stringtranslate.com

Сокращаемая полугруппа

В математике полугруппа с сокращением (также называемая полугруппой с сокращением ) — это полугруппа, обладающая свойством сокращения . [1] В интуитивно понятных терминах свойство сокращения утверждает, что из равенства вида a · b = a · c , где · — бинарная операция , можно сократить элемент a и вывести равенство b = c . В этом случае сокращаемый элемент появляется как левые множители a · b и a · c , и, следовательно, это случай свойства левого сокращения . Свойство правого сокращения можно определить аналогично. Прототипическими примерами полугрупп с сокращением являются положительные целые числа при сложении или умножении . Полугруппы с сокращением считаются очень близкими к группам , поскольку сократимость является одним из необходимых условий для вложимости полугруппы в группу. Более того, каждая конечная полугруппа с сокращением является группой. Одной из основных проблем, связанных с изучением полугрупп с сокращением, является определение необходимых и достаточных условий вложения полугруппы с сокращением в группу.

Истоки изучения сокращаемых полугрупп можно проследить до первой существенной статьи о полугруппах (Сушкевич, 1928). [2]

Формальные определения

Пусть S — полугруппа. Элемент a в S является левосократимым (или левосократимым , или имеет свойство левого сокращения ), если ab = ac влечет b = c для всех b и c в S. Если каждый элемент в S является левосократимым, то S называется левосократимой полугруппой .

Пусть S — полугруппа. Элемент a в S является правосократимым (или, является правосократимым , или, имеет свойство правосократимости ), если ba = ca влечет b = c для всех b и c в S. Если каждый элемент в S является правосократимым, то S называется правосократимой полугруппой .

Пусть S — полугруппа. Если каждый элемент в S является как левосократимым, так и правосократимым, то S называется сократимой полугруппой .

Альтернативные определения

Можно переформулировать характеристическое свойство сокращаемого элемента в терминах свойства, содержащегося в соответствующих отображениях левого умножения L a  : S → S и правого умножения R a  : S → S , определяемых соотношениями L a ( b ) = ab и R a ( b ) = ba : элемент a в S является сокращаемым слева тогда и только тогда, когда L a инъективен , элемент a является сокращаемым справа тогда и только тогда, когда R a инъективен.

Примеры

  1. Каждая группа является сокращаемой полугруппой.
  2. Множество положительных целых чисел при сложении представляет собой сокращаемую полугруппу.
  3. Множество неотрицательных целых чисел при сложении представляет собой сокращаемый моноид .
  4. Множество положительных целых чисел при умножении представляет собой сокращаемый моноид.
  5. Полугруппа левого нуля является сокращаемой справа, но не сокращается слева, если только она не тривиальна.
  6. Правая нулевая полугруппа является левосократимой, но не правосократимой, если только она не тривиальна.
  7. Нулевая полугруппа с более чем одним элементом не является ни левосократимой, ни правосократимой. В такой полугруппе нет элемента, который был бы либо левосократимым, либо правосократимым.
  8. Пусть S — полугруппа действительных квадратных матриц порядка n относительно матричного умножения . Пусть a — любой элемент из S. Если a невырожденный, то a является как левосократимым, так и правосократимым. Если a вырожденный, то a не является ни левосократимым, ни правосократимым.

Конечные сократимые полугруппы

Это элементарный результат в теории групп , что конечная сократимая полугруппа является группой. Пусть S — конечная сократимая полугруппа.

  1. Сократимость и конечность, взятые вместе, подразумевают, что Sa = aS = S для всех a в S. Таким образом, для данного элемента a в S существует элемент e a , зависящий от a , в S такой, что ae a = a . Сократимость теперь дополнительно подразумевает, что этот e a независим от a и что xe a = e a x = x для всех x в S . Таким образом, e a является единичным элементом S , который с этого момента может обозначаться как e .
  2. Используя свойство Sa = S, теперь можно увидеть, что в S есть b , такой что ba = e . Сократимость можно использовать, чтобы показать, что ab = e , тем самым устанавливая, что каждый элемент a в S имеет обратный в S. Таким образом, S обязательно должна быть группой.

Более того, каждая сократительная эпигруппа также является группой. [3]

Встраиваемость в группы

Коммутативная полугруппа может быть вложена в группу (т. е. изоморфна подполугруппе группы) тогда и только тогда, когда она является сокращаемой. Процедура для этого похожа на процедуру вложения целостной области в поле (Clifford & Preston 1961, стр. 34) — она называется конструкцией группы Гротендика и является универсальным отображением из коммутативной полугруппы в абелевы группы , которое является вложением, если полугруппа является сокращаемой.

Для вложимости некоммутативных полугрупп в группы сократимость, очевидно, является необходимым условием. Однако она недостаточна: существуют (некоммутативные и бесконечные) сократимые полугруппы, которые не могут быть вложены в группу. [4] Чтобы получить достаточное (но не необходимое) условие, можно заметить, что доказательство результата о том, что конечная сократимая полугруппа S является группой, критически зависело от того факта, что Sa = S для всех a из S . Статья (Dubreil 1941) обобщила эту идею и ввела понятие обратимой справа полугруппы. Полугруппа S называется обратимой справа , если любые два главных идеала S пересекаются, то есть Sa ∩ Sb ≠ Ø для всех a и b из S . Достаточное условие вложимости полугрупп в группы теперь можно сформулировать следующим образом: ( Теорема Оре ) Любая обратимая справа сократительная полугруппа может быть вложена в группу (Clifford & Preston 1961, стр. 35).

Первый набор необходимых и достаточных условий для вложимости полугруппы в группу был дан в (Malcev 1939). [5] Хотя теоретически условия важны, их число счетно бесконечно, и ни одно конечное подмножество не будет достаточным, как показано в (Malcev 1940). [6] Другой (но также счетно бесконечный) набор необходимых и достаточных условий был дан в (Lambek 1951), где было показано, что полугруппа может быть вложена в группу тогда и только тогда, когда она является сокращаемой и удовлетворяет так называемому «полиэдральному условию». Две теоремы о вложении Мальцева и Ламбека были сопоставлены в (Bush 1963) и позднее пересмотрены и обобщены (Johnstone 2008), который также объяснил тесную связь между проблемой вложимости полугруппы и более общей проблемой вложения категории в группоид .

Смотрите также

Примечания

  1. ^ (Клиффорд и Престон 1967, стр. 3)
  2. ^ GB Preston (1990). "Личные воспоминания о ранней истории полугрупп". Архивировано из оригинала 2009-01-09 . Получено 2009-05-12 .
  3. ^ Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Oxford University Press. стр. 12. ISBN 978-0-19-853577-5.
  4. ^ А. Мальцев , О погружении алгебраического кольца в поле , Mathematische Annalen 1937, том 113, выпуск 1, стр. 686-691
  5. ^ Пол М. Кон (1981), Универсальная алгебра , Springer , стр. 268–269, ISBN 90-277-1254-9
  6. ↑ Джон Роудс (апрель 1970 г.), «Обзор книги «Алгебраическая теория полугрупп. Том I и II» А. Х. Клиффорда и Г. Б. Престона», Бюллетень AMS , Американского математического общества .[1] (Дата обращения 11 мая 2009 г.)

Ссылки