Комплексный тор

Комплексный тор, связанный с решеткой, натянутой на два периода, ω ₁ и ω ₂ . Соответствующие ребра идентифицируются.

В математике комплексный тор — это особый вид комплексного многообразия M , лежащее в основе гладкое многообразие которого является тором в обычном смысле (т. е. декартовым произведением некоторого числа N окружностей ). Здесь N должно быть четным числом 2 n , где n — комплексная размерность M .

Все такие комплексные структуры можно получить следующим образом: возьмем решетку Λ в векторном пространстве V, изоморфном Cn ^, рассматриваемом как вещественное векторное пространство; тогда факторгруппа

$${\displaystyle V/\Lambda }$$

компактнымnрешетки периодов эллиптических кривыхпБернхард Риманалгебраическим многообразиемкомплексное проективное пространствоабелевыми многообразиями

Реальные проективные вложения сложны (см. уравнения, определяющие абелевы многообразия ), когда n > 1, и действительно совпадают с теорией тэта-функций нескольких комплексных переменных (с фиксированным модулем). Нет ничего проще, чем описание кубической кривой для n = 1. Компьютерная алгебра достаточно хорошо справляется со случаями малого n . По теореме Чоу никакой комплексный тор, кроме абелевых многообразий, не может «вписаться» в проективное пространство .

Определение

Один из способов определения комплексных торов ^[1] — это компактная связная комплексная группа Ли . Это группы Ли, в которых структурные отображения являются голоморфными отображениями комплексных многообразий. Оказывается, все такие компактные связные группы Ли коммутативны и изоморфны фактору их алгебры Ли, накрывающее отображение которого является экспоненциальным отображением алгебры Ли в ассоциированную с ней группу Ли. Ядром этого отображения является решетка и . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{0}G}$ ${\displaystyle \Lambda \subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/\Lambda \cong U}$

И наоборот, при комплексном векторном пространстве и решетке максимального ранга факторкомплексное многообразие имеет комплексную структуру группы Ли, а также компактно и связно. Это означает, что два определения комплексных торов эквивалентны. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Lambda \subseteq V}$ ${\displaystyle V/\Lambda }$

Матрица периодов комплексного тора

Один из способов описания g -мерного комплексного тора ^{[2] :9} заключается в использовании матрицы , столбцы которой соответствуют базису решетки, расширенному с использованием базиса . То есть мы пишем ${\displaystyle g\times 2g}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{2g}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{g}}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle \Pi ={\begin{pmatrix}\lambda _{1,1}&\cdots &\lambda _{1,2g}\\\vdots &&\vdots \\\lambda _{g,1}&\cdots &\lambda _{g,2g}\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle \lambda _{i}=\sum _{j}\lambda _{ji}e_{j}}$$

${\displaystyle X=V/\Lambda }$

$${\displaystyle X=\mathbb {C} ^{g}/\Pi \mathbb {Z} ^{2g}}$$

${\displaystyle \Pi \in Mat_{\mathbb {C} }(g,2g)}$ ${\displaystyle P\in Mat_{\mathbb {C} }(2g,2g)}$ ${\displaystyle {\overline {\Pi }}}$ ${\displaystyle \Pi }$

$${\displaystyle P={\begin{pmatrix}\Pi \\{\overline {\Pi }}\end{pmatrix}}}$$

неособым ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Пример

Для двумерного комплексного тора он имеет матрицу периодов вида

$${\displaystyle \Pi ={\begin{pmatrix}\lambda _{1,1}&\lambda _{1,2}&\lambda _{1,3}&\lambda _{1,4}\\\lambda _{2,1}&\lambda _{2,2}&\lambda _{2,3}&\lambda _{2,4}\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle \Pi ={\begin{pmatrix}1&0&i&2i\\1&-i&1&1\end{pmatrix}}}$$

Нормализованная матрица периодов

Для любого комплексного тора размерности он имеет матрицу периодов вида ${\displaystyle X=V/\Lambda }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Pi }$

$${\displaystyle (Z,1_{g})}$$

${\displaystyle 1_{g}}$ ${\displaystyle Z\in Mat_{\mathbb {C} }(g)}$ ${\displaystyle \det {\text{Im}}(Z)\neq 0}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \det {\text{Im}}(Z)\neq 0}$ ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}Z&1_{g}\\{\overline {Z}}&1_{g}\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\det P&=\det(1_{g})\det(Z-1_{g}1_{g}{\overline {Z}})\\&=\det(Z-{\overline {Z}})\\&\Rightarrow \det({\text{Im}}(Z))\neq 0\end{aligned}}}$$

Пример

Например, мы можем записать нормализованную матрицу периодов для двумерного комплексного тора как

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}z_{1,1}&z_{1,2}&1&0\\z_{2,1}&z_{2,2}&0&1\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1+i&1-i&1&0\\1+2i&1+{\sqrt {2}}i&0&1\end{pmatrix}}}$$

${\displaystyle {\text{Im}}(Z)}$ ${\displaystyle 2+{\sqrt {2}}}$

Матрицы периодов абелевых многообразий

Чтобы получить матрицу периодов, которая дает проективное комплексное многообразие и, следовательно, алгебраическое многообразие, матрица периода должна дополнительно удовлетворять билинейным соотношениям Римана . ^[3]

Гомоморфизмы комплексных торов

Если у нас есть комплексные торы и размерности , то гомоморфизм ^{[2] : 11} комплексных торов - это функция ${\displaystyle X=V/\Lambda }$ ${\displaystyle X'=V'/\Lambda '}$ ${\displaystyle g,g'}$

$${\displaystyle f:X\to X'}$$

$${\displaystyle F:V\to V'}$$

${\displaystyle F}$

$${\displaystyle F_{\Lambda }:\Lambda \to \Lambda '}$$

$${\displaystyle \rho _{a}:{\text{Hom}}(X,X')\to {\text{Hom}}_{\mathbb {C} }(V,V')}$$

${\displaystyle \rho _{r}:{\text{Hom}}(X,X')\to {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} }(\Lambda ,\Lambda ')}$ ${\displaystyle {\text{End}}(X)\otimes \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle m\leq 4gg'}$

Голоморфные отображения комплексных торов

Класс гомоморфных отображений комплексных торов имеет очень простую структуру. Конечно, каждый гомоморфизм индуцирует голоморфное отображение, но каждое голоморфное отображение является композицией особого вида голоморфного отображения с гомоморфизмом. Для элемента мы определяем карту перевода ${\displaystyle x_{0}\in X}$

$${\displaystyle t_{x_{0}}:X\to X}$$

${\displaystyle x\mapsto x+x_{0}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle X,X'}$ ${\displaystyle f:X\to X'}$

$${\displaystyle h=t_{h(0)}\circ f}$$

Изогении

Один отдельный класс гомоморфизмов комплексных торов называется изогениями. Это эндоморфизмы комплексных торов с ненулевым ядром. Например, если мы обозначим целое число, то существует связанная карта ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\neq 0}}$

$${\displaystyle n_{X}:X\to X}$$

${\displaystyle x\mapsto nx}$

$${\displaystyle X_{n}\cong (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{2g}}$$

${\displaystyle \Lambda /n\Lambda }$

Изоморфные комплексные торы

Существует изоморфизм комплексных структур на вещественном векторном пространстве и множестве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2g}}$

$${\displaystyle GL_{\mathbb {R} }(2g)/GL_{\mathbb {C} }(g)}$$

${\displaystyle GL_{\mathbb {Z} }(2g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{g}}$

$${\displaystyle {\mathcal {T}}_{g}\cong GL_{\mathbb {Z} }(2g)\backslash GL_{\mathbb {R} }(2g)/GL_{\mathbb {C} }(g)}$$

$${\displaystyle 4g^{2}-2g^{2}=2g^{2}}$$

модулей абелевых многообразий

Линейные расслоения и автоморфные формы

Для комплексных многообразий , в частности комплексных торов, существует конструкция ^{[2] :571,} связывающая голоморфные линейные расслоения , обратный образ которых тривиален, с использованием групповых когомологий . К счастью для комплексных торов, любое комплексное линейное расслоение становится тривиальным, поскольку . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\to X}$ ${\displaystyle \pi ^{*}L\to {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \pi ^{*}L}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}\cong \mathbb {C} ^{n}}$

Факторы автоморфии

Начиная с первой группы когомологий

$${\displaystyle H^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))}$$

${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$

$${\displaystyle H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*})=\{f:{\tilde {X}}\to \mathbb {C} ^{*}\}}$$

${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle f:\pi _{1}(X)\times {\tilde {X}}\to \mathbb {C} ^{*}}$

$${\displaystyle f(a\cdot b,x)=f(a,b\cdot x)f(b,x)}$$

факторов автоморфиифакторами ${\displaystyle a,b\in \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle x\in {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle Z^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))}$ ${\displaystyle f}$

О комплексных торах

Для комплексных торов эти функции задаются функциями ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {Z} ^{2n}\to \mathbb {C} ^{*}}$$

автоморфные функциитэта-функций

$${\displaystyle f=\exp(2\pi i\cdot g)}$$

$${\displaystyle g:V\times \Lambda \to \mathbb {C} }$$

Линейные расслоения из факторов автоморфии

Учитывая фактор автоморфии, мы можем определить линейное расслоение следующим образом: тривиальное линейное расслоение имеет -действие , заданное формулой ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}\times \mathbb {C} \to {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

$${\displaystyle a\cdot (x,t)=(a\cdot x,f(a,x)\cdot t)}$$

${\displaystyle f}$

$${\displaystyle L={\tilde {X}}\times \mathbb {C} /\pi _{1}(X)}$$

${\displaystyle p:L\to X}$ ${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\to X}$

$${\displaystyle Z^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$$

$${\displaystyle H^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))\to \ker(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\to H^{1}({\tilde {X}},{\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))}$$

Для комплексных торов

Следовательно, в случае комплексных торов существует изоморфизм ${\displaystyle H^{1}({\tilde {X}},{\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*})\cong 0}$

$${\displaystyle H^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))\cong H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$$

${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle H^{1}(\Lambda ,H^{0}({\mathcal {O}}_{V}^{*}))}$$

${\displaystyle X}$

Первый класс Черна линейных расслоений на комплексных торах

Из экспоненциальной точной последовательности

$${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}^{*}\to 0}$$

$${\displaystyle c_{1}:H^{1}({\mathcal {O}}_{X}^{*})\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$$

класса Черна ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle Alt^{2}(\Lambda ,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle c_{1}(L)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle E_{L}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f=\exp(2\pi ig)}$

$${\displaystyle E_{L}(\lambda ,\mu )=g(\mu ,v+\lambda )+g(\lambda ,v)-g(\lambda ,v+\mu )-g(\mu ,v)}$$

${\displaystyle \mu ,\lambda \in \Lambda }$ ${\displaystyle v\in V}$

Пример

Для нормализованной матрицы периодов

$${\displaystyle \Pi ={\begin{pmatrix}z_{1,1}&z_{1,2}&1&0\\z_{2,1}&z_{2,2}&0&1\end{pmatrix}}}$$

${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle E_{L}}$ ${\displaystyle \Lambda }$

$${\displaystyle E_{L}={\begin{pmatrix}0&e_{2,1}&e_{3,1}&e_{4,1}\\-e_{2,1}&0&e_{3,2}&e_{4,2}\\-e_{3,1}&-e_{2,3}&0&e_{4,3}\\-e_{4,1}&-e_{4,2}&-e_{4,3}&0\end{pmatrix}}}$$

Сечения линейных расслоений и тэта-функций

Для линейного расслоения , заданного фактором автоморфии , so и , существует связанный пучок сечений, где ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f:\Lambda \times V\to \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle [f]\in H^{1}(\Lambda ,H^{0}(V,{\mathcal {O}}_{V}^{*}))}$ ${\displaystyle \phi _{1}[f]=[L]\in {\text{Pic}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(U)=\left\{\theta :\pi ^{-1}(U)\to \mathbb {C} :{\begin{matrix}\theta {\text{ holomorphic with }}\theta (v+\lambda )=f(\lambda ,v)\theta (v)\\{\text{for all }}(\lambda ,v)\in \Lambda \times \pi ^{-1}(U)\end{matrix}}\right\}}$$

${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle \theta :V\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \theta (v+\lambda )=f(\lambda ,v)\theta (v)}$$

Эрмитовые формы и теорема Аппеля-Гумберта

Для чередующейся 2-значной формы, связанной с линейным пакетом , ее можно расширить до -значной. Тогда оказывается любая -значная знакопеременная форма, удовлетворяющая следующим условиям ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle E_{L}}$ ${\displaystyle L\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle E:V\times V\to \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle E(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathbb {Z} }$
2. ${\displaystyle E(iv,iw)=E(v,w)}$для любого ${\displaystyle v,w\in V}$

является расширением некоторого первого класса Чженя линейного расслоения . Более того, существует ассоциированная эрмитова форма, удовлетворяющая ${\displaystyle c_{1}(L)}$ ${\displaystyle L\to X}$ ${\displaystyle H:V\times V\to \mathbb {C} }$

1. ${\displaystyle {\text{Im}}H(v,w)=E(v,w)}$
2. ${\displaystyle H(v,w)=E(iv,w)+iE(v,w)}$

для любого . ${\displaystyle v,w\in V}$

Группа Нерон-Севери

Для комплексного тора мы можем определить группу Нерона - Сервери как группу эрмитовых форм с ${\displaystyle X=V/\Lambda }$ ${\displaystyle NS(X)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle {\text{Im}}H(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathbb {Z} }$$

$${\displaystyle c_{1}:H^{1}({\mathcal {O}}_{X}^{*})\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$$

${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathbb {Z} }$

Пример эрмитовой формы на эллиптической кривой

Для ^[4] эллиптическая кривая, заданная решеткой, где мы можем найти интегральную форму, взглянув на общую знакопеременную матрицу и найдя правильные условия совместимости, позволяющие ей вести себя ожидаемым образом. Если мы используем стандартный базис в качестве вещественного векторного пространства (так ), то мы можем выписать знакопеременную матрицу ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\tau \end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle E\in {\text{Alt}}^{2}(\Lambda ,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle x_{1},y_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z=z_{1}+iz_{2}=z_{1}x_{1}+z_{2}y_{1}}$

$${\displaystyle E={\begin{pmatrix}0&e\\-e&0\end{pmatrix}}}$$

${\displaystyle 1,\tau }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\-e\end{pmatrix}}&&E\cdot {\begin{pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e\tau _{2}\\-e\tau _{1}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle 1,\tau }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\-e\end{pmatrix}}=0&&{\begin{pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\-e\end{pmatrix}}=-e\tau _{2}\\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}e\tau _{2}\\-e\tau _{1}\end{pmatrix}}=e\tau _{2}&&{\begin{pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}e\tau _{2}\\-e\tau _{1}\end{pmatrix}}=0\end{aligned}}}$$

${\displaystyle E(\Lambda ,\Lambda )\subset \mathbb {Z} }$

$${\displaystyle e=a{\frac {1}{{\text{Im}}(\tau )}}}$$

${\displaystyle E(v,w)=E(iv,iw)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle E_{a}}$

$${\displaystyle H_{a}:\mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$$

$${\displaystyle H_{a}(z,w)=a\cdot {\frac {z{\overline {w}}}{{\text{Im}}(\tau )}}}$$

${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$

Пары полусимволов для эрмитовых форм

Для эрмитовой формы полухарактер — это отображение такое, что ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \chi :\Lambda \to U(1)}$

$${\displaystyle \chi (\lambda +\mu )=\chi (\lambda )\chi (\mu )\exp(i\pi {\text{Im}}H(\lambda ,\mu ))}$$

персонажгруппу символовпар полусимволов ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle NS(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \times X\to X}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle {\text{Pic}}^{0}(X)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))}$ ${\displaystyle \Lambda \to \mathbb {R} \to \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong U(1)}$ ${\displaystyle \chi (\cdot )=\exp \left(2\pi iv^{*}(\cdot )\right)}$ ${\displaystyle v^{*}\in \Lambda ^{*}}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))\cong \mathbb {R} ^{2g}/\mathbb {Z} ^{2g}}$ ${\displaystyle (\chi ,H)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Lambda )}$

$${\displaystyle (H_{1},\chi _{1})*(H_{2},\chi _{2})=(H_{1}+H_{2},\chi _{1}\chi _{2})}$$

${\displaystyle \chi _{1}\chi _{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{1}\chi _{2}(\lambda +\mu )&=\chi _{1}(\lambda +\mu )\chi _{2}(\lambda +\mu )\\&=\chi _{1}(\lambda )\chi _{1}(\mu )\chi _{2}(\lambda )\chi _{2}(\mu )\exp(i\pi {\text{Im}}H_{1}(\lambda ,\mu ))\exp(i\pi {\text{Im}}H_{2}(\lambda ,\mu ))\\&=\chi _{1}\chi _{2}(\lambda )\chi _{1}\chi _{2}(\mu )\exp(i\pi {\text{Im}}H_{1}(\lambda ,\mu )+i\pi {\text{Im}}H_{2}(\lambda ,\mu ))\end{aligned}}}$$

${\displaystyle NS(X)}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))}$

$${\displaystyle 1\to {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))\to {\mathcal {P}}(\Lambda )\to NS(X)\to 1}$$

${\displaystyle L(H,\chi )}$

Пары полусимволов и пакеты строк

Для пары полусимволов мы можем построить 1-коцикл как отображение ${\displaystyle (H,\chi )}$ ${\displaystyle a_{(H,\chi )}}$ ${\displaystyle \Lambda }$

$${\displaystyle a_{(H,\chi )}:\Lambda \times V\to \mathbb {C} ^{*}}$$

$${\displaystyle a(\lambda ,v)=\chi (\lambda )\exp(\pi H(v,\lambda )+{\frac {\pi }{2}}H(\lambda ,\lambda ))}$$

$${\displaystyle a(\lambda +\mu ,v)=a(\lambda ,v+\mu )a(\mu ,v)}$$

$${\displaystyle L(H,\chi )\cong V\times \mathbb {C} /\Lambda }$$

${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle V\times \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \lambda \circ (v,t)=(v+t,a_{(H,\chi )}(\lambda ,v)t)}$$

каноническим фактором автоморфии ${\displaystyle L(H,\chi )}$ ${\displaystyle a_{(H,\chi )}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L\to X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Lambda )\to {\text{Pic}}(X)}$$

$${\displaystyle {\begin{matrix}1&\to &{\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))&\to &{\mathcal {P}}(\Lambda )&\to &NS(X)&\to 0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &{\text{Pic}}^{0}(X)&\to &{\text{Pic}}(X)&\to &{\text{NS}}(X)&\to 0\end{matrix}}}$$

теоремой Аппеля-Гумберта

Двойной комплексный тор

Как упоминалось ранее, характер на решетке можно выразить как функцию

$${\displaystyle \chi (\cdot )=\exp \left(2\pi iv^{*}(\cdot )\right)}$$

${\displaystyle v^{*}\in \Lambda ^{*}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{*}}$

$${\displaystyle {\overline {\Omega }}={\text{Hom}}_{\overline {\mathbb {C} }}(V,\mathbb {C} )}$$

антилинейных ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle {\hat {\Lambda }}=\{l\in {\overline {\Omega }}:\langle l,\Lambda \rangle \subseteq \mathbb {Z} \}}$$

двойственный комплексный тор ${\displaystyle \Lambda }$

$${\displaystyle {\hat {X}}\cong {\overline {\Omega }}/{\hat {\Lambda }}}$$

${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\hat {X}}\cong {\text{Pic}}^{0}(X)}$$

${\displaystyle l}$

$${\displaystyle l\mapsto \exp(2\pi i\langle l,\cdot \rangle )}$$

$${\displaystyle {\overline {\Omega }}\to {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))}$$

^{[1] : 123–125} ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K(L)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$

$${\displaystyle T_{x}^{*}(L)\cong L}$$

$${\displaystyle {\hat {X}}:=X/K(L)}$$

${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\text{Pic}}^{0}(X)}$

Пуанкаре

Из конструкции двойственного комплексного тора предполагается, что должно существовать линейное расслоение над произведением тора и его двойственного тора, которое можно использовать для представления всех классов изоморфизма линейных расслоений степени 0 на . Мы можем закодировать это поведение с помощью следующих двух свойств: ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {P}}|_{X\times \{[L]\}}\cong L}$для любой точки , дающей расслоение линий ${\displaystyle [L]\in {\hat {X}}}$ ${\displaystyle L}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {P}}|_{\{0\}\times {\hat {X}}}}$представляет собой тривиальное линейное расслоение

где первое — это свойство, обсуждавшееся выше, а второе действует как свойство нормализации. Мы можем построить , используя следующую эрмитову форму ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

$${\displaystyle {\begin{matrix}H:(V\times {\overline {\Omega }})\times (V\times {\overline {\Omega }})\to \mathbb {C} \\H((v_{1},l_{1}),(v_{2},l_{2}))={\overline {l_{2}(v_{1})}}+l_{1}(v_{2})\end{matrix}}}$$

$${\displaystyle {\begin{matrix}\chi :\Lambda \times {\hat {\Lambda }}\to U(1)\\\chi (\lambda ,l_{0})=\exp(i\pi {\text{Im}}l_{0}(\lambda ))\end{matrix}}}$$

${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (H,\chi )}$

Смотрите также

• Пуанкаре
• Комплексная группа Лия
• Автоморфная функция
• Средний якобиан
• Эллиптическая гамма-функция

Рекомендации

1. Мамфорд, Дэвид (2008). Абелевы разновидности. CP Рамануджам, I︠U︡. И. Манин. Опубликовано для Института фундаментальных исследований Тата. ISBN 978-8185931869. ОСЛК  297809496.
2. Биркенхейк, Кристина (2004). Сложные абелевы многообразия. Герберт Ланге (Второе, дополненное изд.). Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-06307-1. ОСЛК  851380558.
3. «Билинейные отношения Римана» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 31 мая 2021 года.
4. «Как работает теорема Аппеля-Гумберта в простейшем случае эллиптической кривой» .

• Биркенхаке, Кристина; Ланге, Герберт (1999), Комплексные торы , Progress in Mathematics, vol. 177, Бостон, Массачусетс: Биркхойзер Бостон, ISBN 978-0-8176-4103-0, МР  1713785

Комплексные двумерные торы

• Руперт, Вольфганг М. (1990). «Когда абелева поверхность изоморфна или изогенна произведению эллиптических кривых?». Mathematische Zeitschrift . 203 : 293–299. дои : 10.1007/BF02570737. S2CID  120799085.- Предоставляет инструменты для поиска сложных торов, не являющихся абелевыми многообразиями.
• Маркизио, Марина Розанна (1998). «Абелевы поверхности и произведения эллиптических кривых». Bollettino dell'unione Matematica Italiana . 1-Б (2): 407–427.

Гербес на комплексных торах

• Бен-Бассат, Орен (2012). «Гербес и голоморфная группа Брауэра комплексных торов». Журнал некоммутативной геометрии . 6 (3): 407–455. arXiv : 0811.2746 . дои : 10.4171/JNCG/96. S2CID  15049025.- Расширяет идею использования чередующихся форм на решетке до , для построения гербов на комплексном торе. ${\displaystyle {\text{Alt}}^{3}(\Lambda ,\mathbb {Z} )}$
• Блок, Джонатан; Дэнцер, Колдер (2008). «Двойственность Мукая для гербов со связью». Журнал Крелля . arXiv : 0803.1529v2 .- включает примеры гербов на сложных торах
• Бен-Бассат, Орен (2013). «Эквивариантные гербы на комплексных торах». Журнал геометрии и физики . 64 : 209–221. arXiv : 1102.2312 . Бибкод : 2013JGP....64..209B. doi :10.1016/j.geomphys.2012.10.012. S2CID  119599648.
• Фельдер, Джованни; Энрикес, Андре; Росси, Карло А.; Чжу, Чэнчан (2008). «Герб для эллиптической гамма-функции». Математический журнал Дьюка . 141 . arXiv : math/0601337 . дои : 10.1215/S0012-7094-08-14111-0. S2CID  817920.- может быть распространено на комплексные торы

P-адические торы

• p-адические абелевы интегралы: от теории к практике