Действие (физика)

В физике действие — это скалярная величина , описывающая , как баланс кинетической и потенциальной энергии физической системы изменяется с траекторией. Действие имеет важное значение, поскольку оно является входом в принцип стационарного действия , подход к классической механике, который проще для множественных объектов. ^[1] Действие и вариационный принцип используются в формулировке квантовой механики Фейнмана ^[2] и в общей теории относительности. ^[3] Для систем с малыми значениями действия, подобными постоянной Планка , квантовые эффекты имеют большое значение. ^[4]

В простом случае одной частицы, движущейся с постоянной скоростью (то есть совершающей равномерное линейное движение ), действие равно импульсу частицы , умноженному на расстояние, которое она прошла, сложенное вдоль ее пути; эквивалентно, действие равно разности между кинетической энергией частицы и ее потенциальной энергией , умноженной на время, в течение которого она обладает этим количеством энергии.

Более формально, действие — это математический функционал , который принимает траекторию (также называемую путем или историей) системы в качестве аргумента и имеет действительное число в качестве результата. Как правило, действие принимает разные значения для разных путей. ^[5] Действие имеет размерность энергия × время или импульс × длина , а его единицей СИ является джоуль -секунда (как постоянная Планка h ). ^[6]

Введение

Вводная физика часто начинается с законов движения Ньютона , связывающих силу и движение; действие является частью полностью эквивалентного альтернативного подхода с практическими и образовательными преимуществами. ^[1] Однако потребовалось много десятилетий, чтобы эта концепция вытеснила ньютоновские подходы, и по-прежнему остается сложной задачей для ознакомления студентов. ^[7]

Простой пример

Для траектории мяча, движущегося в воздухе на Земле , действие определяется между двумя точками во времени и как кинетическая энергия (KE) минус потенциальная энергия (PE), интегрированная по времени. ^[4] $t_{1}$ $t_{2}$

S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left(KE(t)-PE(t)\right)dt

Действие уравновешивает кинетическую и потенциальную энергию. ^[4] Кинетическая энергия шара массы равна , где — скорость шара; потенциальная энергия равна , где — гравитационная постоянная. Тогда действие между и равно $m$ $(1/2)mv^{2}$ $v$ $mgx$ $g$ $t_{1}$ $t_{2}$

S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {1}{2}}mv^{2}(t)-mgx(t)\right)dt

Значение действия зависит от траектории, по которой движется мяч через и . Это делает действие входом в мощный принцип стационарного действия для классической и для квантовой механики . Уравнения движения Ньютона для мяча можно вывести из действия с использованием принципа стационарного действия, но преимущества механики, основанной на действии, начинают проявляться только в случаях, когда законы Ньютона трудно применить. Замените мяч электроном: классическая механика перестает работать, но стационарное действие продолжает работать. ^[4] Разность энергий в простом определении действия, кинетическая энергия минус потенциальная энергия, обобщается и называется лагранжианом для более сложных случаев. $x(t)$ $v(t)$

Квант действия Планка

Постоянная Планка , записанная как или при включении множителя , называется квантом действия . ^[8] Как и действие, эта константа имеет единицу энергии, умноженную на время. Она фигурирует во всех значимых квантовых уравнениях, таких как принцип неопределенности и длина волны де Бройля . Всякий раз, когда значение действия приближается к постоянной Планка, квантовые эффекты становятся значимыми. ^[4] $h$ $\hbar$ $1/2\pi$

История

Пьер Луи Мопертюи и Леонард Эйлер, работая в 1740-х годах, разработали ранние версии принципа действия. Жозеф Луи Лагранж прояснил математику, когда изобрел вариационное исчисление . Уильям Роуэн Гамильтон совершил следующий большой прорыв, сформулировав принцип Гамильтона в 1853 году. ^[9]^{: 740} Принцип Гамильтона стал краеугольным камнем для классической работы с различными формами действия, пока Ричард Фейнман и Джулиан Швингер не разработали квантовые принципы действия. ^[10]^{: 127}

Определения

Выражаясь на математическом языке, с использованием вариационного исчисления , эволюция физической системы (т. е. то, как система фактически переходит из одного состояния в другое) соответствует стационарной точке (обычно минимуму) действия. Действие имеет размерность [ энергия ] × [время] , а его единицей СИ является джоуль -секунда, что идентично единице углового момента .

В физике широко используются несколько различных определений «действия». ^[11]^[12] Действие обычно является интегралом по времени. Однако, когда действие относится к полям , оно может быть интегрировано и по пространственным переменным. В некоторых случаях действие интегрируется вдоль пути, по которому следует физическая система.

Действие обычно представляется в виде интеграла по времени, взятого вдоль пути системы между начальным и конечным моментами развития системы: ^[11] где подынтегральная функция L называется лагранжианом . Для того чтобы интеграл действия был хорошо определен, траектория должна быть ограничена во времени и пространстве. ${\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt,$

Действие (функциональное)

Чаще всего этот термин используется для функционала , который принимает функцию времени и (для полей ) пространства в качестве входных данных и возвращает скаляр . ^[13]^[14] В классической механике входная функция — это эволюция q ( t ) системы между двумя моментами времени t ₁ и t ₂ , где q представляет собой обобщенные координаты . Действие определяется как интеграл лагранжиана L для входной эволюции между двумя моментами времени: где конечные точки эволюции фиксированы и определяются как и . Согласно принципу Гамильтона , истинная эволюция q _true ( t ) — это эволюция, для которой действие является стационарным (минимум, максимум или седловая точка ). Этот принцип приводит к уравнениям движения в механике Лагранжа . ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]$ ${\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt,$ $\mathbf {q} _{1}=\mathbf {q} (t_{1})$ $\mathbf {q} _{2}=\mathbf {q} (t_{2})$ ${\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]$

Сокращенное действие (функциональное)

Помимо функционала действия, существует еще один функционал, называемый сокращенным действием . В сокращенном действии входной функцией является путь , по которому движется физическая система без учета ее параметризации по времени. Например, путь планетарной орбиты — эллипс, а путь частицы в однородном гравитационном поле — парабола; в обоих случаях путь не зависит от того, насколько быстро частица проходит путь.

Сокращенное действие (иногда записываемое как ) определяется как интеграл обобщенных импульсов для лагранжиана системы вдоль пути в обобщенных координатах : где и — начальная и конечная координаты. Согласно принципу Мопертюи , истинный путь системы — это путь, для которого сокращенное действие стационарно . ${\mathcal {S}}_{0}$ $W$ $p_{i}={\frac {\partial L(q,t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}},$ $L$ $q_{i}$ ${\mathcal {S}}_{0}=\int _{q_{1}}^{q_{2}}\mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} =\int _{q_{1}}^{q_{2}}\Sigma _{i}p_{i}\,dq_{i}.$ $q_{1}$ $q_{2}$

Характеристическая функция Гамильтона

Когда полная энергия E сохраняется, уравнение Гамильтона–Якоби может быть решено с помощью аддитивного разделения переменных : ^[11]^{: 225} где независимая от времени функция W ( q ₁ , q ₂ , ..., q _N ) называется характеристической функцией Гамильтона . Физическое значение этой функции можно понять, взяв ее полную производную по времени $S(q_{1},\dots ,q_{N},t)=W(q_{1},\dots ,q_{N})-E\cdot t,$

${\frac {dW}{dt}}={\frac {\partial W}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}=p_{i}{\dot {q}}_{i}.$

Это можно интегрировать, чтобы получить

$W(q_{1},\dots ,q_{N})=\int p_{i}{\dot {q}}_{i}\,dt=\int p_{i}\,dq_{i},$

что является просто сокращенным действием. ^[15]^{: 434}

Действие обобщенной координаты

Переменная J _k в координатах действие-угол , называемая «действием» обобщенной координаты q _k , определяется путем интегрирования одного обобщенного импульса по замкнутому пути в фазовом пространстве , соответствующему вращательному или колебательному движению: ^[15]^{: 454}

$J_{k}=\oint p_{k}\,dq_{k}$

Соответствующая каноническая переменная, сопряженная с J _{k ,} является ее «углом» w _k , по причинам, описанным более полно в координатах действие-угол . Интегрирование происходит только по одной переменной q _k и, следовательно, в отличие от интегрированного скалярного произведения в сокращенном интеграле действия выше. Переменная J _k равна изменению S _k ( q _k ) при изменении q _k_{по замкнутому пути. Для нескольких представляющих интерес физических систем J k} является либо константой, либо изменяется очень медленно; следовательно, переменная J _k часто используется в расчетах возмущений и при определении адиабатических инвариантов . Например, они используются при расчете планетарных и спутниковых орбит. ^[15]^{: 477}

Одиночная релятивистская частица

Когда релятивистские эффекты значительны, действие точечной частицы массой m, движущейся по мировой линии C, параметризованной собственным временем, равно $\tau$ $S=-mc^{2}\int _{C}\,d\tau .$

Если вместо этого частица параметризуется координатным временем t частицы, а координатное время варьируется от t ₁ до t ₂ , то действие становится таким, где лагранжиан равен ^[16] $S=\int _{t1}^{t2}L\,dt,$ $L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.$

Принципы действия и связанные с ними идеи

Физические законы часто выражаются в виде дифференциальных уравнений , которые описывают, как физические величины, такие как положение и импульс, непрерывно изменяются со временем , пространством или их обобщением. При заданных начальных и граничных условиях для ситуации «решение» этих эмпирических уравнений представляет собой одну или несколько функций , которые описывают поведение системы и называются уравнениями движения .

Действие является частью альтернативного подхода к нахождению таких уравнений движения. Классическая механика постулирует, что путь, по которому фактически следует физическая система, — это тот путь, для которого действие минимизируется , или, в более общем смысле, является стационарным . Другими словами, действие удовлетворяет вариационному принципу: принципу стационарного действия (см. также ниже). Действие определяется интегралом , и классические уравнения движения системы могут быть выведены путем минимизации значения этого интеграла.

Принцип действия обеспечивает глубокое понимание физики и является важной концепцией в современной теоретической физике . Различные принципы действия и связанные с ними концепции суммированы ниже.

принцип Мопертюи

В классической механике принцип Мопертюи (названный в честь Пьера Луи Мопертюи) утверждает, что путь, по которому движется физическая система, имеет наименьшую длину (при соответствующей интерпретации пути и длины). Принцип Мопертюи использует сокращенное действие между двумя обобщенными точками на пути.

Основная функция Гамильтона

Принцип Гамильтона утверждает, что дифференциальные уравнения движения для любой физической системы могут быть переформулированы как эквивалентное интегральное уравнение . Таким образом, существует два различных подхода к формулированию динамических моделей.

Принцип Гамильтона применим не только к классической механике отдельной частицы, но и к классическим полям, таким как электромагнитное и гравитационное поля . Принцип Гамильтона также был распространен на квантовую механику и квантовую теорию поля — в частности, формулировка интеграла по траектории квантовой механики использует эту концепцию — где физическая система исследует все возможные пути, причем фаза амплитуды вероятности для каждого пути определяется действием для пути; конечная амплитуда вероятности складывает все пути, используя их комплексную амплитуду и фазу. ^[17]

Уравнение Гамильтона–Якоби

Основная функция Гамильтона получается из функционала действия путем фиксации начального времени и начальной конечной точки , при этом позволяя верхнему пределу времени и второй конечной точке изменяться. Основная функция Гамильтона удовлетворяет уравнению Гамильтона–Якоби, формулировке классической механики . Из-за сходства с уравнением Шредингера , уравнение Гамильтона–Якоби обеспечивает, возможно, самую прямую связь с квантовой механикой . $S=S(q,t;q_{0},t_{0})$ ${\mathcal {S}}$ $t_{0}$ $q_{0},$ $t$ $q$

Уравнения Эйлера–Лагранжа

В механике Лагранжа требование, чтобы интеграл действия был стационарным при малых возмущениях, эквивалентно системе дифференциальных уравнений (называемых уравнениями Эйлера–Лагранжа), которые могут быть получены с помощью вариационного исчисления .

Классические поля

Принцип действия можно расширить, чтобы получить уравнения движения для полей, таких как электромагнитное поле или гравитационное поле . Уравнения Максвелла можно вывести как условия стационарного действия .

Уравнение Эйнштейна использует действие Эйнштейна–Гильберта , ограниченное вариационным принципом . Траектория (путь в пространстве-времени ) тела в гравитационном поле может быть найдена с помощью принципа действия. Для свободно падающего тела эта траектория является геодезической .

Законы сохранения

Последствия симметрий в физической ситуации можно найти с помощью принципа действия, вместе с уравнениями Эйлера–Лагранжа , которые выводятся из принципа действия. Примером является теорема Нётер , которая утверждает, что каждой непрерывной симметрии в физической ситуации соответствует закон сохранения (и наоборот). Эта глубокая связь требует, чтобы был принят принцип действия. ^[17]

Формулировка квантовой теории поля в виде интеграла по траектории

В квантовой механике система не следует единственному пути, действие которого стационарно, но поведение системы зависит от всех разрешенных путей и значения их действия. Действие, соответствующее различным путям, используется для вычисления интеграла по пути , который дает амплитуды вероятности различных результатов.

Хотя в классической механике он эквивалентен законам Ньютона , принцип действия лучше подходит для обобщений и играет важную роль в современной физике. Действительно, этот принцип является одним из величайших обобщений в физической науке. Он лучше всего понят в квантовой механике, в частности в формулировке интеграла по траектории Ричарда Фейнмана , где он возникает из деструктивной интерференции квантовых амплитуд.

Современные расширения

Принцип действия может быть обобщен еще больше. Например, действие не обязательно должно быть интегралом, поскольку возможны нелокальные действия . Конфигурационное пространство не обязательно должно быть даже функциональным пространством , учитывая определенные особенности, такие как некоммутативная геометрия . Однако физическая основа для этих математических расширений еще должна быть установлена экспериментально. ^[13]

Смотрите также

Ссылки

^ ab Нойеншвандер, Дуайт Э.; Тейлор, Эдвин Ф.; Тулея, Славомир (2006-03-01). «Действие: принуждение энергии предсказывать движение». The Physics Teacher . 44 (3): 146–152. doi :10.1119/1.2173320. ISSN 0031-921X.
^ Огборн, Джон; Тейлор, Эдвин Ф. (2005-01-01). «Квантовая физика объясняет законы движения Ньютона» (PDF) . Physics Education . 40 (1): 26–34. Bibcode :2005PhyEd..40...26O. doi :10.1088/0031-9120/40/1/001. ISSN 0031-9120. S2CID 250809103.
^ Тейлор, Эдвин Ф. (2003-05-01). «Призыв к действию». American Journal of Physics . 71 (5): 423–425. doi :10.1119/1.1555874. ISSN 0002-9505.
^ abcde "Фейнмановские лекции по физике, том II, гл. 19: Принцип наименьшего действия". www.feynmanlectures.caltech.edu . Получено 03.11.2023 .
^ Гудман, Бернард (1993). «Действие». В Паркер, С. П. (ред.). McGraw-Hill Encyclopaedia of Physics (2-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 22. ISBN 0-07-051400-3.
^ Stehle, Philip M. (1993). "Принцип наименьшего действия". В Parker, SP (ред.). McGraw-Hill Encyclopaedia of Physics (2-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 670. ISBN 0-07-051400-3.
↑ Фи, Джером (1942). «Мопертюи и принцип наименьшего действия». American Scientist . 30 (2): 149–158. ISSN 0003-0996. JSTOR 27825934.
^ "Max Planck Nobel Lecture". Архивировано из оригинала 2023-07-14 . Получено 2023-07-14 .
^ Клайн, Моррис (1972). Математическая мысль от древних времен до наших дней . Нью-Йорк: Oxford University Press. С. 167–168. ISBN 0-19-501496-0.
^ Yourgrau, Wolfgang; Mandelstam, Stanley (1979). Вариационные принципы в динамике и квантовой теории . Dover books on physics and chemical (Republ. of the 3rd ed., publ. in 1968 ed.). New York, NY: Dover Publ. ISBN 978-0-486-63773-0.
^ abc Аналитическая механика, LN Hand, JD Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
^ Энциклопедия физики (2-е издание), Р.Г. Лернер , Г.Л. Тригг, издатели VHC, 1991, ISBN 3-527-26954-1 (Verlagsgesellschaft), ISBN 0-89573-752-3 (VHC Inc.)
^ ab Дорога к реальности, Роджер Пенроуз, Винтажные книги, 2007, ISBN 0-679-77631-1
^ TWB Kibble, Классическая механика , Европейская серия физики, McGraw-Hill (Великобритания), 1973, ISBN 0-07-084018-0
^ abc Goldstein, Herbert; Poole, Charles P.; Safko, John L. (2008). Классическая механика (3, [Nachdr.] ed.). Сан-Франциско, Мюнхен: Addison Wesley. ISBN 978-0-201-65702-9.
^ Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц (1971). Классическая теория полей . Эддисон-Уэсли. Раздел 8. С. 24–25.
^ ab Квантовая механика, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0

Дальнейшее чтение

Кембриджский справочник по физическим формулам , Г. Воан, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 .
Дэр А. Уэллс, «Лагранжева динамика», серия «Очерк» Шаума (McGraw-Hill, 1967) ISBN 0-07-069258-0 , 350-страничный всеобъемлющий «очерк» предмета.

Внешние ссылки

Принцип наименьшего действия интерактивный Интерактивное объяснение/веб-страница