Диффеоморфизм

Изоморфизм дифференцируемых многообразий

В математике диффеоморфизм — это изоморфизм дифференцируемых многообразий . Это обратимая функция , которая отображает одно дифференцируемое многообразие в другое таким образом, что и сама функция, и обратная ей непрерывно дифференцируемы .

Изображение прямоугольной сетки на квадрате при диффеоморфизме квадрата на себя.

Определение

Если даны два дифференцируемых многообразия и , дифференцируемое отображение является диффеоморфизмом , если оно является биекцией и его обратное также дифференцируемо. Если эти функции непрерывно дифференцируемы по времени, называется -диффеоморфизмом. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$ ${\displaystyle f^{-1}\colon N\rightarrow M}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{r}}$

Два многообразия и диффеоморфны (обычно обозначаются ) , если существует диффеоморфизм из в . Два -дифференцируемых многообразия -диффеоморфны, если между ними существует многократно непрерывно дифференцируемое биективное отображение, обратное к которому также многократно непрерывно дифференцируемо. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\simeq N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

Диффеоморфизмы подмножеств многообразий

Для подмножества многообразия и подмножества многообразия функция называется гладкой, если для всех из существует окрестность и гладкая функция, такие, что ограничения совпадают: (заметим, что является расширением ). Функция называется диффеоморфизмом, если она биективна, гладка и ее обратная функция также гладкая . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g:U\to N}$ ${\displaystyle g_{|U\cap X}=f_{|U\cap X}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Местное описание

Проверка того, является ли дифференцируемое отображение диффеоморфизмом, может быть выполнена локально при некоторых умеренных ограничениях. Это теорема Адамара-Каччиопполи: ^[1]

Если , являются связными открытыми подмножествами такого , что является односвязным , дифференцируемое отображение является диффеоморфизмом, если оно является собственным и если дифференциал является биекцией (и, следовательно, линейным изоморфизмом ) в каждой точке из . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle Df_{x}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$

Некоторые замечания:

Для того, чтобы функция была глобально обратимой, необходимо, чтобы она была односвязной (при единственном условии, что ее производная будет биективным отображением в каждой точке). Например, рассмотрим «реализацию» комплексной квадратной функции ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\to \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\\(x,y)\mapsto (x^{2}-y^{2},2xy).\end{cases}}}$

Тогда сюръективно и удовлетворяет ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \det Df_{x}=4(x^{2}+y^{2})\neq 0.}$

Таким образом, хотя и является биективным в каждой точке, он необратим, поскольку не является инъективным (например, ). ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(1,0)=(1,0)=f(-1,0)}$

Так как дифференциал в точке (для дифференцируемой функции)

${\displaystyle Df_{x}:T_{x}U\to T_{f(x)}V}$

является линейным отображением , оно имеет четко определенную обратную матрицу тогда и только тогда, когда является биекцией. Матричное представление представляет собой матрицу частных производных первого порядка , запись которой в -й строке и -м столбце равна . Эта так называемая матрица Якоби часто используется для явных вычислений. ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \partial f_{i}/\partial x_{j}}$

Диффеоморфизмы обязательно существуют между многообразиями одной и той же размерности . Представьте себе переход из одной размерности в другую . Если то никогда не может быть сюръективным, а если то никогда не может быть инъективным. В обоих случаях, следовательно, не может быть биекцией. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n<k}$ ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle n>k}$ ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle Df_{x}}$

Если является биекцией в , то говорят, что это локальный диффеоморфизм (так как по непрерывности также будет биекцией для всех достаточно близких к ). ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Df_{y}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Если задано гладкое отображение из измерения в измерение , то если (или, локально, ) является сюръективным, то оно называется погружением (или, локально, «локальным погружением»); а если (или, локально, ) является инъективным, то оно называется погружением (или, локально, «локальным погружением»). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Df}$ ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Df}$ ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle f}$

Дифференцируемая биекция не обязательно является диффеоморфизмом. Например, не является диффеоморфизмом из в себя, поскольку его производная обращается в нуль в точке 0 (и, следовательно, его обратная не дифференцируема в точке 0). Это пример гомеоморфизма , который не является диффеоморфизмом. ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Когда — отображение между дифференцируемыми многообразиями, диффеоморфность является более сильным условием, чем гомеоморфность . Для диффеоморфизма и его обратное должны быть дифференцируемыми ; для гомеоморфизма и его обратное должны быть только непрерывными . Каждый диффеоморфизм является гомеоморфизмом, но не каждый гомеоморфизм является диффеоморфизмом. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f:M\to N}$является диффеоморфизмом, если в координатных картах он удовлетворяет определению выше. Точнее: выберите любое покрытие совместимыми координатными картами и сделайте то же самое для . Пусть и будут картами на, соответственно, и , причем и как, соответственно, образы и . Тогда карта является диффеоморфизмом, как в определении выше, всякий раз, когда . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi f\phi ^{-1}:U\to V}$ ${\displaystyle f(\phi ^{-1}(U))\subseteq \psi ^{-1}(V)}$

Примеры

Поскольку любое многообразие может быть локально параметризовано, мы можем рассмотреть некоторые явные отображения из в . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

• Позволять

${\displaystyle f(x,y)=\left(x^{2}+y^{3},x^{2}-y^{3}\right).}$

Мы можем вычислить матрицу Якоби:

${\displaystyle J_{f}={\begin{pmatrix}2x&3y^{2}\\2x&-3y^{2}\end{pmatrix}}.}$

Матрица Якоби имеет нулевой определитель тогда и только тогда, когда . Мы видим, что это может быть только диффеоморфизмом вдали от -оси и -оси. Однако не является биективным, так как , и, таким образом, не может быть диффеоморфизмом. ${\displaystyle xy=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x,y)=f(-x,y)}$

• Позволять

${\displaystyle g(x,y)=\left(a_{0}+a_{1,0}x+a_{0,1}y+\cdots ,\ b_{0}+b_{1,0}x+b_{0,1}y+\cdots \right)}$

где и являются произвольными действительными числами , а опущенные члены имеют степень не ниже двух по x и y . Мы можем вычислить матрицу Якоби в точке 0 : ${\displaystyle a_{i,j}}$ ${\displaystyle b_{i,j}}$

${\displaystyle J_{g}(0,0)={\begin{pmatrix}a_{1,0}&a_{0,1}\\b_{1,0}&b_{0,1}\end{pmatrix}}.}$

Мы видим, что g является локальным диффеоморфизмом в точке 0 тогда и только тогда, когда

${\displaystyle a_{1,0}b_{0,1}-a_{0,1}b_{1,0}\neq 0,}$

т.е. линейные члены в компонентах g линейно независимы как многочлены .

• Позволять

${\displaystyle h(x,y)=\left(\sin(x^{2}+y^{2}),\cos(x^{2}+y^{2})\right).}$

Мы можем вычислить матрицу Якоби:

${\displaystyle J_{h}={\begin{pmatrix}2x\cos(x^{2}+y^{2})&2y\cos(x^{2}+y^{2})\\-2x\sin(x^{2}+y^{2})&-2y\sin(x^{2}+y^{2})\end{pmatrix}}.}$

Матрица Якоби имеет нулевой определитель везде! Фактически мы видим, что изображение h — это единичная окружность .

Деформации поверхности

В механике преобразование, вызванное напряжением, называется деформацией и может быть описано диффеоморфизмом. Диффеоморфизм между двумя поверхностями и имеет матрицу Якоби, которая является обратимой матрицей . Фактически, требуется, чтобы для в , существовала окрестность , в которой якобиан остается невырожденным . Предположим, что в карте поверхности, ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Df}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Df}$ ${\displaystyle f(x,y)=(u,v).}$

Полный дифференциал u равен​

${\displaystyle du={\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy}$, и аналогично для v .

Тогда изображение является линейным преобразованием , фиксирующим начало координат и выражаемым как действие комплексного числа определенного типа. Когда ( dx ,  dy ) также интерпретируется как этот тип комплексного числа, действие представляет собой комплексное умножение в соответствующей плоскости комплексных чисел. Таким образом, существует тип угла ( евклидов , гиперболический или наклонный ), который сохраняется при таком умножении. Поскольку Df обратим, тип комплексного числа однороден по поверхности. Следовательно, поверхностная деформация или диффеоморфизм поверхностей обладает конформным свойством сохранения (соответствующего типа) углов. ${\displaystyle (du,dv)=(dx,dy)Df}$

Группа диффеоморфизмов

Пусть — дифференцируемое многообразие, которое является счетно-секундным и хаусдорфовым . Группа диффеоморфизмов — это группа всех диффеоморфизмов в себя, обозначаемая или, когда подразумевается, . Это «большая» группа в том смысле, что — при условии, что она не нульмерна — она не является локально компактной . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}^{r}(M)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(M)}$ ${\displaystyle M}$

Топология

Группа диффеоморфизмов имеет две естественные топологии : слабую и сильную (Hirsch 1997). Когда многообразие компактно , эти две топологии согласуются. Слабая топология всегда метризуема . Когда многообразие не компактно, сильная топология фиксирует поведение функций «на бесконечности» и не метризуема. Однако она по-прежнему является топологией Бэра .

Зафиксировав риманову метрику на , слабая топология — это топология, индуцированная семейством метрик ${\displaystyle M}$

${\displaystyle d_{K}(f,g)=\sup \nolimits _{x\in K}d(f(x),g(x))+\sum \nolimits _{1\leq p\leq r}\sup \nolimits _{x\in K}\left\|D^{p}f(x)-D^{p}g(x)\right\|}$

как изменяется по компактным подмножествам . Действительно, поскольку является -компактным, существует последовательность компактных подмножеств , объединение которых равно . Тогда: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle d(f,g)=\sum \nolimits _{n}2^{-n}{\frac {d_{K_{n}}(f,g)}{1+d_{K_{n}}(f,g)}}.}$

Группа диффеоморфизмов, снабженная своей слабой топологией, локально гомеоморфна пространству векторных полей (Leslie 1967). Над компактным подмножеством это следует из фиксации римановой метрики на и использования экспоненциального отображения для этой метрики. Если конечно и многообразие компактно, пространство векторных полей является банаховым пространством . Более того, отображения перехода от одной карты этого атласа к другой являются гладкими, что делает группу диффеоморфизмов в банахово многообразие с гладкими правыми переносами; левые переносы и инверсия непрерывны только. Если , пространство векторных полей является пространством Фреше . Более того, отображения перехода являются гладкими, что делает группу диффеоморфизмов в многообразие Фреше и даже в регулярную группу Ли Фреше . Если многообразие является -компактным и не компактным, полная группа диффеоморфизмов не является локально стягиваемой ни для одной из двух топологий. Чтобы получить группу диффеоморфизмов, которая является многообразием, необходимо ограничить группу, контролируя отклонение от тождества вблизи бесконечности; см. (Michor & Mumford 2013). ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=\infty }$ ${\displaystyle \sigma }$

алгебра Ли

Алгебра Ли группы диффеоморфизмов состоит из всех векторных полей на , снабженных скобкой Ли векторных полей . Несколько формально, это видно, делая небольшое изменение координаты в каждой точке пространства: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+\varepsilon h^{\mu }(x)}$

поэтому бесконечно малые генераторы — это векторные поля

${\displaystyle L_{h}=h^{\mu }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}.}$

Примеры

• Когда — группа Ли , то существует естественное включение в ее собственную группу диффеоморфизмов посредством левого переноса. Пусть обозначает группу диффеоморфизмов , тогда существует расщепление , где — подгруппа , которая фиксирует единичный элемент группы. ${\displaystyle M=G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(G)\simeq G\times {\text{Diff}}(G,e)}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(G,e)}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(G)}$
• Группа диффеоморфизмов евклидова пространства состоит из двух компонент, состоящих из сохраняющих ориентацию и обращающих ориентацию диффеоморфизмов. Фактически, общая линейная группа является деформационным ретрактом подгруппы диффеоморфизмов, фиксирующих начало координат при отображении . В частности, общая линейная группа также является деформационным ретрактом полной группы диффеоморфизмов. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(\mathbb {R} ^{n},0)}$ ${\displaystyle f(x)\to f(tx)/t,t\in (0,1]}$
• Для конечного множества точек группа диффеоморфизмов — это просто симметрическая группа . Аналогично, если — любое многообразие, то существует расширение группы . Здесь — подгруппа , которая сохраняет все компоненты , а — группа перестановок множества (компоненты ). Более того, образ отображения — это биекции , которые сохраняют классы диффеоморфизмов. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 0\to {\text{Diff}}_{0}(M)\to {\text{Diff}}(M)\to \Sigma (\pi _{0}(M))}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}_{0}(M)}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Sigma (\pi _{0}(M))}$ ${\displaystyle \pi _{0}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(M)\to \Sigma (\pi _{0}(M))}$ ${\displaystyle \pi _{0}(M)}$

Транзитивность

Для связного многообразия группа диффеоморфизмов действует транзитивно на . В более общем случае группа диффеоморфизмов действует транзитивно на конфигурационном пространстве . Если является по крайней мере двумерным, группа диффеоморфизмов действует транзитивно на конфигурационном пространстве , а действие на является многократно транзитивным (Баняга 1997, стр. 29). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C_{k}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F_{k}M}$ ${\displaystyle M}$

Расширения диффеоморфизмов

В 1926 году Тибор Радо задался вопросом, дает ли гармоническое расширение любого гомеоморфизма или диффеоморфизма единичной окружности на единичный круг диффеоморфизм на открытый круг. Элегантное доказательство было вскоре предоставлено Хельмутом Кнезером . В 1945 году Гюстав Шоке , по-видимому, не зная об этом результате, представил совершенно иное доказательство.

Группа диффеоморфизмов (сохраняющих ориентацию) окружности линейно связна. Это можно увидеть, заметив, что любой такой диффеоморфизм может быть поднят до диффеоморфизма вещественных чисел, удовлетворяющего ; это пространство выпукло и, следовательно, линейно связно. Гладкий, в конечном счете постоянный путь к тождеству дает второй более элементарный способ расширения диффеоморфизма с окружности на открытый единичный круг (частный случай трюка Александера ) . Более того, группа диффеоморфизмов окружности имеет гомотопический тип ортогональной группы . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [f(x+1)=f(x)+1]}$ ${\displaystyle O(2)}$

Соответствующая проблема расширения для диффеоморфизмов многомерных сфер активно изучалась в 1950-х и 1960-х годах, с заметным вкладом Рене Тома , Джона Милнора и Стивена Смейла . Препятствием к таким расширениям является конечная абелева группа , « группа скрученных сфер », определяемая как фактор абелевой компонентной группы группы диффеоморфизмов по подгруппе классов, расширяющихся до диффеоморфизмов шара . ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle \Gamma _{n}}$ ${\displaystyle B^{n}}$

Связанность

Для многообразий группа диффеоморфизмов обычно не связна. Её компонентная группа называется группой классов отображений . В размерности 2 (т. е. поверхностях ) группа классов отображений является конечно представленной группой, порожденной скручиваниями Дена ; это было доказано Максом Деном , В. Б. Р. Ликоришем и Алленом Хэтчером ). ^{[ необходима цитата ]} Макс Ден и Якоб Нильсен показали, что её можно отождествить с внешней группой автоморфизмов фундаментальной группы поверхности.

Уильям Терстон усовершенствовал этот анализ, классифицировав элементы группы классов отображения на три типа: эквивалентные периодическому диффеоморфизму; эквивалентные диффеоморфизму, оставляющему инвариантной простую замкнутую кривую; и эквивалентные псевдоаносовским диффеоморфизмам . В случае тора группа классов отображения — это просто модулярная группа , и классификация становится классической в ​​терминах эллиптических , параболических и гиперболических матриц. Терстон завершил свою классификацию, заметив, что группа классов отображения действует естественным образом на компактификацию пространства Тейхмюллера ; поскольку это расширенное пространство гомеоморфно замкнутому шару, теорема Брауэра о неподвижной точке становится применимой. Смейл предположил , что если — ориентированное гладкое замкнутое многообразие, то единичная компонента группы диффеоморфизмов, сохраняющих ориентацию, является простой . Это было впервые доказано для произведения окружностей Мишелем Германом; это было доказано в полной общности Терстоном. ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle M}$

Гомотопические типы

• Группа диффеоморфизмов имеет гомотопический тип подгруппы . Это доказал Стив Смейл. ^[2] ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle O(3)}$
• Группа диффеоморфизмов тора имеет гомотопический тип своих линейных автоморфизмов : . ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}\times {\text{GL}}(2,\mathbb {Z} )}$
• Группы диффеоморфизмов ориентируемых поверхностей рода имеют гомотопический тип своих групп классов отображений (т.е. компоненты являются стягиваемыми). ${\displaystyle g>1}$
• Гомотопический тип групп диффеоморфизмов 3-многообразий достаточно хорошо изучен благодаря работам Иванова, Хэтчера, Габая и Рубинштейна, хотя есть несколько выдающихся открытых случаев (в основном 3-многообразия с конечными фундаментальными группами ).
• Гомотопический тип групп диффеоморфизмов -многообразий для плохо изучен. Например, это открытая проблема, имеет ли или нет более двух компонент. Однако, через Милнора, Кана и Антонелли известно, что при условии , что не имеет гомотопического типа конечного CW-комплекса . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>3}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(S^{4})}$ ${\displaystyle n>6}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(S^{n})}$

Гомеоморфизм и диффеоморфизм

Поскольку каждый диффеоморфизм является гомеоморфизмом, то для пары многообразий, которые диффеоморфны друг другу, они в частности гомеоморфны друг другу. Обратное в общем случае неверно.

Хотя легко найти гомеоморфизмы, которые не являются диффеоморфизмами, сложнее найти пару гомеоморфных многообразий, которые не являются диффеоморфными. В размерностях 1, 2 и 3 любая пара гомеоморфных гладких многообразий диффеоморфна. В размерности 4 или выше существуют примеры гомеоморфных, но не диффеоморфных пар. Первый такой пример был построен Джоном Милнором в размерности 7. Он построил гладкое 7-мерное многообразие (сейчас называемое сферой Милнора ), которое гомеоморфно стандартной 7-мерной сфере, но не диффеоморфно ей. Фактически существует 28 классов ориентированных диффеоморфизмов многообразий, гомеоморфных 7-мерной сфере (каждый из них является полным пространством расслоения над 4-мерной сферой с 3-мерной сферой в качестве слоя).

Более необычные явления происходят для 4-многообразий . В начале 1980-х годов сочетание результатов Саймона Дональдсона и Майкла Фридмана привело к открытию экзотического : существует несчетное множество попарно недиффеоморфных открытых подмножеств , каждое из которых гомеоморфно , а также существует несчетное множество попарно недиффеоморфных дифференцируемых многообразий , гомеоморфных , которые не вкладываютсь гладко в . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Смотрите также

• Диффеоморфизм Аносова, такой как отображение кошки Арнольда
• Аномалия Диффео, также известная как гравитационная аномалия , тип аномалии в квантовой механике.
• Диффеология , гладкая параметризация на множестве, которая образует диффеологическое пространство
• Диффеоморфометрия , метрическое исследование формы и очертаний в вычислительной анатомии
• Этальный морфизм
• Большой диффеоморфизм
• Локальный диффеоморфизм
• Супердиффеоморфизм

Примечания

1. Стивен Г. Кранц; Гарольд Р. Паркс (2013). Теорема о неявной функции: история, теория и приложения . Springer. стр. Теорема 6.2.4. ISBN 978-1-4614-5980-4.
2. Смейл (1959). «Диффеоморфизмы 2-сферы». Proc. Amer. Math. Soc . 10 (4): 621–626. doi : 10.1090/s0002-9939-1959-0112149-8 .

Ссылки

• Кранц, Стивен Г.; Паркс, Гарольд Р. (2013). Теорема о неявной функции: история, теория и приложения . Современная классика Биркхойзера. Бостон. ISBN 978-1-4614-5980-4.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Чаудхури, Шьямоли; Каваи, Хикару; Тай, С.-Х. Генри (1987-08-15). "Формулировка интеграла по траектории замкнутых струн" (PDF) . Physical Review D . 36 (4): 1148–1168. Bibcode :1987PhRvD..36.1148C. doi :10.1103/physrevd.36.1148. ISSN  0556-2821. PMID  9958280. S2CID  41709882. Архивировано (PDF) из оригинала 21.07.2018.
• Баньяга, Августин (1997), Структура классических групп диффеоморфизмов , Математика и ее приложения, т. 400, Kluwer Academic, ISBN 0-7923-4475-8
• Дюрен, Питер Л. (2004), Гармонические отображения на плоскости , Cambridge Mathematical Tracts, т. 156, Cambridge University Press, ISBN 0-521-64121-7
• «Диффеоморфизм», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Хирш, Моррис (1997), Дифференциальная топология , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90148-0
• Кригль, Андреас; Михор, Питер (1997), Удобная настройка глобального анализа , Математические обзоры и монографии, т. 53, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-0780-3
• Лесли, JA (1967), «О дифференциальной структуре для группы диффеоморфизмов», Топология , 6 (2): 263–271, doi : 10.1016/0040-9383(67)90038-9 , ISSN  0040-9383, MR  0210147
• Michor, Peter W.; Mumford, David (2013), «Зоопарк групп диффеоморфизмов на R ⁿ .», Annals of Global Analysis and Geometry , 44 (4): 529–540, arXiv : 1211.5704 , doi : 10.1007/s10455-013-9380-2, S2CID  118624866
• Милнор, Джон У. (2007), Собрание сочинений, том III, Дифференциальная топология , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4230-0
• Омори, Хидеки (1997), Бесконечномерные группы Ли , Переводы математических монографий, т. 158, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-4575-6
• Кнезер, Хельмут (1926), «Lösung der Aufgabe 41.», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (на немецком языке), 35 (2): 123