Адъюгатная матрица

Для квадратной матрицы транспонирование матрицы-кофактора

В линейной алгебре сопряжение квадратной матрицы A является транспонированием ее матрицы-кофактора и обозначается adj( A ) . ^{[1] [2]} Его также иногда называют присоединенной матрицей , ^{[3] [4]} или «сопряженной», ^[5] хотя последний термин сегодня обычно относится к другому понятию, сопряженному оператору , который для матрицы является конъюгат транспонировать .

Произведение матрицы с ее адъюгатом дает диагональную матрицу (элементы, не находящиеся на главной диагонали, равны нулю), диагональные элементы которой являются определителем исходной матрицы:

${\displaystyle \mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )\mathbf {I} ,}$

где I — единичная матрица того же размера, что и A. Следовательно, мультипликативную обратную обратимую матрицу можно найти, разделив ее сопряженную на ее определитель.

Определение

Адъюгат A является транспонированием матрицы - кофактора C A ,​​

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.}$

Более подробно, предположим, что R — коммутативное кольцо с единицей , а A — матрица размера n  ×  n с элементами из R. ( i , j ) - минор A , обозначаемый M _ij , является определителем матрицы ( n  - 1) × ( n  - 1 ) , которая получается в результате удаления строки i и столбца j из A . Матрица -кофактор A - это матрица C размера n  ×  n , запись которой ( i , j ) является кофактором ( i , j ) A , который является ( i , j ) -минорным, умноженным на знаковый множитель:

${\displaystyle \mathbf {C} =\left((-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}\right)_{1\leq i,j\leq n}.}$

Адъюгат A является транспонированием C , то есть матрицей размера n  ×  n , запись ( i , j ) которой является ( j ,  i ) сомножителем A ,

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}=\left((-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ji}\right)_{1\leq i,j\leq n}.}$

Важное последствие

Адъюгат определяется так, что произведение A на его адъюгат дает диагональную матрицу , диагональные элементы которой являются определителем det( A ) . То есть,

${\displaystyle \mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {A} =\det(\mathbf {A} )\mathbf {I} ,}$

где I — единичная матрица размера n  ×  n . Это следствие разложения определителя по Лапласу .

Из приведенной выше формулы следует один из фундаментальных результатов матричной алгебры: A обратим тогда и только тогда, когда det ( A ) является обратимым элементом R . Когда это справедливо, уравнение выше дает

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )&=\det(\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1},\\\mathbf {A} ^{-1}&=\det(\mathbf {A} )^{-1}\operatorname {adj} (\mathbf {A} ).\end{aligned}}}$

Примеры

Общая матрица 1 × 1

Поскольку определитель матрицы 0 × 0 равен 1, сопряженная величина любой матрицы 1 × 1 ( комплексный скаляр) равна . Обратите внимание, что ${\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {A} \mathbf {I} =(\det \mathbf {A} )\mathbf {I} .}$

Общая матрица 2 × 2

Адъюгат матрицы 2 × 2

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$

является

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}.}$

Путем прямого расчета,

${\displaystyle \mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{bmatrix}}=(\det \mathbf {A} )\mathbf {I} .}$

В этом случае также верно, что det ( adj ( A ) ) = det ( A ) и, следовательно, adj ( adj ( A )) = A.

Общая матрица 3 × 3

Рассмотрим матрицу 3 × 3

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}.}$

Его кофакторная матрица

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}b_{1}&b_{3}\\c_{1}&c_{3}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}b_{1}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{vmatrix}}\\\\-{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\c_{1}&c_{3}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{vmatrix}}\\\\+{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}},}$

где

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=\det \!{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}.}$

Его адъюгат представляет собой транспонирование матрицы кофакторов,

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}b_{1}&b_{3}\\c_{1}&c_{3}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\c_{1}&c_{3}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}b_{1}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}.}$

Числовая матрица 3 × 3

В качестве конкретного примера мы имеем

${\displaystyle \operatorname {adj} \!{\begin{bmatrix}-3&2&-5\\-1&0&-2\\3&-4&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-8&18&-4\\-5&12&-1\\4&-6&2\end{bmatrix}}.}$

Легко проверить, что сопряженное число обратно пропорционально определителю, −6 .

-1 во второй строке, третьем столбце адъюгата вычисляли следующим образом . Запись (2,3) адъюгата является кофактором (3,2) A . Этот кофактор вычисляется с использованием подматрицы , полученной путем удаления третьей строки и второго столбца исходной матрицы A ,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}}.}$

Кофактор (3,2) — это знак, умноженный на определитель этой подматрицы:

${\displaystyle (-1)^{3+2}\operatorname {det} \!{\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}}=-(-3\cdot -2--5\cdot -1)=-1,}$

и это (2,3) запись сопряжения.

Характеристики

Для любой матрицы A размера n  ×  n элементарные вычисления показывают, что адъюгаты обладают следующими свойствами:

• ${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I} }$, где – единичная матрица . ${\displaystyle \mathbf {I} }$
• ${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {0} )=\mathbf {0} }$, где – нулевая матрица , за исключением того, что если то . ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {0} )=\mathbf {I} }$
• ${\displaystyle \operatorname {adj} (c\mathbf {A} )=c^{n-1}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )}$для любого скаляра c .
• ${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{\mathsf {T}}}$.
• ${\displaystyle \det(\operatorname {adj} (\mathbf {A} ))=(\det \mathbf {A} )^{n-1}}$.
• Если А обратимо, то . Следует, что: ${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=(\det \mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}}$
  • adj( A ) обратим с обратным (det A ) ⁻¹ A .
  • прил( А ^-1 ) знак равно прил( А ) ^-1 .
• adj( A ) является поэлементным полиномом от A . В частности, над действительными или комплексными числами сопряжение является гладкой функцией элементов A .

Над комплексными числами

• ${\displaystyle \operatorname {adj} ({\overline {\mathbf {A} }})={\overline {\operatorname {adj} (\mathbf {A} )}}}$, где черта означает комплексное сопряжение .
• ${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{*})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{*}}$, где звездочка обозначает сопряженное транспонирование .

Предположим, что B — еще одна матрица размера n  ×  n . Затем

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {AB} )=\operatorname {adj} (\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} ).}$

Это можно доказать тремя способами. Один из способов, справедливый для любого коммутативного кольца, — это прямое вычисление с использованием формулы Коши–Бине . Второй способ, справедливый для действительных или комплексных чисел, заключается в том, чтобы сначала заметить, что для обратимых матриц A и B

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=(\det \mathbf {B} )\mathbf {B} ^{-1}(\det \mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}=(\det \mathbf {AB} )(\mathbf {AB} )^{-1}=\operatorname {adj} (\mathbf {AB} ).}$

Поскольку каждая необратимая матрица является пределом обратимых матриц, непрерывность сопряжения означает, что формула остается верной, когда одна из матриц A или B не обратима.

Следствием предыдущей формулы является то , что для любого неотрицательного целого числа k

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{k})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{k}.}$

Если A обратим, то приведенная выше формула справедлива и для отрицательных k .

От личности

${\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\det(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )(\mathbf {A} +\mathbf {B} ),}$

мы делаем вывод

${\displaystyle \mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {A} .}$

Предположим, что A коммутирует с B . Умножение тождества AB = BA слева и справа на adj( A ) доказывает, что

${\displaystyle \det(\mathbf {A} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {B} =\det(\mathbf {A} )\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} ).}$

Если A обратим, это означает, что adj( A ) также коммутирует с B . В отношении действительных или комплексных чисел непрерывность подразумевает, что adj( A ) коммутирует с B, даже если A не обратимо.

Наконец, существует более общее доказательство, чем второе доказательство, которое требует только, чтобы матрица размера n  ×  n имела элементы над полем , состоящим как минимум из 2 n  + 1 элементов (например, матрица 5 × 5 над целыми числами по модулю 11). det( A + t  I ) — многочлен от t степени не выше n , поэтому он имеет не более n корней . Обратите внимание, что ij-  я запись adj(( A + t  I )( B )) является полиномом не более порядка n , и аналогично для adj( A + t  I ) adj( B ) . Эти два многочлена в ij  -й записи согласуются как минимум по n  + 1 точкам, поскольку у нас есть не менее n  + 1 элементов поля, где A + t  I обратимо, и мы доказали тождество для обратимых матриц. Полиномы степени n , которые совпадают по n  + 1 точкам, должны быть идентичными (вычтите их друг из друга, и вы получите n  + 1 корней для многочлена степени не выше n – противоречие, если только их разница не равна тождественному нулю). Поскольку два полинома идентичны, они принимают одно и то же значение для каждого значения t . Таким образом, они принимают одно и то же значение при t = 0.

Используя приведенные выше свойства и другие элементарные вычисления, легко показать, что если A обладает одним из следующих свойств, то adj  A также обладает им:

• верхний треугольный ,
• нижний треугольный ,
• диагональ ,
• ортогональный ,
• унитарный ,
• симметричный ,
• Эрмитиан ,
• нормальный .

Если A кососимметричен , то adj( A ) кососимметричен для четного n и симметричен для нечетного n . Аналогично, если A косоэрмитово , то adj ( A ) косоэрмитово для четного n и эрмитово для нечетного n .

Если A обратимо, то, как отмечалось выше, существует формула для adj( A ) через определитель и обратное к A . Когда A не является обратимым, адъюгат удовлетворяет различным, но тесно связанным формулам.

• Если rk( A ) ≤ n − 2 , то adj( A ) = 0 .
• Если rk( A ) = n − 1 , то rk(adj( A )) = 1 . (Некоторый минор не равен нулю, поэтому adj( A ) не равен нулю и, следовательно, имеет ранг не ниже одного; из тождества adj( A )  A = 0 следует, что размерность нуль -пространства adj ( A ) равна как минимум n  − 1 , поэтому его ранг не более единицы.) Отсюда следует, что adj( A ) = α xy ^T , где α — скаляр, а x и y — векторы такие, что Ax = 0 и A ^T  y = 0 .

Замена столбца и правило Крамера

Разделение A на векторы-столбцы :

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{bmatrix}}.}$

Пусть b — вектор-столбец размера n . Зафиксируйте 1 ≤ i ≤ n и рассмотрим матрицу, образованную заменой столбца i столбца A на b :

${\displaystyle (\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{i-1}&\mathbf {b} &\mathbf {a} _{i+1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{bmatrix}}.}$

Лаплас разложит определитель этой матрицы по столбцу i . Результатом является запись i продукта adj( A ) b . Сбор этих определителей для различных возможных i дает равенство векторов-столбцов.

${\displaystyle \left(\det(\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )\right)_{i=1}^{n}=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {b} .}$

Эта формула имеет следующее конкретное следствие. Рассмотрим линейную систему уравнений

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {b} .}$

Предположим, что A неособа . Умножив эту систему слева на adj( A ) и разделив на определитель, получим

${\displaystyle \mathbf {x} ={\frac {\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {b} }{\det \mathbf {A} }}.}$

Применение предыдущей формулы к этой ситуации дает правило Крамера :

${\displaystyle x_{i}={\frac {\det(\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )}{\det \mathbf {A} }},}$

где x _i — i-я запись x .

Характеристический полином

Пусть характеристический полином A равен

${\displaystyle p(s)=\det(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )=\sum _{i=0}^{n}p_{i}s^{i}\in R[s].}$

Первая разделенная разность p представляет собой симметричный полином степени n  − 1 ,

${\displaystyle \Delta p(s,t)={\frac {p(s)-p(t)}{s-t}}=\sum _{0\leq j+k<n}p_{j+k+1}s^{j}t^{k}\in R[s,t].}$

Умножьте s I − A на его сопряженное число. Поскольку p ( A ) = 0 по теореме Кэли–Гамильтона , некоторые элементарные манипуляции обнаруживают

${\displaystyle \operatorname {adj} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )=\Delta p(s\mathbf {I} ,\mathbf {A} ).}$

В частности, резольвента A определяется как

${\displaystyle R(z;\mathbf {A} )=(z\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1},}$

и по приведенной выше формуле это равно

${\displaystyle R(z;\mathbf {A} )={\frac {\Delta p(z\mathbf {I} ,\mathbf {A} )}{p(z)}}.}$

Формула Якоби

Адъюгат также появляется в формуле Якоби для производной определителя. Если A ( t ) непрерывно дифференцируемо , то

${\displaystyle {\frac {d(\det \mathbf {A} )}{dt}}(t)=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (\mathbf {A} (t))\mathbf {A} '(t)\right).}$

Отсюда следует, что полная производная определителя является транспонированной сопряженной:

${\displaystyle d(\det \mathbf {A} )_{\mathbf {A} _{0}}=\operatorname {adj} (\mathbf {A} _{0})^{\mathsf {T}}.}$

Формула Кэли – Гамильтона

Пусть p _A ( t ) будет характеристическим многочленом A. Теорема Кэли – Гамильтона утверждает, что

${\displaystyle p_{\mathbf {A} }(\mathbf {A} )=\mathbf {0} .}$

Отделение постоянного члена и умножение уравнения на adj( A ) дает выражение для сопряженного, которое зависит только от A и коэффициентов p _A ( t ) . Эти коэффициенты могут быть явно представлены через следы степеней A с использованием полных экспоненциальных полиномов Белла . Полученная формула

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\sum _{s=0}^{n-1}\mathbf {A} ^{s}\sum _{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n-1}}\prod _{\ell =1}^{n-1}{\frac {(-1)^{k_{\ell }+1}}{\ell ^{k_{\ell }}k_{\ell }!}}\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{\ell })^{k_{\ell }},}$

где n — размерность A , а сумма берется по s и всем последовательностям k _l ≥ 0 , удовлетворяющим линейному диофантову уравнению

${\displaystyle s+\sum _{\ell =1}^{n-1}\ell k_{\ell }=n-1.}$

Для случая 2 × 2 это дает

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {I} _{2}(\operatorname {tr} \mathbf {A} )-\mathbf {A} .}$

Для случая 3 × 3 это дает

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\frac {1}{2}}\mathbf {I} _{3}\!\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right)-\mathbf {A} (\operatorname {tr} \mathbf {A} )+\mathbf {A} ^{2}.}$

Для случая 4 × 4 это дает

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\frac {1}{6}}\mathbf {I} _{4}\!\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{3}-3\operatorname {tr} \mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}+2\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{3}\right)-{\frac {1}{2}}\mathbf {A} \!\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right)+\mathbf {A} ^{2}(\operatorname {tr} \mathbf {A} )-\mathbf {A} ^{3}.}$

Эта же формула следует непосредственно из завершающего шага алгоритма Фаддеева–Леверье , который эффективно определяет характеристический полином A.

В общем, сопряженная матрица произвольной размерности N-матрицы может быть вычислена по соглашению Эйнштейна.

${\displaystyle (\operatorname {adj} (\mathbf {A} ))_{i_{N}}^{j_{N}}={\frac {1}{(N-1)!}}\epsilon _{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}\epsilon ^{j_{1}j_{2}\ldots j_{N}}A_{j_{1}}^{i_{1}}A_{j_{2}}^{i_{2}}\ldots A_{j_{N-1}}^{i_{N-1}}}$

Связь с внешними алгебрами

Адъюгат можно рассматривать в абстрактных терминах, используя внешние алгебры . Пусть V — n -мерное векторное пространство . Внешний продукт определяет билинейное спаривание

${\displaystyle V\times \wedge ^{n-1}V\to \wedge ^{n}V.}$

Абстрактно изоморфно R , и при любом таком изоморфизме внешнее произведение является совершенным спариванием . Следовательно, это дает изоморфизм ${\displaystyle \wedge ^{n}V}$

${\displaystyle \phi \colon V\ {\xrightarrow {\cong }}\ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V).}$

Явно это спаривание переводит v ∈ V в , где ${\displaystyle \phi _{\mathbf {v} }}$

${\displaystyle \phi _{\mathbf {v} }(\alpha )=\mathbf {v} \wedge \alpha .}$

Предположим, что T  : V → V — линейное преобразование . Обратный ход по ( n  − 1) -й внешней степени T индуцирует морфизм пространств Hom . Адъюгатом T является составное​

${\displaystyle V\ {\xrightarrow {\phi }}\ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ {\xrightarrow {(\wedge ^{n-1}T)^{*}}}\ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ {\xrightarrow {\phi ^{-1}}}\ V.}$

Если V = R ⁿ наделен своим каноническим базисом e ₁ , …, en _, и если матрица T в этом базисе равна A , то сопряжение T является сопряжением A . Чтобы понять почему, дайте основание ${\displaystyle \wedge ^{n-1}\mathbf {R} ^{n}}$

${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\}_{k=1}^{n}.}$

Зафиксируйте базисный вектор e _i из R ⁿ . Изображение e _i under определяется тем, куда он отправляет базисные векторы: ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi _{\mathbf {e} _{i}}(\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n})={\begin{cases}(-1)^{i-1}\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n},&{\text{if}}\ k=i,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

На базисных векторах ( n  - 1) -я внешняя степень T равна

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\mapsto \sum _{k=1}^{n}(\det A_{jk})\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}.}$

Каждый из этих членов отображается в ноль, за исключением термина k = i . Следовательно, обратный путь — это линейное преобразование, для которого ${\displaystyle \phi _{\mathbf {e} _{i}}}$ ${\displaystyle \phi _{\mathbf {e} _{i}}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\mapsto (-1)^{i-1}(\det A_{ji})\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n},}$

то есть оно равно

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji})\phi _{\mathbf {e} _{j}}.}$

Применение обратного выражения показывает, что сопряжение T является линейным преобразованием, для которого ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mapsto \sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji})\mathbf {e} _{j}.}$

Следовательно, его матричное представление является сопряжением A .

Если V наделено скалярным произведением и формой объема, то отображение φ можно разложить дальше. В этом случае φ можно понимать как комбинацию звездного оператора Ходжа и дуализации. В частности, если ω — форма объема, то она вместе со скалярным произведением определяет изоморфизм

${\displaystyle \omega ^{\vee }\colon \wedge ^{n}V\to \mathbf {R} .}$

Это индуцирует изоморфизм

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}\mathbf {R} ^{n},\wedge ^{n}\mathbf {R} ^{n})\cong \wedge ^{n-1}(\mathbf {R} ^{n})^{\vee }.}$

Вектор v в Rn ^{соответствует} линейному функционалу

${\displaystyle (\alpha \mapsto \omega ^{\vee }(\mathbf {v} \wedge \alpha ))\in \wedge ^{n-1}(\mathbf {R} ^{n})^{\vee }.}$

По определению звездного оператора Ходжа этот линейный функционал двойственен * v . То есть ω ^∨ ∘ φ равно v ↦ * v ^∨ .

Высшие адъюгаты

Пусть A — матрица размера n  ×  n и зафиксируем r ≥ 0 . r-й высший адъюгат A представляет собой матрицу, обозначаемую adj _r A , элементы которой индексируются по размеру r подмножеств I и J из {1,..., m } ^{[ нужна ссылка ]} . Пусть I ^c и J ^c обозначают дополнения к I и J соответственно. Также обозначим подматрицу A , содержащую те строки и столбцы, индексы которых находятся в I ^c и J ^c соответственно. Тогда ( I , J ) запись adj _r A равна ${\textstyle {\binom {n}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}$  ${\displaystyle \mathbf {A} _{I^{c},J^{c}}}$

${\displaystyle (-1)^{\sigma (I)+\sigma (J)}\det \mathbf {A} _{J^{c},I^{c}},}$

где σ( I ) и σ( J ) — сумма элементов I и J соответственно.

Основные свойства высших адъюгатов включают ^{в себя :}

• прил ₀ ( А ) знак равно det  А .
• прил ₁ ( А ) знак равно прил  А .
• прил _п ( А ) знак равно 1 .
• прил _р ( BA ) знак равно прил _р ( А ) прил _р ( B ) .
• ${\displaystyle \operatorname {adj} _{r}(\mathbf {A} )C_{r}(\mathbf {A} )=C_{r}(\mathbf {A} )\operatorname {adj} _{r}(\mathbf {A} )=(\det \mathbf {A} )I_{\binom {n}{r}}}$, где C _r ( A ) обозначает r  -ю составную матрицу .

Высшие адъюгаты могут быть определены в абстрактных алгебраических терминах аналогично обычному адъюгату, заменяя и вместо и соответственно. ${\displaystyle \wedge ^{r}V}$ ${\displaystyle \wedge ^{n-r}V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \wedge ^{n-1}V}$

Итерированные адъюгаты

Итеративное взятие сопряжения обратимой матрицы A k раз дает

${\displaystyle \overbrace {\operatorname {adj} \dotsm \operatorname {adj} } ^{k}(\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )^{\frac {(n-1)^{k}-(-1)^{k}}{n}}\mathbf {A} ^{(-1)^{k}},}$

${\displaystyle \det(\overbrace {\operatorname {adj} \dotsm \operatorname {adj} } ^{k}(\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{(n-1)^{k}}.}$

Например,

${\displaystyle \operatorname {adj} (\operatorname {adj} (\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A} .}$

${\displaystyle \det(\operatorname {adj} (\operatorname {adj} (\mathbf {A} )))=\det(\mathbf {A} )^{(n-1)^{2}}.}$

Смотрите также

• Теорема Кэли – Гамильтона
• Правило Крамера
• Диаграмма трассировки
• Формула Якоби
• Алгоритм Фаддеева – Леверье
• Сложная матрица

Рекомендации

1. Гантмахер, Франция (1960). Теория матриц. Том. 1. Нью-Йорк: Челси. стр. 76–89. ISBN 0-8218-1376-5.
2. Стрэнг, Гилберт (1988). «Раздел 4.4: Применение определителей» . Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.). Харкорт Брейс Йованович. стр. 231–232. ISBN 0-15-551005-3.
3. Клайссен, JCR (1990). «О прогнозировании отклика неконсервативных линейных колебательных систем с использованием динамических матричных решений». Журнал звука и вибрации . 140 (1): 73–84. Бибкод : 1990JSV...140...73C. дои : 10.1016/0022-460X(90)90907-H.
4. Чен, В.; Чен, В.; Чен, YJ (2004). «Характеристический матричный подход для анализа устройств с резонансной кольцевой решеткой». Письма IEEE Photonics Technology . 16 (2): 458–460. Бибкод : 2004IPTL...16..458C. дои : 10.1109/LPT.2003.823104.
5. Домовладелец, Олстон С. (2006). Теория матриц в численном анализе . Дуврские книги по математике. стр. 166–168. ISBN 0-486-44972-6.

Библиография

• Роджер А. Хорн и Чарльз Р. Джонсон (2013), Матричный анализ , второе издание. Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-54823-6 
• Роджер А. Хорн и Чарльз Р. Джонсон (1991), Темы матричного анализа . Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-46713-1 

Внешние ссылки

• Справочное руководство по матрицам
• Онлайн-калькулятор матриц (определитель, дорожка, обратная, сопряженная, транспонированная) Вычислить матрицу сопряжений до 8-го порядка
• «Сопряжение { { a, b, c }, { d, e, f }, { g, h, i } }». Вольфрам Альфа .