Орбифолд

Эту терминологию не следует винить во мне. Она была получена демократическим путем в ходе моего курса 1976–77 гг. Орбифолд — это нечто со многими складками; к сожалению, слово «многообразие» уже имеет другое определение. Я попробовал «foldamani», которое было быстро заменено предложением «многообразный». После двух месяцев терпеливых заявлений «нет, не многообразие, многообразие мертво », мы провели голосование, и «орбифолд» победил.

Терстон (1978–1981, стр. 300, раздел 13.2) объясняет происхождение слова «орбифолд»

В математических дисциплинах топологии и геометрии орбифолд (от "орбит-многообразие") является обобщением многообразия . Грубо говоря, орбифолд - это топологическое пространство , которое локально является конечным групповым фактором евклидова пространства .

Определения орбифолда давались несколько раз: Ичиро Сатаке в контексте автоморфных форм в 1950-х годах под названием V-многообразие ; ^[1] Уильямом Терстоном в контексте геометрии 3-многообразий в 1970-х годах ^[2] , когда он придумал название орбифолд после голосования своих студентов; и Андре Хефлигером в 1980-х годах в контексте программы Михаила Громова по пространствам CAT(k) под названием орбиэдр . ^[3]

Исторически орбифолды впервые возникли как поверхности с особыми точками задолго до того, как они были формально определены. ^[4] Один из первых классических примеров возник в теории модулярных форм ^[5] с действием модулярной группы на верхней полуплоскости : версия теоремы Римана–Роха справедлива после того, как фактор компактифицируется добавлением двух точек возврата орбифолда. В теории 3-многообразий теория волокнистых пространств Зейферта , инициированная Гербертом Зейфертом , может быть сформулирована в терминах 2-мерных орбифолдов. ^[6] В геометрической теории групп , после Громова, дискретные группы изучались в терминах локальных свойств кривизны орбиэдров и их накрывающих пространств. ^[7] $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z})$

В теории струн слово «орбифолд» имеет несколько иное значение, ^[8] подробно обсуждаемое ниже. В двумерной конформной теории поля оно относится к теории, присоединенной к подалгебре неподвижной точки вершинной алгебры под действием конечной группы автоморфизмов .

Основным примером базового пространства является факторпространство многообразия под действием, возможно, бесконечной группы диффеоморфизмов с конечными подгруппами изотропии . ^[9] В частности, это применимо к любому действию конечной группы ; таким образом, многообразие с границей несет естественную орбифолдную структуру, поскольку оно является фактором своего двойника по действию . $\mathbb {Z} _{2}$

Одно топологическое пространство может нести различные структуры орбифолда. Например, рассмотрим орбифолд O , связанный с факторпространством 2-сферы вдоль поворота на ; он гомеоморфен 2-сфере, но естественная структура орбифолда отличается. Можно перенять большинство характеристик многообразий для орбифолдов, и эти характеристики обычно отличаются от соответствующих характеристик базового пространства. В приведенном выше примере фундаментальная группа орбифолда O равна , а ее эйлерова характеристика орбифолда равна 1. $\пи$ $\mathbb {Z} _{2}$

Формальные определения

Определение с использованием орбифолдного атласа

Подобно многообразию, орбифолд определяется локальными условиями; однако, вместо того, чтобы локально моделироваться на открытых подмножествах , орбифолд локально моделируется на факторах открытых подмножеств по действиям конечной группы. Структура орбифолда кодирует не только структуру базового факторпространства, которое не обязательно должно быть многообразием, но и структуру подгрупп изотропии . $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

-мерный орбифолд — это топологическое пространство Хаусдорфа , называемое базовым пространством , с покрытием набором открытых множеств , замкнутых относительно конечного пересечения. Для каждого существует $n$ $X$ $U_{i}$ $U_{i}$

открытое подмножество , инвариантное относительно точного линейного действия конечной группы ; $V_{i}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\Gamma _{i}$
непрерывное отображение на инвариантное относительно , называемое орбифолдной картой , которое определяет гомеоморфизм между и . $\varphi _{i}$ $V_{i}$ $U_{i}$ $\Gamma _{i}$ $V_{i}/\Gamma _{i}$ $U_{i}$

Коллекция орбифолдных карт называется орбифолдным атласом, если выполняются следующие свойства:

Для каждого включения существует инъективный групповой гомоморфизм . $U_{i}\subset U_{j}$ $f_{ij}:\Gamma _{i}\rightarrow \Gamma _{j}$
для каждого включения существует -эквивариантный гомеоморфизм , называемый склеивающим отображением , на открытое подмножество . $U_{i}\subset U_{j}$ $\Gamma _{i}$ $\psi _{ij}$ $V_{i}$ $V_{j}$
Карты склейки совместимы с диаграммами, т.е. $\varphi _{j}\circ \psi _{ij}=\varphi _{i}$
Карты склейки уникальны с точностью до композиции с элементами группы, т.е. любая другая возможная карта склейки от до имеет вид для уникального . $V_{i}$ $V_{j}$ $g\circ \psi _{ij}$ $g\in \Gamma _{j}$

Что касается атласов на многообразиях , два орбифолдных атласа эквивалентны, если их можно последовательно объединить, чтобы получить больший орбифолдный атлас. Таким образом, орбифолдная структура является классом эквивалентности орбифолдных атласов. $X$

Обратите внимание, что структура орбифолда определяет подгруппу изотропии любой точки орбифолда с точностью до изоморфизма: ее можно вычислить как стабилизатор точки в любой карте орбифолда. Если U _i U _j U _k , то существует единственный элемент перехода g _ijk в Γ _k такой, что $\subset$ $\subset$

g _ijk · ψ _ik = ψ _jk · ψ _ij

Эти переходные элементы удовлетворяют

(Ad g _ijk )· f _ik = f _jk · f _ij

а также отношение коцикла (гарантирующее ассоциативность)

ж _км ( г _ijk ) · г _{ikm знак} равно г _ijm · г _jkm .

В более общем смысле, к открытому покрытию орбифолда картами орбифолда присоединены комбинаторные данные так называемого комплекса групп (см. ниже).

Точно так же, как и в случае многообразий, на склеивающие отображения можно наложить условия дифференцируемости, чтобы дать определение дифференцируемого орбифолда . Он будет римановым орбифолдом , если в дополнение к этому на картах орбифолда имеются инвариантные римановы метрики , а склеивающие отображения являются изометриями .

Определение с использованием группоидов Ли

Напомним, что группоид состоит из набора объектов , набора стрелок и структурных отображений, включая исходные и целевые отображения и другие отображения, позволяющие составлять и инвертировать стрелки. Он называется группоидом Ли , если оба и являются гладкими многообразиями, все структурные отображения гладкие, а оба исходных и целевых отображения являются субмерсиями. Пересечение исходного и целевого слоев в заданной точке , то есть множество , является группой Ли, называемой группой изотропии в . Группоид Ли называется собственным, если отображение является собственным , и эталь , если оба исходных и целевых отображения являются локальными диффеоморфизмами . $G_{0}$ $G_{1}$ $s,t:G_{1}\to G_{0}$ $G_{0}$ $G_{1}$ $x\in G_{0}$ $(G_{1})_{x}:=s^{-1}(x)\cap t^{-1}(x)$ $G_{1}$ $x$ $(s,t):G_{1}\to G_{0}\times G_{0}$

Орбифолдный группоид задается одним из следующих эквивалентных определений:

собственный этальный группоид Ли;
собственный группоид Ли, изотропии которого являются дискретными пространствами .

Поскольку группы изотропии собственных группоидов автоматически компактны , условие дискретности подразумевает, что изотропии должны быть фактически конечными группами . ^[10]

Орбифолдные группоиды играют ту же роль, что и орбифолдные атласы в определении выше. Действительно, орбифолдная структура на хаусдорфовом топологическом пространстве определяется как класс эквивалентности Мориты орбифолдного группоида вместе с гомеоморфизмом , где — пространство орбит группоида Ли (т.е. фактор по эквивалентному отношению, когда есть с и ) . Это определение показывает, что орбифолды являются особым видом дифференцируемого стека . $X$ $G\rightrightarrows M$ $|M/G|\simeq X$ $|M/G|$ $G$ $M$ $x\sim y$ $g\in G$ $s(g)=x$ $t(g)=y$

Связь между двумя определениями

Если атлас орбифолда находится на пространстве , можно построить псевдогруппу, составленную из всех диффеоморфизмов между открытыми множествами , которые сохраняют функции перехода . В свою очередь, пространство ростков его элементов является группоидом орбифолда. Более того, поскольку по определению атласа орбифолда каждая конечная группа действует точно на , группоид автоматически эффективен, т. е. отображение инъективно для любого . Два различных атласа орбифолда порождают одну и ту же структуру орбифолда тогда и только тогда, когда их ассоциированные группоиды орбифолда эквивалентны по Морите. Следовательно, любая структура орбифолда согласно первому определению (также называемая классическим орбифолдом ) является особым видом структуры орбифолда согласно второму определению. $X$ $X$ $\varphi _{i}$ $G_{X}$ $\Gamma _{i}$ $V_{i}$ $G_{X}$ $g\in (G_{X})_{x}\mapsto \mathrm {germ} _{x}(t\circ s^{-1})$ $x\in X$

Наоборот, если задан орбифолдный группоид , то существует канонический орбифолдный атлас над его орбитным пространством, чей ассоциированный эффективный орбифолдный группоид является Морита-эквивалентным . Поскольку орбитные пространства Морита-эквивалентных группоидов гомеоморфны, орбифолдная структура согласно второму определению редуцирует орбифолдную структуру согласно первому определению в эффективном случае. ^[11] $G\rightrightarrows M$ $G$

Соответственно, хотя понятие атласа орбифолда проще и чаще встречается в литературе, понятие группоида орбифолда особенно полезно при обсуждении неэффективных орбифолдов и отображений между орбифолдами. Например, отображение между орбифолдами может быть описано гомоморфизмом между группоидами, который несет больше информации, чем лежащее в основе непрерывное отображение между лежащими в основе топологическими пространствами.

Примеры

Любое многообразие без границы тривиально является орбифолдом, где каждая из групп Γ _i является тривиальной группой . Эквивалентно, это соответствует классу эквивалентности Мориты единичного группоида.
Если N — компактное многообразие с границей , его двойник M может быть образован путем склеивания копии N и его зеркального образа вдоль их общей границы. Существует естественное действие отражения Z ₂ на многообразии M , фиксирующее общую границу; фактор-пространство может быть отождествлено с N , так что N имеет естественную орбифолдную структуру.
Если M — риманово n -многообразие с кокомпактным собственным изометрическим действием дискретной группы Γ, то пространство орбит X = M /Γ имеет естественную орбифолдную структуру: для каждого x из X возьмем представителя m в M и открытую окрестность V _m точки m, инвариантную относительно стабилизатора Γ _m , отождествляемую эквивариантно с Γ _m -подмножеством T _m M при экспоненциальном отображении в точке m ; конечное число окрестностей покрывает X , и каждое из их конечных пересечений, если оно непусто, покрывается пересечением Γ-трансляций g _m · V _m с соответствующей группой g _m Γ g _m⁻¹ . Орбифолды, возникающие таким образом, называются развертывающимися или хорошими .
Классическая теорема Анри Пуанкаре строит фуксовы группы как гиперболические группы отражений, порожденные отражениями относительно рёбер геодезического треугольника в гиперболической плоскости для метрики Пуанкаре . Если треугольник имеет углы $π$ / n _i для положительных целых чисел n _i , треугольник является фундаментальной областью и, естественно, двумерным орбифолдом. Соответствующая группа является примером гиперболической треугольной группы . Пуанкаре также дал трёхмерную версию этого результата для клейновых групп : в этом случае клейнова группа Γ порождается гиперболическими отражениями, а орбифолд — это H ³ / Γ.
Если M — замкнутое 2-многообразие, то новые орбифолдные структуры могут быть определены на M i путем удаления конечного числа непересекающихся замкнутых дисков из M и склеивания копий дисков D / Γ _{i ,} где D — замкнутый единичный диск , а Γ _i — конечная циклическая группа вращений. Это обобщает конструкцию Пуанкаре.

Орбифолдная фундаментальная группа

Существует несколько способов определения орбифолдной фундаментальной группы . Более сложные подходы используют орбифолдные покрывающие пространства или классифицирующие пространства группоидов . Самый простой подход (принятый Хефлигером и известный также Терстону) расширяет обычное понятие цикла , используемое в стандартном определении фундаментальной группы .

Орбифолдный путь — это путь в базовом пространстве, снабженный явным кусочным подъемом сегментов пути на орбифолдные карты и явными элементами группы, идентифицирующими пути в перекрывающихся картах; если базовый путь является петлей, он называется орбифолдной петлей . Два орбифолдных пути идентифицируются, если они связаны посредством умножения на элементы группы в орбифолдных картах. Орбифолдная фундаментальная группа — это группа, образованная гомотопическими классами орбифолдных петель.

Если орбифолд возникает как фактор-группа односвязного многообразия M по собственному жесткому действию дискретной группы Γ, то фундаментальную группу орбифолда можно отождествить с Γ. В общем случае это расширение Γ на $π$ ₁ M .

Говорят, что орбифолд является развертываемым или хорошим , если он возникает как фактор по действию группы; в противном случае он называется плохим . Универсальное накрывающее орбифолд может быть построено для орбифолда по прямой аналогии с построением универсального накрывающего пространства топологического пространства, а именно как пространство пар, состоящих из точек орбифолда и гомотопических классов путей орбифолда, соединяющих их с базовой точкой. Это пространство, естественно, является орбифолдом.

Обратите внимание, что если орбифолдная карта на стягиваемом открытом подмножестве соответствует группе Γ, то существует естественный локальный гомоморфизм Γ в орбифолдную фундаментальную группу.

Фактически следующие условия эквивалентны:

Орбифолд является развертываемым.
Структура орбифолда на универсальном накрывающем орбифолде тривиальна.
Все локальные гомоморфизмы инъективны для покрытия стягиваемыми открытыми множествами.

Орбифолды как диффеологии

Орбифолды могут быть определены в общих рамках диффеологии ^[12] и, как было доказано, эквивалентны ^[13] оригинальному определению Ичиро Сатаке : ^[1]

Определение: Орбифолд — это диффеологическое пространство, локально диффеоморфное в каждой точке некоторому , где — целое число, а — конечная линейная группа, которая может меняться от точки к точке. $\mathbb {R} ^{n}/G$ $n$ $G$

Это определение требует нескольких замечаний:

Это определение имитирует определение многообразия в диффеологии, которое представляет собой диффеологическое пространство, локально диффеоморфное в каждой точке . $\mathbb {R} ^{n}$
Орбифолд рассматривается сначала как диффеологическое пространство, множество, снабженное диффеологией. Затем диффеология проверяется на локальную диффеоморфность в каждой точке фактору с конечной линейной группой. $\mathbb {R} ^{n}/G$ $G$
Это определение эквивалентно ^[14] орбифолдам Хефлигера. ^[15]
{Орбифолды} составляют подкатегорию категории {Диффеология}, объектами которой являются диффеологические пространства и морфизмы гладких отображений. Гладкое отображение между орбифолдами — это любое отображение, которое является гладким для их диффеологий. Это разрешает, в контексте определения Сатаке, его замечание: ^[16] " Понятие α-карты, определенное таким образом, неудобно в том смысле, что композиция двух α-карт, определенных в другом выборе определяющих семейств, не всегда является α -картой". $C^{\infty }$ $C^{\infty }$ $C^{\infty }$ Действительно, существуют гладкие отображения между орбифолдами, которые не поднимаются локально как эквивариантные отображения. ^[17]

Обратите внимание, что фундаментальная группа орбифолда как диффеологического пространства не совпадает с фундаментальной группой, определенной выше. Последняя связана со структурным группоидом ^[18] и его группами изотропии.

Орбипространства

Для приложений в геометрической теории групп часто бывает удобно иметь немного более общее понятие орбифолда, предложенное Хефлигером. Орбипространство для топологических пространств является тем же, чем орбифолд для многообразий. Орбипространство является топологическим обобщением концепции орбифолда. Оно определяется заменой модели для карт орбифолда локально компактным пространством с жестким действием конечной группы, т. е. таким, для которого точки с тривиальной изотропией являются плотными. (Это условие автоматически выполняется точным линейным действием, поскольку точки, зафиксированные любым нетривиальным элементом группы, образуют собственное линейное подпространство .) Также полезно рассматривать структуры метрического пространства на орбипространстве, заданные инвариантными метриками на картах орбипространства, для которых склеивающие отображения сохраняют расстояние. В этом случае обычно требуется, чтобы каждая карта орбипространства была пространством длины с уникальными геодезическими, соединяющими любые две точки.

Пусть X — орбипространство, наделенное метрической пространственной структурой, для которой карты являются геодезическими пространствами длины. Предшествующие определения и результаты для орбифолдов можно обобщить, чтобы дать определения фундаментальной группы орбипространства и универсального покрывающего орбипространства с аналогичными критериями развертываемости. Функции расстояния на картах орбипространства можно использовать для определения длины пути орбипространства в универсальном покрывающем орбипространстве. Если функция расстояния в каждой карте неположительно искривлена , то аргумент сокращения кривой Биркгофа можно использовать для доказательства того, что любой путь орбипространства с фиксированными конечными точками гомотопен уникальной геодезической. Применяя это к постоянным путям в карте орбипространства, следует, что каждый локальный гомоморфизм инъективен и, следовательно:

каждое неположительно искривленное орбипространство является развертываемым (т.е. хорошим ).

Комплексы групп

Каждый орбифолд имеет связанную с ним дополнительную комбинаторную структуру, заданную комплексом групп .

Определение

Комплекс групп ( Y , f , g ) на абстрактном симплициальном комплексе Y задается формулой

конечная группа Γ _σ для каждого симплекса σ группы Y
инъективный гомоморфизм f _στ : Γ _τ Γ _σ всякий раз, когда σ τ $\rightarrow$ $\subset$
для каждого включения ρ σ τ — групповой элемент g _ρστ в Γ _ρ такой, что (Ad g _ρστ ) · f _ρτ = f _ρσ · f _στ (здесь Ad обозначает присоединенное действие сопряжением) $\subset$ $\subset$

Элементы группы должны дополнительно удовлетворять условию коцикла

ж _{$π$ ρ} ( г _ρστ ) г _{πρτ знак} равно г _{$π$ στ} г _{$π$ ρσ}

для каждой цепочки симплексов (Это условие пусто, если Y имеет размерность 2 или меньше.) $\pi \subset \rho \subset \sigma \subset \tau .$

Любой выбор элементов h _στ в Γ _σ дает эквивалентный комплекс групп, определяя

f' _στ = (Ad h _στ ) · f _στ
г' _ρστ знак равно час _ρσ · ж _ρσ ( час _στ )· г _ρστ · час _ρτ⁻¹

Комплекс групп называется простым , если g _ρστ = 1 всюду.

Простое индуктивное рассуждение показывает, что любой комплекс групп на симплексе эквивалентен комплексу групп с g _ρστ = 1 всюду.

Часто бывает удобнее и концептуально привлекательнее перейти к барицентрическому подразделению Y . Вершины этого подразделения соответствуют симплексам Y , так что к каждой вершине прикреплена группа. Ребра барицентрического подразделения естественно ориентированы (соответствуют включениям симплексов), и каждое направленное ребро дает включение групп. К каждому треугольнику прикреплен переходный элемент, принадлежащий группе ровно из одной вершины; а тетраэдры, если таковые имеются, дают соотношения коцикла для переходных элементов. Таким образом, комплекс групп включает только 3-скелет барицентрического подразделения; и только 2-скелет, если он простой.

Пример

Если X — орбифолд (или орбипространство), выбираем покрытие открытыми подмножествами из орбифолдных карт f _i : V _i U _i . Пусть Y — абстрактный симплициальный комплекс, заданный нервом покрытия : его вершины — множества покрытия, а его n -симплексы соответствуют непустым пересечениям U _α = U _i_₁ ··· U _i_{_n} . Для каждого такого симплекса существует связанная группа Γ _α и гомоморфизмы f _ij становятся гомоморфизмами f _στ . Для каждой тройки ρ σ τ , соответствующей пересечениям $\rightarrow$ $\cap$ $\cap$ $\subset$ $\subset$

U_{i}\supset U_{i}\cap U_{j}\supset U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}

имеются карты φ _i : V _i U _i , φ _ij : V _ij U _i U _j и φ _ijk : V _ijk U _i U _j U _k и склеивающие карты ψ : V _ij V _i , ψ' : V _ijk V _ij и ψ" : V _ijk V _i . $\rightarrow$ $\rightarrow$ $\cap$ $\rightarrow$ $\cap$ $\cap$ $\rightarrow$ $\rightarrow$ $\rightarrow$

Существует единственный элемент перехода g _ρστ в Γ _i такой, что g _ρστ · ψ " = ψ · ψ ′ . Соотношения, которым удовлетворяют элементы перехода орбифолда, влекут за собой те, которые требуются для комплекса групп. Таким образом, комплекс групп может быть канонически связан с нервом открытого покрытия с помощью карт орбифолда (или орбипространства). На языке некоммутативной теории пучков и gerbes комплекс групп в этом случае возникает как пучок групп, связанный с покрытием U _i ; данные g _ρστ являются 2-коциклом в некоммутативных когомологиях пучка , а данные h _στ дают 2-кограничное возмущение.

Группа краевого пути

Группа реберных путей комплекса групп может быть определена как естественное обобщение группы реберных путей симплициального комплекса. В барицентрическом подразделении Y возьмем генераторы e _{ij ,} соответствующие ребрам от i до j , где i j , так что существует инъекция ψ _ij : Γ _i Γ _j . Пусть Γ будет группой, порожденной e _ij и Γ _k с соотношениями $\rightarrow$ $\rightarrow$

е _ij ⁻¹ · грамм · е _{ij знак} равно ψ _ij ( грамм )

для g в Γ _i и

е _ик = е _jk · е _ij · г _ijk

если я j k . $\rightarrow$ $\rightarrow$

Для фиксированной вершины i ₀ группа реберных путей Γ( i ₀ ) определяется как подгруппа Γ, порожденная всеми произведениями

г ₀ · е _{я ₀ я ₁} · г ₁ · е _{я ₁ я ₂} · ··· · г _n · е _{я _п я ₀}

где i ₀ , i ₁ , ..., i _n , i ₀ — реберный путь, g _k лежит в Γ _{i _k} и e _ji = e _ij^−1, если i j . $\rightarrow$

Развивающиеся комплексы

Симплициальное собственное действие дискретной группы Γ на симплициальном комплексе X с конечным фактором называется регулярным , если оно удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий: ^[9]

X допускает конечный подкомплекс в качестве фундаментальной области ;
частное Y = X /Γ имеет естественную симплициальную структуру;
фактор-симплициальная структура на орбитах-представителях вершин является последовательной;
если ( v ₀ , ..., v _k ) и ( g ₀ · v ₀ , ..., g _k · v _k ) являются симплексами, то g · v _i = g _i · v _i для некоторого g из Γ.

Фундаментальная область и фактор Y = X / Γ в этом случае могут быть естественным образом идентифицированы как симплициальные комплексы, заданные стабилизаторами симплексов в фундаментальной области. Комплекс групп Y называется развертываемым, если он возникает таким образом.

Комплекс групп является развертываемым тогда и только тогда, когда гомоморфизмы Γ _σ в группу реберных путей инъективны.
Комплекс групп является развертываемым тогда и только тогда, когда для каждого симплекса σ существует инъективный гомоморфизм θ _σ из Γ _σ в фиксированную дискретную группу Γ такой, что θ _τ · f _στ = θ _σ . В этом случае симплициальный комплекс X канонически определен: он имеет k -симплексы (σ, xΓ _σ ), где σ является k -симплексом Y и x пробегает Γ / Γ _σ . Согласованность можно проверить, используя тот факт, что ограничение комплекса групп на симплекс эквивалентно ограничению с тривиальным коциклом g _ρστ .

Действие Γ на барицентрическое подразделение X ' пространства X всегда удовлетворяет следующему условию, более слабому, чем регулярность:

всякий раз, когда σ и g ·σ являются подсимплексами некоторого симплекса τ, они равны, т.е. σ = g ·σ

Действительно, симплексы в X ' соответствуют цепям симплексов в X , так что подсимплекс, заданный подцепями симплексов, однозначно определяется размерами симплексов в подцепи. Когда действие удовлетворяет этому условию, то g обязательно фиксирует все вершины σ. Прямой индуктивный аргумент показывает, что такое действие становится регулярным на барицентрическом подразделении; в частности

действие на второе барицентрическое подразделение X " является регулярным;
Γ естественно изоморфна группе реберных путей, определенной с использованием реберных путей и стабилизаторов вершин для барицентрического подразделения фундаментальной области в X ".

На самом деле нет необходимости переходить к третьему барицентрическому подразделению: как замечает Хефлигер, используя язык теории категорий , в этом случае 3-скелет фундаментальной области X " уже несет все необходимые данные, включая переходные элементы для треугольников, чтобы определить группу ребер-путей, изоморфную Γ.

В двух измерениях это особенно просто описать. Фундаментальная область X " имеет ту же структуру, что и барицентрическое подразделение Y ' комплекса групп Y , а именно:

конечный 2-мерный симплициальный комплекс Z ;
ориентация для всех ребер i j ; $\rightarrow$
если i j и j k — ребра, то i k — ребро, а ( i , j , k ) — треугольник; $\rightarrow$ $\rightarrow$ $\rightarrow$
конечные группы, присоединенные к вершинам, включения к ребрам и переходные элементы, описывающие совместимость, к треугольникам.

Затем можно определить группу ребер-путей. Подобная структура наследуется барицентрическим подразделением Z ', и его группа ребер-путей изоморфна группе Z .

Орбиэдры

Если счетная дискретная группа действует регулярным симплициальным собственным действием на симплициальном комплексе , фактору можно задать не только структуру комплекса групп, но и структуру орбипространства. Это приводит в более общем виде к определению «орбиэдра», симплициального аналога орбифолда.

Определение

Пусть X — конечный симплициальный комплекс с барицентрическим подразделением X '. Структура орбиэдра состоит из:

для каждой вершины i из X ', симплициальный комплекс L _i ', наделенный жестким симплициальным действием конечной группы Γ _i .
симплициальное отображение φ _i множества L _i ' на связь L _i множества i в X ', отождествляющее частное L _i ' / Γ _i с L _i .

Это действие Γ _i на L _i ' продолжается до симплициального действия на симплициальном конусе C _i над L _i ' (симплициальное соединение i и L _i '), фиксируя центр i конуса. Отображение φ _i продолжается до симплициального отображения C _i на звезду St( i ) точки i , перенося центр на i ; таким образом, φ _i отождествляет C _i / Γ _i , фактор звезды i в C _i , с St( i ) и дает карту орбиэдра в точке i .

для каждого направленного ребра i j графа X ', инъективный гомоморфизм f _ij графа Γ _i в Γ _j . $\rightarrow$
для каждого направленного ребра i j , Γ _i -эквивариантное симплициальное склеивающее отображение ψ _ij из C _i в C _j . $\rightarrow$
Карты склеивания совместимы с диаграммами, т.е. φ _j ·ψ _ij = φ _i .
отображения склейки единственны с точностью до композиции с элементами группы, т.е. любое другое возможное отображение склейки из V _i в V _j имеет вид g ·ψ _ij для единственного g в Γ _j .

Если i j k , то существует единственный элемент перехода g _ijk в Γ _k такой, что $\rightarrow$ $\rightarrow$

g _ijk ·ψ _ik = ψ _jk ·ψ _ij

Эти переходные элементы удовлетворяют

(Ad g _ijk )· f _ik = f _jk · f _ij

а также отношение коцикла

ψ _км ( г _ijk ) · г _{ikm знак} равно г _ijm · г _jkm .

Основные свойства

Групповые теоретические данные орбиэдра дают комплекс групп на X , поскольку вершины i барицентрического подразделения X ' соответствуют симплексам в X.
Каждый комплекс групп на X связан с по существу уникальной структурой орбиэдра на X . Этот ключевой факт следует из того, что звезда и линк вершины i из X ', соответствующие симплексу σ из X , имеют естественные разложения: звезда изоморфна абстрактному симплициальному комплексу, заданному объединением σ и барицентрическим подразделением σ' из σ; а линк изоморфен объединению линка σ в X и линка барицентра σ в σ'. Ограничивая комплекс групп до линка σ в X , все группы Γ _τ поступают с инъективными гомоморфизмами в Γ _σ . Поскольку линк i в X ' канонически покрывается симплициальным комплексом, на котором действует Γ _σ , это определяет структуру орбиэдра на X .
Фундаментальная группа орбиэдра (тавтологически) является просто группой ребер-путей соответствующего комплекса групп.
Каждый орбиэдр также является естественным орбипространством: действительно, в геометрической реализации симплициального комплекса карты орбипространства могут быть определены с использованием внутренностей звезд.
Фундаментальная группа орбиэдра может быть естественным образом отождествлена с фундаментальной группой орбипространства соответствующего орбипространства. Это следует из применения теоремы о симплициальной аппроксимации к сегментам пути орбипространства, лежащего в карте орбипространства: это простой вариант классического доказательства того, что фундаментальная группа многогранника может быть отождествлена с его группой реберных путей .
Орбипространство, связанное с орбиэдром, имеет каноническую метрическую структуру , локально происходящую из метрики длины в стандартной геометрической реализации в евклидовом пространстве, с вершинами, отображенными в ортонормальный базис. Также используются другие метрические структуры, включающие метрики длины, полученные путем реализации симплексов в гиперболическом пространстве , с симплексами, идентифицированными изометрически вдоль общих границ.
Орбипространство, связанное с орбиэдром, является неположительно искривленным тогда и только тогда, когда обхват связи в каждой карте орбиэдра больше или равен 6, т.е. любой замкнутый контур в связи имеет длину не менее 6. Это условие, хорошо известное из теории пространств Адамара , зависит только от базового комплекса групп.
Когда универсальный накрывающий орбиэдр не имеет положительной кривизны, фундаментальная группа бесконечна и порождается изоморфными копиями групп изотропии. Это следует из соответствующего результата для орбипространств.

Треугольники групп

Исторически одним из важнейших приложений орбифолдов в геометрической теории групп были треугольники групп . Это простейший двумерный пример, обобщающий одномерный «интервал групп», обсуждаемый в лекциях Серра о деревьях, где объединенные свободные произведения изучаются в терминах действий на деревьях. Такие треугольники групп возникают всякий раз, когда дискретная группа действует просто транзитивно на треугольники в аффинном построении Брюа–Титса для SL ₃ ( Q _p ); в 1979 году Мамфорд обнаружил первый пример для p = 2 (см. ниже) как шаг в создании алгебраической поверхности, не изоморфной проективному пространству , но имеющей те же числа Бетти . Треугольники групп были подробно разработаны Герстеном и Столлингсом, в то время как более общий случай комплексов групп, описанный выше, был независимо разработан Хефлигером. Основной геометрический метод анализа конечно представленных групп в терминах метрических пространств неположительной кривизны принадлежит Громову. В этом контексте треугольники групп соответствуют неположительно искривленным 2-мерным симплициальным комплексам с регулярным действием группы, транзитивным на треугольниках .

Треугольник групп — это простой комплекс групп, состоящий из треугольника с вершинами A , B , C. Существуют группы

Γ _A , Γ _B , Γ _C в каждой вершине
Γ _BC , Γ _CA , Γ _AB для каждого ребра
Γ _ABC для самого треугольника.

Существует инъективный гомоморфизм Γ _ABC во все остальные группы и группы ребер Γ _XY в Γ _X и Γ _Y . Все три способа отображения Γ _ABC в группу вершин согласуются. (Часто Γ _ABC является тривиальной группой.) Евклидова метрическая структура на соответствующем орбипространстве неположительно искривлена тогда и только тогда, когда линк каждой из вершин в карте орбиэдра имеет обхват не менее 6.

Этот обхват в каждой вершине всегда четный и, как заметил Столлингс, может быть описан в вершине A , скажем, как длина наименьшего слова в ядре естественного гомоморфизма в Γ _A объединенного свободного произведения над Γ _ABC реберных групп Γ _AB и Γ _AC :

\Gamma _{AB}\star _{\,\Gamma _{ABC}}\Gamma _{AC}\rightarrow \Gamma _{A}.

Результат с использованием евклидовой метрической структуры не является оптимальным. Углы α, β, γ в вершинах A , B и C были определены Столлингсом как 2π, деленные на обхват. В евклидовом случае α, β, γ ≤ π/3. Однако, если требуется только, чтобы α + β + γ ≤ π, можно отождествить треугольник с соответствующим геодезическим треугольником в гиперболической плоскости с метрикой Пуанкаре (или евклидовой плоскости, если выполняется равенство). Классический результат гиперболической геометрии заключается в том, что гиперболические медианы пересекаются в гиперболическом барицентре ^[19] , как и в знакомом евклидовом случае. Барицентрическое подразделение и метрика из этой модели дают неположительно искривленную метрическую структуру на соответствующем орбипространстве. Таким образом, если α+β+γ≤π,

орбипространство треугольника групп является развертываемым;
соответствующая группа ребер-путей, которую также можно описать как копредел треугольника групп, бесконечна;
гомоморфизмы групп вершин в группу ребер-путей являются инъекциями.

Пример Мамфорда

Пусть α = задано биномиальным разложением (1 − 8) ^1/2 в Q ₂ и положим K = Q ( α ) Q ₂ . Пусть ${\sqrt {-7}}$ $\subset$

ζ = exp 2

π

i /7

λ = ( α − 1)/2 = ζ + ζ ² + ζ ⁴

μ = λ / λ *.

Пусть E = Q ( ζ ), 3-мерное векторное пространство над K с базисом 1, ζ и ζ ^2. Определим K -линейные операторы на E следующим образом:

σ — генератор группы Галуа группы E над K , элемент порядка 3, заданный формулой σ(ζ) = ζ ²
τ — оператор умножения на ζ на E , элемент порядка 7
ρ — оператор, заданный формулами ρ ( ζ ) = 1, ρ ( ζ ² ) = ζ и ρ (1) = µ · ζ ² , так что ρ ³ — скалярное умножение на μ .

Элементы ρ , σ и τ порождают дискретную подгруппу GL ₃ ( K ), которая действует должным образом на аффинном здании Брюа–Титса, соответствующем SL ₃ ( Q ₂ ). Эта группа действует транзитивно на всех вершинах, ребрах и треугольниках в здании. Пусть

σ ₁ знак равно σ , σ _{2 знак} равно ρσρ ^-1 , σ ₃ знак равно ρ ²σρ ^-2 .

Затем

σ1 , σ2 и σ3 порождают подгруппу _Γ_группыSL3 ₍ K ) _.
Γ — наименьшая подгруппа, порожденная σ и τ , инвариантная относительно сопряжения с помощью ρ .
Γ действует просто транзитивно на треугольники в здании.
Существует треугольник Δ, стабилизатором его ребер которого являются подгруппы порядка 3, порожденные σ _i .
Стабилизатором вершины Δ является группа Фробениуса порядка 21, порожденная двумя элементами порядка 3, стабилизирующими ребра, встречающиеся в вершине.
Стабилизатор Δ тривиален.

Элементы σ и τ порождают стабилизатор вершины. Связь этой вершины можно отождествить со сферическим зданием SL ₃ ( F ₂ ), а стабилизатор можно отождествить с группой коллинеаций плоскости Фано , порожденной 3-кратной симметрией σ, фиксирующей точку, и циклической перестановкой τ всех 7 точек, удовлетворяющей στ = τ ²σ . Отождествляя F ₈ * с плоскостью Фано, σ можно считать ограничением автоморфизма Фробениуса σ ( x ) = x ²² плоскости F ₈ , а τ — умножением на любой элемент, не принадлежащий простому полю F ₂ , т. е. генератором порядка 7 циклической мультипликативной группы плоскости F ₈ . Эта группа Фробениуса действует просто транзитивно на 21 флаге плоскости Фано, т. е. линиях с отмеченными точками. Таким образом, формулы для σ и τ на E «поднимают» формулы на F ₈ .

Мамфорд также получает действие, просто транзитивное на вершинах здания, переходя к подгруппе Γ ₁ = < ρ , σ , τ , − I >. Группа Γ ₁ сохраняет Q ( α )-значную эрмитову форму

f ( x , y ) = xy * + σ ( xy *) + σ ² ( xy *)

на Q (ζ) и может быть отождествлен с U ₃ (f) GL ₃ ( S ), где S = Z [ α , ⁠ $\cap$ 1/2⁠ ]. Так как S /( α ) = F ₇ , то существует гомоморфизм группы Γ ₁ в GL ₃ ( F ₇ ). Это действие оставляет инвариантным 2-мерное подпространство в F ₇³ и, следовательно, порождает гомоморфизм Ψ группы Γ ₁ в SL ₂ ( F ₇ ), группу порядка 16·3·7. С другой стороны, стабилизатор вершины является подгруппой порядка 21, и Ψ инъективно на этой подгруппе. Таким образом, если конгруэнт-подгруппа Γ ₀ определена как обратный образ относительно Ψ 2- силовской подгруппы SL 2 ₍ F 7 ₎ , то действие Γ ₀ на вершинах должно быть просто транзитивным.

Обобщения

Другие примеры треугольников или двумерных комплексов групп можно построить, варьируя приведенный выше пример.

Картрайт и др. рассматривают действия над зданиями, которые просто транзитивны на вершинах . Каждое такое действие производит биекцию (или модифицированную двойственность) между точками x и прямыми x * в комплексе флагов конечной проективной плоскости и набором ориентированных треугольников точек ( x , y , z ), инвариантных относительно циклической перестановки, таких, что x лежит на z *, y лежит на x * и z лежит на y *, и любые две точки однозначно определяют третью. Полученные группы имеют генераторы x , помеченные точками, и отношения xyz = 1 для каждого треугольника. В общем случае эта конструкция не будет соответствовать действию над классическим аффинным зданием.

В более общем смысле, как показали Баллманн и Брин, подобные алгебраические данные кодируют все действия, которые просто транзитивны на вершинах неположительно искривленного двумерного симплициального комплекса, при условии, что связь каждой вершины имеет обхват не менее 6. Эти данные состоят из:

порождающий набор S, содержащий обратные элементы, но не тождественные;
набор отношений g h k = 1, инвариантный относительно циклической перестановки.

Элементы g в S обозначают вершины g · v в звене фиксированной вершины v ; а отношения соответствуют ребрам ( g ⁻¹ · v , h · v ) в этом звене. Граф с вершинами S и ребрами ( g , h ), для g ⁻¹h в S , должен иметь обхват не менее 6. Исходный симплициальный комплекс может быть восстановлен с использованием комплексов групп и второго барицентрического подразделения.

Дальнейшие примеры неположительно искривленных 2-мерных комплексов групп были построены Святковским на основе действий, просто транзитивных на ориентированных ребрах и индуцирующих 3-кратную симметрию на каждом треугольнике; в этом случае комплекс групп также получается из регулярного действия на втором барицентрическом подразделении. Простейший пример, обнаруженный ранее Баллманном, начинается с конечной группы H с симметричным набором генераторов S , не содержащим тождества, таким образом, что соответствующий граф Кэли имеет обхват не менее 6. Ассоциированная группа порождается H и инволюцией τ , подчиненной (τg) ³ = 1 для каждого g в S .

Фактически, если Γ действует таким образом, фиксируя ребро ( v , w ), то существует инволюция τ, меняющая местами v и w . Связь v состоит из вершин g · w для g в симметричном подмножестве S из H = Γ _v , порождая H, если связь связна. Предположение о треугольниках подразумевает, что

τ·( г · в ) = г ⁻¹ · в

для g в S. Таким образом, если σ = τ g и u = g ⁻¹ · w , то

σ( v ) знак равно ш , σ( ш ) знак равно ты , σ( ты ) знак равно ш .

Из простой транзитивности на треугольнике ( v , w , u ) следует, что σ ³ = 1.

Второе барицентрическое подразделение дает комплекс групп, состоящий из синглетонов или пар барицентрически подразделенных треугольников, соединенных вдоль их больших сторон: эти пары индексируются фактор-пространством S /~, полученным путем идентификации обратных в S . Одиночные или «связанные» треугольники, в свою очередь, соединены вдоль одного общего «хребта». Все стабилизаторы симплексов тривиальны, за исключением двух вершин на концах хребта со стабилизаторами H и <τ>, и оставшихся вершин больших треугольников со стабилизатором, порожденным соответствующим σ. Три из меньших треугольников в каждом большом треугольнике содержат переходные элементы.

Когда все элементы S являются инволюциями, ни один из треугольников не нужно удваивать. Если H взять за диэдральную группу D ₇ порядка 14, порожденную инволюцией a и элементом b порядка 7, такими что

аб = б ⁻¹а ,

тогда H порождается 3 инволюциями a , ab и ab ⁵ . Связь каждой вершины задается соответствующим графом Кэли, поэтому это просто двудольный граф Хивуда , т.е. точно такой же, как в аффинном построении для SL ₃ ( Q ₂ ). Эта структура связи подразумевает, что соответствующий симплициальный комплекс обязательно является евклидовым построением . Однако в настоящее время, по-видимому, неизвестно, может ли какой-либо из этих типов действий быть фактически реализован на классическом аффинном построении: группа Мамфорда Γ ₁ (по модулю скаляров) является просто транзитивной только на ребрах, но не на ориентированных ребрах.

Двумерные орбифолды

Двумерные орбифолды имеют следующие три типа особых точек:

Пограничная точка
Эллиптическая точка или точка инерции порядка n , например, начало координат R ^2, профакторизованное по циклической группе вращений порядка n .
Угловой отражатель порядка n : начало координат R ^{2 ,} факторизованное по диэдральной группе порядка 2 n .

Компактный 2-мерный орбифолд имеет эйлерову характеристику, заданную формулой $\chi$

\chi =\chi (X_{0})-\sum _{i}(1-1/n_{i})/2-\sum _{i}(1-1/m_{i})

где — эйлерова характеристика базового топологического многообразия , а — порядки угловых отражателей, а — порядки эллиптических точек. $\chi (X_{0})$ $X_{0}$ $n_{i}$ $m_{i}$

Двумерный компактный связный орбифолд имеет гиперболическую структуру, если его эйлерова характеристика меньше 0, евклидову структуру, если она равна 0, а если его эйлерова характеристика положительна, то он либо плохой , либо имеет эллиптическую структуру (орбифолд называется плохим, если он не имеет многообразия в качестве накрывающего пространства). Другими словами, его универсальное накрывающее пространство имеет гиперболическую, евклидову или сферическую структуру.

Компактные 2-мерные связные орбифолды, которые не являются гиперболическими, перечислены в таблице ниже. 17 параболических орбифолдов являются факторами плоскости по 17 группам обоев .

3-мерные орбифолды

Трехмерное многообразие называется малым , если оно замкнуто, неприводимо и не содержит несжимаемых поверхностей.

Теорема об орбифолде. Пусть M — малое 3-многообразие. Пусть φ — нетривиальный периодический диффеоморфизм M , сохраняющий ориентацию . Тогда M допускает φ-инвариантную гиперболическую или расслоенную структуру Зейферта.

Эта теорема является частным случаем теоремы Терстона об орбифолдах, объявленной без доказательства в 1981 году; она является частью его гипотезы геометризации для 3-многообразий . В частности, она подразумевает, что если X — компактное, связное, ориентируемое, неприводимое, атороидальное 3-орбифолд с непустым сингулярным локусом, то M имеет геометрическую структуру (в смысле орбифолдов). Полное доказательство теоремы было опубликовано Буало, Либом и Порти в 2005 году. ^[20]

Приложения

Орбифолды в теории струн

В теории струн слово «орбифолд» имеет немного новое значение. Для математиков орбифолд — это обобщение понятия многообразия , которое допускает наличие точек, окрестность которых диффеоморфна фактору R ⁿ по конечной группе, т. е. R ⁿ / Γ . В физике понятие орбифолда обычно описывает объект, который можно глобально записать как орбитальное пространство M / G , где M — многообразие (или теория), а G — группа его изометрий (или симметрий) — не обязательно все из них. В теории струн эти симметрии не обязательно должны иметь геометрическую интерпретацию.

Квантовая теория поля, определенная на орбифолде, становится сингулярной вблизи неподвижных точек G . Однако теория струн требует от нас добавления новых частей замкнутого струнного гильбертова пространства — а именно скрученных секторов, где поля, определенные на замкнутых струнах, являются периодическими с точностью до действия из G . Таким образом, орбифолдинг является общей процедурой теории струн для вывода новой теории струн из старой теории струн, в которой элементы G были отождествлены с тождеством. Такая процедура уменьшает число состояний, поскольку состояния должны быть инвариантны относительно G , но она также увеличивает число состояний из-за дополнительных скрученных секторов. Результатом обычно является совершенно гладкая новая теория струн.

D-браны, распространяющиеся по орбифолдам, описываются при низких энергиях калибровочными теориями, определяемыми диаграммами колчана . Открытые струны, прикрепленные к этим D-бранам , не имеют скрученного сектора, и поэтому число состояний открытых струн уменьшается процедурой орбифолда.

Более конкретно, когда орбифолдная группа G является дискретной подгруппой изометрий пространства-времени, то, если она не имеет неподвижной точки, результатом обычно является компактное гладкое пространство; скрученный сектор состоит из замкнутых струн, намотанных вокруг компактного измерения, которые называются состояниями обмотки .

Когда группа орбифолда G является дискретной подгруппой изометрий пространства-времени и имеет неподвижные точки, то они обычно имеют конические сингулярности , поскольку R ⁿ / Z k имеет такую сингулярность в неподвижной точке Z k . В теории струн гравитационные сингулярности обычно являются признаком дополнительных степеней свободы , которые расположены в точке локуса в пространстве-времени. В случае орбифолда эти степени свободы являются скрученными состояниями, которые представляют собой струны, «застрявшие» в неподвижных точках. Когда поля, связанные с этими скрученными состояниями, приобретают ненулевое вакуумное ожидание , сингулярность деформируется, т. е. метрика изменяется и становится регулярной в этой точке и вокруг нее. Примером результирующей геометрии является пространство-время Эгучи–Хансона .

С точки зрения D-бран в окрестности неподвижных точек эффективная теория открытых струн, прикрепленных к этим D-бранам, является суперсимметричной теорией поля, пространство вакуумов которой имеет особую точку, где существуют дополнительные безмассовые степени свободы. Поля, связанные с замкнутым струнным скрученным сектором, связываются с открытыми струнами таким образом, чтобы добавить член Файе–Илиопулоса к лагранжиану суперсимметричной теории поля, так что когда такое поле приобретает ненулевое вакуумное ожидание , член Файе–Илиопулоса становится ненулевым и тем самым деформирует теорию (т. е. изменяет ее), так что сингулярность больше не существует [1], [2].

Многообразия Калаби–Яу

В теории суперструн ^[21]^[22] построение реалистичных феноменологических моделей требует размерной редукции , поскольку струны естественным образом распространяются в 10-мерном пространстве, в то время как наблюдаемая размерность пространства-времени Вселенной равна 4. Формальные ограничения на теории, тем не менее, накладывают ограничения на компактифицированное пространство , в котором живут дополнительные «скрытые» переменные: при поиске реалистичных 4-мерных моделей с суперсимметрией вспомогательное компактифицированное пространство должно быть 6-мерным многообразием Калаби–Яу . ^[23]

Существует большое количество возможных многообразий Калаби–Яу (десятки тысяч), отсюда и использование термина « ландшафт » в современной литературе по теоретической физике для описания сбивающего с толку выбора. Общее изучение многообразий Калаби–Яу математически сложно, и долгое время примеры было трудно построить явно. Поэтому орбифолды оказались очень полезными, поскольку они автоматически удовлетворяют ограничениям, налагаемым суперсимметрией. Они предоставляют вырожденные примеры многообразий Калаби–Яу из-за их особых точек , ^[24], но это вполне приемлемо с точки зрения теоретической физики. Такие орбифолды называются «суперсимметричными»: их технически легче изучать, чем общие многообразия Калаби–Яу. Очень часто можно связать непрерывное семейство неособых многообразий Калаби–Яу с особы суперсимметричным орбифолдом. В 4 измерениях это можно проиллюстрировать с помощью комплексных поверхностей K3 :

Каждая поверхность K3 допускает 16 циклов размерности 2, которые топологически эквивалентны обычным 2-сферам. При стремлении поверхности этих сфер к нулю поверхность K3 развивает 16 особенностей. Этот предел представляет собой точку на границе пространства модулей поверхностей K3 и соответствует орбифолду, полученному путем факторизации тора по симметрии инверсии. $T^{4}/\mathbb {Z} _{2}\,$

Изучение многообразий Калаби–Яу в теории струн и дуальности между различными моделями теории струн (типа IIA и IIB) привело к идее зеркальной симметрии в 1988 году. Роль орбифолдов была впервые отмечена Диксоном, Харви, Вафой и Виттеном примерно в то же время. ^[25]

Теория музыки

Помимо их многочисленных и разнообразных приложений в математике и физике, орбифолды применялись в теории музыки по крайней мере с 1985 года в работе Гуэрино Маццолы ^[26]^[27] и позднее Дмитрия Тимочко и его коллег. ^[28]^[29]^[30]^[31] Одна из статей Тимочко была первой статьей по теории музыки, опубликованной в журнале Science . ^[32]^[33]^[34] Маццола и Тимочко участвовали в дебатах относительно своих теорий, задокументированных в серии комментариев, доступных на их веб-сайтах. ^[35]^[36]

Анимированные срезы трехмерного орбифолда . Срезы кубов, стоящих на концах (с их длинными диагоналями, перпендикулярными плоскости изображения), образуют цветные области Вороного (окрашенные по типу аккорда), которые представляют собой трехнотные аккорды в их центрах, с увеличенными трезвучиями в самом центре, окруженными мажорными и минорными трезвучиями (зеленый лайм и темно-синий). Белые области представляют собой вырожденные трихорды (однонотные, повторяющиеся три раза), с тремя линиями (представляющими два нотных аккорда), соединяющими их центры, образуя стенки скрученной треугольной призмы, двумерные плоскости, перпендикулярные плоскости изображения, действуют как зеркала. $T^{3}/S_{3}$

Тимочко моделирует музыкальные аккорды, состоящие из n нот, которые не обязательно различны, как точки в орбифолде – пространстве из n неупорядоченных точек (не обязательно различимых) в окружности, реализованном как фактор n - тора (пространства из n упорядоченных точек на окружности) по симметрической группе (соответствующей переходу от упорядоченного множества к неупорядоченному множеству). $T^{n}/S_{n}$ $T^{n}$ $S_{n}$

Музыкально это объясняется следующим образом:

Музыкальные тоны зависят от частоты (высоты) их основного тона и, таким образом, параметризуются положительными действительными числами, R ⁺ .
Музыкальные тоны, отличающиеся на октаву (удвоение частоты), считаются одним и тем же тоном — это соответствует взятию логарифма по основанию 2 от частот (что дает действительные числа, как ), а затем делению на целые числа (что соответствует различию на некоторое количество октав), что дает окружность (как ). $\mathbf {R} =\log _{2}\mathbf {R} ^{+}$ $S^{1}=\mathbf {R} /\mathbf {Z}$
Аккорды соответствуют нескольким тонам без учета порядка — таким образом, t нот (с учетом порядка) соответствуют t упорядоченным точкам на окружности или, что эквивалентно, одной точке на t -торе , а пропуск порядка соответствует взятию частного с получением орбифолда. $T^{t}:=S^{1}\times \cdots \times S^{1},$ $S_{t},$

Для диад (два тона) это дает замкнутую ленту Мёбиуса ; для триад (три тона) это дает орбифолд, который можно описать как треугольную призму с верхней и нижней треугольными гранями, отождествленными с поворотом на 120° (a ⁠1/3⁠ завихрение) – эквивалентно, как сплошной тор в 3-х измерениях с поперечным сечением в виде равностороннего треугольника и таким завихрением.

Полученный орбифолд естественным образом стратифицирован повторяющимися тонами (правильно, целочисленными разбиениями t ) — открытое множество состоит из различных тонов (разбиение ), в то время как существует одномерное сингулярное множество, состоящее из всех одинаковых тонов (разбиение ), которое топологически является окружностью, и различными промежуточными разбиениями. Существует также примечательная окружность, которая проходит через центр открытого множества, состоящего из равноотстоящих точек. В случае триад три боковые грани призмы соответствуют двум одинаковым тонам и третьему различному (разбиение ), в то время как три ребра призмы соответствуют одномерному сингулярному множеству. Верхняя и нижняя грани являются частью открытого множества и появляются только потому, что орбифолд был разрезан — если рассматривать его как треугольный тор с поворотом, эти артефакты исчезают. $t=1+1+\cdots +1$ $t=t$ $3=2+1$

Тимочко утверждает, что аккорды, близкие к центру (с тонами, расположенными на одинаковом или почти одинаковом расстоянии), составляют основу большей части традиционной западной гармонии, и что их визуализация таким образом помогает в анализе. В центре есть 4 аккорда (на одинаковом расстоянии при равномерной темперации — интервал между тонами 4/4/4), соответствующие увеличенным трезвучиям (считающимся музыкальными наборами ) C♯FA, DF♯A♯, D♯GB и EG♯C (затем они циклически повторяются: FAC♯ = C♯FA), причем 12 мажорных аккордов и 12 минорных аккордов являются точками рядом, но не в центре — почти равномерно расположенными, но не совсем. Мажорные аккорды соответствуют интервалу 4/3/5 (или эквивалентно 5/4/3), в то время как минорные аккорды соответствуют интервалу 3/4/5. Ключевые изменения соответствуют перемещению между этими точками в орбифолде, а более плавные изменения происходят при перемещении между близлежащими точками.

Смотрите также

Примечания

^ ab Satake 1956.
↑ Терстон 1978–1981, Глава 13.
^ Хефлигер 1990.
^ Пуанкаре 1985.
^ Серр 1970.
^ Скотт 1983.
^ Бридсон и Хефлигер 1999.
^ Ди Франческо, Матье и Сенешаль 1997.
^ ab Bredon 1972.
^ Moerdijk, Ieke (2002). Orbifolds as Groupoids: an Introduction. Orbifolds in Mathematics and Physics. Contemporary Mathematics. Vol. 310. American Mathematical Society . pp. 205–222. arXiv : math/0203100 . ISBN 978-0-8218-2990-5.
^ Moerdijk, Ieke ; Mrcun, Janez (2003). Введение в слоения и группоиды Ли. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press . С. 140–144. doi :10.1017/cbo9780511615450. ISBN 978-0-521-83197-0.
^ Иглесиас-Земмур 2013.
^ Иглесиас, Каршон и Задка 2010.
^ Иглесиас и др. 2010, Теорема 46.
^ Хефлигер 1984.
^ Сатаке 1957, сноска, стр. 469.
^ Иглесиас и др. 2010, Пример 25.
^ Иглесиас-Земмур и Лафинёр, 2017.
^ Теорема о гиперболических медианах
^ Общие сведения об этом материале можно найти в заметках Питера Скотта 1983 года и в изложениях Буало, Майо и Порти, а также Купера, Ходжсона и Керкхоффа.
^ М. Грин, Дж. Шварц и Э. Виттен, Теория суперструн , т. 1 и 2, Cambridge University Press, 1987, ISBN 0521357527
^ Дж. Полчински, Теория струн , том 2, Cambridge University Press, 1999, ISBN 0-521-63304-4
^ П. Канделас, Лекции о комплексных многообразиях , в *Триесте 1987, Труды, Superstrings '87* 1-88, 1987
^ Блюменхаген, Ральф; Люст, Дитер; Тайзен, Стефан (2012), Основные концепции теории струн, Теоретическая и математическая физика, Springer, стр. 487, Bibcode : 2013bcst.book.....B, ISBN 9783642294969, Орбифолды можно рассматривать как сингулярные пределы гладких многообразий Калаби–Яу.
^ Диксон, Л.; Харви, JA; Вафа, К.; Виттен, Э. (1 января 1985 г.). «Струны на орбифолдах». Nuclear Physics B. 261 : 678–686. Bibcode : 1985NuPhB.261..678D. doi : 10.1016/0550-3213(85)90593-0. ISSN 0550-3213.
^ Маццола, Гуэрино (1985). Группы и категории в музыке: Entwurf einer mathematischen Musiktheorie. Хельдерманн. ISBN 978-3-88538-210-2. Получено 26 февраля 2012 г.
^ Mazzola, Guerino; Müller, Stefan (2002). Топос музыки: геометрическая логика концепций, теории и исполнения. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-5731-3. Получено 26 февраля 2012 г.
^ Тимочко 2006.
^ Каллендер, Куинн и Тимочко 2008.
^ Дмитрий Тимочко, Геометрия музыки – ссылки на статьи и программное обеспечение для визуализации.
^ Пространство модулей аккордов: Дмитрий Тимочко в статье «Геометрия и музыка», пятница, 7 марта, 14:30, опубликовано 28 февраля 2008 г. – аннотация к докладу и математическое описание высокого уровня.
↑ Майкл Д. Лемоник, Геометрия музыки, Time , 26 января 2007 г.
^ Элизабет Гудрайс, Mapping Music, Harvard Magazine, янв./февр. 2007 г.
↑ Тони Филлипс, Взгляд Тони Филлипса на математику в СМИ, Американское математическое общество , октябрь 2006 г.
^ Агустин-Акино, Октавио Альберто; Маццола, Гуэрино (14 июня 2011 г.). «О критике Д. Тимочко теории контрапункта Маццолы» (PDF) .
^ Тимочко, Дмитрий. «Теория контрапункта Маццолы» (PDF) .

Ссылки

Адем, Алехандро; Лейда, Иоганн; Руан, Йонбин (2007). Орбифолды и струнная топология . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 171. Cambridge University Press . doi :10.1017/CBO9780511543081. ISBN 9780521870047.
Баллманн, Вернер (1990). «Особые пространства неположительной кривизны». В Гисе, Этьен ; де Ла Арп, Пьер (ред.). Sur les groupes Hyperboliques d'après Михаил Громов . Прогресс в математике. Том. 83. Бостон: Биркхойзер. стр. 189–201. ISBN 0-8176-3508-4.
Баллманн, Вернер; Брин, Михаэль (1994). «Многоугольные комплексы и комбинаторная теория групп». Geometriae Dedicata . 50 (2): 165–191. doi : 10.1007/BF01265309 . S2CID 119617693.
Буало, Мишель. "Геометризации 3-многообразий с симметриями" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 30 сентября 2011 г. . Получено 6 декабря 2007 г. .
Буало, Мишель; Майо, Сильвен; Порти, Джоан (2003). Трехмерные орбифолды и их геометрические структуры . Панорамы и синтезы. Том. 15. Париж: Математическое общество Франции. ISBN 2-85629-152-X. OCLC 56349823..
Буало, Мишель; Либ, Бернхард; Порти, Джоан (2005). «Геометризация 3-мерных орбифолдов». Annals of Mathematics . 162 : 195–290. arXiv : math/0010185 . doi : 10.4007/annals.2005.162.195. S2CID 119624092.
Бредон, Глен (1972). Введение в компактные группы преобразований . Academic Press . ISBN 0-12-128850-1.
Бридсон, Мартин; Хефлигер, Андре (1999). Метрические пространства неположительной кривизны . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 319. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-662-12494-9 . ISBN 3-540-64324-9.
Брин, Мэтью (2007). «Раслоенные пространства Зейферта: заметки к курсу, прочитанному весной 1993 года». arXiv : 0711.1346 [math.GT].
Callender, Clifton; Quinn, Ian; Tymoczko, Дмитрий (18 апреля 2008 г.). "Обобщенные голосоведущие пробелы" (PDF) . Science . 320 (5874): 346–348. Bibcode :2008Sci...320..346C. doi :10.1126/science.1153021. PMID 18420928. S2CID 35229232.
Картрайт, Дональд; Мантеро, Анна Мария; Стегер, Тим; Заппа, Анна (1993). «Группы, действующие просто транзитивно на вершинах здания типа Ã2, I». Geometriae Dedicata . 47 (2): 143–166. doi : 10.1007/BF01266617 .
Купер, Дэрил; Ходжсон, Крейг; Керкхофф, Стивен (2000). Трехмерные орбифолды и конические многообразия . MSJ Memoirs. Том 5. Токио: Математическое общество Японии. ISBN 4-931469-05-1..
de la Harpe, Pierre (1991). Ghys, Étienne (ред.). Приглашение в группу Коксетера . Теория групп с геометрической точки зрения, 26 марта - 6 апреля 1990 г., ICPT, Триест, Италия (труды). Сингапур: World Scientific. стр. 193–253. doi :10.1142/1235. ISBN 981-02-0442-6..
Ди Франческо, Филипп; Матье, Пьер; Сенешаль, Дэвид (1997). Конформная теория поля . Тексты для аспирантов по современной физике. Спрингер-Верлаг. дои : 10.1007/978-1-4612-2256-9 . ISBN 0-387-94785-X..

Хефлигер, Андре (1984). Группоиды голономии и классификаторы . Астериск. Том. 116. Париж: Математическое общество Франции. стр. 70–97.
Хефлигер, Андре (1990). «Орби-эспасс». В Гисе, Этьен ; де ла Арп, Пьер (ред.). Sur les groupes Hyperboliques d'après Михаил Громов . Прогресс в математике. Том. 83. Биркхойзер. стр. 203–213. дои : 10.1007/978-1-4684-9167-8_11 . ISBN 0-8176-3508-4.
Haefliger, André (1991). Ghys, Étienne (ред.). Complexes of groups and orbihedras . Group theory from a geometrical viewpoint, 26 марта - 6 апреля 1990 г., ICPT, Триест, Италия (труды). Singapore: World Scientific. стр. 504–540. doi :10.1142/1235. ISBN 981-02-0442-6.
Иглесиас, Патрик; Каршон, Яэль; Задка, Моше (июнь 2010 г.). «Орбифолды как диффеологии». Труды Американского математического общества . 362 (6): 2811–2831. arXiv : math/0501093 . doi :10.1090/S0002-9947-10-05006-3. S2CID 15210173.
Иглесиас-Земмур, Патрик (2013). Диффеология . Математические обзоры и монографии. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-9131-5.
Иглесиас-Земмур, Патрик; Лаффинёр, Жан-Пьер (2017). «Некоммутативная геометрия и диффеология: случай орбифолдов». Журнал некоммутативной геометрии . 12 (4): 1551–1572. doi :10.4171/JNCG/319. S2CID 126092375.
Кавакубо, Кацуо (1991). Теория групп преобразований . Oxford University Press . ISBN 0-19-853212-1.
Кёлер, Питер; Мейкснер, Томас; Вестер, Михаэль (1985). «2-адическое аффинное здание типа Ã2 и его конечные проекции». Журнал комбинаторной теории . Серия A. 38 (2): 203–209. doi : 10.1016/0097-3165(85)90070-6 .
Мамфорд, Дэвид (1979). «Алгебраическая поверхность с K-образным множеством, (K2) = 9, pg = q = 0». American Journal of Mathematics . 101 (1): 233–244. doi :10.2307/2373947. JSTOR 2373947.
Пуанкаре, Анри (1985). Статьи о фуксовых функциях . Перевод Стиллвелла, Джона . Springer. ISBN 3-540-96215-8.
Сатаке, Ичиро (1956). «Об обобщении понятия многообразия». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 42 (6): 359–363. Bibcode :1956PNAS...42..359S. doi : 10.1073/pnas.42.6.359 . PMC 528292 . PMID 16578464.
Сатаке, Ичиро (1957). «Теорема Гаусса-Бонне для V-многообразий». Журнал математического общества Японии . 9 (4): 464–492. doi : 10.2969/jmsj/00940464 .
Скотт, Питер (1983). «Геометрии 3-многообразий» (PDF) . Бюллетень Лондонского математического общества . 15 (5): 401–487. doi :10.1112/blms/15.5.401. hdl :2027.42/135276.
Опечатки: Скотт, Питер . "Опечатки для "Геометрии 3-многообразий", Bull. London Math. Soc. 15 (1983), 401-487" (PDF) .
Серр, Жан-Пьер (1970). Курс арифметики . Presse Universitaire de France.
Серр, Жан-Пьер (2003). Деревья . Перевод Стиллвелла, Джона . Берлин: Springer. doi :10.1007/978-3-642-61856-7. ISBN 978-3-642-61858-1.
Английский перевод: Серр, Жан-Пьер (1983). Арбре, амальгамы, SL ₂ . Астериск. Том. 46 (3-е изд.). Париж: Математическое общество Франции.
Stallings, John (1991). Ghys, Étienne (ред.). Треугольники групп . Теория групп с геометрической точки зрения, 26 марта - 6 апреля 1990 г., ICPT, Триест, Италия (труды). Singapore: World Scientific. стр. 491–503. doi :10.1142/1235. ISBN 981-02-0442-6.
Свёнтковский, Яцек (2001). «Класс групп автоморфизмов полигональных комплексов». Quarterly Journal of Mathematics . 52 (2): 231–247. doi :10.1093/qjmath/52.2.231.
Терстон, Уильям (1978–1981). Геометрия и топология трехмерных многообразий. Конспект лекций Принстонского университета.
Терстон, Уильям (1982). «Трехмерные многообразия, клейновы группы и гиперболическая геометрия». Бюллетень Американского математического общества . 6 (3): 357–381. doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15003-0 .
Тимочко, Дмитрий (7 июля 2006 г.). «Геометрия музыкальных аккордов» (PDF) . Science . 313 (5783): 72–74. Bibcode :2006Sci...313...72T. CiteSeerX 10.1.1.215.7449 . doi :10.1126/science.1126287. PMID 16825563. S2CID 2877171.