Спонтанное нарушение симметрии

Симметрия, нарушающая состояние вакуума

Иллюстрация спонтанного нарушения симметрии : при высоких уровнях энергии ( слева ) мяч оседает в центре, и результат симметричен. При более низких уровнях энергии ( справа ) общие «правила» остаются симметричными, но симметричное «сомбреро» обеспечивает асимметричный результат, поскольку в конечном итоге мяч должен остановиться в какой-то случайной точке на дне, «спонтанно», а не во всех других.

Спонтанное нарушение симметрии — это спонтанный процесс нарушения симметрии , при котором физическая система в симметричном состоянии спонтанно переходит в асимметричное состояние. ^{[1] [2] [3]} В частности, он может описывать системы, в которых уравнения движения или лагранжиан подчиняются симметриям, но вакуумные решения с наименьшей энергией не демонстрируют ту же самую симметрию . Когда система переходит к одному из этих вакуумных решений, симметрия нарушается для возмущений вокруг этого вакуума, хотя весь лагранжиан сохраняет эту симметрию.

Обзор

Спонтанное нарушение симметрии не может произойти в квантовой механике , описывающей конечномерные системы, из-за теоремы Стоуна-фон Неймана (утверждающей уникальность коммутационных соотношений Гейзенберга в конечных измерениях). Поэтому спонтанное нарушение симметрии может просто наблюдаться в бесконечномерных теориях, таких как квантовые теории поля .

По определению, спонтанное нарушение симметрии требует существования физических законов, которые инвариантны относительно преобразования симметрии (например, трансляции или вращения), так что любая пара результатов, отличающихся только этим преобразованием, имеет одинаковое распределение вероятностей. Например, если измерения наблюдаемой в любых двух разных положениях имеют одинаковое распределение вероятностей, наблюдаемая имеет трансляционную симметрию.

Спонтанное нарушение симметрии происходит, когда эта связь нарушается, в то время как основные физические законы остаются симметричными.

Наоборот, при явном нарушении симметрии , если рассматриваются два исхода, распределения вероятностей пары исходов могут быть разными. Например, в электрическом поле силы, действующие на заряженную частицу, различны в разных направлениях, поэтому вращательная симметрия явно нарушается электрическим полем, которое не имеет этой симметрии.

Фазы материи, такие как кристаллы, магниты и обычные сверхпроводники, а также простые фазовые переходы могут быть описаны спонтанным нарушением симметрии. Известные исключения включают топологические фазы материи, такие как дробный квантовый эффект Холла .

Обычно, когда происходит спонтанное нарушение симметрии, наблюдаемые свойства системы изменяются несколькими способами. Например, ожидается, что плотность, сжимаемость, коэффициент теплового расширения и удельная теплоемкость изменятся, когда жидкость станет твердым телом.

Примеры

Потенциал сомбреро

Рассмотрим симметричный восходящий купол с желобом, окружающим дно. Если поместить шар на самую вершину купола, система будет симметрична относительно вращения вокруг центральной оси. Но шар может спонтанно нарушить эту симметрию, скатываясь по куполу в желоб, точку с наименьшей энергией. После этого шар останавливается в некоторой фиксированной точке на периметре. Купол и шар сохраняют свою индивидуальную симметрию, но система — нет. ^[4]

График потенциальной функции « сомбреро » Голдстоуна . ${\displaystyle V(\phi )}$

В простейшей идеализированной релятивистской модели спонтанно нарушенная симметрия суммируется с помощью иллюстративной скалярной теории поля . Соответствующий лагранжиан скалярного поля , который по сути диктует, как ведет себя система, может быть разделен на кинетические и потенциальные члены, ${\displaystyle \phi }$

Именно в этом потенциальном члене происходит нарушение симметрии. Пример потенциала, предложенный Джеффри Голдстоуном ^[5] , показан на графике слева. ${\displaystyle V(\phi )}$

Этот потенциал имеет бесконечное число возможных минимумов (вакуумных состояний), определяемых формулой

для любого действительного θ между 0 и 2 π . Система также имеет нестабильное вакуумное состояние, соответствующее Φ = 0 . Это состояние имеет симметрию U(1) . Однако, как только система попадает в определенное стабильное вакуумное состояние (соответствующее выбору θ ), эта симметрия будет казаться потерянной или «спонтанно нарушенной».

Фактически, любой другой выбор θ имел бы точно такую ​​же энергию, и определяющие уравнения соблюдают симметрию, но основное состояние (вакуум) теории нарушает симметрию, подразумевая существование безмассового бозона Намбу-Голдстоуна , моды, бегущей по кругу в минимуме этого потенциала, и указывая на то, что в лагранжиане есть некоторая память об исходной симметрии. ^{[6] [7]}

Другие примеры

• Для ферромагнитных материалов основные законы инвариантны относительно пространственных вращений. Здесь параметр порядка — намагниченность , которая измеряет плотность магнитного диполя. Выше температуры Кюри параметр порядка равен нулю, что является пространственно инвариантным, и нарушения симметрии не происходит. Однако ниже температуры Кюри намагниченность приобретает постоянное ненулевое значение, которое указывает в определенном направлении (в идеализированной ситуации, когда у нас есть полное равновесие; в противном случае трансляционная симметрия также нарушается). Остаточные вращательные симметрии, которые оставляют ориентацию этого вектора инвариантной, остаются ненарушенными, в отличие от других вращений, которые этого не делают и, таким образом, спонтанно нарушаются.
• Законы, описывающие твердое тело, инвариантны относительно полной евклидовой группы , но само твердое тело спонтанно разбивает эту группу на пространственную группу . Смещение и ориентация являются параметрами порядка.
• Общая теория относительности имеет симметрию Лоренца, но в космологических моделях FRW среднее поле 4-скорости, определяемое усреднением по скоростям галактик (галактики ведут себя как частицы газа в космологических масштабах), действует как параметр порядка, нарушающий эту симметрию. Аналогичные комментарии можно сделать и о космическом микроволновом фоне.
• Для электрослабой модели, как объяснялось ранее, компонент поля Хиггса обеспечивает параметр порядка, нарушающий электрослабую калибровочную симметрию в электромагнитную калибровочную симметрию. Как и в примере с ферромагнитным взаимодействием, при электрослабой температуре происходит фазовый переход. Тот же комментарий о том, что мы не склонны замечать нарушенные симметрии, подсказывает, почему нам потребовалось так много времени, чтобы открыть электрослабое объединение.
• В сверхпроводниках существует коллективное поле конденсированного состояния ψ, которое действует как параметр порядка, нарушающий электромагнитную калибровочную симметрию.
• Возьмите тонкий цилиндрический пластиковый стержень и сдвиньте оба конца вместе. До изгиба система симметрична относительно вращения, и поэтому явно цилиндрически симметрична. Но после изгиба она выглядит иначе и асимметрично. Тем не менее, черты цилиндрической симметрии все еще присутствуют: игнорируя трение, не потребовалось бы никакой силы, чтобы свободно вращать стержень, смещая основное состояние во времени и достигая колебания исчезающей частоты, в отличие от радиальных колебаний в направлении изгиба. Этот режим вращения фактически является требуемым бозоном Намбу-Голдстоуна .
• Рассмотрим однородный слой жидкости на бесконечной горизонтальной плоскости. Эта система обладает всеми симметриями евклидовой плоскости. Но теперь равномерно нагреем нижнюю поверхность так, чтобы она стала намного горячее верхней. Когда градиент температуры станет достаточно большим, образуются конвекционные ячейки , нарушающие евклидову симметрию.
• Рассмотрим бусину на круглом обруче, которая вращается вокруг вертикального диаметра . Поскольку скорость вращения постепенно увеличивается от состояния покоя, бусина изначально будет оставаться в своей начальной точке равновесия в нижней части обруча (интуитивно устойчивая, с самым низким гравитационным потенциалом ). При определенной критической скорости вращения эта точка станет нестабильной, и бусина перейдет в одно из двух других вновь созданных равновесий, равноудаленных от центра. Первоначально система симметрична относительно диаметра, однако после прохождения критической скорости бусина оказывается в одной из двух новых точек равновесия, тем самым нарушая симметрию.
• Эксперимент с двумя баллонами является примером спонтанного нарушения симметрии, когда оба баллона изначально накачаны до локального максимального давления. Когда часть воздуха перетекает из одного баллона в другой, давление в обоих баллонах падает, делая систему более устойчивой в асимметричном состоянии.

В физике элементарных частиц

В физике элементарных частиц частицы - носители силы обычно определяются уравнениями поля с калибровочной симметрией ; их уравнения предсказывают, что определенные измерения будут одинаковыми в любой точке поля. Например, уравнения поля могут предсказывать, что масса двух кварков постоянна. Решение уравнений для нахождения массы каждого кварка может дать два решения. В одном решении кварк A тяжелее кварка B. Во втором решении кварк B тяжелее кварка A на ту же величину . Симметрия уравнений не отражается отдельными решениями, но отражается диапазоном решений.

Фактическое измерение отражает только одно решение, представляющее собой нарушение симметрии базовой теории. «Скрытый» — более подходящий термин, чем «нарушенный», поскольку симметрия всегда присутствует в этих уравнениях. Это явление называется спонтанным нарушением симметрии (SSB), поскольку ничто (из того, что нам известно) не нарушает симметрию в уравнениях. ^{[8] : 194–195} По природе спонтанного нарушения симметрии различные части ранней Вселенной нарушали симметрию в разных направлениях, что приводило к топологическим дефектам , таким как двумерные доменные стенки , одномерные космические струны , нульмерные монополи и/или текстуры , в зависимости от соответствующей гомотопической группы и динамики теории. Например, нарушение симметрии Хиггса могло создать первичные космические струны в качестве побочного продукта. Гипотетическое нарушение симметрии GUT в общем производит монополи , создавая трудности для GUT, если только монополи (вместе с любыми доменными стенками GUT) не будут изгнаны из нашей наблюдаемой Вселенной посредством космической инфляции . ^[9]

Хиральная симметрия

Нарушение киральной симметрии является примером спонтанного нарушения симметрии, влияющего на киральную симметрию сильных взаимодействий в физике элементарных частиц. Это свойство квантовой хромодинамики , квантовой теории поля, описывающей эти взаимодействия, и отвечает за большую часть массы (более 99%) нуклонов , и, таким образом, всей обычной материи, поскольку оно преобразует очень легкие связанные кварки в в 100 раз более тяжелые составляющие барионов . Приблизительными бозонами Намбу-Голдстоуна в этом процессе спонтанного нарушения симметрии являются пионы , масса которых на порядок меньше массы нуклонов. Он послужил прототипом и важным ингредиентом механизма Хиггса, лежащего в основе нарушения электрослабой симметрии.

механизм Хиггса

Сильное, слабое и электромагнитное взаимодействие можно понимать как возникающее из калибровочных симметрий , что является избыточностью в описании симметрии. Механизм Хиггса , спонтанное нарушение симметрии калибровочных симметрий, является важным компонентом в понимании сверхпроводимости металлов и происхождения масс частиц в стандартной модели физики элементарных частиц. Термин «спонтанное нарушение симметрии» здесь является неправильным, поскольку теорема Элицура утверждает, что локальные калибровочные симметрии никогда не могут быть спонтанно нарушены. Вместо этого после фиксации калибровки глобальная симметрия (или избыточность) может быть нарушена способом, формально напоминающим спонтанное нарушение симметрии. Одним из важных следствий различия между истинными симметриями и калибровочными симметриями является то, что безмассовые Намбу–Голдстоуна, возникающие в результате спонтанного нарушения калибровочной симметрии, поглощаются в описании калибровочного векторного поля, обеспечивая массивные моды векторного поля, такие как плазменная мода в сверхпроводнике или мода Хиггса, наблюдаемая в физике элементарных частиц.

В стандартной модели физики элементарных частиц спонтанное нарушение симметрии калибровочной симметрии SU(2) × U(1), связанной с электрослабым взаимодействием, генерирует массы для нескольких частиц и разделяет электромагнитные и слабые взаимодействия. Бозоны W и Z являются элементарными частицами, которые опосредуют слабое взаимодействие , в то время как фотон опосредует электромагнитное взаимодействие . При энергиях, намного превышающих 100 ГэВ, все эти частицы ведут себя схожим образом. Теория Вайнберга–Салама предсказывает, что при более низких энергиях эта симметрия нарушается, так что появляются фотон и массивные бозоны W и Z. ^[10] Кроме того, фермионы последовательно развивают массу.

Без спонтанного нарушения симметрии Стандартная модель элементарных частиц требует существования ряда частиц. Однако некоторые частицы ( W- и Z-бозоны ) тогда можно было бы предсказать как безмассовые, когда в действительности они, как наблюдалось, имеют массу. Чтобы преодолеть это, спонтанное нарушение симметрии дополняется механизмом Хиггса, чтобы придать этим частицам массу. Это также предполагает наличие новой частицы, бозона Хиггса , обнаруженного в 2012 году.

Сверхпроводимость металлов — это конденсированный аналог явления Хиггса, при котором конденсат куперовских пар электронов спонтанно нарушает калибровочную симметрию U(1), связанную со светом и электромагнетизмом.

Динамическое нарушение симметрии

Динамическое нарушение симметрии (ДНС) — это особая форма спонтанного нарушения симметрии, при которой основное состояние системы имеет пониженные свойства симметрии по сравнению с его теоретическим описанием (т. е. лагранжианом ).

Динамическое нарушение глобальной симметрии — это спонтанное нарушение симметрии, которое происходит не на (классическом) уровне дерева (т. е. на уровне голого действия), а из-за квантовых поправок (т. е. на уровне эффективного действия ).

Динамическое нарушение калибровочной симметрии более тонкое. При обычном спонтанном нарушении калибровочной симметрии в теории существует нестабильная частица Хиггса , которая переводит вакуум в фазу с нарушенной симметрией (т. е. электрослабые взаимодействия ). Однако при динамическом нарушении калибровочной симметрии в теории не работает нестабильная частица Хиггса, но связанные состояния самой системы обеспечивают нестабильные поля, которые воспроизводят фазовый переход. Например, Бардин, Хилл и Линднер опубликовали статью, в которой пытаются заменить обычный механизм Хиггса в стандартной модели на DSB, который управляется связанным состоянием топ-антитоп-кварков. (Такие модели, в которых составная частица играет роль бозона Хиггса, часто называют «составными моделями Хиггса».) ^[11] Динамическое нарушение калибровочных симметрий часто происходит из-за создания фермионного конденсата — например, кваркового конденсата , который связан с динамическим нарушением хиральной симметрии в квантовой хромодинамике . Обычная сверхпроводимость является парадигматическим примером со стороны конденсированного состояния, где притяжение, опосредованное фононами, приводит к тому, что электроны связываются в пары, а затем конденсируются, тем самым нарушая электромагнитную калибровочную симметрию.

В физике конденсированного состояния

Большинство фаз материи можно понять через призму спонтанного нарушения симметрии. Например, кристаллы — это периодические массивы атомов, которые не инвариантны относительно всех трансляций (только относительно небольшого подмножества трансляций на вектор решетки). Магниты имеют северный и южный полюса, которые ориентированы в определенном направлении, нарушая вращательную симметрию . В дополнение к этим примерам существует целый ряд других фаз материи, нарушающих симметрию, — включая нематические фазы жидких кристаллов , волны зарядовой и спиновой плотности, сверхтекучие жидкости и многие другие.

Существует несколько известных примеров материи, которые не могут быть описаны спонтанным нарушением симметрии, включая: топологически упорядоченные фазы материи, такие как дробные квантовые жидкости Холла и спиновые жидкости . Эти состояния не нарушают никакой симметрии, но являются отдельными фазами материи. В отличие от случая спонтанного нарушения симметрии, не существует общей структуры для описания таких состояний. ^[12]

Непрерывная симметрия

Ферромагнетик — это каноническая система, которая спонтанно нарушает непрерывную симметрию спинов ниже температуры Кюри и при h = 0 , где h — внешнее магнитное поле. Ниже температуры Кюри энергия системы инвариантна относительно инверсии намагниченности m ( x ) такой, что m ( x ) = − m (− x ) . Симметрия спонтанно нарушается при h → 0 , когда гамильтониан становится инвариантным относительно преобразования инверсии, но математическое ожидание не инвариантно.

Спонтанно-нарушенные симметрии фазы материи характеризуются параметром порядка, который описывает величину, нарушающую рассматриваемую симметрию. Например, в магните параметром порядка является локальная намагниченность.

Спонтанное нарушение непрерывной симметрии неизбежно сопровождается бесщелевыми (то есть эти моды не требуют затрат энергии на возбуждение) модами Намбу–Голдстоуна, связанными с медленными длинноволновыми флуктуациями параметра порядка. Например, колебательные моды в кристалле, известные как фононы, связаны с медленными флуктуациями плотности атомов кристалла. Соответствующая мода Голдстоуна для магнитов представляет собой осциллирующие волны спина, известные как спиновые волны. Для состояний нарушения симметрии, параметр порядка которых не является сохраняющейся величиной, моды Намбу–Голдстоуна, как правило, безмассовые и распространяются с постоянной скоростью.

Важная теорема, выдвинутая Мермином и Вагнером, утверждает, что при конечной температуре термически активированные флуктуации мод Намбу–Голдстоуна разрушают дальний порядок и предотвращают спонтанное нарушение симметрии в одномерных и двумерных системах. Аналогично, квантовые флуктуации параметра порядка предотвращают большинство типов непрерывного нарушения симметрии в одномерных системах даже при нулевой температуре. (Важным исключением являются ферромагнетики, параметр порядка которых, намагниченность, является точно сохраняющейся величиной и не имеет никаких квантовых флуктуаций.)

Было показано, что другие дальнодействующие взаимодействующие системы, такие как цилиндрические искривленные поверхности, взаимодействующие посредством кулоновского потенциала или потенциала Юкавы , нарушают трансляционную и вращательную симметрию. ^[13] Было показано, что при наличии симметричного гамильтониана и в пределе бесконечного объема система спонтанно принимает хиральную конфигурацию — т. е. нарушает симметрию зеркальной плоскости .

Обобщение и техническое использование

Для спонтанного нарушения симметрии должна быть система, в которой существует несколько равновероятных исходов. Таким образом, система в целом симметрична относительно этих исходов. Однако, если система подвергается выборке (т. е. если система фактически используется или взаимодействует с ней каким-либо образом), должен возникнуть определенный исход. Хотя система в целом симметрична, она никогда не встречается с этой симметрией, а только в одном конкретном асимметричном состоянии. Следовательно, в этой теории говорят, что симметрия спонтанно нарушена. Тем не менее, тот факт, что каждый исход равновероятен, является отражением базовой симметрии, которую поэтому часто называют «скрытой симметрией», и имеет важные формальные последствия. (См. статью о бозоне Голдстоуна .)

Когда теория симметрична относительно группы симметрии , но требует, чтобы один элемент группы был отличным, то произошло спонтанное нарушение симметрии. Теория не должна диктовать, какой член является отличным, а только то, что один является . С этого момента теория может рассматриваться так, как будто этот элемент действительно является отличным, с условием, что любые результаты, найденные таким образом, должны быть ресимметризированы путем взятия среднего значения каждого из элементов группы, являющейся отличным.

Ключевым понятием в физических теориях является параметр порядка . Если есть поле (часто фоновое поле), которое приобретает ожидаемое значение (не обязательно ожидаемое значение вакуума ), которое не является инвариантным относительно рассматриваемой симметрии, мы говорим, что система находится в упорядоченной фазе , и симметрия спонтанно нарушается. Это происходит потому, что другие подсистемы взаимодействуют с параметром порядка, который определяет «систему отсчета», относительно которой следует проводить измерения. В этом случае состояние вакуума не подчиняется исходной симметрии (которая сохраняла бы его инвариантным в линейно реализованной моде Вигнера , в которой оно было бы синглетом), и вместо этого изменяется под (скрытой) симметрией, теперь реализованной в (нелинейной) моде Намбу–Голдстоуна . Обычно, в отсутствие механизма Хиггса, возникают безмассовые бозоны Голдстоуна .

Группа симметрии может быть дискретной, например, пространственная группа кристалла, или непрерывной (например, группа Ли ), например, вращательная симметрия пространства. Однако, если система содержит только одно пространственное измерение, то в вакуумном состоянии полной квантовой теории могут быть нарушены только дискретные симметрии , хотя классическое решение может нарушить непрерывную симметрию.

Нобелевская премия

7 октября 2008 года Королевская шведская академия наук присудила Нобелевскую премию по физике 2008 года трем ученым за их работу в области нарушения симметрии субатомной физики. Ёитиро Намбу из Чикагского университета получил половину премии за открытие механизма спонтанного нарушения симметрии в контексте сильных взаимодействий, в частности нарушения хиральной симметрии . Физики Макото Кобаяси и Тосихидэ Маскава из Киотского университета разделили другую половину премии за открытие источника явного нарушения CP-симметрии в слабых взаимодействиях. ^[14] Это происхождение в конечном итоге зависит от механизма Хиггса, но, до сих пор понимаемого как «просто» особенность связей Хиггса, а не явление спонтанно нарушенной симметрии.

Смотрите также

• Автокаталитические реакции и создание порядка
• Теория катастроф
• Нарушение хиральной симметрии
• нарушение CP
• Шар Ферми
• Калибровочная теория гравитации
• Голдстоуновский бозон
• Теория великого объединения
• механизм Хиггса
• бозон Хиггса
• Поле Хиггса (классическое)
• Необратимость
• Магнитный катализ нарушения хиральной симметрии
• Теорема Мермина–Вагнера
• Купол Нортона
• Фазовый переход второго рода
• Спонтанный абсолютный асимметрический синтез в химии
• Нарушение симметрии
• Конденсация тахионов
• 1964 PRL статьи о нарушении симметрии

Примечания

• ^ Обратите внимание, что (как и в случае фундаментального спонтанного нарушения калибровочной симметрии, вызванного бозоном Хиггса) термин «нарушение симметрии» является неправильным при применении к калибровочным симметриям.

Ссылки

1. Миранский, Владимир А. (1993). Динамическое нарушение симметрии в квантовых теориях поля. World Scientific. стр. 15. ISBN 9810215584.
2. Ародз, Хенрик; Дзярмага, Яцек; Журек, Войцех Хуберт, ред. (30 ноября 2003 г.). Паттерны нарушения симметрии. Спрингер. п. 141. ИСБН 9781402017452.
3. Корнелл, Джеймс, ред. (21 ноября 1991 г.). Пузыри, пустоты и неровности во времени: новая космология. Cambridge University Press. стр. 125. ISBN 9780521426732.
4. Эдельман, Джеральд М. (1992). Яркий воздух, блестящий огонь: о материи разума . Нью-Йорк: BasicBooks. стр. 203.
5. Голдстоун, Дж. (1961). «Теории поля с решениями «сверхпроводника»». Il Nuovo Cimento . 19 (1): 154–164. Bibcode : 1961NCim...19..154G. doi : 10.1007/BF02812722. S2CID  120409034.
6. Муньос-Вега, Р.; Гарсиа-Кирос, А.; Лопес-Чавес, Эрнесто; Салинас-Эрнандес, Энкарнасьон (2012). «Спонтанное нарушение симметрии в нерелятивистской квантовой механике». Американский журнал физики . 80 (10): 891–897. arXiv : 1205.4773 . Бибкод : 2012AmJPh..80..891M. дои : 10.1119/1.4739927. S2CID  119131875.
7. Kibble, TW B. (2015). "История нарушения электрослабой симметрии". Journal of Physics: Conference Series . 626 (1): 012001. arXiv : 1502.06276 . Bibcode : 2015JPhCS.626a2001K. doi : 10.1088/1742-6596/626/1/012001. S2CID  119290021.
8. Стивен Вайнберг (20 апреля 2011 г.). Мечты об окончательной теории: поиск учеными окончательных законов природы. Издательская группа Knopf Doubleday. ISBN 978-0-307-78786-6.
9. Жаннеро, Рэйчел; Роше, Джонатан; Сакеллариаду, Майри (24 ноября 2003 г.). «Насколько общим является образование космических струн в суперсимметричных теориях великого объединения». Physical Review D. 68 ( 10): 103514. arXiv : hep-ph/0308134 . Bibcode : 2003PhRvD..68j3514J. doi : 10.1103/PhysRevD.68.103514.
10. Краткая история времени, Стивен Хокинг, Bantam; издание к 10-летию (1998). С. 73–74. ^{[ ISBN отсутствует ]}
11. Уильям А. Бардин ; Кристофер Т. Хилл ; Манфред Линднер (1990). «Минимальное динамическое нарушение симметрии стандартной модели». Physical Review D. 41 ( 5): 1647–1660. Bibcode : 1990PhRvD..41.1647B. doi : 10.1103/PhysRevD.41.1647. PMID  10012522.
12. Чэнь, Се; Гу, Чжэн-Чэн; Вэнь, Сяо-Ган (2010). «Локальное унитарное преобразование, дальнодействующая квантовая запутанность, перенормировка волновой функции и топологический порядок». Phys. Rev. B . 82 (15): 155138. arXiv : 1004.3835 . Bibcode :2010PhRvB..82o5138C. doi :10.1103/physrevb.82.155138. S2CID  14593420.
13. Kohlstedt, KL; Vernizzi, G.; Solis, FJ; Olvera de la Cruz, M. (2007). "Спонтанная хиральность через дальнодействующие электростатические силы". Physical Review Letters . 99 (3): 030602. arXiv : 0704.3435 . Bibcode : 2007PhRvL..99c0602K. doi : 10.1103/PhysRevLett.99.030602. PMID  17678276. S2CID  37983980.
14. Нобелевский фонд. "Нобелевская премия по физике 2008 года". nobelprize.org . Получено 15 января 2008 г.

Внешние ссылки

• Для педагогического введения в нарушение электрослабой симметрии с пошаговыми выводами, которых нет в учебниках, многих ключевых соотношений, см. http://www.quantumfieldtheory.info/Electroweak_Sym_breaking.pdf
• Спонтанное нарушение симметрии
• Письма физического обзора – Документы, посвященные 50-летию
• В журнале CERN Courier Стивен Вайнберг размышляет о спонтанном нарушении симметрии
• Механизм Энглерта – Браута – Хиггса – Гуральника – Хагена – Киббла в Scholarpedia
• История механизма Энглерта – Браута – Хиггса – Гуральника – Хагена – Киббла в Scholarpedia
• История развития Гуральником, Хагеном и Кибблом теории спонтанного нарушения симметрии и калибровочных частиц
• Международный журнал современной физики A: История развития Гуральником, Хагеном и Кибблом теории спонтанного нарушения симметрии и калибровочных частиц
• Гуральник, GS; Хаген, CR и Киббл, TWB (1967). Нарушенные симметрии и теорема Голдстоуна. Advances in Physics, т. 2 Interscience Publishers, Нью-Йорк. стр. 567–708 ISBN 0-470-17057-3 
• Спонтанное нарушение симметрии в калибровочных теориях: исторический обзор
• Издательство Королевского общества: Спонтанное нарушение симметрии в калибровочных теориях
• Кембриджский университет, Дэвид Тонг: Лекции по квантовой теории поля для студентов магистратуры.