В математике поверхность рода g (также известная как g -тор или g -дырчатый тор ) — это поверхность , образованная связной суммой g различных торов : внутренняя часть диска удаляется из каждого из g различных торов и границ из g отождествляются (склеиваются) многие диски, образующие g -тор. Род такой поверхности — g .
Поверхность рода g представляет собой двумерное многообразие . Теорема классификации поверхностей утверждает, что каждое компактное связное двумерное многообразие гомеоморфно либо сфере, либо связной сумме торов, либо связной сумме вещественных проективных плоскостей .
Род связной ориентируемой поверхности представляет собой целое число , представляющее максимальное количество разрезов по непересекающимся замкнутым простым кривым, не делая результирующее многообразие несвязным. [1] Оно равно количеству дескрипторов на нем. В качестве альтернативы его можно определить через эйлерову характеристику χ через соотношение χ = 2 − 2 g для замкнутых поверхностей , где g — род.
Род (иногда называемый полуродом или родом Эйлера) связной неориентируемой замкнутой поверхности представляет собой целое положительное число, представляющее количество перекрестных шапочек, прикрепленных к сфере. В качестве альтернативы его можно определить для замкнутой поверхности в терминах эйлеровой характеристики χ через соотношение χ = 2 − g , где g — неориентируемый род.
Ориентируемой поверхностью нулевого рода является сфера S2 . Другая поверхность нулевого рода — это диск .
Ориентируемая поверхность рода один представляет собой обыкновенный тор. Неориентируемой поверхностью рода один является проективная плоскость . [2]
Эллиптические кривые над комплексными числами можно отождествить с поверхностями рода 1. Формулировка эллиптических кривых как вложения тора в комплексную проективную плоскость естественным образом вытекает из свойства эллиптических функций Вейерштрасса , которое позволяет получать эллиптические кривые из фактора комплексной плоскости по решетке . [3]
Термин двойной тор иногда используется для обозначения поверхности рода 2. [4] [5] Неориентируемая поверхность второго рода — это бутылка Клейна .
Поверхность Больца является наиболее симметричной римановой поверхностью рода 2 в том смысле , что она имеет максимально возможную группу конформных автоморфизмов . [6]
Термин тройной тор также иногда используется для обозначения поверхности рода 3. [7] [5]
Квартика Клейна — компактная риманова поверхность рода 3 с группой автоморфизмов максимально возможного порядка для компактных римановых поверхностей рода 3. Она имеет 168 сохраняющих ориентацию автоморфизмов и всего 336 автоморфизмов.