stringtranslate.com

Род g поверхность

В математике поверхность рода g (также известная как g -тор или g -дырчатый тор ) — это поверхность , образованная связной суммой g различных торов : внутренняя часть диска удаляется из каждого из g различных торов и границ из g отождествляются (склеиваются) многие диски, образующие g -тор. Род такой поверхности — g .

Поверхность рода g представляет собой двумерное многообразие . Теорема классификации поверхностей утверждает, что каждое компактное связное двумерное многообразие гомеоморфно либо сфере, либо связной сумме торов, либо связной сумме вещественных проективных плоскостей .

Определение рода

Род связной ориентируемой поверхности представляет собой целое число , представляющее максимальное количество разрезов по непересекающимся замкнутым простым кривым, не делая результирующее многообразие несвязным. [1] Оно равно количеству дескрипторов на нем. В качестве альтернативы его можно определить через эйлерову характеристику χ через соотношение χ  = 2 − 2 g для замкнутых поверхностей , где g — род.

Род (иногда называемый полуродом или родом Эйлера) связной неориентируемой замкнутой поверхности представляет собой целое положительное число, представляющее количество перекрестных шапочек, прикрепленных к сфере. В качестве альтернативы его можно определить для замкнутой поверхности в терминах эйлеровой характеристики χ через соотношение χ = 2 − g , где g — неориентируемый род.

Род 0

Ориентируемой поверхностью нулевого рода является сфера S2 . Другая поверхность нулевого рода — это диск .

Род 1

Ориентируемая поверхность рода один представляет собой обыкновенный тор. Неориентируемой поверхностью рода один является проективная плоскость . [2]

Эллиптические кривые над комплексными числами можно отождествить с поверхностями рода 1. Формулировка эллиптических кривых как вложения тора в комплексную проективную плоскость естественным образом вытекает из свойства эллиптических функций Вейерштрасса , которое позволяет получать эллиптические кривые из фактора комплексной плоскости по решетке . [3]

Род 2

Термин двойной тор иногда используется для обозначения поверхности рода 2. [4] [5] Неориентируемая поверхность второго рода — это бутылка Клейна .

Поверхность Больца является наиболее симметричной римановой поверхностью рода 2 в том смысле ,  что она имеет максимально возможную группу конформных автоморфизмов . [6]

Род 3

Термин тройной тор также иногда используется для обозначения поверхности рода 3. [7] [5]

Квартика Клейна — компактная риманова поверхность рода 3 с группой автоморфизмов максимально возможного порядка для компактных римановых поверхностей рода 3. Она имеет 168 сохраняющих ориентацию автоморфизмов и всего 336 автоморфизмов.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Манкрес, Джеймс Р. Топология. Том. 2. Река Аппер-Седл: Прентис-Холл, 2000.
  2. ^ Бредон, Глен Э. (1993). Топология и геометрия . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-97926-3.
  3. ^ Сильверман, Джозеф Х. (1986). Арифметика эллиптических кривых . Тексты для аспирантов по математике. Том. 106. Шпрингер-Верлаг. ISBN 0-387-96203-4.
  4. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Двойной тор». Математический мир .
  5. ^ аб Майорга, Луис С.; Мэйсон, Диего (2024). «Тайный балет внутри мультивезикулярных тел». АСУ Нано . 18 (24): 15651. doi :10.1021/acsnano.4c01590.
  6. ^ Больца, Оскар (1887), «О бинарных секстиках с линейными преобразованиями в себя», American Journal of Mathematics , 10 (1): 47–70, doi : 10.2307/2369402, JSTOR  2369402
  7. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Тройной Тор». Математический мир .
  8. ^ ab Юрген Йост, (1997) «Компактные римановы поверхности: введение в современную математику», Springer

Источники