stringtranslate.com

Псевдогруппа

В математике псевдогруппа — это множество диффеоморфизмов между открытыми множествами пространства, удовлетворяющее групповым и пучковым свойствам. Это обобщение [ сомнительное — обсудить ] понятия группы , возникшее, однако, из геометрического подхода Софуса Ли [1] к исследованию симметрий дифференциальных уравнений, а не из абстрактной алгебры (такой как квазигруппа , например). Современная теория псевдогрупп была разработана Эли Картаном в начале 1900-х годов. [2] [3]

Определение

Псевдогруппа накладывает несколько условий на множества гомеоморфизмов (соответственно, диффеоморфизмов ), определенных на открытых множествах U данного евклидова пространства или, более общо, фиксированного топологического пространства (соответственно, гладкого многообразия ). Поскольку два гомеоморфизма h  : U → V и g  : V → W составляют гомеоморфизм из U в W , возникает вопрос, замкнута ли псевдогруппа относительно композиции и инверсии. Однако, в отличие от аксиом для группы, аксиомы, определяющие псевдогруппу, не являются чисто алгебраическими; дальнейшие требования связаны с возможностью ограничения и склеивания гомеоморфизмов (аналогично аксиоме склеивания для сечений пучка).

Точнее, псевдогруппа на топологическом пространстве S — это совокупность Γ гомеоморфизмов между открытыми подмножествами S, удовлетворяющая следующим свойствам: [4] [5]

  1. Области определения элементов g в Γ покрывают S (« покрытие »).
  2. Ограничение элемента g в Γ на любое открытое множество, содержащееся в его области определения, также находится в Γ (« ограничение »).
  3. Композиция g ∘ h двух элементов Γ , если она определена, содержится в Γ (« композиция »).
  4. Обратный элемент g находится в Γ (« обратный »).
  5. Свойство лежать в Γ является локальным, т.е. если g  : U → V является гомеоморфизмом между открытыми множествами S и U покрывается открытыми множествами U i , причем g ограничено U i , лежащим в Γ для каждого i , то g также лежит в Γ (« локально »).

Как следствие, тождественный гомеоморфизм любого открытого подмножества S лежит в Γ .

Аналогично, псевдогруппа на гладком многообразии X определяется как совокупность Γ диффеоморфизмов между открытыми подмножествами X, удовлетворяющими аналогичным свойствам (где мы заменяем гомеоморфизмы диффеоморфизмами). [6]

Говорят, что две точки в X находятся на одной орбите , если элемент Γ переводит одну в другую. Орбиты псевдогруппы, очевидно, образуют разбиение X ; псевдогруппа называется транзитивной, если она имеет только одну орбиту.

Примеры

Распространенный класс примеров дают псевдогруппы, сохраняющие заданную геометрическую структуру. Например, если ( X , g ) — риманово многообразие , то имеется псевдогруппа его локальных изометрий ; если ( X , ω ) — симплектическое многообразие , то имеется псевдогруппа его локальных симплектоморфизмов ; и т. д. Эти псевдогруппы следует рассматривать как множество локальных симметрий этих структур.

Псевдогруппы симметрий и геометрических структур

Многообразия с дополнительными структурами часто можно определить с помощью псевдогрупп симметрий фиксированной локальной модели. Точнее, если задана псевдогруппа Γ , Γ -атлас на топологическом пространстве S состоит из стандартного атласа на S, такого , что изменения координат (т.е. отображения перехода) принадлежат Γ . Эквивалентный класс Γ-атласов также называется Γ -структурой на S.

В частности, когда Γ является псевдогруппой всех локально определенных диффеоморфизмов R n , восстанавливается стандартное понятие гладкого атласа и гладкой структуры . В более общем смысле, можно определить следующие объекты как Γ -структуры на топологическом пространстве S :

В более общем случае любая интегрируемая G -структура и любое ( G , X ) -многообразие являются частными случаями Γ -структур для подходящих псевдогрупп Γ .

Псевдогруппы и теория Лжи

В целом, псевдогруппы изучались как возможная теория бесконечномерных групп Ли . Концепция локальной группы Ли , а именно псевдогруппы функций, определенных в окрестностях начала координат евклидова пространства E , на самом деле ближе к первоначальной концепции группы Ли Ли Ли, в случае, когда задействованные преобразования зависят от конечного числа параметров , чем современное определение через многообразия . Одним из достижений Картана было прояснение затронутых моментов, включая тот момент, что локальная группа Ли всегда порождает глобальную группу, в современном смысле (аналог третьей теоремы Ли об алгебрах Ли , определяющих группу). Формальная группа является еще одним подходом к спецификации групп Ли, бесконечно малым. Известно, однако, что локальные топологические группы не обязательно имеют глобальные аналоги.

Примеров бесконечномерных псевдогрупп предостаточно, начиная с псевдогруппы всех диффеоморфизмов E. Интерес в основном направлен на подпсевдогруппы диффеоморфизмов, а следовательно, на объекты, имеющие аналог векторных полей в алгебре Ли. Методы, предложенные Ли и Картаном для изучения этих объектов , стали более практичными с учетом прогресса компьютерной алгебры .

В 1950-х годах теория Картана была переформулирована Шиинг-Шеном Черном , а общая теория деформации для псевдогрупп была разработана Кунихико Кодаирой [7] и Д.К. Спенсером . [8] В 1960-х годах гомологическая алгебра была применена к основным вопросам PDE , связанным с переопределением; это, однако, показало, что алгебра теории потенциально очень тяжела. В том же десятилетии впервые появился интерес к теоретической физике бесконечномерной теории Ли в форме токовой алгебры .

Интуитивно, псевдогруппа Ли должна быть псевдогруппой, которая «происходит» из системы уравнений в частных производных. В литературе существует много похожих, но неэквивалентных понятий; [9] [10] [11] [12] [13] «правильное» из них зависит от того, какое приложение имеется в виду. Однако все эти различные подходы включают в себя (конечномерные или бесконечномерные) струйные расслоения Γ , которые, как предполагается, являются группоидом Ли . В частности, псевдогруппа Ли называется псевдогруппой конечного порядка k, если ее можно «восстановить» из пространства ее k - струй .

Ссылки

  1. ^ Софус, Ли (1888–1893). Теория групп трансформаций. Б. Г. Тойбнер. ОСЛК  6056947.
  2. ^ Картан, Эли (1904). «Структура бесконечных групп преобразований» (PDF) . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 21 : 153–206. дои : 10.24033/asens.538 .
  3. ^ Картан, Эли (1909). «Группы преобразований continus, infinis, simples» (PDF) . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 26 : 93–161. дои : 10.24033/asens.603 .
  4. ^ Кобаяси, Сёсити; Номидзу, Кацуми (1963). Основы дифференциальной геометрии, том I. Библиотека классических произведений Wiley. Нью-Йорк: John Wiley & Sons Inc. стр. 1–2. ISBN 0470496487.
  5. ^ Терстон, Уильям П. (1997). Сильвио Леви (ред.). Трехмерная геометрия и топология. Princeton Mathematical Series. Том 35. Princeton University Press . doi :10.1515/9781400865321. ISBN 0-691-08304-5. МР  1435975.
  6. ^ Лумис, Линн ; Стернберг, Шломо (2014). «Дифференцируемые многообразия». Advanced Calculus (пересмотренное издание). World Scientific. стр. 364–372. ISBN 978-981-4583-93-0. МР  3222280.
  7. ^ Кодаира, К. (1960). «О деформациях некоторых сложных псевдогрупповых структур». Annals of Mathematics . 71 (2): 224–302. doi :10.2307/1970083. ISSN  0003-486X. JSTOR  1970083.
  8. ^ Гийемен, Виктор; Стернберг, Шломо (1966). «Теория деформаций псевдогрупповых структур». Мемуары Американского математического общества (64): 0. doi : 10.1090/memo/0064 . ISSN  0065-9266.
  9. ^ Кумпера, Антонио; Спенсер, Дональд Клейтон (1973-01-01). Уравнения Ли, т. I. Princeton University Press. doi :10.1515/9781400881734. ISBN 978-1-4008-8173-4.
  10. ^ Singer, IM; Sternberg, Shlomo (1965). «Бесконечные группы Ли и Картана. Часть I, (Транзитивные группы)». Journal d'Analyse Mathématique . 15 (1): 1–114. doi :10.1007/bf02787690. ISSN  0021-7670. S2CID  123124081.
  11. ^ Клод., Альберт (1984–1987). Псевдогруппы транзитивов Лия. Герман. OCLC  715985799.
  12. ^ Кураниси, Масатаке (1959). «О локальной теории непрерывных бесконечных псевдогрупп I». Nagoya Mathematical Journal . 15 : 225–260. doi : 10.1017/s0027763000006747 . ISSN  0027-7630.
  13. ^ Olver, Peter J.; Pohjanpelto, Juha (2005). «Формы Маурера–Картана и структура псевдогрупп Ли». Selecta Mathematica . 11 (1): 99–126. doi :10.1007/s00029-005-0008-7. ISSN  1022-1824. S2CID  14712181.

Внешние ссылки