Билинейная карта

Функция двух векторов, линейных по каждому аргументу

В математике билинейная карта — это функция , объединяющая элементы двух векторных пространств для получения элемента третьего векторного пространства и линейная по каждому из своих аргументов. Примером может служить умножение матриц .

Определение

Векторные пространства

Пусть и – три векторных пространства над одним и тем же базовым полем . Билинейное отображение — это функция ${\displaystyle V,W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle B:V\times W\to X}$$

${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle B_{w}}$

$${\displaystyle v\mapsto B(v,w)}$$

линейным отображением ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle B_{v}}$

$${\displaystyle w\mapsto B(v,w)}$$

${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X.}$

Такое отображение удовлетворяет следующим свойствам. ${\displaystyle B}$

• Для любого , ${\displaystyle \lambda \in F}$ ${\displaystyle B(\lambda v,w)=B(v,\lambda w)=\lambda B(v,w).}$
• Карта аддитивна по обеим компонентам: if и then и ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$ ${\displaystyle w_{1},w_{2}\in W,}$ ${\displaystyle B(v_{1}+v_{2},w)=B(v_{1},w)+B(v_{2},w)}$ ${\displaystyle B(v,w_{1}+w_{2})=B(v,w_{1})+B(v,w_{2}).}$

Если и мы имеем B ( v , w ) = B ( w , v ) для всех , то мы говорим, что B симметричен . Если X — базовое поле F , то отображение называется билинейной формой , которые хорошо изучены (например: скалярное произведение , скалярное произведение и квадратичная форма ). ${\displaystyle V=W}$ ${\displaystyle v,w\in V,}$

Модули

Определение работает без каких-либо изменений, если вместо векторных пространств над полем F использовать модули над коммутативным кольцом R. Он обобщается на n -арные функции, где собственный член является полилинейным .

Для некоммутативных колец R и S , левого R -модуля M и правого S -модуля N билинейным отображением называется отображение B  : M × N → T такое, что T является ( R , S ) -бимодулем и для которого любой n из N , m ↦ B ( m , n ) является гомоморфизмом R -модуля, и для любого m из M n ↦ B ( m , n ) является гомоморфизмом S -модуля . Это удовлетворяет

B ( р ⋅ м , п ) знак равно р ⋅ B ( м , п )

B ( м , п ⋅ s ) знак равно B ( м , п ) ⋅ s

для всех m в M , n в N , r в R и s в S , а также B является аддитивным в каждом аргументе.

Характеристики

Непосредственным следствием определения является то, что B ( v , w ) = 0 _X всякий раз, когда v = 0 _V или w = 0 _W . В этом можно убедиться, записав нулевой вектор 0 _V как 0 ⋅ 0 _V (и аналогично для 0 _W ) и переместив скаляр 0 «снаружи», перед B , по линейности.

Множество L ( V , W ; X ) всех билинейных отображений является линейным подпространством пространства ( т.е. векторного пространства , модуля ) всех отображений из V × W в X.

Если V , W , X конечномерны , то и L ( V , W ; X ) тоже . То есть для билинейных форм размерность этого пространства равна dim V × dim W ( в то время как пространство L ( V × W ; F ) линейных форм имеет размерность dim V + dim W ). Чтобы убедиться в этом, выберите основу для V и W ; тогда каждая билинейная карта может быть однозначно представлена ​​матрицей B ( e _i , f _j ) и наоборот. Теперь, если X — пространство более высокой размерности, мы, очевидно, имеем dim L ( V , W ; X ) = dim V × dim W × dim X. ${\displaystyle X=F,}$

Примеры

• Умножение матриц — это билинейное отображение M( m , n ) × M( n , p ) → M( m , p ) .
• Если векторное пространство V над действительными числами несет внутренний продукт , то внутренний продукт является билинейным отображением. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V\times V\to \mathbb {R} .}$
• В общем, для векторного пространства V над полем F билинейная форма на V аналогична билинейному отображению V × V → F .
• Если V — векторное пространство с двойственным пространством V ^∗ , то каноническое отображение вычисления b ( f , v ) = f ( v ) является билинейным отображением V ^∗ × V в базовое поле.
• Пусть V и W — векторные пространства над одним и тем же базовым полем F . Если f является членом V ^∗ и g является членом W ^∗ , то b ( v , w ) = f ( v ) g ( w ) определяет билинейное отображение V × W → F .
• Перекрестное произведение представляет собой билинейную карту. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}.}$
• Пусть — билинейное отображение, и — линейное отображение , тогда ( v , u ) ↦ B ( v , Lu ) — билинейное отображение на V × U . ${\displaystyle B:V\times W\to X}$ ${\displaystyle L:U\to W}$

Непрерывность и отдельная непрерывность

Пусть и — топологические векторные пространства , и пусть — билинейное отображение. Тогда говорят, что b ${\displaystyle X,Y,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$раздельно непрерывен , если выполняются следующие два условия:

1. ибо все отображение, заданное непрерывным; ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle Y\to Z}$ ${\displaystyle y\mapsto b(x,y)}$
2. для всех отображение, заданное непрерывным. ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle X\to Z}$ ${\displaystyle x\mapsto b(x,y)}$

Многие отдельно непрерывные билинейные, которые не являются непрерывными, удовлетворяют дополнительному свойству: гипонепрерывности . ^[1] Все непрерывные билинейные отображения гипонепрерывны.

Достаточные условия непрерывности

Многие билинейные карты, встречающиеся на практике, по отдельности непрерывны, но не все из них непрерывны. Здесь мы перечислим достаточные условия непрерывности отдельно непрерывного билинейного отображения.

• Если X — пространство Бэра и Y метризуемо, то каждое отдельно непрерывное билинейное отображение непрерывно. ^[1] ${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$
• Если – сильные двойственные пространства Фреше , то каждое отдельно непрерывное билинейное отображение непрерывно. ^[1] ${\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z}$ ${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$
• Если билинейное отображение непрерывно в точке (0, 0), то оно непрерывно всюду. ^[2]

Карта состава

Пусть – локально выпуклые хаусдорфовы пространства , а – композиционное отображение, определяемое формулой . В общем случае билинейное отображение не является непрерывным (независимо от того, какие топологии заданы пространства линейных отображений). Однако мы имеем следующие результаты: ${\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z}$ ${\displaystyle C:L(X;Y)\times L(Y;Z)\to L(X;Z)}$ ${\displaystyle C(u,v):=v\circ u.}$ ${\displaystyle C}$

Присвойте всем трем пространствам линейных отображений одну из следующих топологий:

1. дать всем трем топологию ограниченной сходимости;
2. дать всем трем топологию компактной сходимости ;
3. дать всем трем топологию поточечной сходимости .

• Если — равнонепрерывное подмножество, то ограничение непрерывно для всех трех топологий. ^[1] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L(Y;Z)}$ ${\displaystyle C{\big \vert }_{L(X;Y)\times E}:L(X;Y)\times E\to L(X;Z)}$
• Если — бочкообразное пространство , то для каждой последовательности, сходящейся к in , и каждой последовательности, сходящейся к in , последовательность сходится к in ^[1] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left(u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle \left(v_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle L(Y;Z),}$ ${\displaystyle \left(v_{i}\circ u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle v\circ u}$ ${\displaystyle L(Y;Z).}$

Смотрите также

• Тензорное произведение  — математические операции над векторными пространствами.
• Полуторалинейная форма  - обобщение билинейной формы.
• Билинейная фильтрация  - метод интерполяции функций на двумерной сетке.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Мультилинейная карта  - векторная функция нескольких векторов, линейная по каждому аргументу.

Рекомендации

1. Treves 2006, стр. 424–426.
2. Шефер и Вольф 1999, стр. 118.

Библиография

• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.

Внешние ссылки

• «Билинейное отображение», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]