа. ^[11]

Для любого графа , является пространством Эйленберга–Маклейна типа ^[11] и сильная деформация стягивается к комплексу CW размерности , где – число вершин степени не менее 3. ^{[11] [12]} Более того, и деформация стягивается к кубические комплексы неположительной кривизны размерностью не более . ^{[13] [14]} ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\Gamma )}$ ${\displaystyle K(\pi ,1)}$ ${\displaystyle b(\Gamma )}$ ${\displaystyle b(\Gamma )}$ ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\Gamma )}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\Gamma )}$ ${\displaystyle \min(n,b(\Gamma ))}$

Конфигурационные пространства механических связей

Также определяется конфигурационное пространство механической связи с графом, лежащим в основе его геометрии. Обычно предполагается, что такой граф построен как совокупность жестких стержней и шарниров. Конфигурационное пространство такой связи определяется как совокупность всех ее допустимых положений в евклидовом пространстве, снабженных соответствующей метрикой. Конфигурационное пространство типичной связи представляет собой гладкое многообразие, например, для тривиальной плоской связи, состоящей из жестких стержней, соединенных вращающимися шарнирами, конфигурационным пространством является n-тор . ^{[15] [16]} Простейшая особая точка в таких конфигурационных пространствах — это произведение конуса на однородной квадратичной гиперповерхности на евклидово пространство. Такая точка сингулярности возникает для связей, которые могут быть разделены на две подсвязи так, что их соответствующие конечные точки пересекаются непоперечным образом, например, связь, которая может быть выровнена (т.е. полностью сложена в линию). ^[17] ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T^{n}}$

Компактификация

Конфигурационное пространство различных точек некомпактно и имеет концы, на которых точки стремятся сблизиться (слиться). Многие геометрические приложения требуют компактов, поэтому хотелось бы компактифицировать , т. е. вложить его как открытое подмножество компакта с подходящими свойствами. Подходы к этой проблеме были предложены Раулем Боттом и Клиффордом Таубсом ^[18] , а также Уильямом Фултоном и Робертом Макферсоном . ^[19] ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}$

Смотрите также

• Математический портал

• Конфигурационное пространство (физика)
• Пространство состояний (физика)

Рекомендации

1. Фарбер, Майкл; Грант, Марк (2009). «Топологическая сложность конфигурационных пространств». Труды Американского математического общества . 137 (5): 1841–1847. arXiv : 0806.4111 . дои : 10.1090/S0002-9939-08-09808-0. MR  2470845. S2CID  16188638.
2. Грист, Роберт (1 декабря 2009 г.). «Конфигурационные пространства, косы и робототехника». В Беррике, А. Джон; Коэн, Фредерик Р.; Хэнбери, Элизабет; Вонг, Ян-Лой; Ву, Цзе (ред.). Косы . Серия конспектов лекций, Институт математических наук, Национальный университет Сингапура. Том. 19. Всемирная научная. стр. 263–304. дои : 10.1142/9789814291415_0004. ISBN 9789814291408.
3. Четтих, Сафия; Лютгехетманн, Даниэль (2018). «Гомология конфигурационных пространств деревьев с петлями». Алгебраическая и геометрическая топология . 18 (4): 2443–2469. arXiv : 1612.08290 . дои : 10.2140/agt.2018.18.2443. S2CID  119168700.
4. Синха, Дев (20 февраля 2010 г.). «Гомология дисков операда». п. 2. arXiv : math/0610236 .
5. Магнус, Вильгельм (1974). «Группы кос: опрос». Материалы второй международной конференции по теории групп . Конспект лекций по математике . Том. 372. Спрингер. п. 465. дои : 10.1007/BFb0065203. ISBN 978-3-540-06845-7.
6. Арнольд, Владимир (1969). «Кольцо когомологий группы цветных кос». Владимир И. Арнольд — Собрание сочинений (на русском языке). Том. 5. Перевод Виктора Васильева . стр. 227–231. дои : 10.1007/978-3-642-31031-7_18. ISBN 978-3-642-31030-0. ISSN  0025-567X. MR  0242196. S2CID  122699084.
7. Сальваторе, Паоло; Лонгони, Риккардо (2005), «Конфигурационные пространства не являются гомотопически инвариантными», Topology , 44 (2): 375–380, arXiv : math/0401075 , doi : 10.1016/j.top.2004.11.002, S2CID  15874513
8. Кампос, Рикардо; Виллвахер, Томас (2023). «Модель конфигурационного пространства точек». Алгебраическая и геометрическая топология . 23 (5): 2029–2106. arXiv : 1604.02043 . дои : 10.2140/agt.2023.23.2029.
9. Идрисси, Наджиб (29 августа 2016 г.). «Модель конфигурационных пространств Ламбрехта – Стэнли». Математические изобретения . 216 : 1–68. arXiv : 1608.08054 . Бибкод : 2016arXiv160808054I. дои : 10.1007/s00222-018-0842-9. S2CID  102354039.
10. Кампос, Рикардо; Идрисси, Наджиб; Ламбрехтс, Паскаль; Виллвахер, Томас (2 февраля 2018 г.). «Конфигурационные пространства многообразий с границей». arXiv : 1802.00716 [math.AT].
11. Ghrist, Роберт (2001), «Конфигурационные пространства и группы кос на графах в робототехнике», Узлы, косы и группы классов отображения — статьи, посвященные Джоан С. Бирман , AMS/IP Stud. Адв. Матем., вып. 24, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 29–40, arXiv : math/9905023 , MR  1873106.
12. Фарли, Дэниел; Сабалка, Лукас (2005). «Дискретная теория Морса и группы кос-графов». Алгебраическая и геометрическая топология . 5 (3): 1075–1109. arXiv : math/0410539 . дои : 10.2140/agt.2005.5.1075. MR  2171804. S2CID  119715655.
13. Свентковский, Яцек (2001). «Оценки гомологической размерности конфигурационных пространств графов». Коллоквиум Mathematicum (на польском языке). 89 (1): 69–79. дои : 10,4064/см89-1-5 . МР  1853416.
14. Лютгехетманн, Даниэль (2014). Конфигурационные пространства графов (Магистерская диссертация). Берлин: Свободный университет Берлина .
15. Швальб, Нир; Шохам, Моше; Блан, Дэвид (2005). «Конфигурационное пространство арахноидальных механизмов». Форум Математикум . 17 (6): 1033–1042. дои : 10.1515/форм.2005.17.6.1033. S2CID  121995780.
16. Фарбер, Майкл (2007). Приглашение на Топологическую Робототехнику . Американское математическое общество.
17. Швальб, Нир; Блан, Дэвид (2012). «Общие сингулярные конфигурации связей». Топология и ее приложения . 159 (3): 877–890. arXiv : 1112.2334 . дои : 10.1016/j.topol.2011.12.003 .
18. Ботт, Рауль ; Таубс, Клиффорд (1 октября 1994 г.). «О самозавязывании узлов». Журнал математической физики . 35 (10): 5247–5287. дои : 10.1063/1.530750. ISSN  0022-2488.
19. Фултон, Уильям ; Макферсон, Роберт (январь 1994 г.). «Компактификация конфигурационных пространств». Анналы математики . 139 (1): 183. дои : 10.2307/2946631. ISSN  0003-486X. JSTOR  2946631.