Симметричное произведение (топология)

В алгебраической топологии n- ^е симметричное произведение топологического пространства состоит из неупорядоченных n -кортежей его элементов. Если зафиксировать базовую точку , то существует канонический способ вложения симметричных произведений меньшей размерности в симметричные произведения большей размерности. Таким образом, можно рассмотреть копредел по симметричным произведениям, бесконечное симметричное произведение. Эту конструкцию можно легко расширить, чтобы получить гомотопический функтор.

С алгебраической точки зрения бесконечное симметричное произведение — это свободный коммутативный моноид, порожденный пространством за вычетом базовой точки, причем базовая точка дает единичный элемент. Таким образом, его можно рассматривать как абелеву версию редуцированного произведения Джеймса .

Одним из его существенных приложений является теорема Дольда-Тома , утверждающая, что гомотопические группы бесконечного симметричного произведения связного комплекса CW совпадают с редуцированными группами гомологии этого комплекса. Таким образом, можно дать гомотопическое определение гомологии .

Определение

Пусть X — топологическое пространство, а n ≥ 1 — натуральное число. Определим n-е ^{симметричное} произведение X или n- кратное симметричное произведение X как пространство

${\displaystyle \operatorname {SP} ^{n}(X)=X^{n}/S_{n}.}$

Здесь симметрическая группа S _n действует на X ⁿ перестановкой множителей. Следовательно, элементы SP ⁿ ( X ) являются неупорядоченными n -кортежами элементов X . Запишем [ x ₁ , ..., x _n ] для точки в SP ⁿ ( X ), определенной как ( x ₁ , ..., x _n ) ∈ X ⁿ .

Обратите внимание, что можно определить n ^-е симметричное произведение в любой категории , где существуют произведения и копределы . А именно, тогда имеются канонические изоморфизмы φ : X × Y → Y × X для любых объектов X и Y и можно определить действие транспонирования на X ⁿ как , тем самым индуцируя действие всего S _n на X ⁿ . Это означает, что можно рассматривать и симметричные произведения объектов, таких как симплициальные множества . Более того, если категория декартово замкнута , то выполняется дистрибутивный закон X × ( Y ∐ Z ) ≅ X × Y ∐ X × Z , и поэтому получается ${\displaystyle (k\ k+1)\in S_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} ^{k-1}\times \phi \times \operatorname {Id} ^{n-k-1}}$

${\displaystyle \operatorname {SP} ^{n}(X\amalg Y)=\coprod _{k=0}^{n}\operatorname {SP} ^{k}(X)\times \operatorname {SP} ^{n-k}(Y).}$

Если ( X , e ) является базовым пространством, то обычно устанавливают SP ⁰ ( X ) = { e }. Далее, X ⁿ может быть затем вложено в X ^{n +1} путем отправки ( x ₁ , ..., x _n ) в ( x ₁ , ..., x _n , e ). Это явно индуцирует вложение SP ⁿ ( X ) в SP ^{n +1} ( X ). Следовательно, бесконечное симметричное произведение можно определить как

${\displaystyle \operatorname {SP} (X)=\operatorname {colim} \operatorname {SP} ^{n}(X).}$

Определение, избегающее теоретико-категорных понятий, можно дать, взяв SP( X ) в качестве объединения возрастающей последовательности пространств SP ⁿ ( X ), снабженных топологией прямого предела . Это означает, что подмножество SP( X ) открыто тогда и только тогда, когда все его пересечения с SP ⁿ ( X ) открыты. Мы определяем базовую точку SP( X ) как [ e ]. Таким образом, SP( X ) также становится базовым пространством.

Можно также обобщить это определение на отмеченные категории , где существуют произведения и копределы. А именно, в этом случае имеется каноническое отображение X ⁿ → X ^{n +1} , индуцированное тождеством X ⁿ → X ⁿ и нулевым отображением X ⁿ → X . Таким образом, это также приводит к прямой системе симметричных произведений, и поэтому можно определить ее копредел как бесконечное симметричное произведение.

Примеры

• SP ⁿ ( I ) совпадает с n -мерным стандартным симплексом Δ ⁿ , где I обозначает единичный интервал.
• SP ⁿ ( S ¹ ) можно отождествить с пространством классов сопряженности унитарных n × n -матриц , где S ¹ предполагается окружностью. Это потому, что такой класс однозначно определяется собственными значениями элемента класса, все из которых лежат в S ¹ . Сначала легко увидеть, что это пространство гомотопически эквивалентно S ¹ : Поскольку SP ⁿ является гомотопическим функтором (см. Свойства ) , рассматриваемое пространство гомотопически эквивалентно SP ⁿ ( C − {0}). Рассмотрим отображение SP ⁿ ( C − {0}) → P _n в пространство P _n многочленов над C степени не выше n , отображающее [ w ₁ , ..., w _n ] в ( z - w ₁ ) ⋅⋅⋅ ( z - w _n ). Таким образом, можно отождествить SP ⁿ ( C − {0}) с пространством монических многочленов степени n, имеющих постоянный член, отличный от нуля, т. е. C ^{n − 1} × ( C − {0}), которое гомотопически эквивалентно S ¹ . Это подразумевает, что бесконечное симметричное произведение SP( S ¹ ) также гомотопически эквивалентно S ^{1 . Однако о пространстве SP n} ( S ¹ ) известно значительно больше . А именно, что отображение
  ${\displaystyle {\begin{aligned}\qquad \operatorname {SP} ^{n}(S^{1})&\to S^{1},\\{\color {white}.}[w_{1},\dots ,w_{n}]&\mapsto w_{1}\cdots w_{n}\end{aligned}}}$
  является расслоением со слоем, гомеоморфным ( n − 1)-мерному стандартному симплексу ∆ ^{n −1} . Оно ориентируемо тогда и только тогда, когда n нечетно. ^{[1] [2]}
• SP( S ² ) гомеоморфно бесконечномерному комплексному проективному пространству CP ^∞ следующим образом: Пространство CP ⁿ можно отождествить с пространством ненулевых многочленов степени не выше n над C с точностью до скалярного умножения, отправив a ₀ + ... + a _n z ⁿ на прямую, проходящую через ( a ₀ , ..., a _n ). Интерпретация S ² как сферы Римана C ∪ {∞} дает отображение
  ${\displaystyle {\begin{aligned}\qquad f\colon (S^{2})^{n}&\to \mathbf {CP} ^{n},\\(a_{1},\dots ,a_{n})&\mapsto (z+a_{1})\cdots (z+a_{n}),\end{aligned}}}$
  где возможные множители z + ∞ опущены. Можно проверить, что это отображение действительно непрерывно. ^[3] Поскольку f ( a ₁ , ..., an ) остается неизменным при перестановке a _i , f индуцирует непрерывную биекцию SP ⁿ (S ² ) → CP ⁿ . Но поскольку оба являются компактными хаусдорфовыми пространствами , это отображение является гомеоморфизмом . Устремление n к бесконечности показывает _, что утверждение верно.

Хотя вычисление SP( S ⁿ ) для n ≥ 3 оказывается довольно сложным, все же можно довольно хорошо описать SP ² ( S ⁿ ) как конус отображения отображения Σ ⁿ RP ^n-1 → S ⁿ , где Σ ⁿ обозначает применение редуцированной подвески n раз, а RP ^{n −1} является ( n − 1)-мерным вещественным проективным пространством : Можно рассматривать SP ² ( S ⁿ ) как определенное частное D ⁿ × D ⁿ , отождествляя S ⁿ с D ⁿ /∂ D ⁿ . Интерпретируя D ⁿ × D ⁿ как конус на его границе D ⁿ × ∂ D ⁿ ∪ ∂ D ⁿ × D ⁿ , отождествления для SP ² уважают концентрические копии границы. Следовательно, достаточно рассмотреть только их. Отождествления на границе ∂ D ⁿ × D ⁿ ∪ D ⁿ × ∂ D ⁿ самого D ⁿ × D ⁿ дают S ⁿ . Это ясно, так как это фактор D ⁿ × ∂ D ⁿ и так как ∂ D ⁿ сжимается в одну точку в S ⁿ . Отождествления на других концентрических копиях границы дают факторпространство Z D n × ∂ D ^{n ,} полученное путем отождествления ( x , y ) с ( y , x ) всякий раз, когда обе координаты лежат в ∂ D ⁿ . Определим отображение f : D ⁿ × RP ^{n −1} → Z , отправив пару ( x , L ) в ( w , z ). Здесь z ∈ ∂ D ⁿ и w ∈ D ⁿвыбраны на прямой, проходящей через x параллельно L , так что x является их средней точкой. Если x является средней точкой отрезка zz′ , нет способа различить z и w , но это не проблема, поскольку f принимает значения в факторпространстве Z. Следовательно, f хорошо определена. Поскольку f ( x , L ) = f ( x , L′ ) выполняется для любого x ∈ ∂ D ⁿ , f пропускается через Σ ⁿ RP ^{n −1} и, как легко видеть, является гомеоморфизмом в этой области.

Характеристики

Структура H-пространства

Так как SP( X ) является свободным коммутативным моноидом, порожденным X − { e } с единичным элементом e , его можно рассматривать как коммутативный аналог приведенного произведения Джеймса J ( X ). Это означает, что SP( X ) является частным J ( X ), полученным путем идентификации точек, которые отличаются только перестановкой координат. Следовательно, структура H-пространства на J ( X ) индуцирует единицу на SP( X ), если X является CW-комплексом, делая его коммутативным и ассоциативным H-пространством со строгой идентичностью. Таким образом, теорема Дольда-Тома подразумевает, что все его k -инварианты обращаются в нуль, что означает, что оно имеет слабый гомотопический тип обобщенного пространства Эйленберга-Маклейна , если X линейно связно. ^[4] Однако, если X является произвольным пространством, умножение на SP( X ) может не быть непрерывным. ^[5]

Функциональность

SP ⁿ является гомотопическим функтором: отображение f : X → Y явно индуцирует отображение SP ⁿ ( f ) : SP ⁿ ( X ) → SP ⁿ ( Y ), заданное как SP ⁿ ( f )[ x ₁ , ..., x _n ] = [ f ( x ₁ ), ..., f ( x _n )]. Гомотопия между двумя отображениями f , g : X → Y дает одно между SP ⁿ ( f ) и SP ⁿ ( g ). Кроме того, можно легко увидеть, что диаграмма

коммутирует, что означает, что SP также является функтором . Аналогично, SP является даже гомотопическим функтором в категории точечных пространств и гомотопических классов отображений, сохраняющих базовую точку. В частности, X ≃ Y подразумевает SP ⁿ ( X ) ≃ SP ⁿ ( Y ), но в общем случае не SP( X ) ≃ SP( Y ), поскольку гомотопическая эквивалентность может быть затронута требованием к отображениям и гомотопиям сохранять базовую точку. Однако это не так, если требуется, чтобы X и Y были связными CW-комплексами. ^[6]

Симплициальная и CW-структура

SP( X ) наследует определенные структуры X : Для симплициального комплекса X можно также установить симплициальную структуру на X ⁿ таким образом, что каждая n -перестановка будет либо тождеством на симплексе, либо гомеоморфизмом из одного симплекса в другой. Это означает, что мы получаем симплициальную структуру на SP ⁿ ( X ). Кроме того, SP ⁿ ( X ) также является подсимплексом SP ^{n +1} ( X ), если базовая точка e ∈ X является вершиной, что означает, что SP( X ) наследует симплициальную структуру и в этом случае. ^[7] Однако следует отметить, что X ⁿ и SP ⁿ ( X ) не обязательно должны иметь слабую топологию , если X имеет несчетное число симплексов. ^[8] Аналогичное утверждение можно сделать, если X является CW-комплексом. Тем не менее, все еще возможно снабдить SP( X ) структурой комплекса CW таким образом, что обе топологии будут иметь одни и те же компактные множества, если X — произвольный симплициальный комплекс. ^[9] Таким образом, различие между двумя топологиями не приведет к каким-либо различиям в целях гомотопии, например

Гомотопия

Одним из основных применений бесконечных симметричных произведений является теорема Дольда-Тома. Она утверждает, что редуцированные группы гомологии совпадают с гомотопическими группами бесконечного симметричного произведения связного комплекса CW. Это позволяет переформулировать гомологию только с помощью гомотопии, что может быть очень полезно в алгебраической геометрии . Это также означает, что функтор SP отображает пространства Мура M ( G , n ) в пространства Эйленберга-Маклейна K ( G , n ). Следовательно, это дает естественный способ построения последних пространств с учетом собственных пространств Мура.

Также было изучено, как другие конструкции, объединенные с бесконечным симметричным произведением, влияют на гомотопические группы. Например, было показано, что отображение

${\displaystyle \rho \colon \operatorname {SP} (X)\to \Omega \operatorname {SP} (\Sigma X),\quad \rho [x_{1},\dots ,x_{n}](t)=[(x_{1},t),\dots ,(x_{n},t)]}$

является слабой гомотопической эквивалентностью, где Σ X = X ∧ S ¹ обозначает редуцированную подвеску, а Ω Y обозначает пространство петель выделенного пространства Y . ^[10]

Гомология

Неудивительно, что группы гомологии симметричного произведения не могут быть описаны так же легко, как группы гомотопии. Тем не менее, известно, что группы гомологии симметричного произведения комплекса CW определяются группами гомологии комплекса. Точнее, если X и Y являются комплексами CW, а R является областью главных идеалов, такой что H _i ( X , R ) ≅ H _i ( Y , R ) для всех i ≤ k , то H _i (SP ⁿ ( X ), R ) ≅ H _i (SP ⁿ ( Y ), R ) также выполняется для всех i ≤ k . Это можно обобщить на Γ-произведения, определенные в следующем разделе. ^[11]

Для симплициального множества K , кроме того,

${\displaystyle H_{*}(\operatorname {SP} ^{n+1}(K))\cong H_{*}(\operatorname {SP} ^{n+1}(K),\operatorname {SP} ^{n}(K))\oplus H_{*}(\operatorname {SP} ^{n}(K)).}$

Переходя к геометрическим реализациям , можно увидеть, что это утверждение справедливо и для связных комплексов CW. ^[12] Индукция дает далее

${\displaystyle H_{*}(\operatorname {SP} (K))\cong \bigoplus _{n=1}^{\infty }H_{*}(\operatorname {SP} ^{n}(K),\operatorname {SP} ^{n-1}(K)).}$^[13]

Связанные конструкции и обобщения

С. Ляо ввел немного более общую версию симметричных произведений, названную Γ-произведениями для подгруппы Γ симметрической группы S _n . ^[14] Операция была той же самой, и поэтому он определил X ^Γ = X ⁿ /Γ как Γ-произведение X . Это позволило ему изучить циклические произведения , частным случаем для Γ также является циклическая группа .

При установлении теоремы Дольда-Тома они также рассмотрели «фактор-группу» Z [ X ] группы SP( X ). Это свободная абелева группа над X с базовой точкой в ​​качестве нулевого элемента. Если X является CW-комплексом, то это даже топологическая группа . Чтобы снабдить эту группу топологией, Дольд и Том изначально ввели ее как следующее фактор по бесконечному симметричному произведению суммы клина X с копией самой себя: Пусть τ : X ∨ X → X ∨ X переставляет слагаемые. Кроме того, пусть ~ будет отношением эквивалентности на SP( X ∨ X ), порожденным

${\displaystyle x\sim x+y+\operatorname {SP} (\tau )(y)}$

для x , y ∈ SP( X ∨ X ). Тогда можно определить Z [ X ] как

${\displaystyle \mathbb {Z} [X]=\operatorname {SP} (X\vee X)/\sim .}$

Поскольку ~ совместимо с добавлением в SP( X ∨ X ), то получается ассоциативное и коммутативное добавление на Z [ X ]. Также имеются топологические включения X ⊂ SP( X ) ⊂ Z [ X ] ^[15] , и легко видеть, что эта конструкция имеет свойства, аналогичные свойствам SP, например, является функтором.

МакКорд дал конструкцию, обобщающую как SP( X ), так и Z [ X ]: Пусть G — моноид с единичным элементом 1, а ( X , e ) — точечное множество. Определим

${\displaystyle B(G,X)=\{u\colon X\to G:u(e)=1{\text{ and }}u(x)=1{\text{ for all but finitely many }}x\in X\}.}$

Тогда B ( G , X ) снова является моноидом относительно поточечного умножения, которое будет обозначаться как ⋅. Пусть gx обозначает элемент B ( G , X ), принимающий значение g в x и равный 1 в других местах для g ∈ G , x ∈ X − { e }. Более того, ge будет обозначать функцию, равную 1 везде, единицу B ( G , X ).

Чтобы установить топологию на B ( G , X ), нужно потребовать, чтобы X был компактно порожден и чтобы G был абелевым топологическим моноидом . Определим B _n ( G , X ) как подмножество B ( G , X ), состоящее из всех отображений, которые отличаются от постоянной функции 1 не более чем в n точках. B _n ( G , X ) оснащается окончательной топологией отображения

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{n}\colon (G\times X)^{n}&\to B_{n}(G,X),\\((g_{1},x_{1}),\dots ,(g_{n},x_{n}))&\mapsto g_{1}x_{1}\cdots g_{n}x_{n}.\end{aligned}}}$

Теперь B _n ( G , X ) является замкнутым подмножеством B _n+1 ( G , X ). ^[16] Тогда B ( G , X ) можно снабдить топологией прямого предела, сделав его снова компактно сгенерированным пространством. Затем можно отождествить SP( X ) соответственно Z [ X ] с B ( N , X ) соответственно B ( Z , X ).

Более того, B (⋅,⋅) является функториальным в том смысле, что B : C × D → C является бифунктором для C, являющегося категорией абелевых топологических моноидов, и D , являющегося категорией точечных CW-комплексов. ^[17] Здесь отображение B (φ, f ) : B ( G , X ) → B ( H , Y ) для морфизма φ: G → H абелевых топологических моноидов и непрерывного отображения f : X → Y определяется как

${\displaystyle B(\varphi ,f)(g_{1}x_{1}\cdots g_{n}x_{n})=(\varphi g_{1})(fx_{1})\cdots (\varphi g_{n})(fx_{n})}$

для всех g _i ∈ G и x _i ∈ X. Как и в предыдущих случаях, видно, что базовая гомотопия f _t  : X → Y индуцирует гомотопию B (Id, f _t ) : B ( G , X ) → B ( G , Y ) для абелева топологического моноида G .

Используя эту конструкцию, теорему Дольда-Тома можно обобщить. А именно, для дискретного модуля M над коммутативным кольцом с единицей имеем

${\displaystyle [X,B(M,Y)]\cong \prod _{n=0}^{\infty }{\tilde {H}}^{n}(X,{\tilde {H}}_{n}(Y,M))}$

для базовых пространств X и Y, имеющих гомотопический тип комплекса CW. ^[18] Здесь H̃ _n обозначает редуцированную гомологию, а [ X , Z ] обозначает множество всех базовых гомотопических классов сохраняющих базовую точку отображений X → Z . Поскольку M является модулем, [ X , B ( M , Y )] имеет очевидную групповую структуру. Подстановка X = S ⁿ и M = Z дает теорему Дольда-Тома для Z [ X ].

Также следует отметить, что B ( G , S ¹ ) является классифицирующим пространством для G, если G является топологической группой, такой что включение {1} → G является корасслоением . ^[19]

Примечания

1. Мортон, Хью Р. (1967). «Симметричные произведения окружности». Математические труды Кембриджского философского общества . Т. 63. Издательство Кембриджского университета. С. 349–352.
2. Симметричное произведение окружностей на nLab
3. Хэтчер (2002), Пример 4К.4
4. Долд и Том (1958), Satz 7.1
5. Спаниер (1959), сноска 2
6. Хэтчер (2002), стр.481
7. Агилар, Гитлер и Прието (2008), примечание 5.2.2.
8. Дольд и Том (1958), 3.3
9. Хэтчер (2002), стр.482-483
10. Спанье (1959), Теорема 10.1
11. Дольд (1958), Теорема 7.2
12. Милгрэм, Р. Джеймс (1969), «Гомология симметричных произведений», Труды Американского математического общества , 138 : 251–265
13. Спаниер (1959), Теорема 7.2
14. Ляо (1954)
15. Дольд и Том (1958), 4.7
16. МакКорд (1969), Лемма 6.2
17. МакКорд (1969), Следствие 6.9
18. МакКорд (1969), Теорема 11.5
19. МакКорд (1969), Теорема 9.17

Ссылки

• Агилар, Марсело; Гитлер, Самуэль; Прието, Карлос (2008). Алгебраическая топология с гомотопической точки зрения . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-22489-3.
• Дольд, Альбрехт (1958), «Гомологии симметричных произведений и другие функторы комплексов», Annals of Mathematics : 54–80
• Дольд, Альбрехт; Том, Рене (1958), «Quasifaserungen und unendliche symmetrische Produkte», Annals of Mathematics , Second Series, 67 (2): 239–281, doi : 10.2307/1970005, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970005, MR  0097062
• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-79540-1.
• Ляо, С.Д. (1954), «О топологии циклических произведений сфер», Труды Американского математического общества , 77 (3): 520–551
• МакКорд, Майкл С. (1969), «Классификация пространств и бесконечных симметричных произведений», Труды Американского математического общества , 146 : 273–298
• Piccinini, Renzo A. (1992). Лекции по теории гомотопии . Elsevier. ISBN 9780080872827.
• Спаниер, Эдвин (1959), «Бесконечные симметричные произведения, функциональные пространства и двойственность», Annals of Mathematics : 142–198

Внешние ссылки

• Симметричное произведение в произвольных категориях? на MathOverflow