В математике пространства неположительной кривизны встречаются во многих контекстах и образуют обобщение гиперболической геометрии . В категории римановых многообразий можно рассмотреть секционную кривизну многообразия и потребовать, чтобы эта кривизна была везде меньше или равна нулю. Понятие кривизны распространяется на категорию геодезических метрических пространств , где можно использовать треугольники сравнения для количественной оценки кривизны пространства; в этом контексте неположительно искривленные пространства известны как (локально) CAT(0) пространства .
Если — замкнутая, ориентируемая риманова поверхность , то из теоремы об униформизации следует , что она может быть снабжена полной римановой метрикой с постоянной гауссовой кривизной либо , либо . В результате теоремы Гаусса–Бонне можно определить, что поверхности, имеющие риманову метрику постоянной кривизны, т. е. римановы поверхности с полной римановой метрикой неположительной постоянной кривизны, — это в точности те, род которых не менее . Теорему об униформизации и теорему Гаусса–Бонне можно применить к ориентируемым римановым поверхностям с краем, чтобы показать, что поверхности, имеющие неположительную эйлерову характеристику, — это в точности те, которые допускают риманову метрику неположительной кривизны. Следовательно, существует бесконечное семейство типов гомеоморфизма таких поверхностей, тогда как сфера Римана является единственной замкнутой, ориентируемой римановой поверхностью постоянной гауссовой кривизны .
Определение кривизны выше зависит от существования римановой метрики и, следовательно, лежит в области геометрии. Однако теорема Гаусса–Бонне гарантирует, что топология поверхности накладывает ограничения на полную риманову метрику, которая может быть наложена на поверхность, поэтому изучение метрических пространств неположительной кривизны представляет жизненный интерес как в математических областях геометрии , так и в топологии . Классическими примерами поверхностей неположительной кривизны являются евклидова плоскость и плоский тор (для кривизны ), а также гиперболическая плоскость и псевдосфера (для кривизны ). По этой причине эти метрики, а также римановы поверхности, на которых они лежат как полные метрики, называются евклидовыми и гиперболическими соответственно.
Характерные черты геометрии неположительно искривленных римановых поверхностей используются для обобщения понятия неположительности за пределы изучения римановых поверхностей. При изучении многообразий или орбифолдов более высокой размерности используется понятие секционной кривизны , при котором внимание ограничивается двумерными подпространствами касательного пространства в заданной точке. В размерностях, больших, чем теорема о жесткости Мостова–Прасада, гарантирует, что гиперболическое многообразие конечной площади имеет единственную полную гиперболическую метрику , поэтому изучение гиперболической геометрии в этой обстановке является неотъемлемой частью изучения топологии .
В произвольном геодезическом метрическом пространстве понятия быть гиперболическим по Громову или быть пространством CAT(0) обобщают понятие, что на римановой поверхности неположительной кривизны треугольники, стороны которых являются геодезическими, кажутся тонкими, тогда как в условиях положительной кривизны они кажутся толстыми . Это понятие неположительной кривизны позволяет понятие неположительной кривизны чаще всего применять к графам и поэтому широко используется в областях комбинаторики и геометрической теории групп .
