В позиционной системе счисления основание ( мн. ч . radices ) или база — это количество уникальных цифр , включая цифру ноль, используемых для представления чисел. Например, для десятичной системы (наиболее распространенной системы, используемой сегодня) основание — десять, поскольку она использует десять цифр от 0 до 9.
В любой стандартной позиционной системе счисления число обычно записывается как ( x ) y , где x — строка цифр , а y — основание, хотя для основания десять нижний индекс обычно подразумевается (и опускается вместе с парой скобок ), поскольку это наиболее распространенный способ выражения значения . Например, (100) 10 эквивалентно 100 (в последнем подразумевается десятичная система) и представляет число сто, тогда как (100) 2 (в двоичной системе с основанием 2) представляет число четыре. [1]
Radix — латинское слово, означающее «корень». Root можно считать синонимом base в арифметическом смысле.
В общем случае в системе с основанием b ( b > 1 ) строка цифр d 1 ... d n обозначает число d 1 b n −1 + d 2 b n −2 + … + d n b 0 , где 0 ≤ d i < b . [1] В отличие от десятичной системы счисления или системы счисления с основанием 10, в которой есть разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен и т. д., система с основанием b будет иметь разряд единиц, затем разряд b 1 s, разряд b 2 s и т. д. [2]
Например, если b = 12, то строка цифр, такая как 59A (где буква «A» представляет значение десяти), будет представлять значение 5 × 12 2 + 9 × 12 1 + 10 × 12 0 = 838 в десятичной системе счисления.
Обычно используемые системы счисления включают в себя:
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы часто используются в вычислениях из-за их простоты в качестве сокращения двоичной. Каждая шестнадцатеричная цифра соответствует последовательности из четырех двоичных цифр, поскольку шестнадцать — это четвертая степень двойки; например, шестнадцатеричное 78 16 — это двоичное 111 1000 2 . Аналогично, каждая восьмеричная цифра соответствует уникальной последовательности из трех двоичных цифр, поскольку восемь — это куб двойки.
Это представление уникально. Пусть b — положительное целое число, большее 1. Тогда каждое положительное целое число a может быть выражено единственным образом в виде
где m — неотрицательное целое число, а r — целые числа, такие что
Основания обычно являются натуральными числами . Однако возможны и другие позиционные системы, например, основание золотого сечения (основание которого является нецелым алгебраическим числом ), [5] и отрицательное основание (основание которого отрицательно). [6] Отрицательное основание позволяет представлять отрицательные числа без использования знака минус. Например, пусть b = −10. Тогда строка цифр, такая как 19, обозначает (десятичное) число 1 × (−10) 1 + 9 × (−10) 0 = −1.
