Блочная матрица

Матрица определяется с использованием меньших матриц, называемых блоками.

В математике блочная матрица или секционированная матрица — это матрица , которая интерпретируется как разбитая на секции, называемые блоками или подматрицами . ^{[1] [2]}

Интуитивно матрицу, интерпретируемую как блочную матрицу, можно визуализировать как исходную матрицу с набором горизонтальных и вертикальных линий, которые разбивают ее или разделяют на набор меньших матриц. ^{[3] [2]} Например, представленная ниже матрица 3x4 разделена горизонтальными и вертикальными линиями на четыре блока: верхний левый блок 2x3, верхний правый блок 2x1, нижний левый блок 1x3 и нижний левый блок 2x3. правый блок 1х1.

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_{2}\\\hline c_{1}&c_{2}&c_{3}&d\end{array}}\right]}$

Любую матрицу можно интерпретировать как блочную матрицу одним или несколькими способами, причем каждая интерпретация определяется тем, как разделены ее строки и столбцы.

Это понятие можно уточнить для матрицы by путем разделения на коллекцию , а затем разделения на коллекцию . Исходная матрица затем рассматривается как «сумма» этих групп в том смысле, что запись исходной матрицы соответствует 1-к-1 некоторой записи смещения некоторого , где и . ^[4] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\text{rowgroups}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\text{colgroups}}}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle (s,t)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x\in {\text{rowgroups}}}$ ${\displaystyle y\in {\text{colgroups}}}$

Алгебра блочных матриц обычно возникает из двойных произведений в категориях матриц. ^[5]

Блочная матрица элементов размером 168×168 с подматрицами 12×12, 12×24, 24×12 и 24×24. Ненулевые элементы выделены синим цветом, нулевые элементы — серым.

Пример

Матрица

${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&2&2&7\\1&5&6&2\\3&3&4&5\\3&3&6&7\end{bmatrix}}}$

можно представить разделенным на четыре блока, т.

${\displaystyle \mathbf {P} =\left[{\begin{array}{cc|cc}1&2&2&7\\1&5&6&2\\\hline 3&3&4&5\\3&3&6&7\end{array}}\right]}$.

Горизонтальные и вертикальные линии не имеют особого математического значения, ^{[6] [7]} , но являются распространенным способом визуализации раздела. ^{[6] [7]} С помощью этого раздела он разбивается на четыре блока 2×2, как ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{11}={\begin{bmatrix}1&2\\1&5\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{12}={\begin{bmatrix}2&7\\6&2\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{22}={\begin{bmatrix}4&5\\6&7\end{bmatrix}}.}$

Тогда разделенную матрицу можно записать как

${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{11}&\mathbf {P} _{12}\\\mathbf {P} _{21}&\mathbf {P} _{22}\end{bmatrix}}.}$^[8]

Формальное определение

Позволять . Разбиением называется представление в виде ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}}}$,

где – смежные подматрицы, , и . ^[9] Элементы раздела называются блоками . ^[9] ${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {C} ^{m_{i}\times n_{j}}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}m_{i}=m}$ ${\displaystyle \sum _{j=1}^{q}n_{j}=n}$ ${\displaystyle A_{ij}}$

Согласно этому определению, все блоки в любом столбце должны иметь одинаковое количество столбцов. ^[9] Аналогично, блоки в любой строке должны иметь одинаковое количество строк. ^[9]

Методы разделения

Матрицу можно разделить разными способами. ^[9] Например, говорят, что матрица разбита на столбцы , если она записана как ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=(a_{1}\ a_{2}\ \cdots \ a_{n})}$,

где находится й столбец . ^[9] Матрицу также можно разделить на строки : ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1}^{T}\\a_{2}^{T}\\\vdots \\a_{m}^{T}\end{bmatrix}}}$,

где находится четвёртая строка . ^[9] ${\displaystyle a_{i}^{T}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A}$

Общие разделы

Часто ^[9] мы встречаем раздел 2x2

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}}$, ^[9]

особенно в форме где скаляр: ${\displaystyle A_{11}}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}^{T}\\a_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}}$. ^[9]

Блочные матричные операции

Транспонировать

Позволять

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}}}$

где . (Эта матрица будет повторно использоваться в § Сложении и § Умножении.) Тогда ее транспонирование будет ${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {C} ^{k_{i}\times \ell _{j}}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{T}={\begin{bmatrix}A_{11}^{T}&A_{21}^{T}&\cdots &A_{p1}^{T}\\A_{12}^{T}&A_{22}^{T}&\cdots &A_{p2}^{T}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1q}^{T}&A_{2q}^{T}&\cdots &A_{pq}^{T}\end{bmatrix}}}$, ^{[9] [10]}

и то же уравнение справедливо с заменой транспонирования сопряженным транспонированием. ^[9]

Блокировать транспонирование

Для блочных матриц также можно определить специальную форму транспонирования , при которой отдельные блоки переупорядочиваются, но не транспонируются. Пусть это блочная матрица с блоками , блочное транспонирование - это блочная матрица с блоками . ^[11] Как и в случае с обычным оператором трассировки, блочное транспонирование является линейным отображением таким, что . ^[10] Однако в целом это свойство не сохраняется, если блоки и не коммутируют. ${\displaystyle A=(B_{ij})}$ ${\displaystyle k\times l}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle B_{ij}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle l\times k}$ ${\displaystyle A^{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \left(A^{\mathcal {B}}\right)_{ij}=B_{ji}}$ ${\displaystyle (A+C)^{\mathcal {B}}=A^{\mathcal {B}}+C^{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (AC)^{\mathcal {B}}=C^{\mathcal {B}}A^{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$

Добавление

Позволять

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1s}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{r1}&B_{r2}&\cdots &B_{rs}\end{bmatrix}}}$,

где и пусть будет матрицей, определенной в § Транспонирование. (Эта матрица будет повторно использоваться в § Умножение.) Тогда если , , , и , то ${\displaystyle B_{ij}\in \mathbb {C} ^{m_{i}\times n_{j}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p=r}$ ${\displaystyle q=s}$ ${\displaystyle k_{i}=m_{i}}$ ${\displaystyle \ell _{j}=n_{j}}$

${\displaystyle A+B={\begin{bmatrix}A_{11}+B_{11}&A_{12}+B_{12}&\cdots &A_{1q}+B_{1q}\\A_{21}+B_{21}&A_{22}+B_{22}&\cdots &A_{2q}+B_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}+B_{p1}&A_{p2}+B_{p2}&\cdots &A_{pq}+B_{pq}\end{bmatrix}}}$. ^[9]

Умножение

Можно использовать матричное произведение с блочным разделением, которое включает только алгебру над подматрицами факторов. Однако разделение факторов не является произвольным и требует « согласованных разбиений» ^[12] между двумя матрицами и таких, чтобы все подматрицы, которые будут использоваться, были определены. ^[13] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Говорят, что две матрицы и разделены конформно для произведения , когда и разделены на подматрицы и если умножение выполняется, рассматривая подматрицы как если бы они были скалярами, но сохраняя порядок, и когда все продукты и суммы задействованных подматриц равны определенный. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$

-  Арак М. Матай и Ханс Дж. Хаубольд, Линейная алгебра: курс для физиков и инженеров ^[14]

Пусть – матрица, определенная в § Транспонирование, и пусть – матрица, определенная в § Сложение. Тогда матричное произведение ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle C=AB}$

может выполняться поблочно, получая результат в виде матрицы. Матрицы в полученной матрице вычисляются путем умножения: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (p\times s)}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C_{ij}=\sum _{k=1}^{q}A_{ik}B_{kj}.}$^[6]

Или, используя обозначение Эйнштейна , которое неявно суммирует по повторяющимся индексам:

${\displaystyle C_{ij}=A_{ik}B_{kj}.}$

Изображая в виде матрицы, мы имеем ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C=AB={\begin{bmatrix}\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{is}\\\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{is}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{is}\end{bmatrix}}}$. ^[9]

Инверсия

Если матрица разделена на четыре блока, ее можно инвертировать поблочно следующим образом:

${\displaystyle {P}={\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{A}^{-1}+{A}^{-1}{B}\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}{CA}^{-1}&-{A}^{-1}{B}\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}\\-\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}{CA}^{-1}&\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}\end{bmatrix}},}$

где A и D — квадратные блоки произвольного размера, а B и C согласны с ними при разбиении. Более того, A и дополнение Шура к A в P : P / A = D − CA ⁻¹ B должны быть обратимы. ^[15]

Аналогично, переставляя блоки:

${\displaystyle {P}={\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}&-\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}{BD}^{-1}\\-{D}^{-1}{C}\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}&\quad {D}^{-1}+{D}^{-1}{C}\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}{BD}^{-1}\end{bmatrix}}.}$^[16]

Здесь D и дополнение Шура к D в P : P / D = A − BD ⁻¹ C должны быть обратимы.

Если A и D оба обратимы, то:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left({A}-{B}{D}^{-1}{C}\right)^{-1}&{0}\\{0}&\left({D}-{C}{A}^{-1}{B}\right)^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{I}&-{B}{D}^{-1}\\-{C}{A}^{-1}&{I}\end{bmatrix}}.}$

Согласно тождеству Вайнштейна – Ароншайна , одна из двух матриц в блочно-диагональной матрице обратима ровно тогда, когда обратима другая.

Определитель

Приведенная выше формула для определителя -матрицы продолжает выполняться при соответствующих дополнительных предположениях для матрицы, состоящей из четырех подматриц . Самая простая такая формула, которую можно доказать с помощью формулы Лейбница или факторизации с дополнением Шура , — это ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle A,B,C,D}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}=\det(A)\det(D)=\det {\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}.}$^[16]

Используя эту формулу, мы можем вывести, что характеристические полиномы и одинаковы и равны произведению характеристических полиномов и . Более того, если или диагонализуемо , то и тоже диагонализуемы. Обратное неверно; просто проверьте . ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$

Если обратимо , то ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(A)\det \left(D-CA^{-1}B\right),}$^[16]

а если обратимо, то ${\displaystyle D}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(D)\det \left(A-BD^{-1}C\right).}$^{[17] [16]}

Если блоки представляют собой квадратные матрицы одинакового размера , дальнейшие формулы справедливы. Например, если и коммутируют (т. е. ), то ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle CD=DC}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(AD-BC).}$^[18]

Эта формула была обобщена на матрицы, состоящие из более чем блоков, опять же при соответствующих условиях коммутативности между отдельными блоками. ^[19] ${\displaystyle 2\times 2}$

Для и справедлива следующая формула (даже если и не коммутируют) ${\displaystyle A=D}$ ${\displaystyle B=C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\B&A\end{bmatrix}}=\det(A-B)\det(A+B).}$^[16]

Специальные типы блочных матриц

Прямые суммы и блочные диагональные матрицы

Прямая сумма

Для любых произвольных матриц A (размера m  ×  n ) и B (размера p  ×  q ) мы имеем прямую сумму A и B , обозначаемую AB и определяемую как  ${\displaystyle \oplus }$ 

${\displaystyle {A}\oplus {B}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}.}$^[10]

Например,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Эта операция естественным образом обобщается на массивы произвольной размерности (при условии, что A и B имеют одинаковое количество измерений).

Обратите внимание, что любой элемент прямой суммы двух векторных пространств матриц можно представить как прямую сумму двух матриц.

Блочные диагональные матрицы

Блочная диагональная матрица — это блочная матрица, представляющая собой квадратную матрицу , в которой блоки главной диагонали являются квадратными матрицами, а все внедиагональные блоки являются нулевыми матрицами. ^[16] То есть блочная диагональная матрица A имеет вид

${\displaystyle {A}={\begin{bmatrix}{A}_{1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}\end{bmatrix}}}$

где A _k — квадратная матрица для всех k = 1,..., n . Другими словами, матрица A является прямой суммой A 1 _, ..., An _. ^[16] Его также можно обозначить как A ₁  ⊕  A ₂  ⊕ ... ⊕  _An [ ^10] или diag( A ₁ , A ₂ , ..., An ₎ ^[10] (  последнее представляет собой тот же формализм используется для диагональной матрицы ). Любую квадратную матрицу можно тривиально считать блочной диагональной матрицей только с одним блоком.

Для определителя и следа выполняются следующие свойства:

${\displaystyle {\begin{aligned}\det {A}&=\det {A}_{1}\times \cdots \times \det {A}_{n},\end{aligned}}}$^{[20] [21]} и

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} {A}&=\operatorname {tr} {A}_{1}+\cdots +\operatorname {tr} {A}_{n}.\end{aligned}}}$^{[16] [21]}

Блочная диагональная матрица обратима тогда и только тогда, когда каждый из ее блоков главной диагонали обратим, и в этом случае ее обратная матрица является другой блочной диагональной матрицей, заданной формулой

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{A}_{1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{A}_{1}^{-1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}^{-1}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}^{-1}\end{bmatrix}}.}$^[22]

Собственные значения ^[23] и собственные векторы представляют собой просто значения s вместе взятых. ^[21] ${\displaystyle {A}}$ ${\displaystyle {A}_{k}}$

Блочные трехдиагональные матрицы

Блочная трехдиагональная матрица — это еще одна специальная блочная матрица, которая, как и блочная диагональная матрица, представляет собой квадратную матрицу , имеющую квадратные матрицы (блоки) в нижней, главной и верхней диагонали, а все остальные блоки являются нулевыми матрицами. По сути, это трехдиагональная матрица , но вместо скаляров имеет подматрицы. Блочная трехдиагональная матрица имеет вид ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {A}={\begin{bmatrix}{B}_{1}&{C}_{1}&&&\cdots &&{0}\\{A}_{2}&{B}_{2}&{C}_{2}&&&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&{A}_{k}&{B}_{k}&{C}_{k}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&&{A}_{n-1}&{B}_{n-1}&{C}_{n-1}\\{0}&&\cdots &&&{A}_{n}&{B}_{n}\end{bmatrix}}}$

где , и – квадратные подматрицы нижней, главной и верхней диагонали соответственно. ^{[24] [25]} ${\displaystyle {A}_{k}}$ ${\displaystyle {B}_{k}}$ ${\displaystyle {C}_{k}}$

Блочные трехдиагональные матрицы часто встречаются при численном решении инженерных задач (например, вычислительной гидродинамики ). Доступны оптимизированные численные методы LU-факторизации ^[26] и, следовательно, эффективные алгоритмы решения систем уравнений с блочной трехдиагональной матрицей в качестве матрицы коэффициентов. Алгоритм Томаса , используемый для эффективного решения систем уравнений, включающих трехдиагональную матрицу, также может применяться с использованием матричных операций для блокировки трехдиагональных матриц (см. также Блочное LU-разложение ).

Блочные треугольные матрицы

Верхний блок треугольный

Матрица называется верхнеблочно-треугольной (или блочно-верхнетреугольной ^[27] ), если ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1k}\\0&A_{22}&\cdots &A_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}}$,

где для всех . ^{[23] [27]} ${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}}$ ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,k}$

Нижний блок треугольный

Матрица является нижнеблочно-треугольной , если ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&0&\cdots &0\\A_{21}&A_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{k1}&A_{k2}&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}}$,

где для всех . ^[23] ${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}}$ ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,k}$

Блочные матрицы Теплица

Блочная матрица Теплица — это еще одна специальная блочная матрица, которая содержит блоки, повторяющиеся по диагонали матрицы, поскольку в матрице Теплица элементы повторяются по диагонали.

Матрица является блочной Теплитцевой, если для всех , т. е. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{(i,j)}=A_{(k,l)}}$ ${\displaystyle k-i=l-j}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}&\cdots \\A_{4}&A_{1}&A_{2}&\cdots \\A_{5}&A_{4}&A_{1}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}$,

где . ^[23] ${\displaystyle A_{i}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times m_{i}}}$

Блочные матрицы Ханкеля

Матрица является блочной Ханкелевой, если для всех , то есть ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{(i,j)}=A_{(k,l)}}$ ${\displaystyle i+j=k+l}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}&\cdots \\A_{2}&A_{3}&A_{4}&\cdots \\A_{3}&A_{4}&A_{5}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}$,

где . ^[23] ${\displaystyle A_{i}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times m_{i}}}$

Смотрите также

• Произведение Кронекера (прямое произведение матрицы, приводящее к блочной матрице)
• Жорданова нормальная форма (каноническая форма линейного оператора в конечномерном комплексном векторном пространстве)
• Алгоритм Штрассена (алгоритм умножения матриц, который быстрее обычного алгоритма умножения матриц)

Примечания

1. Ивс, Ховард (1980). Элементарная теория матриц (переиздание). Нью-Йорк: Дувр. п. 37. ИСБН 0-486-63946-0. Проверено 24 апреля 2013 г. Мы обнаружим, что иногда удобно разбить матрицу на прямоугольные блоки элементов. Это заставляет нас рассмотреть так называемые секционированные или блочные матрицы .
2. Добрушкин, Владимир. «Матрицы разделов». Линейная алгебра с Mathematica . Проверено 24 марта 2024 г.
3. Антон, Ховард (1994). Элементарная линейная алгебра (7-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли. п. 30. ISBN 0-471-58742-7. Матрицу можно разделить на более мелкие матрицы путем вставки горизонтальных и вертикальных правил между выбранными строками и столбцами.
4. Индумати, Д.; Сарала, С. (16 мая 2014 г.). «Анализ фрагментов и создание тестовых примеров с использованием F-меры для адаптивного случайного тестирования и адаптивного случайного тестирования на основе разделенных блоков» (PDF) . Международный журнал компьютерных приложений . 93 (6): 13. дои : 10.5120/16218-5662.
5. Маседо, HD; Оливейра, JN (2013). «Типизация линейной алгебры: подход, ориентированный на два произведения». Наука компьютерного программирования . 78 (11): 2160–2191. arXiv : 1312.4818 . doi : 10.1016/j.scico.2012.07.012.
6. Джонстон, Натаниэль (2021). Введение в линейную и матричную алгебру . Чам, Швейцария: Springer Nature. стр. 30, 425. ISBN. 978-3-030-52811-9.
7. Джонстон, Натаниэль (2021). Продвинутая линейная и матричная алгебра . Чам, Швейцария: Springer Nature. п. 298. ИСБН 978-3-030-52814-0.
8. Джеффри, Алан (2010). Матричные операции для инженеров и ученых: важное руководство по линейной алгебре. Дордрехт [Нидерланды] ; Нью-Йорк: Спрингер. п. 54. ИСБН 978-90-481-9273-1. ОСЛК  639165077.
9. Стюарт, Гилберт В. (1998). Матричные алгоритмы. 1: Основные разложения . Филадельфия, Пенсильвания: Soc. по промышленной и прикладной математике. стр. 18–20. ISBN 978-0-89871-414-2.
10. Gentle, Джеймс Э. (2007). Матричная алгебра: теория, вычисления и приложения в статистике . Тексты Спрингера в статистике. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Электронные книги Springer New York Springer. стр. 47, 487. ISBN. 978-0-387-70873-7.
11. Макки, Д. Стивен (2006). Структурированная линеаризация матричных полиномов (PDF) (Диссертация). Университет Манчестера. ISSN  1749-9097. ОКЛК  930686781.
12. Ивс, Ховард (1980). Элементарная теория матриц (переиздание). Нью-Йорк: Дувр. п. 37. ИСБН 0-486-63946-0. Проверено 24 апреля 2013 г. Разбиение, подобное теореме 1.9.4, называется соформным разбиением A и B.
13. Антон, Ховард (1994). Элементарная линейная алгебра (7-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли. п. 36. ISBN 0-471-58742-7. ...при условии, что размеры подматриц A и B таковы, что указанные операции могут быть выполнены.
14. Матхай, Аракапарампил М.; Хаубольд, Ханс Дж. (2017). Линейная алгебра: курс для физиков и инженеров . Учебник Де Грюйтера. Берлин Бостон: Де Грюйтер. п. 162. ИСБН 978-3-11-056259-0.
15. Бернштейн, Деннис (2005). Матричная математика . Издательство Принстонского университета. п. 44. ИСБН 0-691-11802-7.
16. Абадир, Карим М.; Магнус, Ян Р. (2005). Матричная алгебра . Издательство Кембриджского университета. стр. 97, 100, 106, 111, 114, 118. ISBN. 9781139443647.
17. Табога, Марко (2021). «Определитель блочной матрицы», Лекции по матричной алгебре.
18. Сильвестр, младший (2000). «Определители блочных матриц» (PDF) . Математика. Газ . 84 (501): 460–467. дои : 10.2307/3620776. JSTOR  3620776. Архивировано из оригинала (PDF) 18 марта 2015 г. Проверено 25 июня 2021 г.
19. Сотанафан, Нат (январь 2017 г.). «Определители блочных матриц с некоммутирующими блоками». Линейная алгебра и ее приложения . 512 : 202–218. arXiv : 1805.06027 . дои :10.1016/j.laa.2016.10.004. S2CID  119272194.
20. Квартерони, Альфио; Сакко, Риккардо; Салери, Фаусто (2000). Численная математика . Тексты по прикладной математике. Нью-Йорк: Спрингер. стр. 10, 13. ISBN 978-0-387-98959-4.
21. Джордж, Раджу К.; Аджаякумар, Абхиджит (2024). «Курс линейной алгебры». Университетские тексты по математическим наукам : 35, 407. doi : 10.1007/978-981-99-8680-4. ISBN 978-981-99-8679-8. ISSN  2731-9318.
22. Принс, Саймон JD (2012). Компьютерное зрение: модели, обучение и выводы . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 531. ИСБН 978-1-107-01179-3.
23. Бернштейн, Деннис С. (2009). Матричная математика: теория, факты и формулы (2-е изд.). Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. стр. 168, 298. ISBN. 978-0-691-14039-1.
24. Дитль, Гвидо К.Е. (2007). Линейное оценивание и обнаружение в подпространствах Крылова. Основы обработки сигналов, коммуникаций и сетей. Берлин ; Нью-Йорк: Спрингер. стр. 85, 87. ISBN. 978-3-540-68478-7. ОСЛК  85898525.
25. Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (2017). Матричный анализ (Второе издание, исправленное переиздание). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 36. ISBN 978-0-521-83940-2.
26. Датта, Бисва Натх (2010). Численная линейная алгебра и приложения (2-е изд.). Филадельфия, Пенсильвания: СИАМ. п. 168. ИСБН 978-0-89871-685-6.
27. Стюарт, Гилберт В. (2001). Матричные алгоритмы. 2: Собственные системы . Филадельфия, Пенсильвания: Soc. по промышленной и прикладной математике. п. 5. ISBN 978-0-89871-503-3.

Рекомендации

• Стрэнг, Гилберт (1999). «Лекция 3: Умножение и обратные матрицы». Программное обеспечение открытого курса MIT. 18:30–21:10.