Алгебраическая группа

Алгебраическое многообразие с групповой структурой

В математике алгебраическая группа — это алгебраическое многообразие , наделенное групповой структурой, совместимой с ее структурой как алгебраического многообразия. Таким образом, изучение алгебраических групп относится как к алгебраической геометрии , так и к теории групп .

Многие группы геометрических преобразований являются алгебраическими группами; например, ортогональные группы , общие линейные группы , проективные группы , евклидовы группы и т. д. Многие матричные группы также являются алгебраическими. Другие алгебраические группы естественным образом встречаются в алгебраической геометрии, например эллиптические кривые и многообразия Якобиана .

Важный класс алгебраических групп составляют аффинные алгебраические группы , те, основное алгебраическое многообразие которых является аффинным многообразием ; они в точности являются алгебраическими подгруппами общей линейной группы и поэтому также называются линейными алгебраическими группами . ^[1] Другой класс образуют абелевы многообразия , которые представляют собой алгебраические группы, базовым многообразием которых является проективное многообразие . Структурная теорема Шевалле утверждает, что каждая алгебраическая группа может быть составлена ​​из групп этих двух семейств.

Определения

Формально алгебраическая группа над полем представляет собой алгебраическое многообразие над вместе с выделенным элементом ( нейтральным элементом ) и регулярными отображениями (операция умножения) и (операция обращения), которые удовлетворяют аксиомам группы. ^[2] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle e\in \mathrm {G} (k)}$ ${\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {G} \to \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} \to \mathrm {G} }$

Примеры

• Аддитивная группа : аффинная прямая , наделенная сложением и противоположными групповыми операциями, является алгебраической группой. Она называется аддитивной группой (поскольку ее -точки изоморфны как группа аддитивной группе ) и обычно обозначается . ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathrm {G} _{a}}$
• Мультипликативная группа : Позвольте быть аффинным многообразием, определяемым уравнением в аффинной плоскости . Функции и регулярны на и удовлетворяют аксиомам группы (с нейтральным элементом ). Алгебраическая группа называется мультипликативной группой, потому что ее -точки изоморфны мультипликативной группе поля (изоморфизм задается формулой  ; заметим, что подмножество обратимых элементов не определяет алгебраическое подмногообразие в ). ${\displaystyle \mathrm {G} _{m}}$ ${\displaystyle xy=1}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$ ${\displaystyle ((x,y),(x',y'))\mapsto (xx',yy')}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto (x^{-1},y^{-1})}$ ${\displaystyle \mathrm {G} _{m}}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle \mathrm {G} _{m}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x\mapsto (x,x^{-1})}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$
• Специальная линейная группа является алгебраической группой: она задается алгебраическим уравнением в аффинном пространстве (отождествляемом с пространством матриц ) , умножение матриц является регулярным, а формула для обратного выражения через сопряженную матрицу показывает эта инверсия регулярна и на матрицах с определителем 1. ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}}$ ${\displaystyle \det(g)=1}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
• Общая линейная группа обратимых матриц над полем является алгебраической группой. Ее можно реализовать как подмногообразие во многом так же, как мультипликативную группу в предыдущем примере. ^[3] ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}+1}}$
• Неособая кубическая кривая на проективной плоскости может быть наделена геометрически определенным групповым законом, превращающим ее в алгебраическую группу (см. эллиптическую кривую ). ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

Связанные определения

Алгебраическая подгруппа алгебраической группы — это подмногообразие , которое также является подгруппой (т. е. отображения и, определяющие структуру группы, отображают и соответственно в ). ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {H} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {G} \to \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} \to \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {H} \times \mathrm {H} }$ ${\displaystyle \mathrm {H} }$ ${\displaystyle \mathrm {H} }$

Морфизм между двумя алгебраическими группами — это регулярное отображение , которое также является групповым гомоморфизмом. Ее ядро ​​— алгебраическая подгруппа группы , ее образ — алгебраическая подгруппа группы . ^[4] ${\displaystyle \mathrm {G} ,\mathrm {G} '}$ ${\displaystyle \mathrm {G} \to \mathrm {G} '}$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} '}$

С факторами в категории алгебраических групп иметь дело более деликатно. Алгебраическая подгруппа называется нормальной, если она устойчива относительно любого внутреннего автоморфизма (который является регулярным отображением). Если - нормальная алгебраическая подгруппа, то существует алгебраическая группа и сюръективный морфизм, такой, что является ядром . ^[5] Обратите внимание, что если поле не алгебраически замкнуто, морфизм групп не может быть сюръективным (по умолчанию сюръективность измеряется когомологиями Галуа ). ${\displaystyle \mathrm {H} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} /\mathrm {H} }$ ${\displaystyle \pi :\mathrm {G} \to \mathrm {G} /\mathrm {H} }$ ${\displaystyle \mathrm {H} }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathrm {G} (k)\to \mathrm {G} (k)/\mathrm {H} (k)}$

Алгебра Ли алгебраической группы

Аналогично соответствию группа Ли – алгебра Ли , алгебраической группе над полем соответствует алгебра Ли над . Как векторное пространство алгебра Ли изоморфна касательному пространству в единичном элементе. Скобка Ли может быть построена на основе ее интерпретации как пространства дифференцирований. ^[6] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Альтернативные определения

Более сложное определение алгебраической группы над полем состоит в том, что это определение групповой схемы над (в более общем смысле групповые схемы могут быть определены над коммутативными кольцами ). ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Еще одно определение понятия состоит в том, чтобы сказать, что алгебраическая группа над является групповым объектом в категории алгебраических многообразий над . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Аффинные алгебраические группы

Алгебраическая группа называется аффинной, если ее основное алгебраическое многообразие является аффинным многообразием. Среди приведенных выше примеров аффинными являются аддитивные, мультипликативные группы, а также общие и специальные линейные группы. Используя действие аффинной алгебраической группы на ее координатное кольцо, можно показать, что каждая аффинная алгебраическая группа является линейной (или матричной группой), то есть она изоморфна алгебраической подгруппе общей линейной группы.

Например, аддитивную группу можно вложить с помощью морфизма . ${\displaystyle \mathrm {GL} _{2}}$ ${\displaystyle x\mapsto \left({\begin{smallmatrix}1&x\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$

Помимо приведенных ранее, существует множество примеров таких групп:

• ортогональные и симплектические группы являются аффинными алгебраическими группами.
• унипотентные группы .
• алгебраические торы .
• некоторые полупрямые произведения , ^[7] например, группы Джет или некоторые разрешимые группы , такие как группа обратимых треугольных матриц .

Линейные алгебраические группы можно в определенной степени классифицировать. Теорема Леви утверждает, что каждая такая группа (по существу) является полупрямым произведением унипотентной группы (ее унипотентного радикала ) с редуктивной группой . В свою очередь редуктивные группы разлагаются как (опять же по существу) произведение их центра (алгебраического тора) на полупростую группу . Последние классифицируются над алгебраически замкнутыми полями через их алгебру Ли . ^[8] Классификация произвольных полей более сложна, но все еще хорошо понятна. ^[9] В некоторых случаях If можно сделать очень явным, например, для вещественных или p-адических полей и, следовательно, для числовых полей с помощью локально-глобальных принципов .

Абелевы многообразия

Абелевы многообразия — это связные проективные алгебраические группы, например эллиптические кривые. Они всегда коммутативны. Они естественным образом возникают в различных ситуациях алгебраической геометрии и теории чисел, например, как якобиан многообразия кривой.

Структурная теорема для общих алгебраических групп

Не все алгебраические группы являются линейными группами или абелевыми многообразиями, например, некоторые групповые схемы, естественным образом встречающиеся в арифметической геометрии, не являются ни тем, ни другим. ^[10] Структурная теорема Шевалле утверждает, что каждая связная алгебраическая группа является расширением абелева многообразия с помощью линейной алгебраической группы . Точнее, если K — совершенное поле , а G — связная алгебраическая группа над K , то существует единственная нормальная замкнутая подгруппа H в G , такая, что H — связная линейная алгебраическая группа, а G / H — абелево многообразие.

Связность

Как алгебраическое многообразие несет топологию Зариского . В общем, это не групповая топология , т. е. групповые операции не могут быть непрерывными для этой топологии (поскольку топология Зарисского на произведении не является произведением топологий Зариского на факторах ^[11] ). ${\displaystyle \mathrm {G} }$

Алгебраическая группа называется связной, если лежащее в ее основе алгебраическое многообразие связно для топологии Зарисского. Для алгебраической группы это означает, что она не является объединением двух собственных алгебраических подмножеств. ^[12]

Примерами несвязных групп являются алгебраические подгруппы корней из единицы в мультипликативной группе (каждая точка является замкнутым по Зарисскому подмножеством, поэтому она не связна при ). Эту группу обычно обозначают . Другая несвязная группа - это ортогональная группа четной размерности (определитель дает сюръективный морфизм ). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {G} _{m}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle \mu _{2}}$

В более общем смысле каждая конечная группа является алгебраической группой (она может быть реализована как конечная, следовательно, замкнутая по Зарисскому подгруппа некоторой некоторой группы по теореме Кэли ). Кроме того, оно одновременно аффинно и проективно. Таким образом, в частности, для целей классификации естественно ограничить утверждения связной алгебраической группой. ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$

Алгебраические группы над локальными полями и группы Ли

Если поле является локальным полем (например, действительных или комплексных чисел или p-адическим полем) и является -группой, то группа наделена аналитической топологией, возникающей в результате любого вложения в проективное пространство как квазипроективное поле. разнообразие. Это групповая топология, и она превращается в топологическую группу. Такие группы являются важными примерами общей теории топологических групп. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathrm {G} (k)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(k)}$ ${\displaystyle \mathrm {G} (k)}$

Если или тогда это превращается в группу Ли . Не все группы Ли могут быть получены с помощью этой процедуры, например, универсальное накрытие группы SL 2 ( R ) или факторгруппа Гейзенберга по бесконечной нормальной дискретной подгруппе. ^[13] Алгебраическая группа над действительными или комплексными числами может иметь замкнутые подгруппы (в аналитической топологии), которые не имеют того же связного компонента единицы, что и любая алгебраическая подгруппа. ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} (k)}$

Группы Кокстера и алгебраические группы

Существует ряд аналогичных результатов между алгебраическими группами и группами Кокстера – например, число элементов симметрической группы равно , а число элементов общей линейной группы над конечным полем равно (с точностью до некоторого множителя) q -факториал ; таким образом, симметричная группа ведет себя так, как если бы она была линейной группой над «полем с одним элементом». Это формализуется полем с одним элементом , которое рассматривает группы Кокстера как простые алгебраические группы над полем с одним элементом. ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle [n]_{q}!}$

Смотрите также

• Разнообразие персонажей
• Подгруппа Бореля
• Ручная группа
• Ранг Морли
• Гипотеза Черлина – Зильбера
• Адельная алгебраическая группа
• Псевдоредуктивная группа

Рекомендации

1. Борель 1991, стр.54.
2. Борель 1991, с. 46.
3. Борель 1991, 1.6 (2), с. 49.
4. Борель 1991, следствие 1.4, с. 47.
5. Борель 1991, Теорема 6.8, с. 98.
6. Борель 1991, 3.5, с. 65.
7. Борель 1991, стр. 55-56.
8. Борель 1991, 24.1.
9. Борель 1991, 24.2.
10. Конрад, Брайан (2002). «Современное доказательство теоремы Шевалле об алгебраических группах». Дж. Рамануджан Математика. Соц . 17 (1): 1–18. Збл  1007.14005.
11. Борель 1991, с. 16.
12. Борель 1991, с. 47.
13. "Нелинейная группа Ли". MathOverflow . Проверено 13 мая 2022 г.

• Шевалле, Клод, изд. (1958), Семинар К. Шевалле, 1956–1958. Классификация групп алгебраической лжи, 2 тома, Париж: Secrétariat Mathématique, MR  0106966, перепечатано как том 3 собрания сочинений Шевалле., заархивировано из оригинала 04 ноября 2014 г. , получено 25 июня 2012 г.
• Борель, Арманд (1991). Линейные алгебраические группы. 2-е расширенное изд . Тексты для аспирантов по математике. Спрингер-Верлаг. стр. х+288. Збл  0726.20030.
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Линейные алгебраические группы , Тексты для аспирантов по математике , том. 21, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90108-4, МР  0396773
• Ланг, Серж (1983), Абелевы сорта , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90875-5
• Милн, Дж. С. (2017), Алгебраические группы: теория групповых схем конечного типа над полем , Cambridge University Press , doi : 10.1017/9781316711736, ISBN 978-1107167483, МР  3729270
• Милн, Дж. С., Схемы аффинных групп; Алгебры Ли; Группы лжи; редуктивные группы; Арифметические подгруппы
• Мамфорд, Дэвид (1970), абелевы разновидности , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC  138290
• Спрингер, Тонни А. (1998), Линейные алгебраические группы , Progress in Mathematics, vol. 9 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4021-7, МР  1642713
• Уотерхаус, Уильям К. (1979), Введение в схемы аффинных групп, Тексты для выпускников по математике, том. 66, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90421-4
• Вейль, Андре (1971), Courbes algébriques et variétés abéliennes , Париж: Hermann, OCLC  322901

дальнейшее чтение

• Алгебраические группы и их алгебры Ли Дэниел Миллер