Zitterbewegung

Эффект частиц

В физике zitterbewegung ( немецкое произношение: [ˈtsɪtɐ.bəˌveːɡʊŋ] , от немецкого zittern  'дрожать, дрожать' и Bewegung  'движение') — это теоретическое предсказание быстрого колебательного движения элементарных частиц , которые подчиняются релятивистским волновым уравнениям . Это предсказание впервые было рассмотрено Грегори Брейтом в 1928 году ^{[1] [2]} , а затем Эрвином Шрёдингером в 1930 году ^{[3] [4]} в результате анализа решений волнового пакета уравнения Дирака для релятивистских электронов в свободном пространстве, в котором интерференция между положительными и отрицательными энергетическими состояниями производит кажущуюся флуктуацию (вплоть до скорости света ) положения электрона вокруг медианы с угловой частотой ⁠ 2 мс ²/ℏ⁠ , или приблизительно1,6 × 10 ²¹ радиан в секунду.

Это кажущееся колебательное движение часто интерпретируется как артефакт использования уравнения Дирака в описании одной частицы и исчезает при использовании квантовой теории поля . Для атома водорода zitterbewegung связан с дарвиновским термином , небольшой поправкой к уровню энергии s-орбиталей . ^[5]

Теория

Свободный спин-1/2 фермион

Уравнение Дирака, зависящее от времени, записывается как

${\displaystyle H\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)}$,

где — приведенная постоянная Планка , — волновая функция ( биспинор ) фермионной частицы со спином 1/2 , а H — гамильтониан Дирака свободной частицы : ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle H=\beta mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}c}$,

где — масса частицы, — скорость света , — оператор импульса , а и — матрицы, связанные с гамма-матрицами , как и . ${\textstyle m}$ ${\textstyle c}$ ${\textstyle p_{j}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha _{j}}$ ${\textstyle \gamma _{\mu }}$ ${\textstyle \beta =\gamma _{0}}$ ${\textstyle \alpha _{j}=\gamma _{0}\gamma _{j}}$

В картине Гейзенберга временная зависимость произвольной наблюдаемой величины Q подчиняется уравнению

${\displaystyle -i\hbar {\frac {dQ}{dt}}=\left[H,Q\right].}$

В частности, зависимость оператора положения от времени определяется выражением

${\displaystyle {\frac {dx_{k}(t)}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}\left[H,x_{k}\right]=c\alpha _{k}}$.

где x _k ( t ) — оператор положения в момент времени t .

Приведенное выше уравнение показывает, что оператор α _k можно интерпретировать как k -ю компоненту «оператора скорости».

Обратите внимание, что это подразумевает, что

${\displaystyle \left\langle \left({\frac {dx_{k}(t)}{dt}}\right)^{2}\right\rangle =c^{2}}$,

как будто «среднеквадратичная скорость» во всех направлениях пространства — это скорость света.

Чтобы добавить зависимость от времени к α _k , реализуют картину Гейзенберга, которая гласит:

${\displaystyle \alpha _{k}(t)=e^{\frac {iHt}{\hbar }}\alpha _{k}e^{-{\frac {iHt}{\hbar }}}}$.

Зависимость оператора скорости от времени определяется выражением

${\displaystyle \hbar {\frac {d\alpha _{k}(t)}{dt}}=i\left[H,\alpha _{k}\right]=2\left(i\gamma _{k}m-\sigma _{kl}p^{l}\right)=2i\left(p_{k}-\alpha _{k}H\right)}$,

где

${\displaystyle \sigma _{kl}\equiv {\frac {i}{2}}\left[\gamma _{k},\gamma _{l}\right].}$

Теперь, поскольку и p _k, и H не зависят от времени, приведенное выше уравнение можно легко проинтегрировать дважды, чтобы найти явную зависимость оператора положения от времени.

Первый:

${\displaystyle \alpha _{k}(t)=\left(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1}\right)e^{-{\frac {2iHt}{\hbar }}}+cp_{k}H^{-1}}$,

и наконец

${\displaystyle x_{k}(t)=x_{k}(0)+c^{2}p_{k}H^{-1}t+{\tfrac {1}{2}}i\hbar cH^{-1}\left(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1}\right)\left(e^{-{\frac {2iHt}{\hbar }}}-1\right)}$.

Результирующее выражение состоит из начального положения, движения, пропорционального времени, и колебательного члена с амплитудой, равной приведенной длине волны Комптона . Этот колебательный член — так называемый zitterbewegung.

Интерпретация

В квантовой механике термин zitterbewegung исчезает при принятии значений ожидания для волновых пакетов, которые полностью состоят из волн с положительной (или полностью из волн с отрицательной) энергией. Стандартную релятивистскую скорость можно восстановить, применив преобразование Фолди–Ваутхойзена , когда положительные и отрицательные компоненты разделены. Таким образом, мы приходим к интерпретации zitterbewegung как вызванного интерференцией между волновыми компонентами с положительной и отрицательной энергией. ^[6]

В квантовой электродинамике (КЭД) состояния с отрицательной энергией заменяются состояниями позитрона , а дрожание понимается как результат взаимодействия электрона со спонтанно образующимися и уничтожающимися парами электрон-позитрон . ^[7]

Совсем недавно было отмечено, что в случае свободных частиц это может быть просто артефактом упрощенной теории. Zitterbewegung появляются из-за «малых компонентов» 4-спинора Дирака, из-за небольшого количества античастицы, замешанной в волновой функции частицы для нерелятивистского движения. Это не появляется в правильной вторично квантованной теории , или, скорее, это разрешается с помощью пропагаторов Фейнмана и выполнения QED . Тем не менее, это интересный способ понять определенные эффекты QED эвристически из картины одной частицы. ^[8]

Зигзагообразная картина фермионов

Альтернативная точка зрения на физический смысл zitterbewegung была представлена ​​Роджером Пенроузом ^[9], который заметил , что уравнение Дирака можно переформулировать, разделив четырехкомпонентный спинор Дирака на пару безмассовых лево- и правосторонних двухкомпонентных спиноров (или зигзагообразных и загообразных компонентов), где каждый из них является исходным членом в уравнении движения другого, с константой связи, пропорциональной массе покоя исходной частицы , как ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi =(\psi _{\rm {L}},\psi _{\rm {R}})}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=m\psi _{\rm {L}}\\{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=m\psi _{\rm {R}}\end{matrix}}\right.}$.

Исходную массивную частицу Дирака можно рассматривать как состоящую из двух безмассовых компонентов, каждый из которых непрерывно преобразуется в другой. Поскольку компоненты безмассовые, они движутся со скоростью света, а их спин ограничен направлением движения, но каждый имеет противоположную спиральность: и поскольку спин остается постоянным, направление скорости меняется на противоположное, что приводит к характерному зигзагообразному или zitterbewegung движению.

Экспериментальное моделирование

Zitterbewegung свободной релятивистской частицы никогда не наблюдался напрямую, хотя некоторые авторы полагают, что нашли доказательства в пользу его существования. ^[10] Он также был смоделирован в атомных системах, которые обеспечивают аналоги свободной частицы Дирака. Первый такой пример, в 2010 году, поместил захваченный ион в среду, такую, что нерелятивистское уравнение Шредингера для иона имело ту же математическую форму, что и уравнение Дирака (хотя физическая ситуация отличается). ^{[11] [12]} Колебания, подобные zitterbewegung, ультрахолодных атомов в оптических решетках были предсказаны в 2008 году. ^[13] В 2013 году zitterbewegung был смоделирован в конденсате Бозе-Эйнштейна из 50 000 атомов ⁸⁷ Rb, заключенных в оптической ловушке. ^[14]

Оптический аналог zitterbewegung был продемонстрирован в квантовом клеточном автомате, реализованном с орбитальными угловыми состояниями света ^[15]

Другие предложения по аналогам конденсированного состояния включают полупроводниковые наноструктуры, графен и топологические изоляторы . ^{[16] [17] [18] [19]}

Смотрите также

• эффект Казимира
• Ягненок сдвиг

Ссылки

1. Брейт, Грегори (1928). «Интерпретация теории электрона Дирака». Труды Национальной академии наук . 14 (7): 553–559. Bibcode : 1928PNAS...14..553B. doi : 10.1073/pnas.14.7.553 . ISSN  0027-8424. PMC 1085609.  PMID 16587362  .
2. Грейнер, Уолтер (1995). Релятивистская квантовая механика. doi :10.1007/978-3-642-88082-7. ISBN 978-3-540-99535-7. S2CID  124404090.
3. Шредингер, Э. (1930). Über die kräftefreie Bewegung in der relativistischen Quantenmechanik [ О свободном движении в релятивистской квантовой механике ] (на немецком языке). стр. 418–428. ОСЛК  881393652.
4. Шредингер, Э. (1931). Zur Quantendynamik des Elektrons [ Квантовая динамика электрона ] (на немецком языке). С. 63–72.
5. Тонг, Дэвид (2017). Приложения квантовой механики (PDF) . Кембриджский университет.
6. Грейнер, Уолтер (1995). Релятивистская квантовая механика. doi :10.1007/978-3-642-88082-7. ISBN 978-3-540-99535-7. S2CID  124404090.
7. Zhi-Yong, W., & Cai-Dong, X. (2008). Zitterbewegung в квантовой теории поля. Chinese Physics B, 17(11), 4170.
8. «Уравнение Дирака — является ли Zitterbewegung артефактом теории одной частицы?».
9. Пенроуз, Роджер (2004). Дорога к реальности (шестое издание). Альфред А. Кнопф. С. 628–632. ISBN 0-224-04447-8.
10. Catillon, P.; Cue, N.; Gaillard, MJ; et al. (2008-07-01). "Поиск внутренних часов частицы де Бройля с помощью электронного каналирования". Foundations of Physics . 38 (7): 659–664. Bibcode :2008FoPh...38..659C. doi :10.1007/s10701-008-9225-1. ISSN  1572-9516. S2CID  121875694.
11. Wunderlich, Christof (2010). «Квантовая физика: захваченный ион готов дрожать». Nature News and Views . 463 (7277): 37–39. Bibcode : 2010Natur.463...37W. doi : 10.1038/463037a . PMID  20054385.
12. Герритсма, Р.; Кирхмайр, Г.; Церингер, Ф.; Солано, Э.; Блатт, Р.; Роос, КФ (2010). «Квантовое моделирование уравнения Дирака». Природа . 463 (7277): 68–71. arXiv : 0909.0674 . Бибкод : 2010Natur.463...68G. дои : 10.1038/nature08688. PMID  20054392. S2CID  4322378.
13. Vaishnav, JY; Clark, CW (2008). «Наблюдение Zitterbewegung с помощью ультрахолодных атомов». Physical Review Letters . 100 : 153002. arXiv : 0711.3270 . doi : 10.1103/PhysRevLett.100.153002.
14. Леблан, ЖЖ; Билер, MC; Хименес-Гарсия, К.; Перри, Арканзас; Сугава, С.; Уильямс, РА; Спилман, IB (2013). «Прямое наблюдение zitterbewegung в конденсате Бозе – Эйнштейна». Новый журнал физики . 15 (7): 073011. arXiv : 1303.0914 . дои : 10.1088/1367-2630/15/7/073011. S2CID  119190847.
15. Супрано, Алессия; Зия, Данило; Полино, Эмануэле; Подерини, Давиде; Карвачо, Гонсало; Шаррино, Фабио; Лугли, Маттео; Бисио, Алессандро; Перинотти, Паоло. «Фотонное клеточно-автоматное моделирование релятивистских квантовых полей: наблюдение Zitterbewegung». arXiv : 2402.07672 .
16. Шлиман, Джон (2005). "Zitterbewegung электронных волновых пакетов в квантовых ямах полупроводников с цинковой обманкой III-V". Physical Review Letters . 94 (20): 206801. arXiv : cond-mat/0410321 . Bibcode : 2005PhRvL..94t6801S. doi : 10.1103/PhysRevLett.94.206801. PMID  16090266. S2CID  118979437.
17. Katsnelson, MI (2006). «Zitterbewegung, chirality, and minimum Conduction in graphene». The European Physical Journal B. 51 ( 2): 157–160. arXiv : cond-mat/0512337 . Bibcode : 2006EPJB...51..157K. doi : 10.1140/epjb/e2006-00203-1. S2CID  119353065.
18. Дора, Балас; Кайссол, Жером; Саймон, Ференс; Мёсснер, Родерих (2012). «Оптическая инженерия топологических свойств спинового холловского изолятора». Physical Review Letters . 108 (5): 056602. arXiv : 1105.5963 . Bibcode : 2012PhRvL.108e6602D. doi : 10.1103/PhysRevLett.108.056602. PMID  22400947. S2CID  15507388.
19. Ши, Ликунь; Чжан, Шоучэн; Чэн, Кай (2013). «Аномальная траектория электронов в топологических изоляторах». Physical Review B. 87 ( 16): 161115. arXiv : 1109.4771 . Bibcode : 2013PhRvB..87p1115S. doi : 10.1103/PhysRevB.87.161115. S2CID  118446413.

Дальнейшее чтение

• Мессия, А. (1962). "XX, Раздел 37" (pdf) . Квантовая механика . Том II. С. 950–952. ISBN 9780471597681.

Внешние ссылки

• Zitterbewegung в New Scientist