Диск (математика)

Плоская фигура, ограниченная кругом

Диск с

  окружность С

  диаметр D

  радиус R

  центр или начало координат O

В геометрии диск ( также пишется диск ) ^[1] — это область на плоскости , ограниченная кругом . Диск называется замкнутым, если он содержит окружность, образующую его границу, и открытым , если его нет. ^[2]

Для радиуса открытый диск обычно обозначается как, а закрытый диск — . Однако в области топологии закрытый диск обычно обозначается как открытый диск . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle D_{r}}$ ${\displaystyle {\overline {D_{r}}}}$ ${\displaystyle D^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} D^{2}}$

Формулы

В декартовых координатах открытый диск с центром и радиусом R определяется формулой: ^[1] ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle D=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}<R^{2}\}}$

в то время как закрытый диск с тем же центром и радиусом определяется выражением:

${\displaystyle {\overline {D}}=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\leq R^{2}\}.}$

Площадь закрытого или открытого диска радиуса R равна π R ² ( см. площадь диска ). ^[3]

Характеристики

Диск имеет круговую симметрию . ^[4]

Открытый диск и закрытый диск топологически не эквивалентны (то есть не гомеоморфны ), так как обладают топологическими свойствами, отличными друг от друга. Например, каждый закрытый диск компактен, тогда как каждый открытый диск не компактен. ^[5] Однако с точки зрения алгебраической топологии они обладают многими общими свойствами: оба они стягиваемы ^[6] и поэтому гомотопически эквивалентны одной точке. Отсюда следует, что их фундаментальные группы тривиальны, а все группы гомологий тривиальны, кроме 0-й, изоморфной Z . Эйлерова характеристика точки (а значит, и характеристики замкнутого или открытого диска) равна 1. ^[7]

Каждое непрерывное отображение замкнутого диска в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку (мы не требуем, чтобы отображение было биективным или даже сюръективным ); это случай n = 2 теоремы Брауэра о неподвижной точке . ^[8] Для открытого диска утверждение неверно: ^[9]

Рассмотрим, например, функцию , которая отображает каждую точку открытого единичного диска в другую точку открытого единичного диска справа от заданной. Но для замкнутого единичного диска он фиксирует каждую точку полукруга. ${\displaystyle f(x,y)=\left({\frac {x+{\sqrt {1-y^{2}}}}{2}},y\right)}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,x>0.}$

Как статистическое распределение

Среднее расстояние до локации от точек на диске

В статистике иногда встречается равномерное распределение на единичном круговом диске. Чаще всего это происходит при исследовании операций в области математики городского планирования, где его можно использовать для моделирования населения в городе. В других целях можно воспользоваться тем фактом, что это распределение, для которого легко вычислить вероятность того, что заданный набор линейных неравенств будет удовлетворен. ( Гауссово распределение на плоскости требует числовой квадратуры .)

«Гениальный аргумент с помощью элементарных функций» показывает, что среднее евклидово расстояние между двумя точками диска равно128/45π≈ 0,90541 , ^[10] в то время как прямое интегрирование в полярных координатах показывает, что среднеквадратичное расстояние равно 1 .

Если нам дано произвольное место на расстоянии q от центра диска, то также представляет интерес определить среднее расстояние b ( q ) от точек распределения до этого места и средний квадрат таких расстояний. Последнее значение можно вычислить непосредственно как q ² +1/2.

Среднее расстояние до произвольной внутренней точки

Среднее расстояние от диска до внутренней точки

Чтобы найти b ( q ), нам нужно отдельно рассмотреть случаи, когда местоположение является внутренним или внешним, т.е. когда q ≶ 1 , и мы обнаруживаем, что в обоих случаях результат может быть выражен только через полные эллиптические интегралы .

Если мы рассматриваем внутреннее местоположение, наша цель (глядя на диаграмму) состоит в том, чтобы вычислить ожидаемое значение r при распределении, плотность которого равна1/πдля 0 ≤ r ≤ s (θ) интегрирование в полярных координатах с центром в фиксированном месте, для которого площадь ячейки равна r d r dθ  ; следовательно $${\displaystyle b(q)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\textrm {d}}\theta \int _{0}^{s(\theta )}r^{2}{\textrm {d}}r={\frac {1}{3\pi }}\int _{0}^{2\pi }s(\theta )^{3}{\textrm {d}}\theta .}$$

Здесь s (θ) можно найти через q и θ, используя закон косинусов . Шаги, необходимые для вычисления интеграла, вместе с несколькими ссылками можно найти в статье Лью и др.; В ^[10] результат таков: где K и E — полные эллиптические интегралы первого и второго рода. ^[11] б (0) = $${\displaystyle b(q)={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}4(q^{2}-1)K(q^{2})+(q^{2}+7)E(q^{2}){\biggr \}}}$$ 2/3; б (1) =32/9π≈ 1,13177 .

Среднее расстояние до произвольной внешней точки

Среднее расстояние от диска до внешней точки

Обращаясь к внешнему расположению, мы можем аналогичным образом настроить интеграл, на этот раз получив

$${\displaystyle b(q)={\frac {2}{3\pi }}\int _{0}^{{\textrm {sin}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}s_{+}(\theta )^{3}-s_{-}(\theta )^{3}{\biggr \}}{\textrm {d}}\theta }$$где закон косинусов говорит нам, что s ₊ (θ) и s _– (θ) являются корнями для s уравнения. Следовательно, мы можем заменить u = q sinθ , чтобы получить использование стандартных интегралов. ^[12] $${\displaystyle s^{2}-2qs\,{\textrm {cos}}\theta +q^{2}\!-\!1=0.}$$ $${\displaystyle b(q)={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{{\textrm {sin}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}3q^{2}{\textrm {cos}}^{2}\theta {\sqrt {1-q^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta }}+{\Bigl (}1-q^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta {\Bigr )}^{\tfrac {3}{2}}{\biggl \}}{\textrm {d}}\theta .}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}b(q)&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}{\biggl \{}3{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}+{\frac {(1-u^{2})^{\tfrac {3}{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0.6ex]&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}{\biggl \{}4{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}-{\frac {q^{2}-1}{q}}{\frac {\sqrt {1-u^{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0.6ex]&={\frac {4}{3\pi }}{\biggl \{}{\frac {4q}{3}}{\biggl (}(q^{2}+1)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-(q^{2}-1)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}-(q^{2}-1){\biggl (}qE({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}{\biggr \}}\\[0.6ex]&={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}q(q^{2}+7)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}(q^{2}+3)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr \}}\end{aligned}}}$$

Следовательно, снова b (1) =32/9π, а также ^[13] $${\displaystyle \lim _{q\to \infty }b(q)=q+{\tfrac {1}{8q}}.}$$

Смотрите также

• Единичный диск , диск радиуса один
• Кольцо (математика) , область между двумя концентрическими кругами.
• Шар (математика) — обычный термин для обозначения трёхмерного аналога диска.
• Дисковая алгебра , пространство функций на диске.
• Круглый сегмент
• Ортоцентроидальный диск , содержащий определенные центры треугольника.

Рекомендации

1. Клэпхэм, Кристофер; Николсон, Джеймс (2014), Краткий Оксфордский математический словарь, Oxford University Press, стр. 138, ISBN 9780199679591.
2. Арнольд, Б.Х. (2013), Интуитивные концепции в элементарной топологии, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, стр. 58, ISBN 9780486275765.
3. Ротман, Джозеф Дж. (2013), «Путешествие в математику: введение в доказательства», Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, стр. 44, ISBN 9780486151687.
4. Альтманн, Саймон Л. (1992). Иконы и симметрии . Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780198555995. круговая симметрия диска.
5. Модлин, Тим (2014), Новые основы физической геометрии: теория линейных структур, Oxford University Press, стр. 339, ISBN 9780191004551.
6. Коэн, Дэниел Э. (1989), Комбинаторная теория групп: топологический подход, Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 14, Издательство Кембриджского университета, с. 79, ISBN 9780521349369.
7. В более высоких измерениях эйлерова характеристика закрытого шара остается равной +1, но эйлерова характеристика открытого шара равна +1 для четномерных шаров и -1 для нечетномерных шаров. См. Клейн, Дэниел А.; Рота, Джан-Карло (1997), Введение в геометрическую вероятность , Lezioni Lincee, Cambridge University Press, стр. 46–50..
8. Арнольд (2013), с. 132.
9. Арнольд (2013), Исх. 1, с. 135.
10. Дж. С. Лью и др., «О средних расстояниях в круглом диске» (1977).
11. Абрамовиц и Стегун , 17.3.
12. Градштейн и Рыжик 3.155.7 и 3.169.9, с учетом разницы в обозначениях Абрамовица и Стегуна. (Сравните A&S 17.3.11 с G&R 8.113.) Эта статья соответствует обозначениям A&S.
13. Абрамовиц и Стегун, 17.3.11 и далее.