В алгебре , если задано кольцо R , категория левых модулей над R — это категория , объектами которой являются все левые модули над R , а морфизмами — все гомоморфизмы модулей между левыми R -модулями. Например, когда R — это кольцо целых чисел Z , это то же самое, что и категория абелевых групп . Категория правых модулей определяется аналогичным образом.
Можно также определить категорию бимодулей над кольцом R, но эта категория эквивалентна категории левых (или правых) модулей над обертывающей алгеброй R ( или над противоположной ей).
Примечание: Некоторые авторы используют термин категория модуля для категории модулей. Этот термин может быть неоднозначным, поскольку он также может относиться к категории с действием моноидальной категории . [1]
Категории левых и правых модулей являются абелевыми категориями . Эти категории имеют достаточно проективных [2] и достаточно инъективных [3] . Теорема вложения Митчелла утверждает, что каждая абелева категория возникает как полная подкатегория категории модулей над некоторым кольцом.
Проективные пределы и индуктивные пределы существуют в категориях левых и правых модулей. [4]
Над коммутативным кольцом вместе с тензорным произведением модулей ⊗ категория модулей является симметричной моноидальной категорией .
Моноидный объект категории модулей над коммутативным кольцом R — это в точности ассоциативная алгебра над R.
См. также: компактный объект (компактный объект в R -mod — это в точности конечно представленный модуль).
Категория K - Vect (некоторые авторы используют Vect K ) имеет все векторные пространства над полем K в качестве объектов, а K - линейные отображения в качестве морфизмов. Поскольку векторные пространства над K (как поле) являются тем же самым, что и модули над кольцом K , K - Vect является частным случаем R - Mod (некоторые авторы используют Mod R ), категории левых R - модулей.
Большая часть линейной алгебры касается описания K - Vect . Например, теорема о размерности векторных пространств гласит, что классы изоморфизма в K - Vect точно соответствуют кардинальным числам , и что K - Vect эквивалентна подкатегории K - Vect , объектами которой являются векторные пространства K n , где n — любое кардинальное число.
Категория пучков модулей над окольцованным пространством также имеет достаточно инъективных (хотя не всегда достаточно проективных).