В физике система отсчета с центром импульса ( система COM ), также известная как система с нулевым импульсом , представляет собой инерциальную систему отсчета , в которой полный импульс системы исчезает. Оно уникально с точностью до скорости, но не с точностью до начала координат.
Центр импульса системы — это не какое-то местоположение, а совокупность относительных импульсов/скоростей: система отсчета. Таким образом, «центр импульса» — это сокращение от « рамка центра импульса ». [1]
Особым случаем системы с центром импульса является система с центром масс : инерциальная система отсчета, в которой центр масс (который представляет собой одну точку) остается в начале координат. Во всех системах отсчёта центра импульса центр масс покоится , но он не обязательно находится в начале системы координат.
В специальной теории относительности кадр COM обязательно уникален только тогда, когда система изолирована.
Центр системы импульса определяется как инерциальная система отсчета, в которой сумма линейных импульсов всех частиц равна 0. Пусть S обозначает лабораторную систему отсчета, а S ′ обозначает систему отсчета центра импульса. Используя преобразование Галилея , скорость частицы в S ′ равна
где
- скорость центра масс. Тогда полный импульс в системе центра импульса обращается в нуль:
Кроме того, полная энергия системы — это минимальная энергия , наблюдаемая из всех инерциальных систем отсчета .
В теории относительности система COM существует для изолированной массивной системы. Это следствие теоремы Нётер . В системе COM полная энергия системы — это энергия покоя , и эта величина (при делении на коэффициент c2 , где c — скорость света ) дает массу покоя ( инвариантную массу ) системы:
Инвариантная масса системы задается в любой инерциальной системе релятивистским инвариантным соотношением
но при нулевом импульсе член импульса ( p / c ) 2 исчезает, и, таким образом, полная энергия совпадает с энергией покоя.
Системы, которые имеют ненулевую энергию, но нулевую массу покоя (например, фотоны , движущиеся в одном направлении, или, что то же самое, плоские электромагнитные волны ), не имеют кадров COM, потому что не существует системы отсчета, в которой они имели бы нулевой суммарный импульс. Из-за неизменности скорости света безмассовая система должна двигаться со скоростью света в любой системе отсчета и всегда обладает чистым импульсом. Его энергия для каждой системы отсчета равна величине импульса, умноженной на скорость света:
Ниже приведен пример использования этой системы координат – при столкновении двух тел, не обязательно упругом (при котором кинетическая энергия сохраняется). Кадр COM можно использовать для определения импульса частиц гораздо проще, чем в лабораторном кадре : кадре, в котором выполняются измерения или расчеты. Ситуация анализируется с помощью преобразований Галилея и сохранения импульса (для общности, а не только кинетических энергий) для двух частиц масс m 1 и m 2 , движущихся с начальными скоростями (до столкновения) u 1 и u 2 соответственно. Преобразования применяются для перевода скорости системы координат из скорости каждой частицы из лабораторной системы координат (нештрихованные величины) в COM-кадр (штриховые величины): [1]
где V — скорость COM-кадра. Поскольку V – скорость ЦМ, т.е. производная по времени от местоположения ЦМ R (положения центра масс системы): [2]
поэтому в начале кадра COM R' = 0 это подразумевает
Те же результаты можно получить, применив сохранение импульса в лабораторной системе отсчета, где импульсы равны p 1 и p 2 :
и в системе COM, где окончательно утверждается, что полные импульсы частиц p 1 ' и p 2 ' равны нулю:
Использование уравнения кадра COM для решения V возвращает уравнение лабораторного кадра, приведенное выше, демонстрируя, что любой кадр (включая кадр COM) может использоваться для расчета импульсов частиц. Установлено, что скорость COM-кадра можно исключить из расчета по указанному выше кадру, поэтому импульсы частиц в COM-кадре можно выразить через величины в лабораторном кадре (т.е. заданные начальные значения ):
обратите внимание, что относительная скорость в лабораторной системе координат частиц от 1 до 2 равна
а приведенная масса двух тел равна
поэтому импульсы частиц компактно уменьшаются до
Это существенно более простой расчет импульсов обеих частиц; приведенную массу и относительную скорость можно рассчитать на основе начальных скоростей в лабораторной системе координат и масс, а импульс одной частицы просто отрицателен по сравнению с другой. Расчет можно повторить для конечных скоростей v 1 и v 2 вместо начальных скоростей u 1 и u 2 , поскольку после столкновения скорости все еще удовлетворяют приведенным выше уравнениям: [3]
поэтому в начале кадра COM R = 0 это означает, что после столкновения
В лабораторных условиях закон сохранения импульса полностью выглядит следующим образом:
Это уравнение не означает, что
вместо этого он просто указывает, что полная масса M , умноженная на скорость центра масс V , равна полному импульсу P системы:
Анализ, аналогичный приведенному выше, дает
где конечная относительная скорость частиц от 1 до 2 в лабораторной системе координат равна