Теория Янга – Миллса

Физическая теория, объединяющая электромагнитное, слабое и сильное взаимодействия

Нерешенная задача по физике :

Теория Янга-Миллса в непертурбативном режиме : Уравнения Янга-Миллса остаются нерешенными в энергетических масштабах , важных для описания атомных ядер . Как теория Янга-Миллса порождает физику ядер и ядерных компонентов ?

(еще нерешенные задачи по физике)

Фраза « теория Янга – Миллса» означает как квантовую теорию поля ядерной связи, разработанную Чэнь Нин Яном и Робертом Миллсом в 1953 году, так и класс подобных теорий. В математической физике теория Янга-Миллса — это калибровочная теория , основанная на специальной унитарной группе SU( n ) или, в более общем смысле, на любой компактной группе Ли . Теория Янга-Миллса стремится описать поведение элементарных частиц с использованием этих неабелевых групп Ли и лежит в основе объединения электромагнитного взаимодействия и слабых взаимодействий (т.е. U(1) × SU(2) ), а также квантовая хромодинамика , теория сильного взаимодействия (на основе SU(3) ). Таким образом, это формирует основу нашего понимания Стандартной модели физики элементарных частиц.

История и качественное описание

Калибровочная теория в электродинамике

Все известные фундаментальные взаимодействия можно описать с помощью калибровочных теорий, но на их разработку ушли десятилетия. ^[1] Герман Вейль добился первого большого прогресса в этом проекте между 1915 годом, когда его коллега Амалия Эмми Нётер доказала, что каждая сохраняющаяся физическая величина обладает соответствующей симметрией, и 1928 годом, когда он опубликовал свою книгу, применяющую геометрическую теорию симметрии ( теорию групп ). к квантовой механике. ^{[2] : 194} Именно Вейль назвал симметрии, полезные в теореме Нётер, «калибровочной симметрией», думая в то время, что они связаны со стандартизацией расстояний, аналогичной железнодорожной колеи. С появлением квантовой механики уверенность в железных дорогах устарела, но название и ценность этой концепции сохранились.

Эрвин Шрёдингер в 1922 году, за три года до работы над своим знаменитым уравнением, связал концепцию группы Вейля с зарядом электрона. Шредингер показал, что группа произвела фазовый сдвиг в электромагнитных полях, соответствующий закону сохранения электрического заряда. ^{[2] : 198} По мере развития теории квантовой электродинамики в 1930-х и 1940-х годах групповые преобразования играли центральную роль. Многие физики считали, что должен быть аналог динамики нуклонов. Чэнь Нин Ян особенно был одержим этой возможностью. ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle U(1)}$

Ян и Миллс открывают калибровочную теорию ядерной силы

Основная идея Янга заключалась в том, чтобы найти в ядерной физике сохраняющуюся величину, сравнимую с электрическим зарядом, и использовать ее для разработки соответствующей калибровочной теории, сравнимой с электродинамикой. Он остановился на сохранении изоспина — квантового числа, которое отличает нейтрон от протона, но не добился прогресса в теории. ^{[2] : 200} Летом 1953 года, отдыхая в Принстоне, Ян встретил сотрудника, который мог помочь: Роберта Миллса . Как описывает сам Миллс:

«В течение 1953–1954 учебного года Ян был посетителем Брукхейвенской национальной лаборатории ... Я тоже был в Брукхейвене... и был назначен в тот же офис, что и Ян. Ян, который неоднократно демонстрировал свою щедрость. физикам, начинающим свою карьеру, рассказал мне о своей идее обобщения калибровочной инвариантности, и мы довольно подробно обсудили ее ... Я смог внести кое-что в дискуссии, особенно в отношении процедур квантования, и в небольшой степени в работе вне формализма; однако ключевые идеи принадлежали Яну». ^[3]

Летом 1953 года Ян и Миллс расширили концепцию калибровочной теории для абелевых групп , например, квантовой электродинамики , на неабелевы группы, выбрав группу , чтобы дать объяснение сохранению изоспина в столкновениях, включающих сильные взаимодействия. Презентация работы Янга в Принстоне в феврале 1954 года была подвергнута сомнению Паули, задав вопрос о массе в поле, разработанной с помощью идеи калибровочной инвариантности. ^{[2] : 202} Паули знал, что это может быть проблемой, поскольку он работал над применением калибровочной инвариантности, но решил не публиковать ее, рассматривая безмассовые возбуждения теории как «нефизические «теневые частицы»». ^{[1] : 13} Ян и Миллс, опубликованные в октябре 1954 года; ближе к концу статьи они признаются: ${\displaystyle SU(2)}$

Далее мы подходим к вопросу о массе кванта , на который у нас нет удовлетворительного ответа. ^[4] ${\displaystyle b}$

Эта проблема нефизического безмассового возбуждения блокировала дальнейший прогресс. ^[2]

Идея была отложена до 1960 года, когда была выдвинута концепция частиц, приобретающих массу посредством нарушения симметрии в безмассовых теориях, первоначально Джеффри Голдстоуном , Йоитиро Намбу и Джованни Йона-Лазинио . Это побудило к значительному возобновлению исследований теории Янга-Миллса, которые оказались успешными в формулировке как электрослабого объединения , так и квантовой хромодинамики (КХД). Электрослабое взаимодействие описывается калибровочной группой SU(2) × U(1) , а КХД представляет собой SU(3) -теорию Янга–Миллса. Безмассовые калибровочные бозоны электрослабого SU(2) × U(1) после спонтанного нарушения симметрии смешиваются с образованием трех массивных слабых бозонов (
Вт⁺
,
Вт⁻
, и
З⁰
), а также еще безмассовое фотонное поле. Динамика поля фотонов и его взаимодействие с веществом, в свою очередь, определяются калибровочной теорией U(1) квантовой электродинамики. Стандартная модель объединяет сильное взаимодействие с единым электрослабым взаимодействием (объединяющим слабое и электромагнитное взаимодействие ) посредством группы симметрии SU(3) × SU(2) × U(1) . В современную эпоху сильное взаимодействие не объединено с электрослабым взаимодействием, но на основании наблюдаемого ^хода констант связи считается, что ^{все они сходятся} к одному значению при очень высоких энергиях.

Феноменология при более низких энергиях в квантовой хромодинамике до конца не понята из-за трудностей управления такой теорией с сильной связью. Это может быть причиной того, что удержание не было теоретически доказано, хотя это последовательное экспериментальное наблюдение. Это показывает, почему удержание КХД при низких энергиях является очень актуальной математической проблемой и почему проблема существования Янга-Миллса и проблема массовой разницы является проблемой Премии тысячелетия .

Параллельная работа над неабелевыми калибровочными теориями.

В 1953 году в частной переписке Вольфганг Паули сформулировал шестимерную теорию уравнений поля Эйнштейна общей теории относительности , распространив пятимерную теорию Калуцы, Клейна , Фока и других на многомерное внутреннее пространство. ^[5] Однако нет никаких свидетельств того, что Паули разработал лагранжиан калибровочного поля или его квантование. Поскольку Паули обнаружил, что его теория «приводит к некоторым довольно нефизическим теневым частицам», он воздержался от официальной публикации своих результатов. ^[5] Хотя Паули не опубликовал свою шестимерную теорию, он прочитал о ней две лекции на семинаре в Цюрихе в ноябре 1953 года. ^[5]

В январе 1954 года Рональд Шоу, аспирант Кембриджского университета, также разработал неабелеву калибровочную теорию ядерных сил. ^[6] Однако теория нуждалась в безмассовых частицах, чтобы поддерживать калибровочную инвариантность . Поскольку в то время такие безмассовые частицы не были известны, Шоу и его руководитель Абдус Салам решили не публиковать свою работу. ^[6] Вскоре после того, как Ян и Миллс опубликовали свою статью в октябре 1954 года, Салам призвал Шоу опубликовать свою работу, чтобы отметить его вклад. Шоу отказался, и вместо этого это всего лишь глава его докторской диссертации, опубликованной в 1956 году. ^{[7] [8]}

Математический обзор

Коэффициент d x ¹ ⊗ σ ₃ инстантона BPST на ( x ¹ , x ² ) -срезе ℝ ⁴ , где σ ₃ - третья матрица Паули (вверху слева). Коэффициент d x ² ⊗ σ ₃ (вверху справа). Эти коэффициенты определяют ограничение инстантона A BPST с g =2, ρ =1, z =0 на этот срез. Соответствующая напряженность поля сосредоточена вокруг z = 0 (внизу слева). Визуальное представление напряженности поля BPST-инстантона с центром z на компактификации S 4 ^ℝ 4 ⁽ внизу справа). Инстантон BPST представляет собой классическое инстантонное решение уравнений Янга–Миллса на ℝ ⁴ .

Теории Янга – Миллса являются частными примерами калибровочных теорий с неабелевой группой симметрии, заданной лагранжианом

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }=-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} (F^{2})=-{\tfrac {1}{4}}F^{a\mu \nu }F_{\mu \nu }^{a}\ }$

с генераторами алгебры Ли с индексом a , соответствующими F -величинам ( форме кривизны или напряженности поля), удовлетворяющим ${\displaystyle \ T^{a}\ }$

${\displaystyle \ \operatorname {tr} \left(T^{a}\ T^{b}\right)={\tfrac {1}{2}}\delta ^{ab}\ ,\qquad \left[T^{a},\ T^{b}\right]=i\ f^{abc}\ T^{c}~.}$

Здесь f  ^abc являются структурными константами алгебры Ли (полностью антисимметричными, если генераторы алгебры Ли нормализованы так, что пропорциональны ), ковариантная производная определяется как ${\displaystyle \ \operatorname {tr} (T^{a}\ T^{b})\ }$ ${\displaystyle \ \delta ^{ab}\ }$

${\displaystyle \ D_{\mu }=I\ \partial _{\mu }-i\ g\ T^{a}\ A_{\mu }^{a}\ ,}$

I — единичная матрица (соответствующая размеру генераторов), — векторный потенциал, а g — константа связи . В четырех измерениях константа связи g представляет собой чистое число, а для группы SU( n ) она имеет ${\displaystyle \ A_{\mu }^{a}\ }$ ${\displaystyle \ a,b,c=1\ldots n^{2}-1~.}$

Отношение

${\displaystyle \ F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+g\ f^{abc}\ A_{\mu }^{b}\ A_{\nu }^{c}\ }$

можно получить с помощью коммутатора

${\displaystyle \ \left[D_{\mu },D_{\nu }\right]=-i\ g\ T^{a}\ F_{\mu \nu }^{a}~.}$

Поле обладает свойством самодействия, и получаемые уравнения движения называются полулинейными, поскольку нелинейности бывают как с производными, так и без них. Это означает, что управлять этой теорией можно только с помощью теории возмущений с малыми нелинейностями. ^{[ нужна цитата ]}

Заметим, что переход между «верхними» («контравариантными») и «нижними» («ковариантными») компонентами вектора или тензора тривиален для индексов (например ), тогда как для µ и ν он нетривиален, что соответствует, например, обычному Лоренцу подпись, ${\displaystyle \ f^{abc}=f_{abc}\ }$ ${\displaystyle \ \eta _{\mu \nu }={\rm {diag}}(+---)~.}$

Из данного лагранжиана можно вывести уравнения движения, заданные формулой

${\displaystyle \ \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+g\ f^{abc}\ A^{\mu b}\ F_{\mu \nu }^{c}=0~.}$

Их можно переписать как ${\displaystyle \ F_{\mu \nu }=T^{a}F_{\mu \nu }^{a}\ ,}$

${\displaystyle \ \left(D^{\mu }F_{\mu \nu }\right)^{a}=0~.}$

Тождество Бьянки сохраняется

${\displaystyle \ \left(D_{\mu }\ F_{\nu \kappa }\right)^{a}+\left(D_{\kappa }\ F_{\mu \nu }\right)^{a}+\left(D_{\nu }\ F_{\kappa \mu }\right)^{a}=0\ }$

что эквивалентно тождеству Якоби

${\displaystyle \ \left[D_{\mu },\left[D_{\nu },D_{\kappa }\right]\right]+\left[D_{\kappa },\left[D_{\mu },D_{\nu }\right]\right]+\left[D_{\nu },\left[D_{\kappa },D_{\mu }\right]\right]=0\ }$

поскольку Определим тензор двойной силы , то тождество Бьянки можно переписать как ${\displaystyle \ \left[D_{\mu },F_{\nu \kappa }^{a}\right]=D_{\mu }\ F_{\nu \kappa }^{a}~.}$ ${\displaystyle \ {\tilde {F}}^{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}\varepsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }\ ,}$

${\displaystyle \ D_{\mu }{\tilde {F}}^{\mu \nu }=0~.}$

Источник входит в уравнения движения как ${\displaystyle \ J_{\mu }^{a}\ }$

${\displaystyle \ \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+g\ f^{abc}\ A^{b\mu }\ F_{\mu \nu }^{c}=-J_{\nu }^{a}~.}$

Обратите внимание, что токи должны правильно меняться при преобразованиях калибровочной группы.

Приведем некоторые комментарии о физических размерах муфты. В измерениях D поле масштабируется так же, как и поэтому связь должна масштабироваться как. Это означает, что теория Янга – Миллса не подлежит перенормировке для размерностей больше четырех. Кроме того, при D = 4 связь безразмерна , и как поле, так и площадь связи имеют те же размеры, что и поле и связь безмассовой квартической скалярной теории поля . Итак, эти теории разделяют масштабную инвариантность на классическом уровне. ${\displaystyle \ \left[A\right]=\left[L^{\left({\tfrac {2-D}{2}}\right)}\right]\ }$ ${\displaystyle \ \left[g^{2}\right]=\left[L^{\left(D-4\right)}\right]~.}$

Квантование

Метод квантования теории Янга – Миллса заключается в использовании функциональных методов, то есть интегралов по путям . Производящий функционал для n -точечных функций вводится как

${\displaystyle \ Z[j]=\int [\mathrm {d} A]\ \exp \left[-{\tfrac {i}{2}}\int \mathrm {d} ^{4}x\ \operatorname {tr} \left(F^{\mu \nu }\ F_{\mu \nu }\right)+i\ \int \mathrm {d} ^{4}x\ j_{\mu }^{a}(x)\ A^{a\mu }(x)\right]\ ,}$

но этот интеграл не имеет никакого смысла, поскольку потенциальный вектор может быть выбран произвольно благодаря калибровочной свободе . Эта проблема уже была известна в квантовой электродинамике, но здесь становится более серьезной из-за неабелевых свойств калибровочной группы. Выход был дан Людвигом Фаддеевым и Виктором Поповым с введением призрачного поля (см. призрак Фаддеева–Попова ), обладающего свойством нефизичности, поскольку оно хотя и согласуется со статистикой Ферми–Дирака , но представляет собой комплексное скалярное поле. , что нарушает теорему о спин-статистике . Итак, мы можем записать производящий функционал как

${\displaystyle {\begin{aligned}Z[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]&=\int [\mathrm {d} \ A][\mathrm {d} \ {\bar {c}}][\mathrm {d} \ c]\ \exp {\Bigl \{}i\ S_{F}\ \left[\partial A,A\right]+i\ S_{gf}\left[\partial A\right]+i\ S_{g}\left[\partial c,\partial {\bar {c}},c,{\bar {c}},A\right]{\Bigr \}}\\&\exp \left\{i\int \mathrm {d} ^{4}x\ j_{\mu }^{a}(x)A^{a\mu }(x)+i\int \mathrm {d} ^{4}x\ \left[{\bar {c}}^{a}(x)\ \varepsilon ^{a}(x)+{\bar {\varepsilon }}^{a}(x)\ c^{a}(x)\right]\right\}\end{aligned}}}$

существование

${\displaystyle S_{F}=-{\tfrac {1}{2}}\int \mathrm {d} ^{4}x\ \operatorname {tr} \left(F^{\mu \nu }\ F_{\mu \nu }\right)\ }$

для поля,

${\displaystyle S_{gf}=-{\frac {1}{2\xi }}\int \mathrm {d} ^{4}x\ (\partial \cdot A)^{2}\ }$

для крепления манометра и

${\displaystyle \ S_{g}=-\int \mathrm {d} ^{4}x\ \left({\bar {c}}^{a}\ \partial _{\mu }\partial ^{\mu }c^{a}+g\ {\bar {c}}^{a}\ f^{abc}\ \partial _{\mu }\ A^{b\mu }\ c^{c}\right)\ }$

для призрака. Это выражение обычно используется для вывода правил Фейнмана (см. диаграмму Фейнмана ). Здесь мы имеем c ^a для призрачного поля, а ξ фиксирует выбор калибровки для квантования. Правила Фейнмана, полученные из этого функционала, следующие:

Эти правила для диаграмм Фейнмана можно получить, если переписать приведенный выше производящий функционал в виде

${\displaystyle {\begin{aligned}Z[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]&=\exp \left(-i\ g\int \mathrm {d} ^{4}x\ {\frac {\delta }{i\ \delta \ {\bar {\varepsilon }}^{a}(x)}}\ f^{abc}\partial _{\mu }\ {\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\mu }^{b}(x)}}\ {\frac {i\ \delta }{\delta \ \varepsilon ^{c}(x)}}\right)\\&\qquad \times \exp \left(-i\ g\int \mathrm {d} ^{4}x\ f^{abc}\partial _{\mu }{\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\nu }^{a}(x)}}{\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\mu }^{b}(x)}}\ {\frac {i\ \delta }{\delta \ j^{c\nu }(x)}}\right)\\&\qquad \qquad \times \exp \left(-i\ {\frac {g^{2}}{4}}\int \mathrm {d} ^{4}x\ f^{abc}\ f^{ars}{\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\mu }^{b}(x)}}\ {\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\nu }^{c}(x)}}\ {\frac {\ i\delta }{\delta \ j^{r\mu }(x)}}{\frac {i\ \delta }{\delta \ j^{s\nu }(x)}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \times Z_{0}[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]\end{aligned}}}$

с

${\displaystyle Z_{0}[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]=\exp \left(-\int \mathrm {d} ^{4}x\ \mathrm {d} ^{4}y\ {\bar {\varepsilon }}^{a}(x)\ C^{ab}(x-y)\ \varepsilon ^{b}(y)\right)\exp \left({\tfrac {1}{2}}\int \mathrm {d} ^{4}x\ \mathrm {d} ^{4}y\ j_{\mu }^{a}(x)\ D^{ab\mu \nu }(x-y)\ j_{\nu }^{b}(y)\right)\ }$

являющийся производящим функционалом свободной теории. Разлагая по g и вычисляя функциональные производные , мы можем получить все n -точечные функции с помощью теории возмущений. Используя формулу сокращения LSZ, мы получаем из n -точечных функций соответствующие амплитуды процесса, сечения и скорости затухания . Теория перенормируема, а поправки конечны при любом порядке теории возмущений.

Для квантовой электродинамики призрачное поле отделяется, поскольку калибровочная группа абелева. Это можно видеть по связи между калибровочным полем и призрачным полем. В абелевом случае все структурные константы равны нулю, поэтому связи нет. В неабелевом случае призрачное поле оказывается полезным способом переписать квантовую теорию поля без физических последствий для наблюдаемых теории, таких как сечения или скорости распада. ${\displaystyle \ {\bar {c}}^{a}\ f^{abc}\ \partial _{\mu }A^{b\mu }\ c^{c}~.}$ ${\displaystyle \ f^{abc}\ }$

Одним из наиболее важных результатов, полученных в теории Янга–Миллса, является асимптотическая свобода . Этот результат можно получить, если предположить, что константа связи g мала (так малы нелинейности), как и для высоких энергий, и применить теорию возмущений . Актуальность этого результата обусловлена ​​тем, что теория Янга-Миллса, описывающая сильное взаимодействие и асимптотическую свободу, позволяет правильно трактовать экспериментальные результаты, полученные в результате глубоконеупругого рассеяния .

Чтобы получить поведение теории Янга–Миллса при высоких энергиях и, таким образом, доказать асимптотическую свободу, применяется теория возмущений, предполагающая малую связь. Это проверено апостериорно в ультрафиолетовом пределе . В противоположном пределе, инфракрасном пределе, ситуация противоположная, поскольку связь слишком велика, чтобы теория возмущений была надежной. Большинство трудностей, с которыми сталкиваются исследования, связаны с управлением теорией при низких энергиях. Это интересный случай, присущий описанию адронной материи и, в более общем плане, всем наблюдаемым связанным состояниям глюонов и кварков и их удержанию (см. Адроны ). Наиболее используемый метод изучения теории в этом пределе — попытаться решить ее на компьютерах (см. Теорию калибровочной решетки ). В этом случае необходимы большие вычислительные ресурсы, чтобы быть уверенным в том, что получен правильный предел бесконечного объема (меньший шаг решетки). Это предел, с которым необходимо сравнивать результаты. Меньшее расстояние и большая связь не являются независимыми друг от друга, и для каждого из них необходимы более крупные вычислительные ресурсы. На сегодняшний день ситуация выглядит несколько удовлетворительной для адронного спектра и расчета глюонных и духовых пропагаторов, но спектры глюбола и гибридов пока остаются под вопросом ввиду экспериментального наблюдения таких экзотических состояний. Действительно, σ- резонанс ^{[9] [10]} не наблюдается ни в одном из таких расчетов решетки, и были выдвинуты противоположные интерпретации. Это горячо обсуждаемый вопрос.

Открытые проблемы

Теории Янга-Миллса получили общее признание в физическом сообществе после того, как Джерард 'т Хофт в 1972 году разработал их перенормировку, опираясь на формулировку проблемы, разработанную его советником Мартинусом Вельтманом . ^[11] Перенормируемость получается, даже если калибровочные бозоны, описываемые этой теорией, являются массивными, как в электрослабой теории, при условии, что масса является лишь «приобретенной» массой, порожденной механизмом Хиггса .

Математика теории Янга-Миллса является очень активной областью исследований, в которой, например, благодаря работам Саймона Дональдсона были найдены инварианты дифференцируемых структур на четырехмерных многообразиях . Кроме того, область теорий Янга-Миллса была включена в список « Задачи премии тысячелетия » Института математики Клея . Здесь задача-приз состоит, в частности, в доказательстве гипотезы о том, что низшие возбуждения чистой теории Янга–Миллса (т. е. без полей материи) имеют конечную разницу масс по отношению к вакуумному состоянию. Другая открытая проблема, связанная с этой гипотезой, — доказательство свойства конфайнмента в присутствии дополнительных фермионов.

В физике обзор теорий Янга – Миллса обычно начинается не с анализа возмущений или аналитических методов, а в последнее время с систематического применения численных методов к калибровочным теориям решетки .

Смотрите также

• Эффект Ааронова – Бома
• Кулоновская калибровка
• Деформированные эрмитовые уравнения Янга – Миллса.
• Калибровочная ковариантная производная
• Калибровочная теория (математика)
• Эрмитовые уравнения Янга – Миллса
• Теория Калуцы – Клейна
• Решётчатая калибровочная теория
• датчик Лоренца
• n = 4 суперсимметричная теория Янга – Миллса
• Распространитель
• Квантовая калибровочная теория
• Теоретико-полевая формулировка стандартной модели
• Симметрия в физике
• Двумерная теория Янга – Миллса
• Датчик Вейля
• Уравнения Янга – Миллса
• Существование Янга – Миллса и разрыв в массах
• Уравнения Янга–Миллса–Хиггса.

Рекомендации

1. О'Рейфертай, Лохлайнн; Штрауманн, Норберт (1 января 2000 г.). «Теория калибровки: историческое происхождение и некоторые современные разработки». Обзоры современной физики . 72 (1): 1–23. doi : 10.1103/RevModPhys.72.1. ISSN  0034-6861.
2. Бэгготт, JE (2013). Квантовая история: история за 40 мгновений (Впечатление: 3-е изд.). Оксфорд: Оксфордский университет. Нажимать. ISBN 978-0-19-956684-6.
3. Грей, Джереми; Уилсон, Робин (6 декабря 2012 г.). Математические беседы: выборки от Mathematical Intelligencer. Springer Science & Business Media. п. 63. ИСБН 9781461301950– через Google Книги.
4. Ян, Китай ; Миллс, Р. (1954). «Сохранение изотопического спина и изотопической калибровочной инвариантности». Физический обзор . 96 (1): 191–195. Бибкод : 1954PhRv...96..191Y. дои : 10.1103/PhysRev.96.191 .
5. Штрауманн, Н. (2000). «Об изобретении Паули неабелевой теории Калуцы-Клейна в 1953 году». arXiv : gr-qc/0012054 .
6. Атья, М. (2017). «Рональд Шоу 1929–2016 Майкла Атьи (1954)». Годовой отчет Тринити-колледжа (памятник). 2017 : 137–146.
7. Шоу, Рональд (сентябрь 1956 г.). Проблема типов частиц и другие вклады в теорию элементарных частиц (кандидатская диссертация). Кембриджский университет . гл. 3, стр. 34–46.
8. Фрейзер, Гордон (2008). Космический гнев: Абдус Салам – первый учёный-мусульманин, получивший Нобелевскую премию . Оксфорд, Великобритания: Издательство Оксфордского университета. п. 117. ИСБН 978-0199208463.
9. Каприни, И.; Коланджело, Дж.; Лейтвайлер, Х. (2006). «Масса и ширина низшего резонанса в КХД». Письма о физических отзывах . 96 (13): 132001. arXiv : hep-ph/0512364 . Бибкод : 2006PhRvL..96m2001C. doi :10.1103/PhysRevLett.96.132001. PMID  16711979. S2CID  42504317.
10. Индурайн, Ф.Дж.; Гарсиа-Мартин, Р.; Пелаес, младший (2007). «Экспериментальный статус изоскалярной S-волны ππ при низкой энергии: полюс f ₀ (600) и длина рассеяния». Физический обзор D . 76 (7): 074034. arXiv : hep-ph/0701025 . Бибкод : 2007PhRvD..76g4034G. doi : 10.1103/PhysRevD.76.074034. S2CID  119434312.
11. 'т Хоофт, Г .; Вельтман, М. (1972). «Регуляризация и перенормировка калибровочных полей». Ядерная физика Б . 44 (1): 189–213. Бибкод : 1972NuPhB..44..189T. дои : 10.1016/0550-3213(72)90279-9. hdl : 1874/4845 .

дальнейшее чтение

Книги

• Фрэмптон, П. (2008). Теории калибровочного поля (3-е изд.). Вайли-ВЧ . ISBN 978-3-527-40835-1.
• Ченг, Т.-П.; Ли, Л.-Ф. (1983). Калибровочная теория физики элементарных частиц . Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-851961-3.
• 'т Хоофт, Г. , изд. (2005). 50 лет теории Янга-Миллса . Сингапур: World Scientific . ISBN 981-238-934-2.

Статьи

• Светличный, Георгий (1999). «Подготовка к калибровочной теории». arXiv : math-ph/9902027 .
• Гросс, Д. (1992). «Теория калибровки – прошлое, настоящее и будущее» . Проверено 5 мая 2015 г.

Внешние ссылки

• «Поле Янга-Миллса», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Теория Янга – Миллса». Дисперсионная Вики . Архивировано из оригинала 3 июня 2021 г. Проверено 30 августа 2018 г.
• «Проблемы премии тысячелетия». Математический институт Клея . Архивировано из оригинала 16 января 2009 г. Проверено 24 ноября 2008 г.