Аномалия датчика

Нарушение калибровочной симметрии на квантовом уровне

В теоретической физике примером аномалии является калибровочная аномалия : это свойство квантовой механики (обычно однопетлевая диаграмма ), которое делает недействительной калибровочную симметрию квантовой теории поля , то есть калибровочной теории . ^[1]

Все аномалии калибровки должны быть отменены. Аномалии в калибровочных симметриях ^{[2] приводят к несоответствию, поскольку для отмены степеней свободы с отрицательной нормой, которые являются нефизическими (например,} фотон, поляризованный во временном направлении), требуется калибровочная симметрия . Действительно, отмена происходит в Стандартной модели .

Термин калибровочная аномалия обычно используется для векторных калибровочных аномалий. Другой тип калибровочной аномалии — гравитационная аномалия , поскольку репараметризация координат (называемая диффеоморфизмом ) является калибровочной симметрией гравитации .

Расчет аномалии

Аномалии возникают только в четных измерениях пространства-времени. Например, аномалии в обычных 4 измерениях пространства-времени возникают из треугольных диаграмм Фейнмана.

Аномалии векторного датчика

В векторных калибровочных аномалиях (в калибровочных симметриях , калибровочный бозон которых является вектором) аномалия является киральной аномалией и может быть точно рассчитана на уровне одной петли с помощью диаграммы Фейнмана с киральным фермионом, работающим в петле, с n внешними калибровочными бозонами, прикрепленными к петле, где , где — пространственно-временное измерение. ${\displaystyle n=1+D/2}$ ${\displaystyle D}$

Давайте рассмотрим (полу)эффективное действие, которое мы получаем после интегрирования по киральным фермионам . Если есть калибровочная аномалия, то результирующее действие не будет калибровочно-инвариантным. Если мы обозначим оператор, соответствующий бесконечно малому калибровочному преобразованию, через ε, то условие согласованности Фробениуса требует, чтобы ${\displaystyle \delta _{\epsilon }}$

${\displaystyle \left[\delta _{\epsilon _{1}},\delta _{\epsilon _{2}}\right]{\mathcal {F}}=\delta _{\left[\epsilon _{1},\epsilon _{2}\right]}{\mathcal {F}}}$

для любого функционала , включая (полу)эффективное действие S, где [,] — скобка Ли . Поскольку линейно по ε, можно записать ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \delta _{\epsilon }S}$

${\displaystyle \delta _{\epsilon }S=\int _{M^{d}}\Omega ^{(d)}(\epsilon )}$

где Ω ^(d) — это d-форма как функционал неинтегрированных полей и линейна по ε. Сделаем дальнейшее предположение (которое оказывается верным во всех интересующих нас случаях), что этот функционал локален (т. е. Ω ^(d) (x) зависит только от значений полей и их производных в точке x) и что его можно выразить как внешнее произведение p-форм. Если пространство-время M d замкнуто ⁽ т . е. не имеет границы) и ориентировано, то оно является границей некоторого d+1-мерного ориентированного многообразия M ^d+1 . Если затем мы произвольно расширим поля (включая ε), определенные на M ^{d ,} до M ^d+1 с единственным условием, что они совпадают на границах, и выражение Ω ^(d) , будучи внешним произведением p-форм, может быть расширено и определено внутри, то

${\displaystyle \delta _{\epsilon }S=\int _{M^{d+1}}d\Omega ^{(d)}(\epsilon ).}$

Условие согласованности Фробениуса теперь принимает вид

${\displaystyle \left[\delta _{\epsilon _{1}},\delta _{\epsilon _{2}}\right]S=\int _{M^{d+1}}\left[\delta _{\epsilon _{1}}d\Omega ^{(d)}(\epsilon _{2})-\delta _{\epsilon _{2}}d\Omega ^{(d)}(\epsilon _{1})\right]=\int _{M^{d+1}}d\Omega ^{(d)}(\left[\epsilon _{1},\epsilon _{2}\right]).}$

Поскольку предыдущее уравнение справедливо для любого произвольного расширения полей вовнутрь,

${\displaystyle \delta _{\epsilon _{1}}d\Omega ^{(d)}(\epsilon _{2})-\delta _{\epsilon _{2}}d\Omega ^{(d)}(\epsilon _{1})=d\Omega ^{(d)}(\left[\epsilon _{1},\epsilon _{2}\right]).}$

Из-за условия согласованности Фробениуса это означает, что существует d+1-форма Ω ^(d+1) (не зависящая от ε), определенная над M ^{d+1 ,} удовлетворяющая

${\displaystyle \delta _{\epsilon }\Omega ^{(d+1)}=d\Omega ^{(d)}(\epsilon ).}$

Ω ^(d+1) часто называют формой Черна–Саймонса .

Еще раз, если мы предположим, что Ω ^(d+1) может быть выражено как внешнее произведение и что его можно расширить до d+1 -формы в d+2-мерном ориентированном многообразии, мы можем определить

${\displaystyle \Omega ^{(d+2)}=d\Omega ^{(d+1)}}$

в d+2 измерениях. Ω ^(d+2) калибровочно-инвариантна:

${\displaystyle \delta _{\epsilon }\Omega ^{(d+2)}=d\delta _{\epsilon }\Omega ^{(d+1)}=d^{2}\Omega ^{(d)}(\epsilon )=0}$

поскольку d и δ _ε коммутируют.

Смотрите также

• Теория хиральной калибровки
• Аномалия, соответствующая условию
• Механизм Грина–Шварца
• Смешанная аномалия

Ссылки

1. Трейман, Сэм и Роман Джекив, (2014). Текущая алгебра и аномалии . Princeton University Press.
2. Ченг, TP; Ли, LF (1984). Калибровочная теория элементарных частиц . Oxford Science Publications.