В математике гиперболическое многообразие — это пространство, каждая точка которого локально выглядит как гиперболическое пространство некоторой размерности. Они особенно изучаются в размерностях 2 и 3, где называются гиперболическими поверхностями и гиперболическими 3-многообразиями соответственно. В этих измерениях они важны, потому что большинство многообразий можно превратить в гиперболическое многообразие с помощью гомеоморфизма . Это следствие теоремы об униформизации поверхностей и теоремы геометризации для 3-многообразий, доказанных Перельманом .
Гиперболическое -многообразие есть полное риманово -многообразие постоянной секционной кривизны .
Всякое полное связное односвязное многообразие постоянной отрицательной кривизны изометрично вещественному гиперболическому пространству . В результате универсальное накрытие любого замкнутого многообразия постоянной отрицательной кривизны равно . Таким образом, каждое такое можно записать как где – дискретная группа изометрий без кручения на . То есть является дискретной подгруппой . Многообразие имеет конечный объем тогда и только тогда, когда является решеткой .
Его толсто-тонкое разложение имеет тонкую часть, состоящую из трубчатых окрестностей замкнутых геодезических и концов, являющихся произведением евклидова ( )-многообразия и замкнутого полулуча. Многообразие имеет конечный объем тогда и только тогда, когда его толстая часть компактна.
Простейшим примером гиперболического многообразия является гиперболическое пространство , поскольку каждая точка в гиперболическом пространстве имеет окрестность, изометричную гиперболическому пространству.
Однако простым нетривиальным примером является однажды проколотый тор. Это пример (Isom( ), )-многообразия . Его можно сформировать, взяв идеальный прямоугольник — то есть прямоугольник, вершины которого находятся на бесконечной границе и, следовательно, не существуют в результирующем многообразии — и идентифицируя противоположные изображения.
Аналогичным образом мы можем построить сферу с тремя проколами, показанную ниже, склеив вместе два идеальных треугольника. Здесь также показано, как рисовать кривые на поверхности: черная линия на диаграмме становится замкнутой кривой, когда зеленые края склеиваются. Поскольку мы работаем с проколотой сферой, цветные круги на поверхности, включая их границы, не являются частью поверхности и, следовательно, представлены на диаграмме как идеальные вершины .
Многие узлы и связи , включая некоторые из более простых узлов, таких как узел «восьмерка» и кольца Борромео , являются гиперболическими , и поэтому дополнением узла или связи является гиперболическое трехмерное многообразие конечного объема.
Поскольку гиперболическая структура на конечном объеме гиперболического -многообразия уникальна в силу жесткости Мостова , поэтому геометрические инварианты на самом деле являются топологическими инвариантами. Одним из этих геометрических инвариантов, используемых в качестве топологического инварианта, является гиперболический объем узла или дополнения к звену, который может позволить нам отличать два узла друг от друга, изучая геометрию их соответствующих многообразий.
