В геометрии символ Витхоффа — это обозначение, представляющее конструкцию Витхоффа однородного многогранника или плоской мозаики внутри треугольника Шварца . Впервые он был использован Коксетером , Лонге-Хиггинсом и Миллером в их перечислении однородных многогранников. Позднее диаграмма Коксетера была разработана для обозначения однородных многогранников и сот в n-мерном пространстве внутри фундаментального симплекса.
Символ Витхоффа состоит из трех чисел и вертикальной черты. Он представляет собой один однородный многогранник или мозаику, хотя одна и та же мозаика/многогранник может иметь разные символы Витхоффа из разных генераторов симметрии. Например, правильный куб может быть представлен как 3 | 2 4 с симметрией O h и 2 4 | 2 как квадратная призма с 2 цветами и симметрией D 4h , а также 2 2 2 | с 3 цветами и симметрией D 2h .
С небольшим расширением символ Витхоффа может быть применен ко всем однородным многогранникам. Однако методы построения не приводят ко всем однородным мозаикам в евклидовом или гиперболическом пространстве.
Построение Витхоффа начинается с выбора точки-генератора на фундаментальном треугольнике. Эта точка должна быть выбрана на равном расстоянии от всех ребер, на которых она не лежит, и затем из нее опускается перпендикулярная линия на каждое такое ребро.
Три числа в символе Витхоффа, p , q и r , представляют собой углы треугольника Шварца, использованного в конструкции, которые являются π/п , π/д , и π/г радиан соответственно. Треугольник также представлен теми же числами, записанными ( p q r ). Вертикальная черта в символе указывает категориальное положение точки генератора внутри фундаментального треугольника в соответствии со следующим:
В этой нотации зеркала помечены порядком отражения противоположной вершины. Значения p , q , r указаны перед чертой, если соответствующее зеркало активно.
Специальное использование — символ | p q r , который обозначает случай, когда все зеркала активны, но нечетные отраженные изображения игнорируются. Полученная фигура имеет только вращательную симметрию.
Точка генератора может быть как на каждом зеркале, так и вне его, активированной или нет. Это различие создает 8 (2 3 ) возможных форм, но та, в которой точка генератора находится на всех зеркалах, невозможна. Символ, который обычно ссылается на это, повторно используется для укладки с выступом.
Символ Витхоффа функционально похож на более общую диаграмму Коксетера-Дынкина , в которой каждый узел представляет собой зеркало, а дуги между ними, обозначенные числами, — углы между зеркалами. (Дуга, представляющая прямой угол, опущена.) Узел обведен кружком, если точка-генератор не находится на зеркале.
Фундаментальные треугольники нарисованы в чередующихся цветах как зеркальные отражения. Последовательность треугольников ( p 3 2) меняется от сферических ( p = 3, 4, 5) к евклидовым ( p = 6) и гиперболическим ( p ≥ 7). Гиперболические мозаики показаны как проекция диска Пуанкаре .