Ассоциированные полиномы Лежандра

Канонические решения общего уравнения Лежандра

В математике ассоциированные полиномы Лежандра являются каноническими решениями общего уравнения Лежандра

$${\displaystyle \left(1-x^{2}\right){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)-2x{\frac {d}{dx}}P_{\ell }^{m}(x)+\left[\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]P_{\ell }^{m}(x)=0,}$$

или эквивалентно

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\left(1-x^{2}\right){\frac {d}{dx}}P_{\ell }^{m}(x)\right]+\left[\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]P_{\ell }^{m}(x)=0,}$$

где индексы ℓ и m (которые являются целыми числами) называются степенью и порядком соответствующего полинома Лежандра соответственно. Это уравнение имеет ненулевые решения, которые невырождены на [−1, 1], только если ℓ и m являются целыми числами с 0 ≤ m ≤ ℓ или с тривиально эквивалентными отрицательными значениями. Когда вдобавок m четное, функция является полиномом . Когда m равно нулю, а ℓ целое число, эти функции идентичны полиномам Лежандра . В общем случае, когда ℓ и m являются целыми числами, регулярные решения иногда называют «ассоциированными полиномами Лежандра», хотя они не являются полиномами, когда m нечетное. Полностью общий класс функций с произвольными действительными или комплексными значениями ℓ и m являются функциями Лежандра . В этом случае параметры обычно обозначаются греческими буквами.

Обыкновенное дифференциальное уравнение Лежандра часто встречается в физике и других технических областях. В частности, оно возникает при решении уравнения Лапласа (и связанных с ним частных дифференциальных уравнений ) в сферических координатах . Связанные с ним полиномы Лежандра играют важную роль в определении сферических гармоник .

Определение для неотрицательных целочисленных параметровℓим

Эти функции обозначаются , где верхний индекс указывает порядок, а не степень P. Их наиболее простое определение — через производные обычных полиномов Лежандра ( m ≥ 0) ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)}$

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}\left(P_{\ell }(x)\right),}$$

Фактор (−1) ^m в этой формуле известен как фаза Кондона–Шортли . Некоторые авторы опускают ее. То, что функции, описываемые этим уравнением, удовлетворяют общему дифференциальному уравнению Лежандра с указанными значениями параметров ℓ и m, следует из дифференцирования уравнения Лежандра для P _ℓ по m раз : ^[1] $${\displaystyle \left(1-x^{2}\right){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{\ell }(x)-2x{\frac {d}{dx}}P_{\ell }(x)+\ell (\ell +1)P_{\ell }(x)=0.}$$

Более того, поскольку по формуле Родригеса , P $${\displaystyle P_{\ell }(x)={\frac {1}{2^{\ell }\,\ell !}}\ {\frac {d^{\ell }}{dx^{\ell }}}\left[(x^{2}-1)^{\ell }\right],}$$^м
_лможно выразить в виде $${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)={\frac {(-1)^{m}}{2^{\ell }\ell !}}(1-x^{2})^{m/2}\ {\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell }.}$$

Это уравнение допускает расширение диапазона m до: − ℓ ≤ m ≤ ℓ . Определения P _ℓ ^{± m} , полученные из этого выражения путем подстановки ± m , пропорциональны. Действительно, приравняем коэффициенты при равных степенях в левой и правой части , тогда следует, что константа пропорциональности такова , что $${\displaystyle {\frac {d^{\ell -m}}{dx^{\ell -m}}}(x^{2}-1)^{\ell }=c_{lm}(1-x^{2})^{m}{\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell },}$$ $${\displaystyle c_{lm}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}},}$$ $${\displaystyle P_{\ell }^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}(x).}$$

Альтернативные обозначения

В литературе также используются следующие альтернативные обозначения: ^[2] $${\displaystyle P_{\ell m}(x)=(-1)^{m}P_{\ell }^{m}(x)}$$

Закрытая форма

Ассоциированный полином Лежандра можно также записать как: ^{[ требуется ссылка ]} с простыми одночленами и обобщенной формой биномиального коэффициента . $${\displaystyle P_{l}^{m}(x)=(-1)^{m}\cdot 2^{l}\cdot (1-x^{2})^{m/2}\cdot \sum _{k=m}^{l}{\frac {k!}{(k-m)!}}\cdot x^{k-m}\cdot {\binom {l}{k}}{\binom {\frac {l+k-1}{2}}{l}}}$$

Ортогональность

Ассоциированные полиномы Лежандра в общем случае не являются взаимно ортогональными. Например, не ортогонален . Однако некоторые подмножества ортогональны. Предполагая, что 0 ≤  m  ≤  ℓ , они удовлетворяют условию ортогональности для фиксированного m : ${\displaystyle P_{1}^{1}}$ ${\displaystyle P_{2}^{2}}$

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{k}^{m}P_{\ell }^{m}dx={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell }}$$

Где δ _{k , ℓ} — символ Кронекера .

Кроме того, они удовлетворяют условию ортогональности при фиксированном ℓ :

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {P_{\ell }^{m}P_{\ell }^{n}}{1-x^{2}}}dx={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\text{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\text{if }}m=n=0\end{cases}}}$$

Отрицательноми/или отрицательныйℓ

Дифференциальное уравнение, очевидно, инвариантно относительно изменения знака m .

Выше было показано, что функции для отрицательных m пропорциональны функциям для положительных m : $${\displaystyle P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}}$$

(Это следует из определения формулы Родригеса. Это определение также позволяет различным рекуррентным формулам работать для положительных и отрицательных m .) $${\displaystyle {\text{If}}\quad |m|>\ell \,\quad {\text{then}}\quad P_{\ell }^{m}=0.\,}$$

Дифференциальное уравнение также инвариантно относительно изменения от ℓ до − ℓ − 1 , а функции для отрицательного ℓ определяются как

$${\displaystyle P_{-\ell }^{m}=P_{\ell -1}^{m},\ (\ell =1,\,2,\,\dots ).}$$

Паритет

Из их определения можно проверить, что ассоциированные функции Лежандра являются либо четными, либо нечетными в соответствии с

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(-x)=(-1)^{\ell -m}P_{\ell }^{m}(x)}$$

Первые несколько ассоциированных функций Лежандра

Связанные функции Лежандра для m = 0

Связанные функции Лежандра для m = 1

Связанные функции Лежандра для m = 2

Первые несколько связанных функций Лежандра, включая функции для отрицательных значений m , следующие:

$${\displaystyle P_{0}^{0}(x)=1}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}^{-1}(x)&=-{\tfrac {1}{2}}P_{1}^{1}(x)\\P_{1}^{0}(x)&=x\\P_{1}^{1}(x)&=-(1-x^{2})^{1/2}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{2}^{-2}(x)&={\tfrac {1}{24}}P_{2}^{2}(x)\\P_{2}^{-1}(x)&=-{\tfrac {1}{6}}P_{2}^{1}(x)\\P_{2}^{0}(x)&={\tfrac {1}{2}}(3x^{2}-1)\\P_{2}^{1}(x)&=-3x(1-x^{2})^{1/2}\\P_{2}^{2}(x)&=3(1-x^{2})\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{3}^{-3}(x)&=-{\tfrac {1}{720}}P_{3}^{3}(x)\\P_{3}^{-2}(x)&={\tfrac {1}{120}}P_{3}^{2}(x)\\P_{3}^{-1}(x)&=-{\tfrac {1}{12}}P_{3}^{1}(x)\\P_{3}^{0}(x)&={\tfrac {1}{2}}(5x^{3}-3x)\\P_{3}^{1}(x)&={\tfrac {3}{2}}(1-5x^{2})(1-x^{2})^{1/2}\\P_{3}^{2}(x)&=15x(1-x^{2})\\P_{3}^{3}(x)&=-15(1-x^{2})^{3/2}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{4}^{-4}(x)&={\tfrac {1}{40320}}P_{4}^{4}(x)\\P_{4}^{-3}(x)&=-{\tfrac {1}{5040}}P_{4}^{3}(x)\\P_{4}^{-2}(x)&={\tfrac {1}{360}}P_{4}^{2}(x)\\P_{4}^{-1}(x)&=-{\tfrac {1}{20}}P_{4}^{1}(x)\\P_{4}^{0}(x)&={\tfrac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\\P_{4}^{1}(x)&=-{\tfrac {5}{2}}(7x^{3}-3x)(1-x^{2})^{1/2}\\P_{4}^{2}(x)&={\tfrac {15}{2}}(7x^{2}-1)(1-x^{2})\\P_{4}^{3}(x)&=-105x(1-x^{2})^{3/2}\\P_{4}^{4}(x)&=105(1-x^{2})^{2}\end{aligned}}}$$

Формула рекуррентности

Эти функции обладают рядом свойств повторяемости:

$${\displaystyle (\ell -m-1)(\ell -m)P_{\ell }^{m}(x)=-P_{\ell }^{m+2}(x)+P_{\ell -2}^{m+2}(x)+(\ell +m)(\ell +m-1)P_{\ell -2}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle (\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)=(2\ell +1)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle 2mxP_{\ell }^{m}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}\left[P_{\ell }^{m+1}(x)+(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell -1}^{m+1}(x)+(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell +1}^{m+1}(x)+(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)-(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2\ell +1}}\left[P_{\ell +1}^{m+1}(x)-P_{\ell -1}^{m+1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)-(\ell +m+1)xP_{\ell }^{m}(x)}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}{\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\frac {1}{2}}\left[(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)-P_{\ell }^{m+1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle (1-x^{2}){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell +1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)-\ell (\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)\right]}$$

$${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\ell }xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)=-(\ell +1)xP_{\ell }^{m}(x)+(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)+mxP_{\ell }^{m}(x)}$$

$${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)=-(\ell +m)(\ell -m+1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m-1}(x)-mxP_{\ell }^{m}(x)}$$

Полезные идентификаторы (начальные значения для первой рекурсии):

$${\displaystyle P_{\ell +1}^{\ell +1}(x)=-(2\ell +1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{\ell }(x)}$$ $${\displaystyle P_{\ell }^{\ell }(x)=(-1)^{\ell }(2\ell -1)!!(1-x^{2})^{(\ell /2)}}$$ $${\displaystyle P_{\ell +1}^{\ell }(x)=x(2\ell +1)P_{\ell }^{\ell }(x)}$$

с !! двойным факториалом .

Формула Гонта

Интеграл по произведению трех ассоциированных полиномов Лежандра (с порядком, соответствующим, как показано ниже) является необходимым ингредиентом при разложении произведений полиномов Лежандра в ряд, линейный по полиномам Лежандра. Например, это оказывается необходимым при выполнении атомарных вычислений многообразия Хартри–Фока , где требуются матричные элементы оператора Кулона . Для этого у нас есть формула Гаунта ^[3]. Эта формула должна использоваться при следующих предположениях: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}P_{l}^{u}(x)P_{m}^{v}(x)P_{n}^{w}(x)dx={}&{}(-1)^{s-m-w}{\frac {(m+v)!(n+w)!(2s-2n)!s!}{(m-v)!(s-l)!(s-m)!(s-n)!(2s+1)!}}\\&{}\times \ \sum _{t=p}^{q}(-1)^{t}{\frac {(l+u+t)!(m+n-u-t)!}{t!(l-u-t)!(m-n+u+t)!(n-w-t)!}}\end{aligned}}}$$

1. степени являются неотрицательными целыми числами ${\displaystyle l,m,n\geq 0}$
2. все три порядка являются неотрицательными целыми числами ${\displaystyle u,v,w\geq 0}$
3. ${\displaystyle u}$является крупнейшим из трех порядков
4. заказы суммируются ${\displaystyle u=v+w}$
5. степени подчиняются ${\displaystyle m\geq n}$

Другие величины, входящие в формулу, определяются как $${\displaystyle 2s=l+m+n}$$ $${\displaystyle p=\max(0,\,n-m-u)}$$ $${\displaystyle q=\min(m+n-u,\,l-u,\,n-w)}$$

Интеграл равен нулю, если только

1. сумма степеней четная, то есть это целое число ${\displaystyle s}$
2. треугольное условие выполняется ${\displaystyle m+n\geq l\geq m-n}$

Донг и Лемус (2002) ^[4] обобщили вывод этой формулы для интегралов по произведению произвольного числа ассоциированных полиномов Лежандра.

Обобщение через гипергеометрические функции

Эти функции фактически могут быть определены для общих комплексных параметров и аргументов:

$${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {1+z}{1-z}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}})}$$

где - гамма-функция , а - гипергеометрическая функция ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle _{2}F_{1}}$

$${\displaystyle \,_{2}F_{1}(\alpha ,\beta ;\gamma ;z)={\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+\beta )}{\Gamma (n+\gamma )\ n!}}z^{n},}$$

Они называются функциями Лежандра , когда определяются в этом более общем виде. Они удовлетворяют тому же дифференциальному уравнению, что и раньше:

$${\displaystyle (1-z^{2})\,y''-2zy'+\left(\lambda [\lambda +1]-{\frac {\mu ^{2}}{1-z^{2}}}\right)\,y=0.\,}$$

Поскольку это дифференциальное уравнение второго порядка, оно имеет второе решение, определяемое как: ${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)}$

$${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {1}{z^{\lambda +\mu +1}}}(1-z^{2})^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right)}$$

${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)}$и оба подчиняются различным рекуррентным формулам, приведенным ранее. ${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)}$

Репараметризация по углам

Эти функции наиболее полезны, когда аргумент перепараметризован в терминах углов, позволяя : ${\displaystyle x=\cos \theta }$

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )=(-1)^{m}(\sin \theta )^{m}\ {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}}\left(P_{\ell }(\cos \theta )\right)}$$

Используя соотношение , приведенный выше список дает первые несколько полиномов, параметризованных следующим образом: ${\displaystyle (1-x^{2})^{1/2}=\sin \theta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}^{0}(\cos \theta )&=1\\[8pt]P_{1}^{0}(\cos \theta )&=\cos \theta \\[8pt]P_{1}^{1}(\cos \theta )&=-\sin \theta \\[8pt]P_{2}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(3\cos ^{2}\theta -1)\\[8pt]P_{2}^{1}(\cos \theta )&=-3\cos \theta \sin \theta \\[8pt]P_{2}^{2}(\cos \theta )&=3\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\[8pt]P_{3}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {3}{2}}(5\cos ^{2}\theta -1)\sin \theta \\[8pt]P_{3}^{2}(\cos \theta )&=15\cos \theta \sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{3}(\cos \theta )&=-15\sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{8}}(35\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +3)\\[8pt]P_{4}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {5}{2}}(7\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\sin \theta \\[8pt]P_{4}^{2}(\cos \theta )&={\tfrac {15}{2}}(7\cos ^{2}\theta -1)\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{4}^{3}(\cos \theta )&=-105\cos \theta \sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{4}(\cos \theta )&=105\sin ^{4}\theta \end{aligned}}}$$

Приведенные выше соотношения ортогональности приобретают следующую формулировку: для фиксированного m , являются ортогональными, параметризованными θ над , с весом : ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$ ${\displaystyle [0,\pi ]}$ ${\displaystyle \sin \theta }$

$${\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{k}^{m}(\cos \theta )P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\,\sin \theta \,d\theta ={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell }}$$

Также, для фиксированного ℓ :

$${\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{\ell }^{m}(\cos \theta )P_{\ell }^{n}(\cos \theta )\csc \theta \,d\theta ={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\text{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\text{if }}m=n=0\end{cases}}}$$

В терминах θ, являются решениями ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {dy}{d\theta }}+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,y=0\,}$$

Точнее, при заданном целом числе m 0, приведенное выше уравнение имеет несингулярные решения только тогда, когда для ℓ целое число ≥  m , и эти решения пропорциональны . ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)\,}$ ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$

Приложения в физике: сферические гармоники

Во многих случаях в физике , связанные полиномы Лежандра в терминах углов встречаются там, где задействована сферическая симметрия . Угол кошироты в сферических координатах — это угол, использованный выше. Угол долготы, , появляется в множителе. Вместе они составляют набор функций, называемых сферическими гармониками . Эти функции выражают симметрию двухсферы под действием группы Ли SO(3). ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$

Что делает эти функции полезными, так это то, что они являются центральными для решения уравнения на поверхности сферы. В сферических координатах θ (коширота) и φ (долгота) лапласиан равен ${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda \psi =0}$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}+\csc ^{2}\theta {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}.}$$

Когда уравнение в частных производных

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}+\csc ^{2}\theta {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}+\lambda \psi =0}$$

решается методом разделения переменных , получается часть, зависящая от φ , или для целых m≥0, и уравнение для части, зависящей от θ ${\displaystyle \sin(m\phi )}$ ${\displaystyle \cos(m\phi )}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {dy}{d\theta }}+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,y=0\,}$$

для которых решениями являются и . ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$ ${\displaystyle \ell {\geq }m}$ ${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)}$

Следовательно, уравнение

$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda \psi =0}$$

имеет несингулярные разделенные решения только тогда, когда , и эти решения пропорциональны ${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)}$

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\phi )\ \ \ \ 0\leq m\leq \ell }$$

и

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \sin(m\phi )\ \ \ \ 0<m\leq \ell .}$$

Для каждого выбора ℓ существует 2ℓ + 1 функций для различных значений m и выбора синуса и косинуса. Они все ортогональны как по ℓ, так и по m при интегрировании по поверхности сферы.

Решения обычно записываются в виде комплексных экспонент :

$${\displaystyle Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )={\sqrt {\frac {(2\ell +1)(\ell -m)!}{4\pi (\ell +m)!}}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ e^{im\phi }\qquad -\ell \leq m\leq \ell .}$$Функции являются сферическими гармониками , а величина в квадратном корне является нормирующим множителем. Вспоминая соотношение между ассоциированными функциями Лежандра положительных и отрицательных m , легко показать, что сферические гармоники удовлетворяют тождеству ^[5] ${\displaystyle Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )}$

$${\displaystyle Y_{\ell ,m}^{*}(\theta ,\phi )=(-1)^{m}Y_{\ell ,-m}(\theta ,\phi ).}$$

Сферические гармонические функции образуют полный ортонормированный набор функций в смысле ряда Фурье . Специалисты в области геодезии, геомагнетизма и спектрального анализа используют другую фазу и нормировочный фактор, чем приведенные здесь (см. сферические гармоники ).

При решении трехмерного сферически-симметричного уравнения в частных производных методом разделения переменных в сферических координатах часть, остающаяся после удаления радиальной части, обычно имеет вид

$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi (\theta ,\phi )+\lambda \psi (\theta ,\phi )=0,}$$

и, следовательно, решения представляют собой сферические гармоники.

Обобщения

Полиномы Лежандра тесно связаны с гипергеометрическими рядами . В форме сферических гармоник они выражают симметрию двумерной сферы под действием группы Ли SO(3). Помимо SO(3) существует множество других групп Ли, и существуют аналогичные обобщения полиномов Лежандра для выражения симметрии полупростых групп Ли и римановых симметрических пространств . Грубо говоря, можно определить лапласиан на симметричных пространствах; собственные функции лапласиана можно рассматривать как обобщения сферических гармоник на другие параметры.

Смотрите также

• Угловой момент импульса
• Гауссова квадратура
• полиномы Лежандра
• Сферические гармоники
• Преобразование Уиппла функций Лежандра
• полиномы Лагерра
• Многочлены Эрмита

Примечания и ссылки

1. Курант и Гильберт 1953, V, §10.
2. Абрамовиц, Милтон ; Стиган, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 8". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия "Прикладная математика". Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 332. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
3. Из книги Джона К. Слейтера «Квантовая теория атомной структуры» , McGraw-Hill (Нью-Йорк, 1960), том I, стр. 309, где цитируется оригинальная работа Дж. А. Гонта « Философские труды Лондонского королевского общества» , A228:151 (1929)
4. Донг Ш., Лемус Р., (2002), «Интеграл перекрытия трех связанных полиномов Лежандра», Appl. Math. Lett. 15, 541-546.
5. Это тождество можно также показать, связав сферические гармоники с D-матрицами Вигнера и используя свойство обращения времени последних. Связь между ассоциированными функциями Лежандра ± m можно затем доказать из тождества комплексного сопряжения сферических гармоник.

• Арфкен, ГБ; Вебер, Х. Дж. (2001), Математические методы для физиков , Academic Press, ISBN 978-0-12-059825-0; Раздел 12.5. (Использует другое соглашение о знаках.)
• Белоусов, С.Л. (1962), Таблицы нормализованных присоединенных полиномов Лежандра , Математические таблицы, т. 18, Pergamon Press.
• Кондон, Э.У.; Шортли, Г.Х. (1970), Теория атомных спектров , Кембридж, Англия: Cambridge University Press, OCLC  5388084; Глава 3.
• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1953), Методы математической физики, том 1 , Нью-Йорк: Interscience Publischer, Inc..
• Данстер, ТМ (2010), «Лежандра и связанные с ней функции», в Олвер, Фрэнк У. Дж .; Лозье, Дэниел М.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз У. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• Эдмондс, AR (1957), Угловой момент в квантовой механике , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07912-7; Глава 2.
• Хильдебранд, Ф.Б. (1976), Advanced Calculus for Applications , Prentice Hall, ISBN 978-0-13-011189-0.
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), «Ортогональные многочлены», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• Шах, SR (1973) Новые тождества для ассоциированных функций Лежандра целого порядка и степени , Журнал Общества промышленной и прикладной математики по математическому анализу, 1976, т. 7, № 1: стр. 59–69

Внешние ссылки

• Ассоциированные полиномы Лежандра в MathWorld
• Полиномы Лежандра в MathWorld
• Лежандра и родственные функции в DLMF