В математике единичный круг — это круг единичного радиуса , то есть радиуса 1. [1] Часто, особенно в тригонометрии , единичный круг — это круг радиуса 1 с центром в начале координат (0, 0) в Декартова система координат в евклидовой плоскости . В топологии ее часто обозначают как S1 , поскольку она представляет собой одномерную единицу n- сферы . [2] [примечание 1]
Если ( x , y ) — точка на окружности единичного круга , то | х | и | й | — длины катетов прямоугольного треугольника , гипотенуза которого имеет длину 1. Таким образом, по теореме Пифагора x и y удовлетворяют уравнению
Поскольку x 2 = (− x ) 2 для всех x и поскольку отражение любой точки единичного круга относительно оси x или y также находится на единичном круге, приведенное выше уравнение справедливо для всех точек ( x , y ) на единичном круге, а не только в первом квадранте.
Внутренняя часть единичного круга называется открытым единичным диском , а внутренняя часть единичного круга, объединенная с самим единичным кругом, называется замкнутым единичным диском.
Можно также использовать другие понятия «расстояния» для определения других «единичных кругов», таких как риманов круг ; Дополнительные примеры см. в статье о математических нормах .
В комплексной плоскости числа единичной величины называются единичными комплексными числами . Это набор комплексных чисел z такой, что при разбиении на действительную и мнимую составляющие это условие имеет вид
Комплексная единичная окружность может быть параметризована величиной угла от положительной действительной оси с использованием комплексной экспоненциальной функции ( см. формулу Эйлера ).
При операции комплексного умножения единичные комплексные числа образуют группу , называемую группой кругов , обычно обозначаемую. В квантовой механике единичное комплексное число называется фазовым множителем .
Тригонометрические функции косинус и синус угла θ могут быть определены на единичном круге следующим образом: если ( x , y ) является точкой на единичном круге, и если луч от начала координат (0, 0) до ( x , y) ) образует угол θ с положительной осью x (где поворот против часовой стрелки является положительным), тогда
Уравнение x 2 + y 2 = 1 дает соотношение
Единичный круг также демонстрирует, что синус и косинус являются периодическими функциями , тождественными для любого целого числа k .
Треугольники, построенные на единичной окружности, также можно использовать для иллюстрации периодичности тригонометрических функций. Сначала постройте радиус OP от начала координат O до точки P( x 1 , y 1 ) на единичной окружности такой, что угол t с 0 < t < π/2 формируется положительным плечом оси x . Теперь рассмотрим точку Q( x1,0 ) и отрезки PQ ⊥ OQ . В результате получается прямоугольный треугольник △OPQ с ∠QOP = t . Поскольку PQ имеет длину y 1 , OQ длину x 1 , а OP имеет длину 1 как радиус единичной окружности, sin( t ) = y 1 и cos( t ) = x 1 . Установив эти эквивалентности, возьмем еще один радиус OR от начала координат до точки R(− x 1 , y 1 ) на окружности так, чтобы тот же угол t образовывался с отрицательным плечом оси x . Теперь рассмотрим точку S(− x 1,0 ) и отрезки RS ⊥ OS . В результате получается прямоугольный треугольник △ORS с ∠SOR = t . Отсюда видно, что, поскольку ∠ROQ = π − t , R находится в точке (cos(π − t ), sin(π − t )) точно так же, как P находится в точке (cos( t ), sin( t )) . Вывод таков: поскольку (− x 1 , y 1 ) то же самое, что (cos(π − t ), sin(π − t )) и ( x 1 , y 1 ) то же самое, что (cos( t ) ,sin( t )) верно, что sin( t ) = sin(π - t ) и -cos( t ) = cos(π - t ) . Аналогичным образом можно сделать вывод, что tan(π − t ) = −tan( t ) , поскольку tan( t ) = у 1/х 1 и загар(π - т ) = у 1/− х 1 . Простую демонстрацию вышесказанного можно увидеть в равенстве sin( π/4 ) = грех( 3π/4 ) = 1/√ 2 .
При работе с прямоугольными треугольниками синус, косинус и другие тригонометрические функции имеют смысл только для угловых величин больше нуля и меньше .π/2 . Однако, если они определены с помощью единичного круга, эти функции дают значимые значения для любой действительной угловой меры, даже для тех, которые больше 2 π . Фактически, все шесть стандартных тригонометрических функций — синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс, а также архаичные функции, такие как версус и экссеканс , — могут быть определены геометрически в терминах единичного круга, как показано справа.
Используя единичный круг, значения любой тригонометрической функции для многих углов, отличных от отмеченных, можно легко вычислить вручную, используя формулы суммы и разности углов .
Множество Жюлиа дискретной нелинейной динамической системы с функцией эволюции : представляет собой единичный круг. Это простейший случай, поэтому он широко используется при изучении динамических систем.