Функция нескольких комплексных переменных

Тип математических функций

Теория функций многих комплексных переменных — это раздел математики , изучающий функции, определенные в комплексном координатном пространстве , то есть n -кортежах комплексных чисел . Имя поля, связанного со свойствами этих функций, называется несколькими комплексными переменными (и аналитическим пространством ), которые в Предметной классификации математики имеют заголовок верхнего уровня. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Как и в комплексном анализе функций одной переменной , что является случаем n = 1 , изучаемые функции являются голоморфными или комплексно-аналитическими, так что локально они представляют собой степенные ряды по переменным z _i . Эквивалентно, они являются локально равномерными пределами полиномов ; или локально интегрируемые с квадратом решения n -мерных уравнений Коши – Римана. ^{[1] [2] [3]} Для одной комплексной переменной каждая область ^{[примечание 1]} ( ) является областью голоморфности некоторой функции, другими словами, каждая область имеет функцию, для которой она является областью голоморфности. ^{[4] [5]} Для некоторых комплексных переменных это не так; существуют области ( ), которые не являются областью голоморфности какой-либо функции и поэтому не всегда являются областью голоморфности, поэтому область голоморфности является одной из тем в этой области. ^[4] Исправление локальных данных мероморфных функций , т.е. проблема создания глобальной мероморфной функции из нулей и полюсов, называется проблемой Кузена. Кроме того, интересные явления, которые происходят с несколькими комплексными переменными, фундаментально важны для изучения компактных комплексных многообразий и комплексных проективных многообразий ( ) ^[6] и имеют другой вид, чем комплексная аналитическая геометрия в многообразиях Штейна или на них , они очень похожи на изучение алгебраических многообразий — это изучение алгебраической геометрии , а не комплексной аналитической геометрии. ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n},\ n\geq 2}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Историческая перспектива

Многие примеры таких функций были известны в математике девятнадцатого века; абелевы функции , тэта-функции и некоторые гипергеометрические ряды , а также, как пример обратной задачи; Задача обращения Якоби . ^[7] Естественно, кандидатом является та же функция одной переменной, которая зависит от некоторого комплексного параметра . Однако теория на протяжении многих лет так и не стала полноценной областью математического анализа , поскольку не были раскрыты ее характерные явления. Подготовительную теорему Вейерштрасса теперь можно было бы классифицировать как коммутативную алгебру ; оно действительно подтвердило локальную картину разветвления , которая обращается к обобщению точек ветвления теории римановой поверхности .

Благодаря работам Фридриха Хартогса , Пьера Кузена  [ фр ] , Э. Э. Леви и Киёси Оки в 1930-х годах начала появляться общая теория; другими работавшими в этом районе в то время были Генрих Бенке , Петер Туллен , Карл Штайн , Вильгельм Виртингер и Франческо Севери . Хартогс доказал некоторые основные результаты, такие как то, что каждая изолированная особенность устранима для любой аналитической функции, когда n > 1 . Естественно, с аналогами контурных интегралов будет сложнее справиться; когда n = 2, интеграл, окружающий точку, должен быть по трехмерному многообразию (поскольку мы находимся в четырех действительных измерениях), а итерация контурных (линейных) интегралов по двум отдельным комплексным переменным должна приходить к двойному интегралу по двумерному многообразию. поверхность. Это означает, что исчисление вычетов должно будет принять совершенно иной характер. $${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$$

После 1945 года важная работа во Франции, на семинаре Анри Картана , и в Германии с Гансом Грауэртом и Рейнхольдом Реммертом быстро изменила картину теории. Был уточнен ряд вопросов, в частности вопрос аналитического продолжения . Здесь очевидно главное отличие от теории с одной переменной; в то время как для каждого открытого связного множества D в мы можем найти функцию, которая нигде не будет продолжаться аналитически через границу, чего нельзя сказать для n > 1 . На самом деле D такого типа имеют весьма специфическую природу (особенно в комплексных координатных пространствах и многообразиях Штейна, удовлетворяющих условию, называемому псевдовыпуклостью ). Естественные области определения функций, продолженные до предела, называются многообразиями Штейна , и их природа заключалась в том, чтобы заставить группы пучков когомологий исчезнуть. С другой стороны, теорема Грауэрта – Рименшнейдера об исчезании известна как аналогичный результат для компактных комплексных многообразий: а гипотеза Грауэрта–Рименшнейдера является частным случаем гипотезы Нарасимхана. ^[4] Фактически именно необходимость поставить (в частности) работу Оки на более четкую основу быстро привела к последовательному использованию пучков для формулировки теории (с серьезными последствиями для алгебраической геометрии , в частности, из работы Грауэрта). работа). ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

С этого момента возникла основополагающая теория, которую можно было применить к аналитической геометрии , ^{[примечание 2]} автоморфным формам нескольких переменных и уравнениям в частных производных . Теория деформации сложных структур и комплексных многообразий была в общих чертах описана Кунихико Кодайрой и Д.С. Спенсером . Знаменитая статья Серра GAGA ^[8] определила точку пересечения аналитической геометрии с алгебраической геометрией .

К. Л. Сигел жаловался, что в новой теории функций многих комплексных переменных мало функций , а это означает, что специальная функциональная часть теории подчиняется пучкам. Интерес для теории чисел , конечно, представляют конкретные обобщения модулярных форм . Классическими кандидатами являются модулярные формы Гильберта и модулярные формы Зигеля . В наши дни они связаны с алгебраическими группами (соответственно ограничением Вейля из полностью вещественного числового поля GL ( 2) и симплектической группой ), для которых случается, что автоморфные представления могут быть получены из аналитических функций. В каком-то смысле это не противоречит Сигелу; современная теория имеет свои, разные направления.

Последующие разработки включали теорию гиперфункции и теорему о острие клина , оба из которых были в некоторой степени вдохновлены квантовой теорией поля . Существует ряд других областей, таких как теория банаховой алгебры , которые опираются на несколько комплексных переменных.

Комплексное координатное пространство

Комплексное координатное пространство представляет собой декартово произведение n копий , и когда оно является областью голоморфности, его можно рассматривать как многообразие Штейна и более обобщенное пространство Штейна. также считается комплексным проективным многообразием , кэлеровым многообразием , ^[9] и т. д. Это также n -мерное векторное пространство над комплексными числами , что дает его размерность 2 n над . ^{[примечание 3]} Следовательно, как множество и как топологическое пространство , может быть отождествлено с реальным координатным пространством , и его топологическая размерность , таким образом, равна 2 n . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

На бескоординатном языке любое векторное пространство над комплексными числами можно рассматривать как вещественное векторное пространство с вдвое большим числом измерений, где комплексная структура задается линейным оператором J (таким, что J ² = − I ), который определяет умножение. мнимой единицей i .

Любое такое пространство, как реальное пространство, ориентировано . На комплексной плоскости, рассматриваемой как декартова плоскость , умножение на комплексное число w = u + iv может быть представлено вещественной матрицей

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&-v\\v&u\end{pmatrix}},}$

с определителем

${\displaystyle u^{2}+v^{2}=|w|^{2}.}$

Аналогично, если любой конечномерный комплексный линейный оператор выразить как действительную матрицу (которая будет составлена ​​из блоков 2 × 2 вышеупомянутого вида), то его определитель будет равен квадрату модуля соответствующего комплексного определителя. Это неотрицательное число, а это означает, что (действительная) ориентация пространства никогда не меняется на обратную с помощью комплексного оператора. То же самое относится и к якобианам голоморфных функций от до . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Голоморфные функции

Определение

Функция f, определенная в области области и со значениями в, называется голоморфной в точке, если она комплексно-дифференцируема в этой точке, в том смысле, что существует комплексное линейное отображение такое, что ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z\in D}$ ${\displaystyle L:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(z+h)=f(z)+L(h)+o(\lVert h\rVert )}$

Функция f называется голоморфной, если она голоморфна во всех точках области определения D.

Если f голоморфно, то все частичные отображения:

${\displaystyle z\mapsto f(z_{1},\dots ,z_{i-1},z,z_{i+1},\dots ,z_{n})}$

голоморфны как функции одной комплексной переменной: мы говорим, что f голоморфна по каждой переменной в отдельности. И наоборот, если f голоморфен по каждой переменной в отдельности, то f на самом деле голоморфен: это известно как теорема Хартога или лемма Осгуда при дополнительном предположении о непрерывности f .

Уравнения Коши – Римана.

В одной комплексной переменной функция, определенная на плоскости, голоморфна в точке тогда и только тогда, когда ее действительная и мнимая части удовлетворяют так называемым уравнениям Коши-Римана в точке  : ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle p\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}(p)={\frac {\partial v}{\partial y}}(p)\quad {\text{ and }}\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}(p)=-{\frac {\partial v}{\partial x}}(p)}$$

Для нескольких переменных функция голоморфна тогда и только тогда, когда она голоморфна по каждой переменной в отдельности, и, следовательно, тогда и только тогда, когда действительная и мнимая части удовлетворяют уравнениям Коши Римана: ${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \forall i\in \{1,\dots ,n\},\quad {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial v}{\partial y_{i}}}\quad {\text{ and }}\quad {\frac {\partial u}{\partial y_{i}}}=-{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}}$$

Используя формализм производных Виртингера , это можно переформулировать как: или даже более компактно, используя формализм комплексных дифференциальных форм , как: $${\displaystyle \forall i\in \{1,\dots ,n\},\quad {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z_{i}}}}}=0,}$$ $${\displaystyle {\bar {\partial }}f=0.}$$

Интегральная формула Коши I (полидисковая версия)

Докажите достаточность двух условий (А) и (Б). Пусть f удовлетворяет условиям непрерывности и раздельной гомоморфности в области D. Каждый диск имеет спрямляемую кривую , имеет кусочную гладкость , замкнутую кривую класса Жордана. ( ) Позвольте быть областью, окруженной каждым . Декартово произведение замыкается . Также возьмем замкнутый полидиск так, чтобы он стал . ( и пусть это центр каждого диска.) Повторно используя интегральную формулу Коши для одной переменной, ^{[примечание 4]} ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma _{\nu }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ ${\displaystyle \nu =1,2,\ldots ,n}$ ${\displaystyle D_{\nu }}$ ${\displaystyle \gamma _{\nu }}$ ${\displaystyle {\overline {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}}$ ${\displaystyle {\overline {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}\in D}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta }}}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta }}\subset {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta }}(z,r)=\left\{\zeta =(\zeta _{1},\zeta _{2},\dots ,\zeta _{n})\in \mathbb {C} ^{n};\left|\zeta _{\nu }-z_{\nu }\right|\leq r_{\nu }{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$ ${\displaystyle \{z\}_{\nu =1}^{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z_{1},\ldots ,z_{n})&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}{\zeta _{1}-z_{1}}}\,d\zeta _{1}\\[6pt]&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\partial D_{2}}\,d\zeta _{2}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},\zeta _{2},z_{3},\ldots ,z_{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})(\zeta _{2}-z_{2})}}\,d\zeta _{1}\\[6pt]&={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{n}}\,d\zeta _{n}\cdots \int _{\partial D_{2}}\,d\zeta _{2}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})(\zeta _{2}-z_{2})\cdots (\zeta _{n}-z_{n})}}\,d\zeta _{1}\end{aligned}}}$

Поскольку это спрямляемая замкнутая жорданова кривая ^{[примечание 5]} , а f непрерывна, поэтому порядок произведений и сумм можно поменять местами, чтобы повторный интеграл можно было вычислить как кратный интеграл . Поэтому, ${\displaystyle \partial D}$

Формула оценки Коши

Поскольку порядок произведений и сумм взаимозаменяем, из ( 1 ) получаем

f — класс -функция. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$

Из (2), если f голоморфно на полидиске и , получается следующее уравнение оценки. ${\displaystyle \left\{\zeta =(\zeta _{1},\zeta _{2},\dots ,\zeta _{n})\in \mathbb {C} ^{n};|\zeta _{\nu }-z_{\nu }|\leq r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$ ${\displaystyle |f|\leq {M}}$

${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n})}{{\partial z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}\right|\leq {\frac {Mk_{1}\cdots k_{n}!}{{r_{1}}^{k_{1}}\cdots {r_{n}}^{k_{n}}}}}$

Следовательно, теорема Лиувилля верна.

Разложение голоморфных функций в степенной ряд на полидиске

Если функция f голоморфна на полидиске из интегральной формулы Коши, мы видим, что ее можно однозначно разложить до следующего степенного ряда. ${\displaystyle \{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};|z_{\nu }-a_{\nu }|<r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&f(z)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ ,\\&c_{k_{1}\cdots k_{n}}={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{1}}\cdots \int _{\partial D_{n}}{\frac {f(\zeta _{1},\dots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-a_{1})^{k_{1}+1}\cdots (\zeta _{n}-a_{n})^{k_{n}+1}}}\,d\zeta _{1}\cdots d\zeta _{n}\end{aligned}}}$

Кроме того, f , удовлетворяющая следующим условиям, называется аналитической функцией.

Для каждой точки выражается разложением в степенной ряд, сходящимся к D  : ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ ,}$

Мы уже объяснили, что голоморфные функции на поликруге аналитичны. Кроме того, из теоремы, выведенной Вейерштрассом, мы можем видеть, что аналитическая функция на полидиске (сходящийся степенной ряд) голоморфна.

Если последовательность функций сходится равномерно на компактах внутри области D , то предельная функция f также равномерно на компактах внутри области D. Кроме того, соответствующая частная производная также компактно сходится в области D к соответствующей производной f . ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$ ${\displaystyle f_{v}}$ ${\displaystyle f_{v}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f}{\partial {z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}=\sum _{v=1}^{\infty }{\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f_{v}}{\partial {z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}}$^[10]

Радиус сходимости степенного ряда

Можно определить комбинацию положительных действительных чисел так, чтобы степенной ряд сходился равномерно при и не сходился равномерно при . ${\displaystyle \{r_{\nu }\ (\nu =1,\dots ,n)\}}$ ${\textstyle \sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ }$ ${\displaystyle \left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};|z_{\nu }-a_{\nu }|<r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$ ${\displaystyle \left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};|z_{\nu }-a_{\nu }|>r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$

Таким образом, можно получить аналогичную комбинацию радиусов сходимости ^{[примечание 6]} для одной комплексной переменной. Эта комбинация, как правило, не уникальна и существует бесконечное количество комбинаций.

Расширение серии Лорана

Пусть голоморфны в кольце и непрерывны на своей окружности, тогда существует следующее разложение ; ${\displaystyle \omega (z)}$ ${\displaystyle \left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};r_{\nu }<|z|<R_{\nu },{\text{ for all }}\nu +1,\dots ,n\right\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (z)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{|\zeta _{\nu }|=R_{\nu }}\cdots \int \omega (\zeta )\times \left[{\frac {d^{k}}{dz^{k}}}{\frac {1}{\zeta -z}}\right]_{z=0}df_{\zeta }\cdot z^{k}\\[6pt]&+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|\zeta _{\nu }|=r_{\nu }}\cdots \int \omega (\zeta )\times \left(0,\cdots ,{\sqrt {\frac {k!}{\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!}}}\cdot \zeta _{n}^{\alpha _{1}-1}\cdots \zeta _{n}^{\alpha _{n}-1},\cdots 0\right)df_{\zeta }\cdot {\frac {1}{z^{k}}}\ (\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}=k)\end{aligned}}}$

Интеграл во втором члене правой части выполняется так, чтобы увидеть ноль слева в каждой плоскости, также этот интегрированный ряд равномерно сходится в кольце , где и , и поэтому можно интегрировать член . ^[11] ${\displaystyle r'_{\nu }<|z|<R'_{\nu }}$ ${\displaystyle r'_{\nu }>r_{\nu }}$ ${\displaystyle R'_{\nu }<R_{\nu }}$

Формула Бохнера – Мартинелли (интегральная формула Коши II)

Интегральная формула Коши справедлива только для полидисков, а в области нескольких комплексных переменных полидиски являются лишь одной из многих возможных областей, поэтому мы вводим формулу Бохнера–Мартинелли .

Предположим, что f — непрерывно дифференцируемая функция на замыкании области D on с кусочно-гладкой границей и пусть символ обозначает внешность или клиновое произведение дифференциальных форм. Тогда формула Бохнера-Мартинелли утверждает, что если z находится в области D , то при z в ядре Бохнера-Мартинелли является дифференциальной формой в бистепени , определяемой формулой ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega (\zeta ,z)}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle (n,n-1)}$

${\displaystyle \omega (\zeta ,z)={\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}{\frac {1}{|z-\zeta |^{2n}}}\sum _{1\leq j\leq n}({\overline {\zeta }}_{j}-{\overline {z}}_{j})\,d{\overline {\zeta }}_{1}\land d\zeta _{1}\land \cdots \land d\zeta _{j}\land \cdots \land d{\overline {\zeta }}_{n}\land d\zeta _{n}}$

${\displaystyle \displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z)-\int _{D}{\overline {\partial }}f(\zeta )\land \omega (\zeta ,z).}$

В частности, если f голоморфен, второй член обращается в нуль, поэтому

${\displaystyle \displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z).}$

Теорема тождества

Голоморфные функции нескольких комплексных переменных удовлетворяют теореме тождества , как и для одной переменной: две голоморфные функции, определенные на одном связном открытом множестве и совпадающие на открытом подмножестве N из D , равны на всем открытом множестве D. Этот результат можно доказать на основании того факта, что голоморфные функции имеют расширения в степенные ряды, а также его можно вывести из случая с одной переменной. В отличие от случая одной переменной, возможно, что две разные голоморфные функции совпадают на множестве, имеющем точку накопления, например отображениях, и совпадают на всей комплексной прямой, определяемой уравнением . ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle f(z_{1},z_{2})=0}$ ${\displaystyle g(z_{1},z_{2})=z_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle z_{1}=0}$

Также верны принцип максимума , теорема об обратной функции и теоремы о неявной функции. Обобщенную версию теоремы о неявной функции для комплексных переменных см. в подготовительной теореме Вейерштрасса .

Биголоморфизм

На основании теоремы об обратной функции можно определить следующее отображение.

Для области U , V n - мерного комплексного пространства биективная голоморфная функция и обратное отображение также голоморфны. В настоящее время это также называется биголоморфизмом U , V , мы говорим, что U и V биголоморфно эквивалентны или что они биголоморфны. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \phi :U\to V}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}:V\to U}$ ${\displaystyle \phi }$

Теорема Римана об отображении не верна

Когда открытые шары и открытые полидиски не биголоморфно эквивалентны, то есть между ними нет биголоморфного отображения . ^[12] Это было доказано Пуанкаре в 1907 году, показав, что их группы автоморфизмов имеют разные размерности, как группы Ли . ^{[5] [13]} Однако даже в случае нескольких комплексных переменных имеются некоторые результаты, аналогичные результатам теории униформизации по одной комплексной переменной. ^[14] ${\displaystyle n>1}$

Аналитическое продолжение

Пусть U, V — область на , такая, что и , ( множество/кольцо голоморфных функций на U. ) предположим, что и является связной компонентой . Если тогда говорят, что f связан с V , а g называется аналитическим продолжением f . По теореме о тождестве, если g существует, то для каждого способа выбора W он уникален. При n > 2 в зависимости от формы границы происходит следующее явление : существует область U , V такая, что все голоморфные функции над областью U имеют аналитическое продолжение . Другими словами, может не существовать такой функции , как естественная граница. Существует так называемый феномен Хартогса. Поэтому исследование того, когда границы доменов становятся естественными границами, стало одной из основных тем исследования нескольких сложных переменных. Кроме того, когда вышеупомянутое V имеет часть пересечения с U , отличную от W. Это способствовало развитию понятия пучковых когомологий. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {O}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle U,\ V,\ U\cap V\neq \varnothing }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U\cap V}$ ${\displaystyle f|_{W}=g|_{W}}$ ${\displaystyle \partial U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {O}}(V)}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle \partial U}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

Домен Рейнхардта

В полидисках справедлива интегральная формула Коши и определено разложение голоморфных функций в степенной ряд, но полидиски и открытые единичные шары не являются биголоморфными отображениями, поскольку не выполняется теорема об отображении Римана, а также в полидисках возможно разделение переменных, но это не всегда справедливо для любого домена. Поэтому для изучения области сходимости степенного ряда необходимо было сделать дополнительное ограничение на область, это была область Рейнхардта. Ранние знания о свойствах области исследования нескольких комплексных переменных, таких как логарифмически-выпуклая, теорема расширения Хартогса и т. д., были даны в области Рейнхардта.

Пусть ( ) представляет собой область с центром в точке , такую, что вместе с каждой точкой область также содержит множество ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle z^{0}=(z_{1}^{0},\dots ,z_{n}^{0})\in D}$

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n});\left|z_{\nu }-a_{\nu }\right|=\left|z_{\nu }^{0}-a_{\nu }\right|,\ \nu =1,\dots ,n\right\}.}$

Область D называется областью Рейнхардта, если она удовлетворяет следующим условиям: ^{[15] [16]}

Пусть – произвольные действительные числа, область D инвариантна относительно вращения: . ${\displaystyle \theta _{\nu }\;(\nu =1,\dots ,n)}$ ${\displaystyle \left\{z^{0}-a_{\nu }\right\}\to \left\{e^{i\theta _{\nu }}(z_{\nu }^{0}-a_{\nu })\right\}}$

Области Рейнхардта (подкласс областей Хартогса ^[17] ), которые определяются следующим условием; Вместе со всеми точками область содержит множество ${\displaystyle z^{0}\in D}$

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n});z=a+\left(z^{0}-a\right)e^{i\theta },\ 0\leq \theta <2\pi \right\}.}$

Область Рейнхардта D называется полной областью Рейнхардта с центром в точке а , если она вместе со всеми точками содержит также полидиск ${\displaystyle z^{0}\in D}$

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n});\left|z_{\nu }-a_{\nu }\right|\leq \left|z_{\nu }^{0}-a_{\nu }\right|,\ \nu =1,\dots ,n\right\}.}$

Полная область Рейнхардта D звездообразна относительно своего центра a . Следовательно, полная область Рейнхардта является односвязной , а также, когда полная область Рейнхардта является граничной линией, существует способ доказать интегральную теорему Коши без использования теоремы Жордана о кривой .

Логарифмически-выпуклый

Область Рейнхардта D называется логарифмически выпуклой, если образ множества ${\displaystyle \lambda (D^{*})}$

${\displaystyle D^{*}=\{z=(z_{1},\dots ,z_{n})\in D;z_{1},\dots ,z_{n}\neq 0\}}$

под картографированием

${\displaystyle \lambda ;z\rightarrow \lambda (z)=(\ln |z_{1}|,\dots ,\ln |z_{n}|)}$

— выпуклое множество в реальном координатном пространстве . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Каждая такая область в является внутренностью множества точек абсолютной сходимости некоторого степенного ряда в и наоборот; Область сходимости каждого степенного ряда в представляет собой логарифмически-выпуклую область Рейнхардта с центром . ^{[примечание 7]} Но есть пример полной области Рейнхардта D, которая не является логарифмически выпуклой. ^[18] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\textstyle \sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ }$ ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$ ${\displaystyle a=0}$

Некоторые результаты

Теорема Хартогса о продолжении и феномен Хартогса

Исследуя область сходимости в области Рейнхардта, Хартогс обнаружил феномен Хартогса, при котором голоморфные функции в некоторой области все были связаны с большей областью. ^[19] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

На полидиске, состоящем из двух дисков, когда . ${\displaystyle \Delta ^{2}=\{z\in \mathbb {C} ^{2};|z_{1}|<1,|z_{2}|<1\}}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$

Внутренний домен ${\displaystyle H_{\varepsilon }=\{z=(z_{1},z_{2})\in \Delta ^{2};|z_{1}|<\varepsilon \ \cup \ 1-\varepsilon <|z_{2}|\}\ (0<\varepsilon <1)}$

Теорема о расширении Хартогса (1906 г.); ^[20] Пусть f — голоморфная функция на множестве G  \  K , где G — ограниченная (окруженная спрямляемой замкнутой жордановой кривой) область ^{[примечание 8]} на ( n ≥ 2 ), а K — компактное подмножество в G. Если дополнение G  \  K связно, то каждая голоморфная функция f независимо от того, как она выбрана, может быть продолжена до единственной голоморфной функции на G . ^{[22] [21]} ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Ее также называют теоремой Осгуда – Брауна: для голоморфных функций нескольких комплексных переменных особенность является точкой накопления, а не изолированной точкой. Это означает, что различные свойства, присущие голоморфным функциям комплексных переменных с одной переменной, не выполняются для голоморфных функций нескольких комплексных переменных. Природа этих особенностей также выводится из подготовительной теоремы Вейерштрасса . Обобщение этой теоремы с использованием того же метода, что и Хартогс, было доказано в 2007 году. ^{[23] [24]}

По теореме о продолжении Хартогса область сходимости простирается от до . Глядя на это с точки зрения области Рейнхардта, является областью Рейнхардта, содержащей центр z = 0, и область сходимости была расширена до наименьшей полной области Рейнхардта, содержащей . ^[25] ${\displaystyle H_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \Delta ^{2}}$ ${\displaystyle H_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle H_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \Delta ^{2}}$ ${\displaystyle H_{\varepsilon }}$

Классические результаты Туллена

Классический результат Туллена ^[26] гласит, что двумерная ограниченная область Рейнхарда, содержащая начало координат, биголоморфна одной из следующих областей при условии, что орбита начала координат группой автоморфизмов имеет положительную размерность:

1. ${\displaystyle \{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|<1,~|w|<1\}}$(полидиск);
2. ${\displaystyle \{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|^{2}+|w|^{2}<1\}}$(единичный шар);
3. ${\displaystyle \{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|^{2}+|w|^{\frac {2}{p}}<1\}\,(p>0,\neq 1)}$(владение Туллен).

Результаты Сунады

Тошикадзу Сунада (1978) ^[27] установил обобщение результата Туллена:

Две n -мерные ограниченные области Рейнхардта и взаимно биголоморфны тогда и только тогда, когда существует преобразование , заданное , являющееся перестановкой индексов), такое, что . ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle z_{i}\mapsto r_{i}z_{\sigma (i)}(r_{i}>0)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \varphi (G_{1})=G_{2}}$

Естественная область определения голоморфной функции (область голоморфности)

При переходе от теории одной комплексной переменной к теории нескольких комплексных переменных в зависимости от области определения может оказаться невозможным определить голоморфную функцию такую, чтобы граница области стала естественной границей. Рассматривая область, где границы области являются естественными границами (в комплексном координатном пространстве называем областью голоморфности), первым результатом области голоморфности была голоморфная выпуклость H . Картан и Туллен. ^[28] Проблема Леви показывает, что псевдовыпуклая область была областью голоморфности. (Сначала для , ^[29] позже расширено до . ^{[30] [31]} ) ^{[32] Понятие идеала неопределенных областей} Киёси Оки [ ^{35] [36]} интерпретируется теорией пучковых когомологий H . Картан и дальнейшее развитие Серра. ^{[примечание 10] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [6]} В пучковых когомологиях область голоморфности стала интерпретироваться как теория многообразий Штейна. ^[43] Понятие области голоморфности рассматривается и в других комплексных многообразиях, а также в комплексном аналитическом пространстве, которое является его обобщением. ^[4] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Область голоморфности

Множества в определении. Примечание. В этом разделе замените на рисунке буквой D. ${\displaystyle \Omega }$

Когда функция f голоморфна в области и не может напрямую соединяться с областью вне D , включая точку границы области , область D называется областью голоморфности f , а граница называется естественной границей f . Другими словами, область голоморфности D является верхней границей области, в которой голоморфная функция f голоморфна, а область D , которая является голоморфной, больше не может быть расширена. Для нескольких комплексных переменных, например, области , границы могут не быть естественными границами. Теорема Хартогса о расширении дает пример области, границы которой не являются естественными границами. ^[44] ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}\ (n\geq 2)}$

Формально область D в n -мерном комплексном координатном пространстве называется областью голоморфности, если не существует непустой области и , и такая, что для каждой голоморфной функции f на D существует голоморфная функция g на V с on У.​ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle U\subset D}$ ${\displaystyle V\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle V\not \subset D}$ ${\displaystyle U\subset D\cap V}$ ${\displaystyle f=g}$

В данном случае каждая область ( ) была областью голоморфности; мы можем определить голоморфную функцию с нулями, накапливающимися повсюду на границе области, которая тогда должна быть естественной границей области определения ее обратной функции. ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$

Свойства области голоморфности

• Если — области голоморфности, то их пересечение также является областью голоморфности. ${\displaystyle D_{1},\dots ,D_{n}}$ ${\textstyle D=\bigcap _{\nu =1}^{n}D_{\nu }}$
• Если — возрастающая последовательность областей голоморфности, то их объединение также является областью голоморфности (см. теорему Бенке–Штейна ). ^[45] ${\displaystyle D_{1}\subseteq D_{2}\subseteq \cdots }$ ${\textstyle D=\bigcup _{n=1}^{\infty }D_{n}}$
• Если и — области голоморфности, то — область голоморфности. ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle D_{1}\times D_{2}}$
• Первая проблема Кузена всегда разрешима в области голоморфности, а также Картан показал, что обращение этого результата неверно для . ^{В [46]} то же самое верно, с дополнительными топологическими предположениями, и для второй задачи Кузена. ${\displaystyle n\geq 3}$

Голоморфно выпуклая оболочка

Пусть это область или, альтернативно, для более общего определения, пусть это размерное комплексное аналитическое многообразие . Далее, обозначим множество голоморфных функций на G . Для компакта голоморфно выпуклая оболочка K есть ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(G)}$ ${\displaystyle K\subset G}$

${\displaystyle {\hat {K}}_{G}:=\left\{z\in G;|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|{\text{ for all }}f\in {\mathcal {O}}(G).\right\}.}$

Можно получить более узкое понятие полиномиально выпуклой оболочки, взяв вместо этого множество комплекснозначных полиномиальных функций на G . Полиномиально выпуклая оболочка содержит голоморфно выпуклую оболочку. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(G)}$

Область называется голоморфно выпуклой, если для каждого компактного подмножества компактно также и в G. Иногда это просто сокращенно называют голоморфно-выпуклым . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K,{\hat {K}}_{G}}$

Когда каждая область голоморфно выпукла, поскольку тогда это объединение K с относительно компактными компонентами . ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\hat {K}}_{G}}$ ${\displaystyle G\setminus K\subset G}$

Когда , если f удовлетворяет указанной выше голоморфной выпуклости на D, он обладает следующими свойствами. для каждого компактного подмножества K в D , где обозначает расстояние между K и . Кроме того, в настоящее время D является областью голоморфности. Следовательно, каждая выпуклая область является областью голоморфности. ^[5] ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle {\text{dist}}(K,D^{c})={\text{dist}}({\hat {K}}_{D},D^{c})}$ ${\displaystyle {\text{dist}}(K,D^{c})}$ ${\displaystyle D^{c}=\mathbb {C} ^{n}\setminus D}$ ${\displaystyle (D\subset \mathbb {C} ^{n})}$

Псевдовыпуклость

Хартогс показал, что

Хартогс (1906): ^[20] Пусть D — область Хартогса на D , а R — положительная функция на D такая, что множество в определяется как и является областью голоморфности. Тогда – субгармоническая функция на D . ^[4] ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle z_{1}\in D}$ ${\displaystyle |z_{2}|<R(z_{1})}$ ${\displaystyle -\log {R}(z_{1})}$

Если такое соотношение выполняется в области голоморфности нескольких комплексных переменных, оно выглядит более управляемым состоянием, чем голоморфно выпуклое. ^{[примечание 11]} Субгармоническая функция выглядит как своего рода выпуклая функция , поэтому Леви назвал ее псевдовыпуклой областью (псевдовыпуклость Хартогса). Псевдовыпуклая область (граница псевдовыпуклости) важна, поскольку позволяет классифицировать области голоморфности. Область голоморфности — это глобальное свойство, напротив, псевдовыпуклость — это локальное аналитическое или локальное геометрическое свойство границы области. ^[47]

Определение плюрисубгармонической функции

Функция

${\displaystyle f\colon D\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \},}$

с доменом ${\displaystyle D\subset {\mathbb {C} }^{n}}$

называется плюрисубгармонической , если она полунепрерывна сверху и для всякой комплексной прямой

${\displaystyle \{a+bz;z\in \mathbb {C} \}\subset \mathbb {C} ^{n}}$с ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} ^{n}}$

функция является субгармонической функцией на множестве ${\displaystyle z\mapsto f(a+bz)}$

${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ;a+bz\in D\}.}$

В полной общности это понятие можно определить на произвольном комплексном многообразии или даже на комплексном аналитическом пространстве следующим образом. Полунепрерывная сверху функция ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$

называется плюрисубгармоническим тогда и только тогда, когда для любого голоморфного отображения

${\displaystyle \varphi \colon \Delta \to X}$функция

${\displaystyle f\circ \varphi \colon \Delta \to \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$

субгармоника, где обозначает единичный диск. ${\displaystyle \Delta \subset \mathbb {C} }$

В случае с одной комплексной переменной необходимым и достаточным условием того, что вещественная функция , которая может быть дифференцируемой второго порядка по z комплексной функции с одной переменной, является субгармоническая, является . Следовательно, если имеет класс , то является плюрисубгармонической тогда и только тогда, когда эрмитова матрица положительно полуопределена. ${\displaystyle u=u(z)}$ ${\displaystyle \Delta =4\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial z\,\partial {\overline {z}}}}\right)\geq 0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle H_{u}=(\lambda _{ij}),\lambda _{ij}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial z_{i}\,\partial {\bar {z}}_{j}}}}$

Эквивалентно, -функция u является плюрисубгармонической тогда и только тогда, когда является положительной (1,1)-формой . ^{[48] ​​: 39–40} ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\partial {\bar {\partial }}f}$

Строго плюрисубгармоническая функция

Когда эрмитова матрица u положительно определена и имеет класс , мы называем u строгой плюрисубгармонической функцией. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$

(Слабо) псевдовыпуклый (p-псевдовыпуклый)

Слабая псевдовыпуклость определяется как: Пусть — область. Говорят, что X является псевдовыпуклым, если существует непрерывная плюрисубгармоническая функция на X такая, что множество является относительно компактным подмножеством X для всех действительных чисел x . ^{[примечание 12]} , т. е. существует гладкая плюрисубгармоническая функция истощения . Часто здесь используется определение псевдовыпуклости и записывается как; Пусть X — комплексное n -мерное многообразие. Тогда говорят, что функция исчерпания слабая псевдовыпуклая, и существует гладкая плюрисубгармоническая функция исчерпания . ^{[48] ​​: 49} ${\displaystyle X\subset {\mathbb {C} }^{n}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \{z\in X;\varphi (z)\leq \sup x\}}$ ${\displaystyle \psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle \psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)}$

Сильно (строго) псевдовыпуклая

Пусть X — комплексное n -мерное многообразие. Сильно (или строго) псевдовыпуклая, если существует гладкая строго плюрисубгармоническая функция исчерпания , т. е. положительно определена в каждой точке. Сильно псевдовыпуклая область — это псевдовыпуклая область. ^{[48] ​​: 49} Сильно псевдовыпуклые и строго псевдовыпуклые (т.е. 1-выпуклые и 1-полные ^[49] ) часто используются взаимозаменяемо, ^[50] см. Лемперта ^[51] о технической разнице. ${\displaystyle \psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle H\psi }$

форма Леви

(Слабо) псевдовыпуклость Леви(–Кржоски)

Если border , можно показать, что D имеет определяющую функцию; т. е. существует такое , что , и . Теперь D является псевдовыпуклым тогда и только тогда, когда для каждого и в комплексном касательном пространстве в точке p, т. е. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ ${\displaystyle \rho :\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ ${\displaystyle D=\{\rho <0\}}$ ${\displaystyle \partial D=\{\rho =0\}}$ ${\displaystyle p\in \partial D}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \nabla \rho (p)w=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \rho (p)}{\partial z_{j}}}w_{j}=0}$, у нас есть

${\displaystyle H(\rho )=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}\rho (p)}{\partial z_{i}\,\partial {\bar {z_{j}}}}}w_{i}{\bar {w_{j}}}\geq 0.}$^{[5] [52]}

Если D не имеет границы, может оказаться полезным следующий результат аппроксимации. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$

Предложение 1. Если D псевдовыпуклая, то существуют ограниченные , сильно псевдовыпуклые по Леви области с границей класса , относительно компактные в ${\displaystyle D_{k}\subset D}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ D , такие, что

${\displaystyle D=\bigcup _{k=1}^{\infty }D_{k}.}$

Это потому, что, получив as в определении, мы действительно можем найти функцию исчерпания. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$

Сильно (или строго) псевдовыпуклая по Леви (–Кржоска) (также известная как Сильно (строго) псевдовыпуклая)

Когда форма Леви (–Кржоски) положительно определена, ее называют сильно псевдовыпуклой по Леви (–Кржоски) или часто называют просто сильно (или строго) псевдовыпуклой. ^[5]

Тотальная псевдовыпуклая Леви

Если для каждой граничной точки D существует аналитическое многообразие , проходящее полностью вне D в некоторой окрестности вокруг , кроме самой точки . Область D , удовлетворяющая этим условиям, называется тотальной псевдовыпуклой Леви. ^[53] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$

Ока псевдовыпуклая

Семья диска Оки

Пусть n -функции непрерывны на , голоморфны в случае, когда параметр t фиксирован в [0, 1], и предположим, что не все они равны нулю в любой точке на . Тогда множество называется аналитическим кругом, зависящим от параметра t , и называется его оболочкой. Если и , Q(t) называется семейством диска Оки. ^{[53] [54]} ${\displaystyle \varphi :z_{j}=\varphi _{j}(u,t)}$ ${\displaystyle \Delta :|U|\leq 1,0\leq t\leq 1}$ ${\displaystyle |u|<1}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \varphi _{j}}{\partial u}}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle Q(t):=\{Z_{j}=\varphi _{j}(u,t);|u|\leq 1\}}$ ${\displaystyle B(t):=\{Z_{j}=\varphi _{j}(u,t);|u|=1\}}$ ${\displaystyle Q(t)\subset D\ (0<t)}$ ${\displaystyle B(0)\subset D}$

Определение

Если выполняется любое семейство круга Оки, D называется псевдовыпуклым Оки. ^[53] Доказательство Оки проблемы Леви заключалось в том, что, когда неразветвленная область Римана над ^[55] была областью голоморфности (голоморфно выпуклой), было доказано, что необходимо и достаточно, чтобы каждая граничная точка области голоморфности была областью Ока. псевдовыпуклый. ^{[30] [54]} ${\displaystyle Q(0)\subset D}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Локально псевдовыпуклая (также известная как локальная псевдовыпуклость Штейна, Картана, локальное свойство Леви)

Для каждой точки существует голоморфная окрестность U точек x и f . (т. е. быть голоморфно выпуклым.) таким, что f не может быть продолжено ни на одну окрестность x . т. е. пусть — голоморфное отображение, если каждая точка имеет окрестность U такую, что допускает -плюрисубгармоническую функцию исчерпания (слабо 1-полную ^[56] ), в этой ситуации мы называем X локально псевдовыпуклым (или локально Штейновым) над Ю. ​В качестве старого названия его также называют псевдовыпуклым Картаном. Локально псевдовыпуклая область сама является псевдовыпуклой областью и является областью голоморфности. ^{[57] [53]} Например, Дидерих–Форнес ^[58] нашел локальные псевдовыпуклые ограниченные области с гладкой границей на некелеровых многообразиях, которые не являются слабо 1-полными. ^{[59] [примечание 13]} ${\displaystyle x\in \partial D}$ ${\displaystyle U\cap D}$ ${\displaystyle \psi :X\to Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle \psi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Условия, эквивалентные области голоморфности

Для домена следующие условия эквивалентны: ^{[примечание 14]} ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$

1. D — область голоморфности.
2. D голоморфно выпукла.
3. D — объединение возрастающей последовательности аналитических многогранников в D.
4. D псевдовыпуклая.
5. D локально псевдовыпуклая.

Последствия , ^{[примечание 15]} , ^{[примечание 16]} и являются стандартными результатами. Доказательство , т.е. построение глобальной голоморфной функции, не допускающей продолжения с непродолжаемых функций, определенных только локально. Это называется проблемой Леви (по имени Е.Е. Леви ) и была решена для неразветвленных римановых областей Киёси Окой ^{[примечание 17]} , но для разветвленных римановых областей псевдовыпуклость не характеризует голоморфно выпуклость ^[67] , а затем Ларсом Хёрмандером с использованием методов из функционального анализа и уравнений в частных производных (следствие -задачи(уравнения) с ^{методами} L2 ) . ^{[1] [44] [3] [68]} ${\displaystyle 1\Leftrightarrow 2\Leftrightarrow 3}$ ${\displaystyle 1\Rightarrow 4}$ ${\displaystyle 4\Rightarrow 5}$ ${\displaystyle 5\Rightarrow 1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

Шкивы

Введение пучков в несколько комплексных переменных позволило переформулировать и решить несколько важных проблем в этой области.

Idéal de Domaines Indéterminés (Предшественник понятия связного (пучка))

Ока ввел понятие, которое он назвал «идеалом неопределенных областей» или «идеалом неопределенных областей». ^{[35] [36]} В частности, это набор пар , голоморфных на непустом открытом множестве , такой, что ${\displaystyle (I)}$ ${\displaystyle (f,\delta )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta }$

1. Если и произвольно, то . ${\displaystyle (f,\delta )\in (I)}$ ${\displaystyle (a,\delta ')}$ ${\displaystyle (af,\delta \cap \delta ')\in (I)}$
2. Для каждого тогда ${\displaystyle (f,\delta ),(f',\delta ')\in (I)}$ ${\displaystyle (f+f',\delta \cap \delta ')\in (I).}$

Происхождение неопределенных доменов связано с тем, что домены меняются в зависимости от пары . Картан ^{[37] [38]} перевел это понятие в понятие когерентного ( пучка ) (особенно когерентного аналитического пучка) в пучковых когомологиях. ^{[68] [69]} Это имя происходит от Х. Картана. ^[70] Кроме того, Серр (1955) ввел в алгебраическую геометрию понятие когерентного пучка, то есть понятие когерентного алгебраического пучка. ^[71] Понятие когерентности ( когерентных пучков когомологий ) помогло решить проблемы с несколькими комплексными переменными. ^[40] ${\displaystyle (f,\delta )}$

Когерентный пучок

Определение

Определение когерентного пучка следующее. ^{[71] [72] [73] [74] [48] : 83–89} Квазикогерентный пучок в кольцевом пространстве — это пучок -модулей , который имеет локальное представление, т. е. каждая точка в имеет открытую окрестность . в котором существует точная последовательность ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0}$

для некоторых (возможно, бесконечных) множеств и . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$

Когерентный пучок в кольцевом пространстве — это пучок, удовлетворяющий следующим двум свойствам: ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$имеет конечный тип над , то есть каждая точка в имеет открытую окрестность в такую, что существует сюръективный морфизм для некоторого натурального числа ; ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle n}$
2. для каждого открытого множества , целого числа и произвольного морфизма -модулей ядро ​​имеет конечный тип. ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Морфизмы между (квази)когерентными пучками такие же, как морфизмы пучков -модулей . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Также Жан-Пьер Серр (1955) ^[71] доказывает, что

Если в точной последовательности пучков -модулей два из трех пучков когерентны, то и третий когерентен. ${\displaystyle 0\to {\mathcal {F}}_{1}|_{U}\to {\mathcal {F}}_{2}|_{U}\to {\mathcal {F}}_{3}|_{U}\to 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}}$

Когерентная теорема (Оки – Картана)

Когерентная теорема (Оки–Картана) ^[35] утверждает, что каждый пучок, удовлетворяющий следующим условиям, является когерентным. ^[75]

1. пучок ростков голоморфных функций на , или структурный пучок комплексного подмногообразия или всякого комплексного аналитического пространства ^[76] ${\displaystyle {\mathcal {O}}:={\mathcal {O}}_{\mathbb {C} _{n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$
2. идеальный пучок аналитического подмножества A открытого подмножества . (Картан 1950 ^[37] ) ^{[77] [78]} ${\displaystyle {\mathcal {I}}\langle A\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{n}}$
3. нормализация структурного пучка комплексного аналитического пространства ^[79]

Из приведенной выше теоремы Серра (1955) является когерентным пучком, а также (i) используется для доказательства теорем Картана A и B . ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{p}}$

Проблема с двоюродным братом

В случае комплексных функций с одной переменной теорема Миттаг-Леффлера позволила создать глобальную мероморфную функцию из заданных и главных частей (проблема Кузена I), а теорема факторизации Вейерштрасса позволила создать глобальную мероморфную функцию из заданных нулей или нулевой локус (проблема кузена II). Однако эти теоремы не справедливы для нескольких комплексных переменных, поскольку особенности аналитической функции в нескольких комплексных переменных не являются изолированными точками; эти проблемы называются проблемами Кузена и формулируются в терминах пучковых когомологий. Впервые они были введены в особых случаях Пьером Кузеном в 1895 году. ^[80] Именно Ока показал условия решения первой задачи Кузена для области голоморфности ^{[примечание 18]} в комплексном координатном пространстве, ^{[83] [84] [ 81] [примечание 19]} также решает вторую проблему Кузена с дополнительными топологическими предположениями. Проблема Кузена — это проблема, связанная с аналитическими свойствами комплексных многообразий, но единственные препятствия для решения задач с комплексными аналитическими свойствами являются чисто топологическими; ^{[81] [40] [32]} Серр назвал это принципом Оки. ^[85] Теперь они формулируются и решаются для произвольного комплексного многообразия M в терминах условий на M . M , удовлетворяющее этим условиям, является одним из способов определения многообразия Штейна. Изучение проблемы кузена заставило нас осознать, что при изучении нескольких комплексных переменных можно изучать глобальные свойства путем исправления локальных данных, ^[37] то есть разработала теорию пучковых когомологий. (например, семинар Картана. ^[43] ) ^[40]

Проблема с двоюродным братом

Без языка пучков задачу можно сформулировать следующим образом. На комплексном многообразии M дано несколько мероморфных функций вместе с областями , в которых они определены и где каждая разность голоморфна (везде, где она определена). Тогда первая проблема Кузена требует наличия мероморфной функции на M такой, которая голоморфна на ; другими словами, это разделяет сингулярное поведение данной локальной функции. ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}-f_{j}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f-f_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f}$

Пусть теперь K — пучок мероморфных функций, а O — пучок голоморфных функций на M . Первую проблему Кузена всегда можно решить, если следующее отображение сюръективно:

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} ).}$

По длинной точной последовательности когомологий

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} )}$

является точным, и поэтому первая проблема Кузена всегда разрешима при условии, что первая группа когомологий H ¹ ( M , O ) обращается в нуль. В частности, по теореме Картана B проблема Кузена всегда разрешима, если M — многообразие Штейна.

Проблема второго кузена

Вторая задача Кузена начинается с аналогичной постановки, что и первая, но вместо этого указывается, что каждое отношение является ненулевой голоморфной функцией (где указанная разница определена). Он требует мероморфной функции на M , голоморфной и ненулевой. ${\displaystyle f_{i}/f_{j}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f/f_{i}}$

Пусть – пучок голоморфных функций, нигде не обращающихся в нуль, и пучок мероморфных функций, не равных тождественному нулю. Оба они являются тогда пучками абелевых групп , и факторпучок определен корректно. Если следующая карта сюръективна, то проблема второго кузена может быть решена: ${\displaystyle \mathbf {O} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}).}$

Длинная точная последовательность когомологий пучка, связанная с фактором, равна

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*})\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})}$

поэтому вторая проблема Кузена разрешима во всех случаях при условии, что ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})=0.}$

Группу когомологий мультипликативной структуры можно сравнить с группой когомологий с ее аддитивной структурой, прологарифмировав ее. То есть существует точная последовательность пучков ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})}$ ${\displaystyle \mathbf {O} ^{*}}$ ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )}$

${\displaystyle 0\to 2\pi i\mathbb {Z} \to \mathbf {O} \xrightarrow {\exp } \mathbf {O} ^{*}\to 0}$

где крайний левый пучок — это локально постоянный пучок со слоем . Препятствие к определению логарифма на уровне H ¹ находится в , из длинной точной последовательности когомологий ${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})\to 2\pi iH^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\mathbf {O} ).}$

Когда M — многообразие Штейна, средняя стрелка является изоморфизмом, потому что в этом случае необходимым и достаточным условием всегдай разрешимости второй проблемы Кузена является то, что (это условие называется принципом Оки.) ${\displaystyle H^{q}(M,\mathbf {O} )=0}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )=0.}$

Многообразия и аналитические многообразия с несколькими комплексными переменными

Многообразие Штейна (некомпактное комплексное многообразие)

Поскольку некомпактная (открытая) риманова поверхность ^[86] всегда имеет непостоянную однозначную голоморфную функцию ^[87] и удовлетворяет второй аксиоме счетности , то открытая риманова поверхность фактически представляет собой 1 -мерное комплексное многообразие, обладающее голоморфное отображение в комплексную плоскость . (На самом деле, Ганнинг и Нарасимхан показали (1967) ^[88] , что каждая некомпактная риманова поверхность действительно имеет голоморфное погружение в комплексную плоскость. Другими словами, существует голоморфное отображение в комплексную плоскость, производная которого никогда не обращается в нуль. ) ^[89] Теорема вложения Уитни говорит нам, что каждое гладкое n -мерное многообразие может быть вложено как гладкое подмногообразие в , тогда как комплексное многообразие «редко» имеет голоморфное вложение в . Например, для произвольного компактного связного комплексного многообразия X каждая голоморфная функция на нем постоянна по теореме Лиувилля и поэтому не может иметь никакого вложения в комплексное n-пространство. То есть для нескольких комплексных переменных произвольные комплексные многообразия не всегда имеют голоморфные функции, не являющиеся константами. Итак, рассмотрим условия, при которых комплексное многообразие имеет голоморфную функцию, не являющуюся константой. Теперь, если бы у нас было голоморфное вложение X в , то координатные функции ограничились бы непостоянными голоморфными функциями на X , что противоречило бы компактности, за исключением случая, когда X является просто точкой. Комплексные многообразия, в которые можно голоморфно вложиться, называются многообразиями Штейна. Также многообразия Штейна удовлетворяют второй аксиоме счетности. ^[90] ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Многообразие Штейна — это комплексное подмногообразие векторного пространства n комплексных измерений. Они были представлены Карлом Штейном и названы в его честь (1951). ^[91] Пространство Штейна похоже на многообразие Штейна, но допускает наличие особенностей. Пространства Штейна являются аналогами аффинных многообразий или аффинных схем в алгебраической геометрии. Если однолистная область на соединена с многообразием, может рассматриваться как комплексное многообразие и удовлетворяет условию разделения, описанному позже, то условием того, чтобы стать многообразием Штейна, является удовлетворение голоморфной выпуклости. Следовательно, многообразие Штейна — это свойства области определения (максимального) аналитического продолжения аналитической функции. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Определение

Пусть X — паракомпактное комплексное многообразие комплексной размерности , и пусть обозначает кольцо голоморфных функций на X. Назовем X многообразием Штейна , если выполнены следующие условия: ^[92] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$

1. X голоморфно выпукло, т.е. для каждого компактного подмножества существует так называемая голоморфно выпуклая оболочка , ${\displaystyle K\subset X}$

   ${\displaystyle {\bar {K}}=\left\{z\in X;|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|,\ \forall f\in {\mathcal {O}}(X)\right\},}$

   также является компактным подмножеством X .
2. X голоморфно отделима , [ ^{примечание 20]} , т. е. если в X есть две точки , то существует такое, что ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(X)}$ ${\displaystyle f(x)\neq f(y).}$
3. Открытая окрестность каждой точки многообразия имеет голоморфную карту . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$

Заметим, что условие (3) можно вывести из условий (1) и (2). ^[93]

Каждая некомпактная (открытая) риманова поверхность является многообразием Штейна.

Пусть X — связная некомпактная (открытая) риманова поверхность . Глубокая теорема Бенке и Штейна (1948) ^[87] утверждает, что X — многообразие Штейна.

Другой результат, приписываемый Гансу Грауэрту и Хельмуту Рёрлю (1956), утверждает, что каждое голоморфное векторное расслоение на X тривиально. В частности, каждое линейное расслоение тривиально, поэтому . Экспоненциальная последовательность пучка приводит к следующей точной последовательности: ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})=0}$

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Теперь теорема Картана B показывает, что , следовательно , . ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})=H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0}$ ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )=0}$

Это связано с решением второй (мультипликативной) проблемы Кузена .

Проблемы Леви

Картан распространил проблему Леви на многообразия Штейна. ^[94]

Если относительное компактное открытое подмножество многообразия Штейна X является локально псевдовыпуклым, то D является многообразием Штейна, и наоборот, если D является локально псевдовыпуклым, то X является многообразием Штейна. т. е. тогда X является многообразием Штейна тогда и только тогда, когда D является локальным многообразием Штейна. ^[95] ${\displaystyle D\subset X}$

Это было доказано Бремерманом ^[96] путем вложения его в достаточно большую размерность и сведения его к результату Оки. ^[30] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Также Грауэрт доказал для произвольных комплексных многообразий M . ^{[примечание 21] [99] [32] [97]}

Если относительное компактное подмножество произвольного комплексного многообразия M является сильно псевдовыпуклым на M , то M является голоморфно выпуклым (т. е. многообразием Штейна). Кроме того, D само является многообразием Штейна. ${\displaystyle D\subset M}$

А Нарасимхан ^{[100] [101]} распространил проблему Леви на комплексное аналитическое пространство , обобщенную в сингулярном случае комплексных многообразий.

Комплексное аналитическое пространство, допускающее непрерывную строго плюрисубгармоническую функцию исчерпания (т. е. сильно псевдовыпуклую), является пространством Штейна. ^[4]

Проблема Леви остается нерешенной в следующих случаях;

Предположим, что X — сингулярное пространство Штейна ^{(примечание 22)} . Предположим, что для всех существует открытая окрестность , то есть пространство Штейна. Является ли D сам Штейном? ^{[4] [103] [102]} ${\displaystyle D\subset \subset X}$ ${\displaystyle p\in \partial D}$ ${\displaystyle U(p)}$ ${\displaystyle U\cap D}$

более общий

Предположим, что N — пространство Штейна, а f — инъективная, а также неразветвленная область Римана, такая, что отображение f является локально псевдовыпуклым отображением (т. е. морфизмом Штейна). Тогда М сам является Штейном? ^{[102] [104] : 109} ${\displaystyle f:M\to N}$

а также,

Предположим, что X — пространство Штейна и возрастающее объединение открытых по Штейну множеств. Тогда D сам является Штейном? ${\displaystyle D=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }D_{n}}$

Это означает, что теорема Бенке–Стейна, справедливая для многообразий Штейна, не нашла условий, которые необходимо установить в пространстве Штейна. ^[102]

K-полный

Грауэрт ввел понятие K-полноты в доказательство проблемы Леви.

Пусть X — комплексное многообразие, X является K-полным, если для каждой точки существует конечное число голоморфных отображений X в , , таких, что является изолированной точкой множества . ^[99] Эта концепция также применима к комплексному аналитическому пространству. ^[105] ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{p}}$ ${\displaystyle p=p(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle A=\{x\in X;f^{-1}f(x_{0})\ (v=1,\dots ,k)\}}$

Свойства и примеры многообразий Штейна

• Стандартное ^{[примечание 23]} комплексное пространство представляет собой многообразие Штейна. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• Каждая область голоморфности в является многообразием Штейна. ^[12] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• Совершенно легко показать, что каждое замкнутое комплексное подмногообразие многообразия Штейна также является многообразием Штейна.
• Теорема вложения многообразий Штейна гласит следующее: в каждое многообразие Штейна X комплексной размерности n можно вложить биголоморфное собственное отображение . ^{[106] [107] [108]} ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2n+1}}$

Из этих фактов следует, что многообразие Штейна является замкнутым комплексным подмногообразием комплексного пространства, комплексная структура которого аналогична структуре объемлющего пространства (поскольку вложение биголоморфно).

• Каждое многообразие Штейна (комплексной) размерности n имеет гомотопический тип n -мерного CW-комплекса. ^[109]
• В одном комплексном измерении условие Штейна можно упростить: связная риманова поверхность является многообразием Штейна тогда и только тогда, когда она некомпактна. Это можно доказать, используя версию теоремы Рунге ^[110] для римановых поверхностей, ^{[примечание 24]} принадлежащую Бенке и Штейну. ^[87]
• Каждое многообразие Штейна X голоморфно расширяемо, т.е. для каждой точки существует n голоморфных функций, определенных на всем X , которые образуют локальную систему координат при ограничении некоторой открытой окрестностью x . ${\displaystyle x\in X}$
• Первую задачу Кузена всегда можно решить на многообразии Штейна.
• Быть многообразием Штейна эквивалентно тому, чтобы быть (комплексным) сильно псевдовыпуклым многообразием . Последнее означает, что он имеет сильно псевдовыпуклую (или плюрисубгармоническую ) исчерпывающую функцию, ^[99] т.е. гладкую действительную функцию на X (которая может считаться функцией Морса ) с , ^[99] такую, что подмножества компактны в X для каждого действительного числа c . Это решение так называемой проблемы Леви , ^[111] имени Э. Э. Леви (1911). Функция предлагает обобщение многообразия Штейна до идеи соответствующего класса компактных комплексных многообразий с границей, называемой областью Штейна . ^[112] Домен Штейна является прообразом . Поэтому некоторые авторы называют такие многообразия строго псевдовыпуклыми. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}\psi >0}$ ${\displaystyle \{z\in X\mid \psi (z)\leq c\}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \{z\mid -\infty \leq \psi (z)\leq c\}}$
• В связи с предыдущим пунктом существует еще одно эквивалентное и более топологическое определение в комплексной размерности 2: поверхность Штейна — это комплексная поверхность X с вещественной функцией Морса f на X такая, что вдали от критических точек f Поле комплексных касаний к прообразу представляет собой контактную структуру , которая индуцирует ориентацию X _c , совпадающую с обычной ориентацией в качестве границы. То есть является штейновым заполнением X _c . ${\displaystyle X_{c}=f^{-1}(c)}$ ${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,c).}$ ${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,c)}$

Существуют многочисленные дальнейшие характеристики таких многообразий, в частности, отражающие свойство наличия у них «многих» голоморфных функций , принимающих значения в комплексных числах. См., например, теоремы Картана A и B , касающиеся пучковых когомологий .

В наборе аналогий GAGA многообразия Штейна соответствуют аффинным многообразиям . ^[113]

Многообразия Штейна в некотором смысле двойственны эллиптическим многообразиям в комплексном анализе, которые допускают «многие» голоморфные функции из комплексных чисел в себя. Известно, что многообразие Штейна эллиптично тогда и только тогда, когда оно фибрантно в смысле так называемой «голоморфной гомотопической теории».

Комплексные проективные многообразия (компактное комплексное многообразие)

Мероморфные функции в комплексной функции одной переменной изучались на компактной (замкнутой) римановой поверхности, поскольку теорема Римана-Роха ( неравенство Римана ) справедлива для компактных римановых поверхностей (поэтому теорию компактной римановой поверхности можно рассматривать как теорию (гладкая (неособая) проективная) алгебраическая кривая над ^{[114] [115]} ). В действительности компактная риманова поверхность имела непостоянную однозначную мероморфную функцию ^[86] , а также компактная риманова поверхность имела достаточное количество мероморфных функций. Компактное одномерное комплексное многообразие представляло собой сферу Римана . Однако абстрактное понятие компактной римановой поверхности всегда алгебраизуемо ( Теорема существования Римана , теорема вложения Кодайры ), ^{[примечание 25]} , но нелегко проверить, какие компактные комплексные аналитические пространства алгебраизуемы. ^[116] Фактически Хопф нашел класс компактных комплексных многообразий без непостоянных мероморфных функций. ^[57] Однако существует результат Зигеля, который дает необходимые условия для того, чтобы компактные комплексные многообразия были алгебраическими. ^[117] Обобщение теоремы Римана-Роха на несколько комплексных переменных было впервые распространено на компактные аналитические поверхности Кодайрой, ^[118] Кодайра также распространил теорему на трехмерные, ^[119] и n-мерные кэлеровы многообразия. ^[120] Серр сформулировал теорему Римана-Роха как проблему размерности когомологий когерентных пучков , ^[6] а также Серр доказал двойственность Серра . ^[121] Картан–Серр доказал следующее свойство: ^[122] группа когомологий конечномерна для когерентного пучка на компактном комплексном многообразии M. ^[123] Риман–Рох на римановой поверхности для векторного расслоения был доказан Вейлем в 1938 году. ^[124] Хирцебрух обобщил теорему на компактные комплексные многообразия в 1994 году ^[125], а Гротендик обобщил ее до относительной версии (относительные утверждения о морфизмах ). ^{[126] [127]} Далее мы обобщаем результат о проективности компактных римановых поверхностей на многомерный случай, в частности, рассматриваем условия, которые при вложении компактного комплексного подмногообразия X в комплексное проективное пространство . ^{[примечание 26]} , т. е. дает условия, когда компактное комплексное многообразие проективно. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\cong \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$Теорема об исчезновении Кодаиры (1954) и ее обобщение, теорема об исчезновении Накано и т. д. дают условие, когда пучковая группа когомологий обращается в нуль, и это условие должно удовлетворять своего рода положительности . В качестве примера, приведенного в этой теореме, теорема вложения Кодайры ^[128] утверждает , что компактное кэлерово многообразие M с метрикой Ходжа имеет комплексно-аналитическое вложение M в комплексное проективное пространство достаточно высокой размерности N. Теорема Чоу ^[129] показывает, что комплексное аналитическое подпространство (подмногообразие) замкнутого комплексного проективного пространства является алгебраическим, то есть является общим нулем некоторых однородных многочленов. Такое отношение является одним из примеров того, что называется ГАГА Серра . принцип . ^[8] Комплексное аналитическое подпространство (многообразие) комплексного проективного пространства обладает как алгебраическими, так и аналитическими свойствами. Затем в сочетании с результатом Кодайры компактное кэлерово многообразие M вкладывается как алгебраическое многообразие. Это дает пример комплексного многообразия с достаточным количеством мероморфных функций. Сходство задач Леви в комплексном проективном пространстве было доказано в некоторых моделях, например, Такеучи. ^{[4] [130] [131] [132]} В широком смысле принцип GAGA гласит, что геометрия проективных комплексных аналитических пространств (или многообразий) эквивалентна геометрии проективных комплексных многообразий. Сочетание аналитических и алгебраических методов для комплексных проективных многообразий привело к появлению таких областей, как теория Ходжа . Кроме того, теория деформации компактных комплексных многообразий получила развитие как теория Кодаиры – Спенсера. Однако, несмотря на то, что это компактное комплексное многообразие, существуют контрпримеры, которые не могут быть вложены в проективное пространство и не являются алгебраическими. ^[133] ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$

Смотрите также

• Бикомплексный номер
• Сложная геометрия
• Коллектор CR
• Когомологии Дольбо
• Гармонические карты
• Гармонические морфизмы
• Бесконечномерная голоморфия
• Теорема Оки – Вейля

Аннотация

1. Это открытое связное подмножество .
2. Название, ошибочно принятое для геометрии нулей аналитических функций ; это не аналитическая геометрия, которую учили в школе. (Другими словами, в смысле ГАГА о Серре.) ^[8]
3. Поле комплексных чисел представляет собой двумерное векторное пространство над действительными числами.
4. Обратите внимание, что эта формула справедлива только для полидиска. См. §Формулу Бохнера – Мартинелли для получения информации об интегральной формуле Коши в более общей области.
5. Согласно теореме Жордана о кривой, область D представляет собой ограниченное замкнутое множество, то есть каждая область компактна. ${\displaystyle D_{\nu }}$
6. Но есть точка, где они сходятся за пределами круга схождения. Например, если одна из переменных равна 0, то некоторые члены, представленные произведением этой переменной, будут равны 0 независимо от значений, принимаемых другими переменными. Следовательно, даже если вы возьмете переменную, которая расходится, когда переменная отличается от 0, она может сойтись.
7. При описании с использованием области голоморфности, которая является обобщением области сходимости, область Рейнхардта является областью голоморфности тогда и только тогда, когда она логарифмически выпукла.
8. Эта теорема верна, даже если условие не ограничено. т.е. теорема справедлива, даже если это условие заменить открытым множеством. ^[21]
9. Ока говорит, что ^[33] содержание этих двух статей различно. ^[34]
10. Идея самого снопа принадлежит Жану Лере .
11. Фактически, это было доказано Киёси Окой ^[29] относительно области определения. См. лемму Оки . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
12. Это холломорфно-выпуклая оболочка, выражаемая плюрисубгармонической функцией. По этой причине его еще называют p-псевдовыпуклым или просто p-выпуклым.
13. Определение слабо 1-полного. ^[60]
14. В алгебраической геометрии существует проблема, можно ли удалить особую точку комплексного аналитического пространства, выполнив операцию, называемую модификацией ^{[61] [62]} на комплексном аналитическом пространстве (когда n = 2, результат Хирцебруха , ^[63], когда n = 3, результат Зариского ^[64] для алгебраического многообразия.), но Грауэрт и Реммерт сообщили о примере области, которая не является ни псевдовыпуклой, ни голоморфно-выпуклой, даже если она является областью голоморфности: ^[65]
15. Это соотношение называется теоремой Картана – Таллена. ^[66]
16. См . лемму Оки.
17. В доказательстве Оки используется псевдовыпуклая Ока вместо псевдовыпуклой Картана.
18. Есть несколько контрпримеров в области голоморфности относительно проблемы второго кузена. ^{[81] [82]}
19. Это называется классической проблемой Кузена. ^[40]
20. Из этого условия мы видим, что многообразие Штейна не компактно.
21. Проблема Леви неверна для областей в произвольных многообразиях. ^{[32] [97] [98]}
22. В случае пространства Штейна с изолированными особенностями он уже был положительно решен Нарасимханом. ^{[4] [102]}
23. ( — проективное комплексное многообразие) не становится многообразием Штейна, даже если оно удовлетворяет голоморфной выпуклости. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{m}}$
24. Метод доказательства использует аппроксимацию многогранной областью , как в теореме Оки-Вейля .
25. Обратите внимание, что теорема о расширении Римана и ссылки на нее, объясненные в связанной статье, включают обобщенную версию теоремы о расширении Римана Гротендика, которая была доказана с использованием принципа GAGA, а также каждое одномерное компактное комплексное многообразие является многообразием Ходжа.
26. Это стандартный метод компактификации , но не единственный метод, подобный сфере Римана, который был компактификацией . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Рекомендации

Встроенные цитаты

1. Хёрмандер, Ларс (1965). «Оценки L2 и теоремы существования оператора ∂ ¯ {\displaystyle {\bar {\partial }}}». Акта Математика . 113 : 89–152. дои : 10.1007/BF02391775 . S2CID  120051843.
2. Осава, Такео (2002). Анализ нескольких комплексных переменных. ISBN 978-1-4704-4636-9.
3. Блоки, Збигнев (2014). «Коши-Риман встречает Монжа-Ампера». Вестник математических наук . 4 (3): 433–480. дои : 10.1007/s13373-014-0058-2 . S2CID  53582451.
4. Сиу, Юм-Тонг (1978). «Псевдовыпуклость и проблема Леви». Бюллетень Американского математического общества . 84 (4): 481–513. дои : 10.1090/S0002-9904-1978-14483-8 . МР  0477104.
5. Чен, Со-Чин (2000). «Комплексный анализ по одной и нескольким переменным». Тайваньский математический журнал . 4 (4): 531–568. дои : 10.11650/twjm/1500407292 . JSTOR  43833225. MR  1799753. Збл  0974.32001.
6. Чонг, Коннектикут; Леонг, Ю.К. (1986). «Интервью с Жан-Пьером Серром». Математический интеллект . 8 (4): 8–13. дои : 10.1007/BF03026112. S2CID  121138963.
7. Фрайтаг, Эберхард (2011). «Аналитические функции нескольких комплексных переменных». Комплексный анализ 2 . Университеттекст. стр. 300–346. дои : 10.1007/978-3-642-20554-5_5. ISBN 978-3-642-20553-8.
8. Серр, Жан-Пьер (1956). «Алгебрическая и аналитическая геометрия». Анналы Института Фурье (на французском языке). 6 : 1–42. дои : 10.5802/aif.59 . ISSN  0373-0956. МР  0082175. Збл  0075.30401.
9. Осава, Такео (1984). «Теоремы об исчезании на полных кэлеровых многообразиях». Публикации НИИ математических наук . 20 : 21–38. дои : 10.2977/prims/1195181825 .
10. Соломенцев, ЭД (2001) [1994], «Теорема Вейерштрасса», Энциклопедия математики , EMS Press
11. Одзаки, Сигео; Оно, Исао (1 февраля 1953 г.). «Аналитические функции нескольких комплексных переменных». Научные отчеты Токийского бунрика дайгаку, раздел А. 4 (98/103): 262–270. JSTOR  43700400.
12. Филд, М (1982). «Сложные многообразия». Некоторые комплексные переменные и комплексные многообразия I . стр. 134–186. дои : 10.1017/CBO9781107325562.005. ISBN 9780521283014.
13. Пуанкаре, М. Анри (1907). «Аналитические функции двух переменных и соответствующее представление». Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 23 : 185–220. дои : 10.1007/BF03013518 . S2CID  123480258.
14. Сиу, Юм-Тонг (1991). «Униформизация нескольких комплексных переменных». В Ву, Хун-Си (ред.). Современная геометрия. п. 494. дои : 10.1007/978-1-4684-7950-8. ISBN 978-1-4684-7950-8.
15. Ярницкий, Марек; Пфлуг, Питер (2008). Первые шаги в области нескольких сложных переменных: области Рейнхардта. дои : 10.4171/049. ISBN 978-3-03719-049-4.
16. Сакаи, Эйичи (1970). «Мероморфное или голоморфное пополнение области Рейнхардта». Нагойский математический журнал . 38 : 1–12. дои : 10.1017/S0027763000013465 . S2CID  118248529.
17. Чирка, Э.М. (2001) [1994], "Домен Хартогса", Энциклопедия математики , EMS Press
18. Диапазон, Р. Майкл (1986). «Области голоморфности и псевдовыпуклости». Голоморфные функции и интегральные представления от нескольких комплексных переменных. Тексты для аспирантов по математике. Том. 108. с. 10.1007/978-1-4757-1918-5_2. дои : 10.1007/978-1-4757-1918-5_2. ISBN 978-1-4419-3078-1.
19. Кранц, Стивен Г. (2008). «Редукция феномена расширения Хартогса». Комплексные переменные и эллиптические уравнения . 53 (4): 343–353. дои : 10.1080/17476930701747716. S2CID  121700550.
20. Hartogs, Фриц (1906), "Einige Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel bei Funktionen mehrerer Veränderlichen.", Sitzungsberichte der Königlich Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München, Mathematisch-Physikalische Klasse (на немецком языке), 36 : 223–24 2, ЯФМ  37.0443 .01
21. Симонич, Александр (2016). «Элементарный подход к теореме о продолжении Хартогса». arXiv : 1608.00950 [math.CV].
22. Лауфер, Генри Б. (1 июня 1966 г.). «Некоторые замечания по поводу теоремы Хартогса». Труды Американского математического общества . 17 (6): 1244–1249. дои : 10.1090/S0002-9939-1966-0201675-2 . JSTOR  2035718.
23. Меркер, Джоэл; Портен, Эгмонт (2007). «Теоретико-Морсовское доказательство теоремы о продолжении Хартогса». Журнал геометрического анализа . 17 (3): 513–546. arXiv : math/0610985 . дои : 10.1007/BF02922095 . S2CID  449210.
24. Боггесс, А.; Двилевич, Р.Дж.; Слодковский, З. (2013). «Расширение Хартогса для обобщенных трубок в Cn». Журнал математического анализа и приложений . 402 (2): 574–578. дои : 10.1016/j.jmaa.2013.01.049 .
25. Картан, Анри (1931). «Функции комплексов двух переменных и проблемы аналитического представления». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 10 :1–116. Збл  0001.28501.
26. Таллен, Питер (1931). «Zu den Abbildungen durch analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen die Invarianz des Mittelpunktes von Kreiskörpern». Математические Аннален . 104 : 244–259. дои : 10.1007/bf01457933 . S2CID  121072397.
27. Сунада, Тошиказу (1978). «Проблема голоморфной эквивалентности ограниченных областей Рейнхардта». Математические Аннален . 235 (2): 111–128. дои : 10.1007/BF01405009 . S2CID  124324696.
28. Картан, Анри; Таллен, Питер (1932). «Zur Theorie der Singularitäten der Funktionen mehrerer komplexen Veränderlichen Regularitäts-und Konvergenzbereiche». Математические Аннален . 106 : 617–647. дои : 10.1007/BF01455905 .
29. Ока, Киёси (1943), «Sur les fonctions Analytiques de Plusieurs переменных. VI. Псевдовыпуклые области», Tohoku Mathematical Journal , First Series, 49 : 15–52, ISSN  0040-8735, Zbl  0060.24006
30. Ока, Киёси (1953), «Sur les fonctions Analytiques de Plusieurs переменных. IX. Domaines Finis sans Point Critique Intérieur», Японский журнал математики: Transactions and Abstracts , 23 : 97–155, doi : 10.4099/jjm1924.23.0 _97 , ISSN  0075-3432
31. Ганс Дж. Бремерманн (1954), «Über die Äquivalenz der pseudokonvexen Gebiete und der Holomorphiegebiete im Raum vonn komplexen Veränderlichen», Mathematische Annalen , 106 : 63–91, doi : 10.1007/BF01360125 , S2CID  119837 287
32. Гекльберри, Алан (2013). «Ганс Грауэрт (1930–2011)». Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 115 : 21–45. arXiv : 1303.6933 . дои : 10.1365/s13291-013-0061-7. S2CID  119685542.
33. Ока, Киёси (1953). Меркер, Дж.; Ногучи, Дж. (ред.). «Sur les formes groups et les contenus subjectifs dans les sciences math'ematiques; Propos post'erieur» (PDF) .
34. Ногучи, Дж. «Относится к работам доктора Киёси ОКА».
35. Ока, Киёси (1950). «Sur les functions Analytiques de Plusieurs переменных. VII. Sur Quelques Concepts arithmétiques». Бюллетень математического общества Франции . 2 : 1–27. дои : 10.24033/bsmf.1408 ., Ока, Киёси (1961). «Sur les fonctions Analytiques de Plusieurs переменных. VII. Sur Quelques Notions arithmétiques» (PDF) . Иванами Сётэн, Токио (оригинальная версия Оки) .^{[примечание 9]}
36. Ока, Киёси (1951), «Sur les Fonctions Analytiques de Plusieurs Variables, VIII - Lemme Fondamental», Журнал Математического общества Японии , 3 (1): 204–214, doi : 10.2969/jmsj/00310204, Ока, Киёси (1951), «Sur les Fonctions Analytiques de Plusieurs Variables, VIII - Lemme Fondamental (Suite)», Журнал Математического общества Японии , 3 (2): 259–278, doi : 10.2969/jmsj/ 00320259
37. Картан, Анри (1950). «Идеи и модули аналитических функций комплексов переменных». Бюллетень математического общества Франции . 2 : 29–64. дои : 10.24033/bsmf.1409 .
38. Картан, Анри (1953). «Аналитические комплексы и когомологии». Коллоквиум о функциях плюсовых переменных, Брюссель : 41–55. МР  0064154. Збл  0053.05301.
39. Картан, Х.; Эйленберг, Сэмюэл; Серр, Дж.П. «Семинар Анри Картана, Том 3 (1950–1951)». numdam.org .
40. Chorlay, Рено (январь 2010 г.). «От проблем к структурам: проблемы-кузены и появление концепции снопа». Архив истории точных наук . 64 (1): 1–73. дои : 10.1007/s00407-009-0052-3. JSTOR  41342411. S2CID  73633995.
41. Шкивы на коллекторах. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 136. 1990. doi : 10.1007/978-3-662-02661-8. ISBN 978-3-642-08082-1.
42. Серр, Жан-Пьер (1953). «Quelques problèmes globaux relatifs aux variétés de Stein». Центр Бельгийской Речи. Math., Colloque Functions Plusieurs Variables, Bruxelles du 11 Au 14 Mar : 67–58. Збл  0053.05302.
43. Картан, Х.; Брюа, Ф.; Серф, Жан; Дольбо, П.; Френкель, Жан; Эрве, Мишель; Малатян.; Серр, Дж.П. «Семинар Анри Картана, Том 4 (1951–1952)». Архивировано из оригинала 20 октября 2020 года.
44. Форстнерич, Франк (2011). «Многообразия Штейна». Многообразия Штейна и голоморфные отображения . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге / Серия современных обзоров по математике. Том. 56. дои : 10.1007/978-3-642-22250-4. ISBN 978-3-642-22249-8.
45. Бенке, Х.; Штейн, К. (1939). «Konvergente Folgen von Regularitätsbereichen und die Meromorphiekonvexität». Математические Аннален . 116 : 204–216. дои : 10.1007/BF01597355. S2CID  123982856.
46. Кадзивара, Джоджи (1 января 1965 г.). «Связь между областями голоморфности и множественными проблемами Кузена». Математический журнал Кодай . 17 (4). дои : 10.2996/кмдж/1138845123 .
47. Диапазон, Р. Майкл (2012). «ЧТО ТАКОЕ… псевдовыпуклая область?». Уведомления Американского математического общества . 59 (2): 1. дои : 10.1090/noti798 .
48. Комплексная аналитическая и дифференциальная геометрия
49. Фриче, Клаус; Грауэрт, Ганс (6 декабря 2012 г.). От голоморфных функций к комплексным многообразиям. Спрингер. ISBN 9781468492736.
50. Кранц, Стивен Джордж (2001). Теория функций многих комплексных переменных. Американское математическое соц. ISBN 9780821827246.
51. Лемперт, Ласло (1981). «La métrique de Kobayashi et la représentation des Domaines sur la boule». Бюллетень математического общества Франции . 109 : 427–474. дои : 10.24033/bsmf.1948 .
52. Шон, Кван Хо (1987). «Базы окрестностей Штейна для наборов произведений полидисков и открытых интервалов». Мемуары факультета естественных наук Университета Кюсю. Серия А, Математика . 41 : 45–80. дои : 10.2206/kyushumfs.41.45 .
53. Син Хитомацу (1958), «О некоторых гипотезах, касающихся псевдовыпуклых областей», Журнал Математического общества Японии , 6 (2): 177–195, doi : 10.2969/jmsj/00620177 , Zbl  0057.31503
54. Кадзивара, Джоджи (1959). «Некоторые результаты об эквивалентности комплексно-аналитических пучков волокон». Мемуары факультета естественных наук Университета Кюсю. Серия А, Математика . 13 : 37–48. дои : 10.2206/kyushumfs.13.37 .
55. Соломенцев, ЭД (2001) [1994], «Риманова область», Энциклопедия математики , EMS Press
56. Осава, Такео (2018). «О локальной псевдовыпуклости некоторых аналитических семейств C {\displaystyle \mathbb {C} }». Анналы Института Фурье . 68 (7): 2811–2818. дои : 10.5802/aif.3226 .
57. Осава, Такео (февраль 2021 г.). «Жесткость НИШИНО, локально псевдовыпуклые отображения и голоморфные движения (Топология псевдовыпуклых областей и анализ воспроизводящих ядер)». РИМС Кокюроку . 2175 : 27–46. hdl : 2433/263965.
58. Дидерих, Клас; Форнес, Джон Эрик (1982). «Гладкая псевдовыпуклая область без псевдовыпуклого истощения». Манускрипта Математика . 39 : 119–123. дои : 10.1007/BF01312449. S2CID  121224216.
59. Осава, Такео (2012). «Теоремы о расширении типа Хартогса в некоторых областях кэлеровых многообразий». Анналы Полоники Математики . 106 : 243–254. дои : 10.4064/ap106-0-19 . S2CID  123827662.
60. Осава, Такео (1981). «Слабо 1-полное многообразие и проблема Леви». Публикации НИИ математических наук . 17 : 153–164. дои : 10.2977/prims/1195186709 .
61. Генрих Бенке и Карл Штайн (1951), «Modifikationen koplexer Mannigfaltigkeiten und Riernannscher Gebiete», Mathematische Annalen , 124 : 1–16, doi : 10.1007/BF01343548, S2CID  120455177, Zbl  0043.30301
62. Онищик, А.Л. (2001) [1994], «Модификация», Математическая энциклопедия , EMS Press
63. Фридрих Хирцебрух (1953), «Über vier DimensioneRIEMANNsche Flächen mehrdeutiger analytischer Fon zwei komplexen Veränderlichen», Mathematische Annalen , 126 : 1–22, doi : 10.1007/BF01343146, hdl : 21.11116/00 00-0004-3A47-C , S2CID  122862268
64. Оскар Зариски (1944), «Уменьшение особенностей алгебраических трехмерных многообразий», Анналы математики , вторая серия, 45 (3): 472–542, doi : 10.2307/1969189, JSTOR  1969189
65. Ганс Грауэрт и Райнхольд Реммерт (1956), "Konvexität in der komplexen Analysis. Nicht-holomorph-konvexe Holomorphiegebiete und Anwendungen auf die Abbildungstheorie", Commentarii Mathematici Helvetici , 31 : 152–183, doi : 10.1007/BF02564357, S 2CID  117913713, Збл  0073.30301
66. Цуруми, Казуюки; Джимбо, Тошия (1969). «Некоторые свойства голоморфной выпуклости в общих функциональных алгебрах». Научные отчеты Токийского Кёику Дайгаку, Раздел А. 10 (249/262): 178–183. JSTOR  43698735.
67. Форнес, Джон Эрик (1978). «Контрпример к проблеме Леви для разветвленных областей Римана над C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} ". Математические Аннален . 234 (3): 275–277. дои : 10.1007/BF01420649.
68. Ногучи, Дзундзиро (2019). «Краткая хроника проблемы Леви (обратной Хартога), связности и открытой проблемы». Извещения о Международном конгрессе китайских математиков . 7 (2): 19–24. arXiv : 1807.08246 . doi :10.4310/ICCM.2019.V7.N2.A2. S2CID  119619733.
69. Ногучи, Дзюнджиро (2016). Аналитическая теория функций нескольких переменных Элементы когерентности Оки (px). п. XVIII, 397. doi :10.1007/978-981-10-0291-5. ISBN 978-981-10-0289-2. S2CID  125752012.
70. Ногучи, Дзюнджиро (2016). Аналитическая теория функций многих переменных Элементы когерентности Оки (стр.33). п. XVIII, 397. doi :10.1007/978-981-10-0291-5. ISBN 978-981-10-0289-2. S2CID  125752012.
71. Серр, Жан-Пьер (1955), «Faisceaux algébriques cohérents» (PDF) , Annals of Mathematics , 61 (2): 197–278, doi : 10.2307/1969915, JSTOR  1969915, MR  0068874
72. Гротендик, Александр; Дьедонн, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык схем (гл. 0 § 5. FAISCEAUX QUASI-COHÉRENTS ET FAISCEAUX COHÉRENTS (0.5.1–0.5.3)»). Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 . дои : 10.1007/bf02684778. MR  0217083. S2CID  121855488.
73. Реммерт, Р. (1994). «Локальная теория комплексных пространств». Несколько комплексных переменных VII §6. Расчеты когерентных пучков. Энциклопедия математических наук. Том. 74. стр. 7–96. дои : 10.1007/978-3-662-09873-8_2. ISBN 978-3-642-08150-7.
74. Осава, Такео (10 декабря 2018 г.). L2-подходы с несколькими комплексными переменными: к теории Оки-Картана с точными границами. Монографии Спрингера по математике. дои : 10.1007/978-4-431-55747-0. ISBN 9784431568513.
75. Ногучи, Дзюнджиро (2019), «Теорема о слабой когерентности и замечания к теории Оки» (PDF) , Kodai Math. J. , 42 (3): 566–586, arXiv : 1704.07726 , doi : 10.2996/kmj/1572487232, S2CID  119697608
76. Грауэрт, Х.; Реммерт, Р. (6 декабря 2012 г.). Когерентные аналитические пучки. Спрингер. п. 60. ИСБН 978-3-642-69582-7.
77. Грауэрт, Х.; Реммерт, Р. (6 декабря 2012 г.). Когерентные аналитические пучки. Спрингер. п. 84. ИСБН 978-3-642-69582-7.
78. Демайи, Жан-Пьер. «Основные результаты по пучкам и аналитическим наборам» (PDF) . Институт Фурье.
79. Грауэрт, Ганс; Реммерт, Рейнхольд (1984). «Нормализация сложных пространств». Когерентные аналитические пучки . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 265. стр. 152–166. дои : 10.1007/978-3-642-69582-7_8. ISBN 978-3-642-69584-1.
80. Кузен, Пьер (1895). «Сюр-ле-функции комплексов n переменных». Акта Математика . 19 : 1–61. дои : 10.1007/BF02402869 .
81. Ока, Киёси (1939). «Sur les fonctions Analytiques de Plusieurs переменных. III – Вторая проблема Кузена». Научный журнал Хиросимского университета . 9 :7–19. дои : 10.32917/hmj/1558490525 .
82. Серр, Жан-Пьер (2003). «Quelques problèmes globaux relatifs aux variétés de Stein». Oeuvres - Сборник статей I (на французском языке). Шпрингер Берлин Гейдельберг. п. XXIII, 598. ISBN. 978-3-642-39815-5.
83. Ока, Киёси (1936). «Sur les fonctions Analytiques de Plusieurs переменных. I. Выпуклые области по взаимосвязи с рациональными функциями». Научный журнал Хиросимского университета . 6 : 245–255. дои : 10.32917/hmj/1558749869 .
84. Ока, Киёси (1937). «Sur les fonctions Analytiques de Plusieurs переменных. II – Domaines d'holomorphie». Научный журнал Хиросимского университета . 7 : 115–130. дои : 10.32917/hmj/1558576819 .
85. Серр, Ж. -П. «Приложения общей теории к различным глобальным проблемам». Семинар Анри Картана . 4 : 1–26.
86. Weyl, Hermann (2009) [1913], Концепция римановой поверхности (3-е изд.), Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-47004-7, МР  0069903
87. Генрих Бенке и Карл Штайн (1948), «Entwicklung analytischer Funktionen auf Riemannschen Flächen», Mathematische Annalen , 120 : 430–461, doi : 10.1007/BF01447838, S2CID  122535410, Zbl  0038.23502
88. Ганнинг, RC; Нарасимхан, Рагхаван (1967). «Погружение открытых римановых поверхностей». Математические Аннален . 174 (2): 103–108. дои : 10.1007/BF01360812. S2CID  122162708.
89. Форнэсс, Дж. Э.; Форстнерик, Ф; Уолд, ЭФ (2020). «Наследие Вейерштрасса, Рунге, Оки-Вейля и Мергеляна». В Бреазе, Дэниел; Рассиас, Майкл Т. (ред.). Достижения в комплексном анализе – голоморфная аппроксимация . Спрингер Природа . стр. 133–192. arXiv : 1802.03924 . дои : 10.1007/978-3-030-40120-7. ISBN 978-3-030-40119-1. S2CID  220266044.
90. Пати, Имре (2011). «О комплексных банаховых многообразиях, подобных многообразиям Штейна». Comptes Rendus Mathematique . 349 (1–2): 43–45. arXiv : 1010.3738 . дои : 10.1016/j.crma.2010.11.020. S2CID  119631664.
91. Штейн, Карл (1951), "Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Issue", Math. Анна. (на немецком языке), 123 : 201–222, doi : 10.1007/bf02054949, MR  0043219, S2CID  122647212
92. Ногучи, Дзюнджиро (2011). «Еще одно прямое доказательство теоремы Оки (Ока IX)» (PDF) . Дж. Математика. наук. унив. Токио . 19 (4). arXiv : 1108.2078 . МР  3086750.
93. Грауэрт, Ганс (1955). «Характеристики голоморфных комплексов». Математические Аннален . 129 : 233–259. дои : 10.1007/BF01362369. S2CID  122840967.
94. Картан, Анри (1957). «Аналитические вариации и комплексы аналитических разновидностей». Бюллетень математического общества Франции . 85 : 77–99. дои : 10.24033/bsmf.1481 .
95. Барт, Теодор Дж. (1968). «Семейства неотрицательных делителей». Пер. амер. Математика. Соц . 131 : 223–245. дои : 10.1090/S0002-9947-1968-0219751-3 .
96. Бремерманн, Ганс Дж. (1957). «О теореме Оки для многообразий Штейна». Семинары по аналитическим функциям. Институт перспективных исследований (Принстон, Нью-Джерси) . 1 : 29–35. Збл  0192.18304.
97. Сибони, Нессим (2018). «Задача Леви в комплексных многообразиях». Математические Аннален . 371 (3–4): 1047–1067. arXiv : 1610.07768 . дои : 10.1007/s00208-017-1539-x. S2CID  119670805.
98. Грауэрт, Ганс (1963). «Bemerkenswerte pseudokonvex Mannigfaltigkeiten». Mathematische Zeitschrift . 81 (5): 377–391. дои : 10.1007/BF01111528. S2CID  122214512.
99. Ханс Грауэрт (1958), «О проблеме Леви и вложении вещественно-аналитических многообразий», Анналы математики , вторая серия, 68 (2): 460–472, doi : 10.2307/1970257, JSTOR  1970257, Zbl  0108.07804
100. Нарасимхан, Рагхаван (1961). «Задача Леви для комплексных пространств». Математические Аннален . 142 (4): 355–365. дои : 10.1007/BF01451029. S2CID  120565581.
101. Нарасимхан, Рагхаван (1962). «Проблема Леви для комплексных пространств II». Математические Аннален . 146 (3): 195–216. дои : 10.1007/BF01470950. S2CID  179177434.
102. Колтойу, Михня (2009). «Проблема Леви в пространствах Штейна с особенностями. Обзор». arXiv : 0905.2343 [math.CV].
103. Форнес, Джон Эрик; Сибони, Нессим (2001). «Некоторые открытые проблемы многомерного комплексного анализа и сложной динамики». Публикации Matemàtiques . 45 (2): 529–547. дои : 10.5565/PUBLMAT_45201_11. JSTOR  43736735.
104. Осава, Такео (10 декабря 2018 г.). L2-подходы с несколькими комплексными переменными: к теории Оки-Картана с точными границами. Монографии Спрингера по математике. дои : 10.1007/978-4-431-55747-0. ISBN 9784431568513.
105. Андреотти, Альдо; Нарасимхан, Рагхаван (1964). «Хефтунгсмлемма Оки и проблема Леви для комплексных пространств». Труды Американского математического общества . 111 (2): 345–366. дои : 10.1090/S0002-9947-1964-0159961-3 . JSTOR  1994247.
106. Рагхаван, Нарасимхан (1960). «Вложение голоморфно полных комплексных пространств». Американский журнал математики . 82 (4): 917–934. дои : 10.2307/2372949. JSTOR  2372949.
107. Элиашберг, Яков; Громов, Михаил (1992). «Вложения многообразий Штейна размерности n в аффинное пространство размерности 3n/2 +1». Анналы математики . Вторая серия. 136 (1): 123–135. дои : 10.2307/2946547. JSTOR  2946547.
108. Реммерт, Рейнхольд (1956). «Sur les espaces Analytiques Holomorphiquement Separables et Holomorphiquement Buildes». Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences de Paris (на французском языке). 243 : 118–121. Збл  0070.30401.
109. Форстер, Отто (1967). «Некоторые замечания о параллелизуемых многообразиях Штейна». Бюллетень Американского математического общества . 73 (5): 712–716. дои : 10.1090/S0002-9904-1967-11839-1 .
110. Симха, Р.Р. (1989). «Теорема Бенке-Штайна для открытых римановых поверхностей». Труды Американского математического общества . 105 (4): 876–880. дои : 10.1090/S0002-9939-1989-0953748-X . JSTOR  2047046.
111. Онищик, А. Л. (2001) [1994], «Проблема Леви», Энциклопедия математики , EMS Press
112. Осава, Такео (1982). «Область Штейна с гладкой границей, имеющая структуру произведения». Публикации НИИ математических наук . 18 (3): 1185–1186. дои : 10.2977/prims/1195183303 .
113. Ниман, Амнон (1988). «Штейнс, Аффины и четырнадцатая проблема Гильберта». Анналы математики . 127 (2): 229–244. дои : 10.2307/2007052. JSTOR  2007052.
114. Миранда, Рик (1995). Алгебраические кривые и римановы поверхности. Аспирантура по математике. Том. 5. дои : 10.1090/gsm/005. ISBN 9780821802687.
115. Арапура, Дону (15 февраля 2012 г.). Алгебраическая геометрия над комплексными числами. Спрингер. ISBN 9781461418092.
116. Данилов, В.И. (1996). «Когомологии алгебраических многообразий». Алгебраическая геометрия II. Энциклопедия математических наук. Том. 35. стр. 1–125. дои : 10.1007/978-3-642-60925-1_1. ISBN 978-3-642-64607-2.
117. Хартсхорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия. Тексты для аспирантов по математике. Том. 52. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. МР  0463157. S2CID  197660097. Збл  0367.14001.
118. Кодайра, Кунихико (1951). «Теорема Римана-Роха о компактных аналитических поверхностях». Американский журнал математики . 73 (4): 813–875. дои : 10.2307/2372120. JSTOR  2372120.
119. Кодайра, Кунихико (1952). «Теорема Римана-Роха для сопряженных систем на трехмерных алгебраических многообразиях». Анналы математики . 56 (2): 298–342. дои : 10.2307/1969802. JSTOR  1969802.
120. Кодайра, Кунихико (1952). «К теореме Римана-Роха для сопряженных систем на келеровых многообразиях». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 38 (6): 522–527. Бибкод : 1952PNAS...38..522K. дои : 10.1073/pnas.38.6.522 . JSTOR  88542. PMC 1063603 . ПМИД  16589138. 
121. Серр, Жан-Пьер (1955), «Un theorème de Dualité», Commentarii Mathematici Helvetici , 29 : 9–26, doi : 10.1007/BF02564268, MR  0067489, S2CID  123643759
122. Картан, Анри; Серр, Жан-Пьер (1953). «Теорема конечности, касающаяся компактных аналитических разновидностей». Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences de Paris . 237 : 128–130. Збл  0050.17701.
123. Брынзанеску, Василе (1996). «Векторные расслоения над комплексными многообразиями». Голоморфные векторные расслоения над компактными комплексными поверхностями . Конспект лекций по математике. Том. 1624. стр. 1–27. дои : 10.1007/BFb0093697. ISBN 978-3-540-61018-2.
124. Вейль, А. (1938). «Zur алгебраическая теория алгебраических функций. (Aus einem Brief an H. Hasse.)». Журнал для королевы и математики . 179 : 129–133. дои : 10.1515/crll.1938.179.129. S2CID  116472982.
125. Хирцебрух, Фридрих (1966). Топологические методы в алгебраической геометрии . дои : 10.1007/978-3-642-62018-8. ISBN 978-3-540-58663-0.
126. Бертло, Пьер (1971). Александр Гротендик; Люк Иллюзи (ред.). Теория пересечений и теория Римана-Роха . Конспект лекций по математике. Том. 225. Springer Science+Business Media. стр. xii+700. дои : 10.1007/BFb0066283. ISBN 978-3-540-05647-8.
127. Борель, Арман; Серр, Жан-Пьер (1958). «Теорема Римана-Роха». Бюллетень математического общества Франции . 86 : 97–136. дои : 10.24033/bsmf.1500 . МР  0116022.
128. Кодайра, К. (1954). «О многообразиях Калера ограниченного типа (внутренняя характеристика алгебраических многообразий)». Анналы математики . Вторая серия. 60 (1): 28–48. дои : 10.2307/1969701. JSTOR  1969701.
129. Чоу, Вэй-Лян (1949). «О компактных комплексных аналитических многообразиях». Американский журнал математики . 71 (2): 893–914. дои : 10.2307/2372375. JSTOR  2372375.
130. Осава, Такео (2012). «О дополнении эффективных дивизоров с полуположительным нормальным расслоением». Киотский математический журнал . 52 (3). дои : 10.1215/21562261-1625181 . S2CID  121799985.
131. Мацумото, Казуко (2018). «Равенство Такеучи для формы Леви расстояния Фубини – Стьюди до комплексных подмногообразий в комплексных проективных пространствах». Кюсюский математический журнал . 72 (1): 107–121. дои : 10.2206/kyushujm.72.107 .
132. Такеучи, Акира (1964). «Бесконечные псевдовыпуклые области и римские метрики в космических проектах». Журнал Математического общества Японии . 16 (2). дои : 10.2969/jmsj/01620159 . S2CID  122894640.
133. Калаби, Эудженио; Экманн, Бено (1953). «Класс компактных комплексных многообразий, не являющихся алгебраическими». Анналы математики . 58 (3): 494–500. дои : 10.2307/1969750. JSTOR  1969750.

Учебники

• Бенке, Х.; Таллен, П. (1934). Theorie der Funktionen mehrerer complexer Veränderlichen . дои : 10.1007/978-3-642-99659-7. ISBN 978-3-642-98844-8.
• Бохнер, С.; Мартин, WT (1948). Несколько комплексных переменных . Принстонский математический ряд. Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-598-34865-4.
• Форстер, Отто (1981). Лекции по римановым поверхностям . Текст для выпускников по математике. Том. 81. Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN 0-387-90617-7.
• Фукс, Б.А. (1962). Введение в аналитические функции многих комплексных функций . ОСЛК  896179082.
  • Фукс, Борис Абрамович (1963). Теория аналитических функций многих комплексных переменных . Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-4428-0.
• Картан, Анри; Такахаши, Рейджи (1992). Théorie élémentaire des fonctions Analytiques d'une или plusieurs комплексы переменных (на французском языке) (6-е изд., новое изд.). Париж: Германн. п. 231. ИСБН 9782705652159.
  • Картан, Анри (1992). Элементарная теория аналитических функций одной или нескольких комплексных переменных. Курьерская корпорация. п. 228. ИСБН 9780486318677.
• Фрайтаг, Эберхард (2011). Комплексный анализ 2: римановы поверхности, несколько комплексных переменных, абелевы функции, высшие модульные функции. Университетский текст (2-е изд.). Спрингер. дои : 10.1007/978-3-642-20554-5. ISBN 978-3-642-20554-5.
• Форстнерич, Франк (2011). Многообразия Штейна и голоморфные отображения . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге / Серия современных обзоров по математике. Том. 56. дои : 10.1007/978-3-642-22250-4. ISBN 978-3-642-22249-8.
• Грауэрт, Ганс; Реммерт, Рейнхольд (1979), Теория пространств Штейна , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 236, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 3-540-90388-7, МР  0580152
• Шабат, Б.В. (1985). Введение в комплексный анализ Введение в комплексный анализ . Наука, Глав. красный. физико-математической лит-ры, Москва. ОСЛК  14003250.
  • Введение в комплексный анализ. Часть II. Функции нескольких переменных . Переводы математических монографий. Том. 110. 1992. дои : 10.1090/mmono/110. ISBN 9780821819753.
• Ларс Хёрмандер (1990) [1966], Введение в комплексный анализ нескольких переменных (3-е изд.), Северная Голландия, ISBN 978-1-493-30273-4
• Ганнинг, Роберт Клиффорд; Росси, Хьюго (2009). Аналитические функции нескольких комплексных переменных. Американское математическое соц. ISBN 978-0-8218-2165-7.
• Кауп, Людгер; Кауп, Бурхард (9 мая 2011 г.). Голоморфные функции многих переменных: введение в фундаментальную теорию. Вальтер де Грюйтер. ISBN 9783110838350.
• Кодайра, Кунихико (17 ноября 2004 г.). Сложные многообразия и деформация сложных структур. Классика по математике. Спрингер. дои : 10.1007/b138372. ISBN 3-540-22614-1.
• Кранц, Стивен Г. (1992). Теория функций нескольких комплексных переменных (второе изд.). Издательство AMS Челси. п. 340. дои :10.1090/чел/340. ISBN 978-0-8218-2724-6.
• Голоморфные функции и интегральные представления от нескольких комплексных переменных . Тексты для аспирантов по математике. Том. 108. 1986. doi :10.1007/978-1-4757-1918-5. ISBN 978-1-4419-3078-1.
• Введение в комплексный анализ с несколькими переменными . 2005. doi : 10.1007/3-7643-7491-8. ISBN 3-7643-7490-Х.
• Ногучи, Дзюнджиро (2016). Аналитическая теория функций многих переменных. Элементы когерентности Оки . п. XVIII, 397. doi :10.1007/978-981-10-0291-5. ISBN 978-981-10-0289-2. S2CID  125752012.
• Владимиров Василий Сергеевич; Technica, Scripta (январь 2007 г.). Методы теории функций многих комплексных переменных. Курьерская корпорация. ISBN 9780486458120.

Энциклопедия математики

• Гончар А.А.; Шабат, Б.В. (2001) [1994], «Аналитическая функция», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Соломенцев, Э.Д. (2001) [1994], «Степеньевой ряд», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Биголоморфное отображение», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Соломенцев, Э.Д. (2001) [1994], «Домен Рейнхардта», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Чирка, Э.М. (2001) [1994], «Теорема Хартогса», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Гончар А.А.; Владимиров В.С. (2001) [1994], «Область голоморфности», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Онищик, А.Л. (2001) [1994], «Псевдовыпуклые и псевдовогнутые», Энциклопедия математики , EMS Press
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Плюрисубгармоническая функция», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Данилов, В.И. (2001) [1994], «Квазикогерентный пучок», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Онищик А.Л. (2001) [1994], «Связный пучок», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Онищик А.Л. (2001) [1994], «Связный аналитический пучок», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Данилов, В.И. (2001) [1994], «Связный алгебраический пучок», Энциклопедия математики , EMS Press
• Чирка, Э.М. (2001) [1994], «Теоремы Оки», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Чирка, Э.М. (2001) [1994], «Проблемы кузена», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Онищик, А.Л. (2001) [1994], «Многообразие Штейна», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Паршин, А.Н. (2001) [1994], «Теоремы конечности», Математическая энциклопедия , EMS Press

дальнейшее чтение

• Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Тексты для аспирантов по математике. Том. 52. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. МР  0463157. S2CID  197660097. Збл  0367.14001.
• Кранц, Стивен Г. (1987), «Что такое несколько комплексных переменных?», The American Mathematical Monthly , 94 (3): 236–256, doi : 10.2307/2323391, JSTOR  2323391
• Сибах, Дж. Артур; Зеебах, Линда А.; Стин, Линн А. (1970). «Что такое сноп?». Американский математический ежемесячник . 77 (7): 681–703. дои : 10.2307/2316199. JSTOR  2316199.
• Ока, Киёси (1984), Реммерт Р. (редактор), Сборник статей , Springer-Verlag Berlin Heidelberg, стр. XIV, 226, ISBN 978-3-662-43412-3
• Мартин, WT (1956). «Научный отчет по второму летнему институту, несколько комплексных переменных. Часть I. Отчет по аналитическому семинару». Бюллетень Американского математического общества . 62 (2): 79–102. дои : 10.1090/S0002-9904-1956-10013-X .
• Черн, Шиинг-Шен (1956). «Научный отчет по второму летнему институту, несколько комплексных переменных. Часть II. Комплексные многообразия». Бюллетень Американского математического общества . 62 (2): 101–118. дои : 10.1090/S0002-9904-1956-10015-3 .
• Зариски, Оскар (1956). «Научный отчет по второму летнему институту, несколько комплексных переменных. Часть III. Теория алгебраических пучков». Бюллетень Американского математического общества . 62 (2): 117–142. дои : 10.1090/S0002-9904-1956-10018-9 .
• Реммерт, Рейнхольд (1998). «От римановых поверхностей к комплексным пространствам» (PDF) . Семинары и конгрессы . Збл  1044.01520.

Внешние ссылки

• Книга с открытым исходным кодом «Вкусные кусочки нескольких сложных переменных» Иржи Лебля
• Сложная аналитическая и дифференциальная геометрия (книга OpenContent, см. B2)
• Демайи, Жан-Пьер (2012). «Анри Картан и голоморфные функции плюсовых переменных» (PDF) . В Харинке, Паскаль; Плань, Ален; Саббах, Клод (ред.). Анри Картан и Андре Вейль. Математики XXesiecle. Journées mathématiques X-UPS, Палезо, Франция, 3–4 мая 2012 г. Палезо: Les Éditions de l'École Polytechnique. стр. 99–168. ISBN 978-2-7302-1610-4.
• Виктор Гиймен. 18.117. Темы с несколькими комплексными переменными. Весна 2005 г. Массачусетский технологический институт: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. Лицензия: Creative Commons BY-NC-SA .
• В эту статью включены материалы из следующих статей PlanetMath , которые доступны по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike : домен Рейнхардта, голоморфно выпуклый, домен голоморфности, полидиск, биголоморфно эквивалентный, псевдовыпуклый Леви, псевдовыпуклый, функция исчерпания.