Проблемы премии тысячелетия

Семь математических задач с призом в 1 миллион долларов США за каждое решение.

« Задачи тысячелетия» — это семь хорошо известных сложных математических задач, отобранных Математическим институтом Клея в 2000 году. Институт Клея пообещал награду в размере 1 миллиона долларов США за первое правильное решение каждой задачи.

Институт математики Клея официально присвоил название «Проблема тысячелетия» семи нерешенным математическим проблемам, гипотезе Берча и Суиннертона-Дайера , гипотезе Ходжа , существованию и гладкости Навье–Стокса, проблеме P и NP , гипотезе Римана , существованию Янга–Миллса и разрыву масс . , и гипотеза Пуанкаре на «Собрании тысячелетия», состоявшемся 24 мая 2000 года. Так, на официальном сайте Математического института Клея эти семь задач официально называются «Проблемы тысячелетия ».

На сегодняшний день единственной решенной проблемой Премии тысячелетия является гипотеза Пуанкаре. Институт Клея вручил денежную премию российскому математику Григорию Перельману в 2010 году. Однако он отклонил награду, поскольку она не была также предложена Ричарду С. Гамильтону , на чьей работе основывался Перельман.

Обзор

Институт Клея был основан на наборе из двадцати трех задач , составленных математиком Дэвидом Гильбертом в 1900 году и оказавших большое влияние на прогресс математики в двадцатом веке. ^[1] Семь выбранных задач охватывают ряд математических областей, а именно алгебраическую геометрию , арифметическую геометрию , геометрическую топологию , математическую физику , теорию чисел , уравнения в частных производных и теоретическую информатику . В отличие от задач Гильберта, задачи, выбранные Институтом Клея, уже были известны среди профессиональных математиков, и многие активно работали над их решением. ^[2]

Григорий Перельман , начавший работу над гипотезой Пуанкаре в 1990-х годах, опубликовал свое доказательство в 2002 и 2003 годах. Его отказ от денежной премии Института Клея в 2010 году широко освещался в СМИ. Остальные шесть задач Премии тысячелетия остаются нерешенными, несмотря на большое количество неудовлетворительных доказательств, сделанных как любителями, так и профессиональными математиками.

Эндрю Уайлс , входящий в научный консультативный совет Института Клея, надеялся, что выбор призового фонда в размере 1 миллиона долларов США популяризирует среди широкой аудитории как выбранные проблемы, так и «воодушевление математическими усилиями». ^[3] Другой член правления, медалист Филдса Ален Конн , надеялся, что пропаганда нерешенных проблем поможет бороться с «неправильным представлением» среди общественности о том, что математику «обгонят компьютеры». ^[4]

Некоторые математики были более критичны. Анатолий Вершик охарактеризовал их денежную премию как «шоу-бизнес», представляющий «худшие проявления современной массовой культуры», и подумал, что есть более значимые способы инвестировать в общественное признание математики. ^[5] Он считал неудивительным поверхностное освещение Перельмана и его работы в средствах массовой информации, при котором непропорциональное внимание уделялось самой стоимости премии. Напротив, Вершик похвалил прямое финансирование Институтом Клея научных конференций и молодых исследователей. Комментарии Вершика позже были поддержаны медалистом Филдса Шинг-Тунг Яу , который дополнительно критиковал идею фонда, предпринимающего действия по «присвоению» фундаментальных математических вопросов и «прикреплению к ним своего имени». ^[6]

Решенная проблема

Гипотеза Пуанкаре

В области геометрической топологии двумерная сфера характеризуется тем, что она является единственной замкнутой и односвязной двумерной поверхностью. В 1904 году Анри Пуанкаре поставил вопрос, справедливо ли аналогичное утверждение для трехмерных фигур. Это стало известно как гипотеза Пуанкаре, точная формулировка которой гласит:

Любое трехмерное топологическое многообразие , замкнутое и односвязное, должно быть гомеоморфно 3 -сфере .

Хотя гипотезу обычно формулируют в такой форме, она эквивалентна (как было обнаружено в 1950-х годах) формулировке ее в контексте гладких многообразий и диффеоморфизмов .

Доказательство этой гипотезы, вместе с более мощной гипотезой геометризации , было дано Григорием Перельманом в 2002 и 2003 годах. Решение Перельмана завершило программу Ричарда Гамильтона по решению гипотезы геометризации, которую он разработал в ходе предыдущих работ. двадцать лет. Работа Гамильтона и Перельмана вращалась вокруг потока Риччи Гамильтона , который представляет собой сложную систему уравнений в частных производных , определенных в области римановой геометрии .

За вклад в теорию потока Риччи Перельман был награжден Медалью Филдса в 2006 году. Однако он отказался принять эту премию. ^[7] За доказательство гипотезы Пуанкаре Перельман был удостоен Премии тысячелетия 18 марта 2010 года. ^[8] Однако он отказался от награды и связанных с ней призовых денег, заявив, что вклад Гамильтона был не меньшим, чем его собственный. ^[9]

Нерешенные проблемы

Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера

Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера касается определенных типов уравнений: тех, которые определяют эллиптические кривые над рациональными числами . Гипотеза состоит в том, что существует простой способ определить, имеют ли такие уравнения конечное или бесконечное число рациональных решений. Десятая проблема Гильберта касалась более общего типа уравнений, и в этом случае было доказано, что невозможно решить, имеет ли данное уравнение вообще какие-либо решения.

Официальное заявление о проблеме сделал Эндрю Уайлс . ^[10]

Гипотеза Ходжа

Гипотеза Ходжа состоит в том, что для проективных алгебраических многообразий циклы Ходжа представляют собой рациональные линейные комбинации алгебраических циклов .

${\displaystyle \operatorname {Hdg} ^{k}(X)=H^{2k}(X,\mathbb {Q} )\cap H^{k,k}(X).}$

Мы называем ее группой классов Ходжа степени 2k на X.

Современная формулировка гипотезы Ходжа такова:

Пусть X — неособое комплексное проективное многообразие. Тогда каждый класс Ходжа на X является линейной комбинацией с рациональными коэффициентами классов когомологий комплексных подмногообразий X .

Официальное заявление о проблеме дал Пьер Делинь . ^[11]

Существование и гладкость Навье–Стокса.

${\displaystyle \overbrace {\underbrace {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Variation}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Convection}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Inertia (per volume)}}\overbrace {-\underbrace {\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} } _{\text{Diffusion}}=\underbrace {-\nabla w} _{\begin{smallmatrix}{\text{Internal}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Divergence of stress}}+\underbrace {\mathbf {g} } _{\begin{smallmatrix}{\text{External}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}.}$

Уравнения Навье -Стокса описывают движение жидкостей и являются одним из столпов механики жидкости . Однако теоретическое понимание их решения является неполным, несмотря на его важность в науке и технике. Для трехмерной системы уравнений и при некоторых начальных условиях математики еще не доказали, что гладкие решения всегда существуют. Это называется проблемой существования и гладкости Навье – Стокса .

Проблема, ограниченная случаем несжимаемой жидкости , состоит в том, чтобы доказать либо существование гладких, глобально определенных решений, удовлетворяющих определенным условиям, либо то, что они не всегда существуют и уравнения не работают. Официальное заявление о проблеме дал Чарльз Фефферман . ^[12]

П против НП

Диаграмма Эйлера для P , NP , NP -полного и NP -трудного набора задач (исключая пустой язык и его дополнение, которые принадлежат P , но не являются NP -полными)

Вопрос в том, может ли алгоритм также быстро найти это решение для всех задач, для которых алгоритм может быстро проверить данное решение (то есть за полиномиальное время ) . Поскольку первый описывает класс задач, называемых NP, а второй описывает P, этот вопрос эквивалентен вопросу, все ли проблемы из NP также относятся к P. Обычно это считается одним из наиболее важных открытых вопросов в математике и теоретической информатике. поскольку это имеет далеко идущие последствия для других проблем математики , биологии , ^[13] философии ^[14] и криптографии (см. Последствия доказательства проблем P и NP ). Типичным примером проблемы NP, о которой не известно, что она находится в P, является проблема булевой выполнимости .

Большинство математиков и компьютерщиков ожидают, что P ≠ NP; однако это остается недоказанным. ^[15]

Официальное заявление о проблеме дал Стивен Кук . ^[16]

Гипотеза Римана

Действительная часть (красный) и мнимая часть (синий) дзета-функции Римана вдоль критической линии Re( s ) = 1/2. Первые нетривиальные нули можно увидеть при Im( s ) = ±14,135, ±21,022 и ±25,011.

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }$

Дзета -функция Римана ζ(s) — это функция , аргументами которой могут быть любые комплексные числа , кроме 1, и чьи значения также являются комплексными. Его аналитическое продолжение имеет нули в отрицательных четных целых числах; то есть ζ(s) = 0, когда s является одним из −2, −4, −6, .... Они называются тривиальными нулями. Однако отрицательные четные целые числа — не единственные значения, для которых дзета-функция равна нулю. Остальные называются нетривиальными нулями. Гипотеза Римана касается расположения этих нетривиальных нулей и утверждает, что:

Действительная часть каждого нетривиального нуля дзета-функции Римана равна 1/2.

Гипотеза Римана состоит в том, что все нетривиальные нули аналитического продолжения дзета-функции Римана имеют действительную часть ½. Доказательство или опровержение этого будет иметь далеко идущие последствия для теории чисел , особенно для распределения простых чисел . Это была восьмая проблема Гильберта , и столетие спустя она до сих пор считается важной открытой проблемой .

Проблема была хорошо известна с тех пор, как она была первоначально поставлена ​​Бернхардом Риманом в 1860 году. Изложение проблемы в Институте Клея было дано Энрико Бомбьери . ^[17]

Существование Янга – Миллса и разрыв в массах

В квантовой теории поля разница масс представляет собой разницу в энергии между вакуумом и следующим самым низким энергетическим состоянием . Энергия вакуума равна нулю по определению, и если предположить, что все энергетические состояния можно рассматривать как частицы в плоских волнах, то разница между массами равна массе легчайшей частицы.

Для данного реального поля мы можем сказать, что теория имеет массовую щель, если двухточечная функция обладает свойством ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle \langle \phi (0,t)\phi (0,0)\rangle \sim \sum _{n}A_{n}\exp \left(-\Delta _{n}t\right)}$

с наименьшим значением энергии в спектре гамильтониана и, следовательно , с массовой щелью. Эту величину, которую легко обобщить на другие поля, обычно измеряют при расчетах на решетке. ${\displaystyle \Delta _{0}>0}$

Квантовая теория Янга-Миллса в настоящее время является основой для большинства теоретических приложений мысли к реальности и потенциальным реалиям физики элементарных частиц . ^[18] Теория является обобщением теории электромагнетизма Максвелла , согласно которой хромо -электромагнитное поле само по себе несет заряд. Как классическая теория поля, она имеет решения, которые движутся со скоростью света, поэтому ее квантовая версия должна описывать безмассовые частицы ( глюоны ). Однако постулируемое явление ограничения цвета допускает только связанные состояния глюонов, образующие массивные частицы. Это массовый разрыв . Другим аспектом ограничения является асимптотическая свобода , которая позволяет предположить, что квантовая теория Янга-Миллса существует без ограничений на масштабы низкой энергии. Задача состоит в том, чтобы строго установить существование квантовой теории Янга–Миллса и массовой щели.

Докажите, что для любой компактной простой калибровочной группы G нетривиальная квантовая теория Янга – Миллса существует и имеет массовую щель Δ > 0. Существование включает в себя установление аксиоматических свойств, по крайней мере столь же сильных, как те, которые цитируются в Стритер и Вайтман (1964): ^[19] Остервальдер и Шрадер (1973), ^[20] и Остервальдер и Шрадер (1975). ^[21] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Официальное заявление о проблеме дали Артур Яффе и Эдвард Виттен . ^[22]

Смотрите также

• Математический портал

• Гипотеза Била
• Проблемы Гильберта
• Список наград по математике
• Список нерешенных задач по математике
• Проблемы Смейла
• Пауль Вольфскель (предложил денежный приз за решение Великой теоремы Ферма )
• гипотеза abc

Рекомендации

1. Яффе, Артур М. (июнь – июль 2006 г.). «Большой вызов тысячелетия в математике» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 53 (6): 652–660.
2. Карлсон, Яффе и Уайлс (2006)
3. Джексон, Аллин (сентябрь 2000 г.). «Объявлены премии по математике на миллион долларов». Уведомления Американского математического общества . 47 (8): 877–879.
4. Диксон, Дэвид (2000). «Математики гонятся за доказательствами на семь миллионов долларов». Природа . 405 (383): 383. дои : 10.1038/35013216 . PMID  10839504. S2CID  31169641.
5. Вершик, Анатолий (январь 2007 г.). «Что хорошо для математики? Мысли о премиях Клэя Миллениума». Уведомления Американского математического общества . 54 (1): 45–47.
6. Яу, Шинг-Тунг ; Надис, Стив (2019). Форма жизни. Поиски одного математика скрытой геометрии Вселенной . Нью-Хейвен, Коннектикут: Издательство Йельского университета. Бибкод :2019shli.book.....Y.
7. «Математический гений отказывается от главного приза» . Новости BBC . 22 августа 2006 г. Проверено 16 июня 2011 г.
8. «Премия за решение гипотезы Пуанкаре присуждена доктору Григорию Перельману» (PDF) (пресс-релиз). Математический институт Клея . 18 марта 2010 г. Архивировано из оригинала (PDF) 31 марта 2010 г. . Проверено 18 марта 2010 г. Математический институт Клея (CMI) объявляет сегодня, что доктор Григорий Перельман из Санкт-Петербурга, Россия, стал лауреатом Премии тысячелетия за решение гипотезы Пуанкаре.
9. "Последнее "нет доктора Перельмана"". Интерфакс . 1 июля 2010 года . Проверено 25 января 2024 г.
10. Уайлс, Эндрю (2006). «Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера» (PDF) . В Карлсоне, Джеймс; Яффе, Артур ; Уайлс, Эндрю (ред.). Проблемы премии тысячелетия . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество и Математический институт Клэя. стр. 31–44. ISBN 978-0-8218-3679-8.
11. Делинь, Пьер (2006). «Гипотеза Ходжа» (PDF) . В Карлсоне, Джеймс; Яффе, Артур ; Уайлс, Эндрю (ред.). Проблемы премии тысячелетия . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество и Математический институт Клэя. стр. 45–53. ISBN 978-0-8218-3679-8.
12. Фефферман, Чарльз Л. (2006). «Существование и гладкость уравнения Навье – Стокса» (PDF) . В Карлсоне, Джеймс; Яффе, Артур ; Уайлс, Эндрю (ред.). Проблемы премии тысячелетия . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество и Математический институт Клэя. стр. 57–67. ISBN 978-0-8218-3679-8.
13. Раджпут, Удай Сингх (2016). «P против NP: больше, чем просто проблема с призами» (PDF) . Ганита . Лакнау, Индия. 66 : 90. ISSN  0046-5402. Архивировано (PDF) из оригинала 17 июня 2022 года . Проверено 17 июня 2022 г.
14. Скотт Ааронсон (14 августа 2011 г.). «Почему философы должны заботиться о сложности вычислений». Технический отчет.
15. Уильям Гасарч (июнь 2002 г.). «Опрос P=?NP» (PDF) . Новости СИГАКТ . 33 (2): 34–47. дои : 10.1145/1052796.1052804. S2CID  18759797.
16. Кук, Стивен (2006). «Проблема P против NP» (PDF) . В Карлсоне, Джеймс; Яффе, Артур ; Уайлс, Эндрю (ред.). Проблемы премии тысячелетия . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество и Математический институт Клэя. стр. 87–104. ISBN 978-0-8218-3679-8.
17. Бомбьери, Энрико (2006). «Гипотеза Римана» (PDF) . В Карлсоне, Джеймс; Яффе, Артур ; Уайлс, Эндрю (ред.). Проблемы премии тысячелетия . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество и Математический институт Клэя. стр. 107–124. ISBN 978-0-8218-3679-8.
18. «Янг – Миллс и разрыв в массах». www.claymath.org ( Клеймат ) . Архивировано из оригинала 22 ноября 2015 года . Проверено 29 июня 2021 г.
19. Стритер, Р.; Вайтман, А. (1964). РСТ, спин, статистика и все такое . В. А. Бенджамин.
20. Остервальдер, К.; Шредер, Р. (1973). «Аксиомы евклидовых функций Грина». Связь в математической физике . 31 (2): 83–112. Бибкод : 1973CMaPh..31...83O. дои : 10.1007/BF01645738. S2CID  189829853.
21. Остервальдер, К.; Шредер, Р. (1975). «Аксиомы евклидовых функций Грина II». Связь в математической физике . 42 (3): 281–305. Бибкод : 1975CMaPh..42..281O. дои : 10.1007/BF01608978. S2CID  119389461.
22. Яффе, Артур ; Виттен, Эдвард (2006). «Квантовая теория Янга – Миллса» (PDF) . В Карлсоне, Джеймс; Яффе, Артур ; Уайлс, Эндрю (ред.). Проблемы премии тысячелетия . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество и Математический институт Клэя. стр. 129–152. ISBN 978-0-8218-3679-8.

• В эту статью включены материалы из книги «Проблемы тысячелетия» на сайте PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

дальнейшее чтение

• Карлсон, Джеймс; Яффе, Артур ; Уайлс, Эндрю , ред. (2006). Проблемы премии тысячелетия. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество и Математический институт Клэя . ISBN 978-0-8218-3679-8.
• Девлин, Кейт Дж. (2003) [2002]. Проблемы тысячелетия: семь величайших нерешённых математических загадок нашего времени . Нью-Йорк: Основные книги. ISBN 0-465-01729-0.

Внешние ссылки

• Проблемы премии тысячелетия