Группа автоморфизмов

Математическая группа, образованная из автоморфизмов объекта.

В математике группа автоморфизмов объекта X — это группа , состоящая из автоморфизмов X при композиции морфизмов . Например, если X — конечномерное векторное пространство , то группа автоморфизмов X — это группа обратимых линейных преобразований из X в себя ( общая линейная группа X ). Если же X — это группа, то ее группа автоморфизмов — это группа, состоящая из всех групповых автоморфизмов X. ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$

Особенно в геометрических контекстах группа автоморфизмов также называется группой симметрии . Подгруппа группы автоморфизмов иногда называется группой преобразований .

Группы автоморфизмов изучаются в общем виде в области теории категорий .

Примеры

Если X — множество без дополнительной структуры, то любая биекция из X в себя является автоморфизмом, и, следовательно, группа автоморфизмов X в этом случае — это в точности симметрическая группа X. Если множество X имеет дополнительную структуру, то может случиться так, что не все биекции на множестве сохраняют эту структуру, и в этом случае группа автоморфизмов будет подгруппой симметрической группы на X. Вот некоторые примеры:

• Группа автоморфизмов расширения поля — это группа, состоящая из автоморфизмов поля L , которые фиксируют K. Если расширение поля — это Галуа , группа автоморфизмов называется группой Галуа расширения поля. ${\displaystyle L/K}$
• Группа автоморфизмов проективного n - пространства над полем k — это проективная линейная группа ^[1] ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(k).}$
• Группа автоморфизмов конечной циклической группы порядка n изоморфна , мультипликативной группе целых чисел по модулю n , с изоморфизмом , заданным формулой . [ ^2] В частности, является абелевой группой . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle {\overline {a}}\mapsto \sigma _{a}\in G,\,\sigma _{a}(x)=x^{a}}$ ${\displaystyle G}$
• Группа автоморфизмов конечномерной вещественной алгебры Ли имеет структуру (вещественной) группы Ли (на самом деле, это даже линейная алгебраическая группа : см. ниже). Если G — группа Ли с алгеброй Ли , то группа автоморфизмов G имеет структуру группы Ли, индуцированную из группы автоморфизмов . ^{[3] [4] [a]} ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Если G — группа , действующая на множестве X , действие равносильно групповому гомоморфизму из G в группу автоморфизмов X и наоборот. Действительно, каждое левое G -действие на множестве X определяет , и, наоборот, каждый гомоморфизм определяет действие по . Это распространяется на случай, когда множество X имеет больше структуры, чем просто множество. Например, если X — векторное пространство, то групповое действие G на X является групповым представлением группы G , представляющим G как группу линейных преобразований (автоморфизмов) X ; эти представления являются основным объектом изучения в области теории представлений . ${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (X),\,g\mapsto \sigma _{g},\,\sigma _{g}(x)=g\cdot x}$ ${\displaystyle \varphi :G\to \operatorname {Aut} (X)}$ ${\displaystyle g\cdot x=\varphi (g)x}$

Вот еще несколько фактов о группах автоморфизмов:

• Пусть — два конечных множества одинаковой мощности и множество всех биекций . Тогда , которое является симметрической группой (см. выше), действует на слева свободно и транзитивно ; то есть является торсором для (ср. #В теории категорий). ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ ${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$
• Пусть P — конечно порождённый проективный модуль над кольцом R. Тогда существует вложение , единственное с точностью до внутренних автоморфизмов . ^[5] ${\displaystyle \operatorname {Aut} (P)\hookrightarrow \operatorname {GL} _{n}(R)}$

В теории категорий

Группы автоморфизмов очень естественно появляются в теории категорий .

Если X — объект в категории, то группа автоморфизмов X — это группа, состоящая из всех обратимых морфизмов из X в себя. Это единичная группа моноида эндоморфизмов X. ( Некоторые примеры см. в PROP . )

Если являются объектами в некоторой категории, то множество всех является левым - торсором . На практике это означает, что различный выбор базовой точки однозначно отличается элементом из , или что каждый выбор базовой точки является в точности выбором тривиализации торсора. ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ ${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$

Если и являются объектами в категориях и , а если — функтор, отображающий в , то индуцирует групповой гомоморфизм , поскольку он отображает обратимые морфизмы в обратимые морфизмы. ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle F:C_{1}\to C_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X_{1})\to \operatorname {Aut} (X_{2})}$

В частности, если G — группа, рассматриваемая как категория с одним объектом * или, в более общем смысле, если G — группоид, то каждый функтор , C — категория, называется действием или представлением G на объекте , или объектах . Тогда эти объекты называются -объектами (поскольку на них действует ); ср. -объект . Если — модульная категория, подобная категории конечномерных векторных пространств, то -объекты также называются -модулями. ${\displaystyle F:G\to C}$ ${\displaystyle F(*)}$ ${\displaystyle F(\operatorname {Obj} (G))}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Функтор группы автоморфизмов

Пусть — конечномерное векторное пространство над полем k , снабженное некоторой алгебраической структурой (то есть M — конечномерная алгебра над k ). Это может быть, например, ассоциативная алгебра или алгебра Ли . ${\displaystyle M}$

Теперь рассмотрим k - линейные отображения , которые сохраняют алгебраическую структуру: они образуют векторное подпространство . Единичная группа является группой автоморфизмов . Когда выбран базис на M , является пространством квадратных матриц и является нулевым множеством некоторых полиномиальных уравнений , и обратимость снова описывается полиномами. Следовательно, является линейной алгебраической группой над k . ${\displaystyle M\to M}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$

Теперь базовые расширения, примененные к вышеприведенному обсуждению, определяют функтор: ^[6] а именно, для каждого коммутативного кольца R над k , рассмотрим R -линейные отображения, сохраняющие алгебраическую структуру: обозначим его через . Тогда группа единиц матричного кольца над R является группой автоморфизмов и является групповым функтором : функтор из категории коммутативных колец над k в категорию групп . Еще лучше, он представлен схемой (поскольку группы автоморфизмов определяются многочленами): эта схема называется схемой группы автоморфизмов и обозначается через . ${\displaystyle M\otimes R\to M\otimes R}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$ ${\displaystyle R\mapsto \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$

Однако в общем случае функтор группы автоморфизмов не может быть представлен схемой.

Смотрите также

• Группа внешних автоморфизмов
• Структура уровня , метод удаления группы автоморфизмов
• Группа голономии

Примечания

1. Во-первых, если G односвязна, то группа автоморфизмов G совпадает с группой . Во-вторых, каждая связная группа Ли имеет вид , где — односвязная группа Ли, а C — центральная подгруппа, а группа автоморфизмов G совпадает с группой автоморфизмов , сохраняющей C . В-третьих, по соглашению, группа Ли удовлетворяет второй аксиоме счетности и имеет не более счетного числа связных компонент; таким образом, общий случай сводится к связному случаю. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {G}}/C}$ ${\displaystyle {\widetilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$

Цитаты

1. Хартсхорн 1977, Гл. II, Пример 7.1.1.
2. Даммит и Фут 2004, § 2.3. Упражнение 26.
3. Хохшильд, Г. (1952). «Группа автоморфизмов группы Ли». Труды Американского математического общества . 72 (2): 209–216. JSTOR  1990752.
4. Фултон и Харрис 1991, Упражнение 8.28.
5. Милнор 1971, Лемма 3.2.
6. Уотерхаус 2012, § 7.6.

Ссылки

• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Wiley . ISBN 978-0-471-43334-7.
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Том 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Милнор, Джон Уиллард (1971). Введение в алгебраическую К-теорию. Annals of Mathematics Studies. Том 72. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press . ISBN 9780691081014. MR  0349811. Zbl  0237.18005.
• Waterhouse, William C. (2012) [1979]. Введение в схемы аффинных групп. Graduate Texts in Mathematics. Том 66. Springer Verlag. ISBN 9781461262176.

Внешние ссылки

• https://mathoverflow.net/questions/55042/automorphism-group-of-a-scheme